114 年 國立中山大學機械與機電工程學系碩士班丁組《靜力學》

核心觀念

本題考查剛體平衡與光滑接觸面的反作用力：

• 光滑滾輪的反作用力必垂直於接觸面。
• 半圓桿為圓弧，故在 $B、C$ 處的反作用力均沿半徑 $BO、CO$。
• $D$ 處的小輪在水平導軌上，因此反作用力為鉛直方向。
• 對圓心 $O$ 取力矩，可消去 $B、C$ 兩反作用力，快速求出 $D$ 的反力。

由圖可知，$OB$ 與 $OC$ 分別和水平線夾 $45^\circ$。

受力分析

取向右為 $x$ 軸正向、向上為 $y$ 軸正向，設：

• $R_B$：$B$ 點反作用力，方向沿 $BO$，向右上
• $R_C$：$C$ 點反作用力，方向沿 $CO$，向左上
• $R_D$：$D$ 點反作用力，方向鉛直向下

由於 $\alpha=45^\circ$，$A$ 點外力 $P$ 的分量為

$$P_x=P\cos45^\circ=\frac{P}{\sqrt2}, \qquad P_y=-P\sin45^\circ=-\frac{P}{\sqrt2}.$$

各反力分量為

$$R_{Bx}=\frac{R_B}{\sqrt2},\qquad R_{By}=\frac{R_B}{\sqrt2},$$ $$R_{Cx}=-\frac{R_C}{\sqrt2},\qquad R_{Cy}=\frac{R_C}{\sqrt2}.$$

解題方法

1. 對圓心 $O$ 取力矩

$R_B$ 與 $R_C$ 的作用線均通過 $O$，因此對 $O$ 的力矩為零。

設半圓半徑為 $R$，則：

• $P$ 在 $A$ 點造成逆時針力矩
• $R_D$ 在 $D$ 點造成順時針力矩

因此

$$\sum M_O=0$$ $$R\left(P\sin45^\circ\right)-R R_D=0$$

所以

核心觀念

本題考查平面桁架的：

• 節點法與截面法
• 靜力平衡方程式
  $\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0,\qquad \sum M=0$
• 桁架桿件的拉力與壓力判定

由圖得：

• $AF=2.25\ \text{m}$
• $FG=3\ \text{m}$
• $GH=3.5\ \text{m}$
• $HD=3.5\ \text{m}$
• 上弦桿 $AD$ 為一直線，因此斜率為
  $\frac{2.25}{3+3.5+3.5}=0.225$

故 $AB$ 的方向三角形為

$\Delta x=3,\qquad \Delta y=0.675$

其單位方向分量為

$\cos\theta=\frac{40}{41},\qquad \sin\theta=\frac{9}{41}$

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一、求 $AB$、$AG$、$FG$

取右側截面 $B-C-D-G-H$，截斷 $AB$、$AG$、$FG$ 三根桿件。

以 $G$ 點取矩，可消去 $AG$ 與 $FG$：

$$F_{AB}\left(1.575\right)\left(\frac{40}{41}\right) -0.9(3.5)-1.8(7)=0$$

因此

$F_{AB}\left(\frac{63}{41}\right)=15.75$

$F_{AB}=10.25\ \text{kN}$

方向判定為拉力。

再對右側截面使用鉛直方向平衡：

$$F_{AB}\left(\frac{9}{41}\right) +\frac{3}{5}F_{AG} -0.9-1.8-1.8=0$$

其中

$10.25\left(\frac{9}{41}\right)=2.25$

所以

$2.25+\frac{3}{5}F_{AG}-4.5=0$

$F_{AG}=3.75\ \text{kN}$

方向為拉力。

水平方向平衡：

$$-10.25\left(\frac{40}{41}\right) -\frac{4}{5}(3.75)-F_{FG}=0$$

$-10-3-F_{FG}=0$

$F_{FG}=-13.0\ \text{kN}$

負號表示假設的拉力方向相反，因此 $FG$ 為壓力：

$|F_{FG}|=13.0\ \text{kN}$

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二、求 $AE$

取節點 $A$。已知：

• $AB=10.25\ \text{kN}$，其水平分量為 $10\ \text{kN}$
• $AG=3.75\ \text{kN}$，其水平分量為 $3\ \text{kN}$

核心觀念

土壤對梁 $AB$ 施加的是線性變化的向上分布載重，形狀為梯形。平衡條件為：

1. 垂直方向合力為零。
2. 任一點取矩代數和為零。

梁長為 $L=1.8\ \text{m}$，集中力位置為：

• $24\ \text{kN}$ 位於距 $A$ 點 $0.6\ \text{m}$。
• $30\ \text{kN}$ 位於距 $B$ 點 $0.3\ \text{m}$，故距 $A$ 點為 $1.8-0.3=1.5\ \text{m}$。

解題方法

線性分布載重可直接以積分表示。令距離 $A$ 點為 $x$，則

$$w(x)=w_A+\frac{w_B-w_A}{1.8}x$$

垂直力平衡：

$$\int_0^{1.8}w(x)\,dx=24+30$$

梯形面積為

$$\frac{1.8}{2}(w_A+w_B)=54$$

因此

$$w_A+w_B=60 \tag{1}$$

再對 $A$ 點取矩。分布載重對 $A$ 點的力矩為

$$\int_0^{1.8}xw(x)\,dx = \frac{1.8^2}{6}(w_A+2w_B)$$

集中力造成的順時針力矩為

題意辨識

附上的原卷圖中，第 4 題實際內容為：兩根長 $3\ \text{m}$、質量 $8\ \text{kg}$ 的細桿，分別與兩個質量 $10\ \text{kg}$、半徑 $0.5\ \text{m}$ 的圓盤鉸接；圓盤純滾動，系統由 $\theta=60^\circ$ 靜止釋放，求 $\theta=30^\circ$ 時圓盤 $C$ 的速度與桿 $AB$ 的角速度。

文字所述「彎曲桿、施力 $P$、支承於滾輪與銷接架、求 $A、D、J$ 點內力」與附圖不一致；以下依附圖中的第 4 題作答。

核心觀念

本題使用：

1. 幾何約束與速度關係。
2. 機械能守恆。
3. 細桿平面運動之動能：
   $T_{\text{桿}}=\frac12mv_G^2+\frac12I_G\omega^2$
4. 圓盤純滾動條件：
   $v_C=r\omega_C$

細桿質量慣性矩為：

$$I_G=\frac{mL^2}{12}$$

圓盤為均質圓盤，因此：

$$I_C=\frac12Mr^2$$

速度關係

由圖形對稱性，兩個圓盤中心的水平距離為：

$$AC=2L\cos\theta$$

因此，圓盤 $C$ 的速度大小為：

$$v_C=L\sin\theta\,|\dot\theta|$$

在 $\theta=30^\circ$ 時：

$$v_C=3\sin30^\circ\,|\dot\theta| =1.5|\dot\theta|$$

所以：

$$|\dot\theta|=\frac{v_C}{1.5}$$

由於系統由 $\theta=60^\circ$ 下降至 $\theta=30^\circ$，故 $\theta$ 變小，桿 $AB$ 以順時針方向轉動。

位能變化

兩根桿的重心高度皆為：

$$y_G=\frac{L}{2}\sin\theta$$

兩根桿總位能為：

$$V=2mg\left(\frac{L}{2}\sin\theta\right) =mgL\sin\theta$$

由 $\theta=60^\circ$ 到 $\theta=30^\circ$ 的位能減少量為：

$$\Delta V =mgL(\sin60^\circ-\sin30^\circ)$$

代入 $m=8\ \text{kg}$、$L=3\ \text{m}$：

$$\Delta V =8(9.81)(3)(0.8660-0.5) =86.04\ \text{J}$$

$\theta=30^\circ$ 時的動能

兩個圓盤

每個圓盤的平移與轉動動能為：

核心觀念

本題考查梁的剪力函數 $V(x)$、彎矩函數 $M(x)$ 與分布載重 $w(x)$ 之間的積分關係：

$$\frac{dV}{dx}=-w(x)$$ $$\frac{dM}{dx}=V(x)$$

因此：

$$V(x)=V(x_0)-\int_{x_0}^{x}w(\xi)\,d\xi$$ $$M(x)=M(x_0)+\int_{x_0}^{x}V(\xi)\,d\xi$$

剪力圖的斜率等於 $-w(x)$，彎矩圖的斜率等於剪力 $V(x)$。最大彎矩通常出現在剪力為零的位置。

圖形資訊判定

目前提供的掃描頁面只有第 3 題與第 4 題的 Figure 3、Figure 4，未包含本題所需的 Figure 5。因此無法由現有資料確定：

• 梁的支承型式與跨度；
• 集中力、分布載重或力偶的位置；
• 各載重大小與分布函數；
• 梁端的邊界條件；
• 題目要求的數值答案與剪力、彎矩圖形狀。

在缺少 Figure 5 的情況下，不能合理指定實際載重與尺寸，否則會造成題意與計算結果不符。

解題方法

取得 Figure 5 後，應依各載重作用位置將梁分成數個區段。對整根梁先利用平衡方程式求支承反力：

$$\sum F_y=0$$ $$\sum M=0$$

接著在每一區段距離左端 $x$ 處取剖面，依序建立剪力函數與彎矩函數。

對於第 $i$ 區段，若已知該區段的分布載重為 $w_i(x)$，則：

$$V_i(x)=V_i(x_0)-\int_{x_0}^{x}w_i(\xi)\,d\xi$$ $$M_i(x)=M_i(x_0)+\int_{x_0}^{x}V_i(\xi)\,d\xi$$

各區段交界處必須符合下列條件：

• 集中力 $P$ 會使剪力產生跳躍：

$$V(x^+)-V(x^-)=-P$$

核心觀念

以 $AB$ 為 $x$ 軸、左下角 $A$ 為原點。圖形可視為：

• 外部矩形：$108\text{ mm}\times 60\text{ mm}$
• 中央挖除三角形：垂直底邊 $36\text{ mm}$、水平高 $72\text{ mm}$

所求為通過組合面積形心的：

• $I_x$：平行於 $AB$ 的水平中性軸
• $I_y$：垂直於 $AB$ 的鉛直中性軸

使用組合面積法與平行軸定理：

$$I=I_c+Ad^2$$

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一、計算組合面積形心

外部矩形：

$$A_R=108(60)=6480\text{ mm}^2$$

其形心座標為：

$$(x_R,y_R)=(54,30)\text{ mm}$$

挖除三角形的三個頂點可取為：

$$(22,12),\quad (22,48),\quad (94,30)$$

因此三角形面積為：

$$A_T=\frac12(36)(72)=1296\text{ mm}^2$$

三角形形心：

$$(x_T,y_T)=\left(\frac{22+22+94}{3},\frac{12+48+30}{3}\right) =(46,30)\text{ mm}$$

組合面積：

$$A=A_R-A_T=6480-1296=5184\text{ mm}^2$$

形心座標：

$$\bar{x} =\frac{A_Rx_R-A_Tx_T}{A_R-A_T} =\frac{6480(54)-1296(46)}{5184} =56\text{ mm}$$ $$\bar{y} =\frac{6480(30)-1296(30)}{5184} =30\text{ mm}$$

所以組合面積形心為：

$$(\bar{x},\bar{y})=(56,30)\text{ mm}$$

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二、求平行於 $AB$ 的形心軸慣性矩 $I_x$

外部矩形對自身水平形心軸：

$$I_{xR,c}=\frac{bh^3}{12} =\frac{108(60)^3}{12} =1,944,000\text{ mm}^4$$

三角形對自身水平形心軸，因其垂直底邊長為 $36\text{ mm}$、水平高為 $72\text{ mm}$：

$$I_{xT,c}=\frac{b^3h}{48} =\frac{(36)^3(72)}{48} =69,984\text{ mm}^4$$