113 年 國立中山大學機械與機電工程學系碩士班丁組《靜力學》

核心觀念

本題要求由 Fig. 1 的幾何尺寸與力向量關係 求出角度 $\phi$。靜力學中通常利用力的分量平衡、向量幾何關係或三角函數求角度，例如：

若由兩個正交分量決定方向，則可用

解題方法

目前附上的原卷頁面只有第 1 題文字，圖中未包含 Fig. 1；頁面下方也未出現該圖。因此缺少下列必要資料：

核心觀念

此題考查平面共點力平衡。圓柱靜止時，水平方向與鉛直方向的合力皆為零：

圓柱重量為

解題方法

原卷第 2 頁的 Figure 2 未附在題圖中，因此缺少兩條纜線的實際方向或角度，無法直接得到唯一數值。以下以兩條纜線在連接點 $B$ 相交，且：

• $BA$ 與水平線夾角為 $\alpha$
• $BC$ 與水平線夾角為 $\beta$

建立一般解。

在 $B$ 點列平衡方程：

由第一式得

代入鉛直方向平衡式：

核心觀念

本題考查力對點 $A$ 的力矩：

其中 $F=4\ \text{kN}$，$d_\perp$ 為點 $A$ 到 4-kN 力作用線的垂直距離。若已知位置向量 $\vec r$ 與力的夾角為 $\theta$，則：

解題方法

圖中第 3 題所需的「Figure 3」未出現在目前提供的掃描頁面，因此缺少力的作用點位置、幾何尺寸及方向資訊，無法取得唯一的數值答案。

若圖 3 中 $r$ 為點 $A$ 至 4-kN 力作用點的距離，且 $\theta=45^\circ$ 為 $\vec r$ 與力方向的夾角，則：

核心觀念

本題利用剛體平面平衡條件：

均勻桿的重心位於桿件中點。桿質量為 $20\,\text{kg}$，其重量為

重力作用於桿的中點，方向鉛直向下。光滑接觸面只能產生垂直接觸面的反力，不會產生摩擦力。

圖面資訊

目前提供的原卷掃描圖只有第 1 頁，第 4 題所需的 Figure 4 位於後續頁面，未包含支承位置、桿件角度及接觸面方向。因此無法由現有圖面唯一決定各反力的數值。

解題方法

若 Figure 4 為桿件由兩個光滑支承 $A$、$B$ 支撐，設支承反力分別為 $R_A$、$R_B$，則應依接觸面的法線方向分解反力，建立：

再取 $A$ 點力矩：

核心觀念

本題考查剛體的平衡條件。推車與木箱皆靜止，三個腳輪僅提供鉛直反力，因此應使用：

木箱質量為 $85\ \mathrm{kg}$，重量為

因木箱均勻，其重心位於木箱幾何中心。

解題方法

目前提供的掃描圖只有第 1 頁，未包含 Figure 5，因此缺少三個腳輪 $A、B、C$ 的位置尺寸，以及木箱重心相對於腳輪平面的座標，無法得到唯一的數值反力。

可將腳輪平面設為 $xy$ 平面，令：

• $A(x_A,y_A)$、$B(x_B,y_B)$、$C(x_C,y_C)$：三個腳輪座標
• $G(x_G,y_G)$：均勻木箱重心投影座標
• $R_A、R_B、R_C$：三個腳輪的鉛直反力
• $W=833.85\ \mathrm{N}$：木箱重量

鉛直力平衡：

取 $y$ 軸及 $x$ 軸的力矩平衡：

令

核心觀念

本題考查二構件框架的自由體圖與平面剛體平衡。每一構件均須滿足：

鉸接銷只能傳遞水平、垂直方向的力，不傳遞力矩。

解題方法

目前提供的掃描圖只有考卷第 1 頁，未包含題目所指的 Figure 6，因此缺少下列必要資料：

• 構架兩構件的幾何形狀與尺寸；
• A、B 銷的位置與支承形式；
• 外力的大小、方向及作用位置；
• 兩構件間的連接銷位置。

因此無法得到 A、B 銷力的唯一數值答案。

若 Figure 6 為典型的兩構件框架，設兩構件以內部銷 C 相連，A、B 為外部銷，則可依下列方式求解。

對左側構件取自由體圖，設 A 銷力為 $(A_x,A_y)$，C 銷力為 $(C_x,C_y)$，外力合力及力矩分別為 $F_{1x},F_{1y},M_{A,1}$：

對右側構件取自由體圖。由作用與反作用，C 點所受的力為 $(-C_x,-C_y)$。若外力合力及力矩分別為 $F_{2x},F_{2y},M_{B,2}$，則：

核心觀念

在梁的截面處切開，對其中一側取力矩平衡，即可求得該截面的內彎矩。圖中的纜索跨過光滑滑輪，因此兩段纜索張力大小相同。

解題方法

圖中梁長 $6\,\text{m}$，由 A 到 B 每隔 $1.5\,\text{m}$ 標出一點；D 距 A 為 $3\,\text{m}$，F 距 A 為 $4.5\,\text{m}$。梁全長承受向下均布載重 $300\,\text{N/m}$；纜索在 D 點以 $45^\circ$ 向上拉梁，並在 B 點垂直向上拉梁。

先對整根梁取 A 點力矩，求纜索張力 $T$。均布載重的合力為 $300(6)=1800\,\text{N}$，作用於 A 右方 $3\,\text{m}$：

核心觀念

本題考查剛體平衡與靜摩擦的臨界條件。物體尚未滑動時，靜摩擦力會隨需求改變，但最大值為 $f_{s,\max}=\mu_A N_A$；在「即將滑動」的狀態，才取等號。

解題方法

圖中圓盤置於粗糙水平面 $A$，半徑為 $125\,\text{mm}$，桿件在 $B$ 處與圓盤相接、在 $C$ 處鉸接於牆面；$B$ 至 $C$ 的水平與垂直距離分別為 $300\,\text{mm}$、$400\,\text{mm}$。外加力偶 $M$ 的方向為逆時針。

令桿對圓盤的向下分力為 $P$。圓盤的鉛直平衡給出地面正向力：

由圓盤的力矩平衡，地面摩擦力大小為 $f_A=P$。在即將滑動時，摩擦力達最大值，因此

核心觀念

面積形心由各部分面積的一次矩決定：

其中 $A_i$ 是分割面積，$(x_i,y_i)$ 是該部分形心相對於座標原點的位置。若圖形由多個簡單圖形組成，可將各部分的面積與形心座標代入公式計算。

解題方法

圖中 $x$ 軸與 $y$ 軸交點為原點。依尺寸讀圖，左側階梯形的底部寬度為 $1+2=3\text{ m}$，下層高度為 $1\text{ m}$；上層寬度為 $2\text{ m}$、高度為 $2\text{ m}$。右側斜邊部分是底與高皆為 $3\text{ m}$ 的直角三角形。

將面積分成兩個矩形與一個直角三角形：

核心觀念

平面面積對 $x$ 軸的面積慣性矩定義為

其中 $y$ 是面積微元到 $x$ 軸的垂直距離。本題圖形是第一象限內、由座標軸與橢圓弧圍成的區域。

解題方法

圖中橢圓弧為 $x^2+4y^2=4$，區域的水平範圍為 $0\le x\le 2\,\text{m}$，垂直高度為 $1\,\text{m}$。取寬度為 $dx$ 的垂直窄條，其高度為 $y(x)$，因此 $dA=y\,dx$，且該窄條對 $x$ 軸的慣性矩為 $\frac{1}{3}y^3dx$。

由橢圓方程式解出上邊界：

積分求得：

核心觀念

面積慣性矩定義為 $I_{x'}=\int_A (y-\bar y)^2\,dA$，表示面積微元到指定軸的垂直距離平方乘上微小面積後的總和。此題的 $x'$ 軸通過三角形形心，與底邊 $x$ 平行。

解題方法

圖 11 是邊長為 $a$ 的正三角形，底邊為 $x$ 軸，$x'$ 軸通過形心 $C$，且兩腰也標示為 $a$。正三角形高為 $h=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，形心距底邊 $\bar y=\frac{h}{3}$。

取距底邊 $y$ 的水平細條。由相似三角形，該處的寬度為 $a(1-y/h)$，所以 $dA=a(1-y/h)\,dy$。代入面積慣性矩定義：

令 $t=y/h$，可得

核心觀念

形心座標由面積一次矩計算；形心軸上的慣性積則依定義

計算。將截面分成互不重疊的矩形後，可用平行軸定理求慣性積。

解題方法

圖中截面為 L 形，總寬 $200\,\text{mm}$、總高 $100\,\text{mm}$，兩肢厚度均為 $50\,\text{mm}$。以左下角為 $x,y$ 軸原點；$x',y'$ 為通過形心 $C$ 的水平與垂直軸。

將截面分成底部矩形 $200\times 50$ 與左上矩形 $50\times 50$，兩者不重疊：

總面積為

形心座標：