108 年 國立中山大學機械與機電工程學系碩士班丁組《靜力學》

本題考驗向量的合成與分解，以及求解向量的三角關係。

(a) 求解 $F_B$ 與 $\theta$

已知兩力船的合力 $F_R$ 為 3 kN，方向沿正 x 軸。
力 $F_A$ 的大小為 2 kN，與正 x 軸夾角為 30°。
力 $F_B$ 的大小未知，與正 x 軸夾角為 $\theta$。

我們可以利用向量的合成來求解。將 $F_A$ 和 $F_B$ 的向量分量寫出：
$F_A = (2 \cos 30^\circ) \hat{i} + (2 \sin 30^\circ) \hat{j}$ kN
$F_B = (F_B \cos \theta) \hat{i} + (F_B \sin \theta) \hat{j}$ kN
$F_R = 3 \hat{i} + 0 \hat{j}$ kN

根據向量加法，$F_R = F_A + F_B$。
將 x 和 y 方向的分量分別列出：
x 方向：$3 = 2 \cos 30^\circ + F_B \cos \theta$
y 方向：$0 = 2 \sin 30^\circ + F_B \sin \theta$

從 y 方向的方程式，我們可以解出 $F_B \sin \theta$:
$F_B \sin \theta = -2 \sin 30^\circ = -2 \times 0.5 = -1$ kN

從 x 方向的方程式，我們可以得到 $F_B \cos \theta$:
$F_B \cos \theta = 3 - 2 \cos 30^\circ = 3 - 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 - \sqrt{3} \approx 3 - 1.732 = 1.268$ kN

現在我們有兩個方程式：

1. $F_B \sin \theta = -1$
2. $F_B \cos \theta = 3 - \sqrt{3}$

將兩個方程式平方後相加，可以得到 $F_B$ 的大小：
$(F_B \sin \theta)^2 + (F_B \cos \theta)^2 = (-1)^2 + (3 - \sqrt{3})^2$
$F_B^2 (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 1 + (9 - 6\sqrt{3} + 3)$
$F_B^2 = 1 + 12 - 6\sqrt{3} = 13 - 6\sqrt{3}$
$F_B = \sqrt{13 - 6\sqrt{3}} \approx \sqrt{13 - 6 \times 1.732} = \sqrt{13 - 10.392} = \sqrt{2.608} \approx 1.615$ kN

將 $F_B$ 的值代回 $F_B \sin \theta = -1$ 或 $F_B \cos \theta = 3 - \sqrt{3}$，可以求出 $\theta$。
$\tan \theta = \frac{F_B \sin \theta}{F_B \cos \theta} = \frac{-1}{3 - \sqrt{3}} = \frac{-1}{1.268} \approx -0.7886$
$\theta = \arctan(-0.7886) \approx -38.26^\circ$

由於 $F_B \sin \theta$ 是負值，而 $F_B \cos \theta$ 是正值，所以 $\theta$ 應該在第四象限。
因此，$\theta \approx -38.26^\circ$ 或 $360^\circ - 38.26^\circ = 321.74^\circ$。
通常角度是以逆時針為正，所以我們取 $\theta \approx -38.26^\circ$。

【答案】$F_B \approx 1.615$ kN, $\theta \approx -38.26^\circ$

(b) 求解 $F_R$ 的大小與方向

已知 $F_A = 2$ kN，與正 x 軸夾角為 30°。
$F_B$ 的大小為 3 kN，與正 x 軸夾角為 $\theta = 45^\circ$。
合力 $F_R$ 的大小和方向未知。

將 $F_A$ 和 $F_B$ 的向量分量寫出：
$F_A = (2 \cos 30^\circ) \hat{i} + (2 \sin 30^\circ) \hat{j}$ kN
$F_B = (3 \cos 45^\circ) \hat{i} + (3 \sin 45^\circ) \hat{j}$ kN

合力 $F_R = F_A + F_B$。
$F_R = (2 \cos 30^\circ + 3 \cos 45^\circ) \hat{i} + (2 \sin 30^\circ + 3 \sin 45^\circ) \hat{j}$ kN
$F_R = (2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} + 3 \times \frac{\sqrt{2}}{2}) \hat{i} + (2 \times 0.5 + 3 \times \frac{\sqrt{2}}{2}) \hat{j}$ kN
$F_R = (\sqrt{3} + \frac{3\sqrt{2}}{2}) \hat{i} + (1 + \frac{3\sqrt{2}}{2}) \hat{j}$ kN

計算分量值：
$F_{Rx} = \sqrt{3} + \frac{3\sqrt{2}}{2} \approx 1.732 + \frac{3 \times 1.414}{2} = 1.732 + 2.121 = 3.853$ kN
$F_{Ry} = 1 + \frac{3\sqrt{2}}{2} \approx 1 + 2.121 = 3.121$ kN

合力 $F_R$ 的大小為：
$|F_R| = \sqrt{F_{Rx}^2 + F_{Ry}^2} = \sqrt{(3.853)^2 + (3.121)^2}$
$|F_R| = \sqrt{14.845 + 9.741} = \sqrt{24.586} \approx 4.958$ kN

合力 $F_R$ 的方向角 $\phi$ (與正 x 軸的夾角)：
$\tan \phi = \frac{F_{Ry}}{F_{Rx}} = \frac{3.121}{3.853} \approx 0.8100$
$\phi = \arctan(0.8100) \approx 39.01^\circ$

題目要求的是「順時針」方向從正 x 軸測量。
順時針方向為負角度，所以是 $-39.01^\circ$。
也可以表示為 $360^\circ - 39.01^\circ = 320.99^\circ$。

本題考驗物體平衡條件的應用，特別是集中於節點 B 的受力分析。

首先，我們需要計算懸掛 60 kg 圓柱體的重力。
圓柱體的質量 $m = 60$ kg。
重力加速度 $g \approx 9.81$ m/s²。
重力 $W = mg = 60 \times 9.81 = 588.6$ N。

節點 B 受到三個力的作用：

1. 繩索 BA 的張力 $T_{BA}$，方向沿 BA 繩索向上。
2. 繩索 BC 的張力 $T_{BC}$，方向沿 BC 繩索向上。
3. 圓柱體的重力 $W$，方向向下。

根據圖示，我們需要確定繩索 BA 和 BC 與水平方向的夾角。
繩索 BA 的方向：從 B 到 A。
圖中給出了 A 點的座標（假設原點為某處），但更直接的是看圖中的比例。
在圖中，A 點相對於 B 點，水平向左移動了 3 個單位，垂直向上移動了 4 個單位。
所以，繩索 BA 與水平方向的夾角 $\alpha$ 可以由 $\tan \alpha = \frac{4}{3}$ 得到。
$\alpha = \arctan(\frac{4}{3}) \approx 53.13^\circ$。
繩索 BA 與 y 軸（垂直向上）的夾角也是 $\alpha$。
繩索 BA 與 x 軸（水平向右）的夾角是 $180^\circ - \alpha$。
或者，我們可以直接看繩索 BA 與垂直方向（y 軸）的夾角為 $\alpha$。
因此，繩索 BA 與水平方向的夾角為 $90^\circ - \alpha'$，其中 $\alpha'$ 是 BA 與 y 軸的夾角。
從圖中比例 3:4:5，可知 BA 與水平方向的夾角為 $\arctan(4/3) \approx 53.13^\circ$。
繩索 BA 與 y 軸（垂直向上）的夾角為 $\arctan(3/4) \approx 36.87^\circ$。
我們將以繩索 BA 與水平方向的夾角來表示，即 $53.13^\circ$。

繩索 BC 的方向：從 B 到 C。
在圖中，C 點相對於 B 點，水平向右移動了 4 個單位，垂直向上移動了 3 個單位。
所以，繩索 BC 與水平方向的夾角 $\beta$ 可以由 $\tan \beta = \frac{3}{4}$ 得到。
$\beta = \arctan(\frac{3}{4}) \approx 36.87^\circ$。

在節點 B 處，合力為零（平衡條件）。
我們將力分解到水平 (x) 和垂直 (y) 方向。
假設 x 軸水平向右，y 軸垂直向上。

繩索 BA 的張力 $T_{BA}$ 的分量：
$T_{BAx} = -T_{BA} \cos(53.13^\circ)$ (向左)
$T_{BAy} = T_{BA} \sin(53.13^\circ)$ (向上)

核心觀念

本題考查：

• 二力構件（two-force member）的特性：構件 $AB$ 僅在 $A、B$ 兩端受力，因此兩端作用力必沿著 $AB$ 軸線。
• 剛體平衡條件：

$$\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0,\qquad \sum M=0$$

• 構件 $BC$ 受中點集中力 $2000\ \text{N}$，且 $BC=4\ \text{m}$，載重作用點距離 $B、C$ 各 $2\ \text{m}$。

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解題方法與自由體圖

1. 構件 $AB$

$AB$ 為二力構件，因此其內力必沿 $AB$ 方向。令 $F_{AB}$ 為構件 $AB$ 的軸力，假設為拉力。

由圖知 $AB$ 與水平線夾角為 $60^\circ$。

2. 構件 $BC$

在構件 $BC$ 上：

• $B$ 點受到構件 $AB$ 的作用力；
• $C$ 點受到銷釘反力 $C_x、C_y$；
• 中點受向下集中力 $2000\ \text{N}$。

取 $B$ 點為力矩中心，可消去 $B$ 點的作用力。

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平衡方程式

對構件 $BC$ 取 $B$ 點力矩

逆時針為正：

$$\sum M_B=0$$ $$C_y(4)-2000(2)=0$$

因此

$$C_y=1000\ \text{N}$$

垂直方向平衡

假設 $F_{AB}$ 為拉力，則構件 $AB$ 對 $BC$ 在 $B$ 點的垂直分量向下：

$$\sum F_y=0$$ $$C_y-2000-F_{AB}\sin60^\circ=0$$

代入 $C_y=1000\ \text{N}$：

$$1000-2000-F_{AB}\sin60^\circ=0$$ $$F_{AB}=-\frac{1000}{\sin60^\circ}$$ $$F_{AB}=-1154.7\ \text{N}$$

負號表示原先假設的拉力方向相反，因此 $AB$ 實際承受壓力：

核心觀念

本題考查軸的支承反力，以及剪力圖（Shear Diagram）與彎矩圖（Moment Diagram）的繪製。

• A 為推力軸承（thrust bearing），可提供三個方向的力反力：$A_x,\ A_y,\ A_z$。
• C 為軸頸軸承（journal bearing），理想情況下只能提供垂直於軸線的兩個反力；若軸線為 $x$ 軸，則為 $C_y,\ C_z$，不提供軸向反力。
• 若題目只要求剪力圖與彎矩圖，應分別在包含外力的平面內分析。
• 反力由整根軸的平衡方程式求得：

$$\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0,\qquad \sum F_z=0$$ $$\sum M_x=0,\qquad \sum M_y=0,\qquad \sum M_z=0$$

剪力與彎矩的基本關係為：

$$\frac{dV}{dx}=-w(x),\qquad \frac{dM}{dx}=V(x)$$

其中 $w(x)$ 為分布載重、$V$ 為剪力、$M$ 為彎矩。

解題方法

本題必須先依 Figure 4 確認以下資料：

1. A、C 的位置與距離。
2. 軸線方向及各外力的作用位置。
3. 集中力、分布力或集中力矩的大小與方向。
4. 軸是否有懸臂段、齒輪、皮帶輪或其他施力元件。

依圖建立整根軸的自由體圖，標示：

$$A_x,\ A_y,\ A_z,\ C_y,\ C_z$$

核心觀念

本題考查「摩擦力支撐重物」與「靜摩擦力上限」：

$$f_s\leq \mu_s N$$

每本書重量為

$$W=mg=0.95(9.81)=9.3195\ \text{N}$$

水平壓力為 $F=120\ \text{N}$，因此：

• 手與最外側書本間的最大摩擦力：

$$f_h^{\max}=\mu_{s,h}F=0.6(120)=72\ \text{N}$$

• 任兩本書接觸面的最大摩擦力：

$$f_b^{\max}=\mu_{s,b}F=0.4(120)=48\ \text{N}$$

由於水平方向沒有其他外力，各書本間的正向力皆為 $F$。

解題方法

設共有 $n$ 本書。考慮由左側手、左側至右側任一截面的受力平衡。對於最左邊與最右邊的書本，內部接觸面的摩擦力必須共同傳遞各本書的重量。

最嚴格的內部接觸面條件，來自兩端附近的截面。要使全部書本保持靜止，兩個端部接觸面的摩擦力容量合計必須支撐中間 $n-2$ 本書的重量，因此：

本題考驗截面慣量的計算，包含基本形狀的慣量計算、平行軸定理的應用，以及質心（centroid）的求解。

題目分析：
圖示為一工字梁（I-beam）的截面。
(a) 要求計算截面關於 x 軸和 y 軸的慣量。這裡的 x 和 y 軸是截面圖上標示的座標軸。
(b) 要求計算截面的質心 C，並進一步計算截面關於通過質心的 x' 軸和 y' 軸的慣量。

基本概念：

• 截面慣量 (Moment of Inertia, I)： 衡量截面抵抗彎曲的能力。對於一個區域 A，關於某軸的慣量為 $I = \int_A y^2 dA$ (對於 x 軸) 或 $I = \int_A x^2 dA$ (對於 y 軸)。
• 平行軸定理 (Parallel Axis Theorem)： $I_{x'} = I_{xc} + Ad^2$，其中 $I_{xc}$ 是關於通過質心的平行軸的慣量，$A$ 是面積，$d$ 是兩平行軸之間的距離。
• 質心 (Centroid)： 截面的幾何中心。對於對稱形狀，質心通常位於對稱線上。

圖示分析：
截面由三個矩形組成：一個中間的腹板（web）和兩個頂部的翼板（flange）。
尺寸標示：

• 腹板厚度：70 mm
• 腹板高度：140 mm
• 翼板厚度：30 mm (上下兩塊)
• 總高度：30 mm (上翼板) + 140 mm (腹板) + 30 mm (下翼板) = 200 mm
• 總寬度：由於是工字梁，通常是左右對稱，但圖示只給了腹板寬度 70 mm。翼板的寬度沒有直接標示，但通常工字梁的翼板寬度是相同的。假設翼板的寬度為 $b_f$。

重要提示： 圖示中的 x 和 y 軸，以及 x' 和 y' 軸。

• x 軸：是截面圖上的水平軸，通過腹板的底部。
• y 軸：是截面圖上的垂直軸，通過腹板的左側邊緣。
• x' 軸：是通過質心 C 的水平軸。
• y' 軸：是通過質心 C 的垂直軸。

假設：
由於圖示標示了腹板寬度為 70 mm，但沒有標示翼板的寬度，這是一個問題。
然而，在 (b) 部分要求計算質心 C，這暗示了截面可能不是完全對稱的，或者我們需要根據圖示的比例來估計。
但通常工字梁是左右對稱的。
如果截面左右對稱，那麼質心 C 的 y' 座標（垂直方向）應該在截面的中間。
質心 C 的 x' 座標（水平方向）應該在截面的中間。

重新仔細看圖示：
在圖示的右側，標示了翼板的尺寸：30 mm (厚度)，70 mm (腹板寬度)。
最右側標示了 170 mm，這可能是截面的總寬度。
如果總寬度是 170 mm，那麼翼板的寬度是 $(170 - 70)/2 = 100/2 = 50$ mm。
這似乎不合理，因為翼板的厚度是 30 mm，寬度通常比厚度大。

另一種可能性： 170 mm 是指翼板的整個寬度，那麼左右各 85 mm？
這也不太可能。

查看圖示的標示：
在 x' 軸下方，標示了 30 mm, 70 mm, 30 mm。這可能是截面高度方向的劃分。
在 y' 軸右側，標示了 30 mm, 170 mm。這可能是截面寬度方向的劃分。
如果 170 mm 是總寬度，那麼翼板的寬度是 $(170-70)/2 = 50$ mm。

假設翼板寬度為 50 mm。
腹板寬度 $b_w = 70$ mm。
腹板高度 $h_w = 140$ mm。
翼板厚度 $t_f = 30$ mm。
翼板寬度 $b_f = 50$ mm。

整體尺寸：
總高度 $H = 30 + 140 + 30 = 200$ mm。
總寬度 $B = 50 + 70 + 50 = 170$ mm。

關於座標軸：
x 軸：通過腹板底部。
y 軸：通過腹板左側邊緣。

(a) 計算關於 x 軸和 y 軸的慣量

關於 x 軸的慣量 $I_x$：
截面可以看作一個大矩形減去兩個小矩形，或者三個矩形組合。
使用三個矩形組合：

1. 上翼板：寬度 $b_f = 50$ mm，厚度 $t_f = 30$ mm。
   其底部距離 x 軸為 $140 + 30 = 170$ mm。
   其頂部距離 x 軸為 $140 + 30 + 30 = 200$ mm。
   對 x 軸的慣量 $I_{x, top\_flange} = \frac{1}{12} b_f t_f^3 + A_{top\_flange} d^2$。
   這裡的 $d$ 是翼板質心到 x 軸的距離。
   翼板質心距離 x 軸的高度為 $140 + 30/2 = 155$ mm。
   $A_{top\_flange} = 50 \times 30 = 1500$ mm²。
   $I_{x, top\_flange} = \frac{1}{12} (50)(30)^3 + (1500)(155)^2$
   $I_{x, top\_flange} = \frac{1}{12} (50)(27000) + 1500 \times 24025$
   $I_{x, top\_flange} = 112500 + 36037500 = 36150000$ mm⁴。

2. 腹板：寬度 $b_w = 70$ mm，高度 $h_w = 140$ mm。
   其底部距離 x 軸為 0 mm。
   其頂部距離 x 軸為 140 mm。
   對 x 軸的慣量 $I_{x, web} = \frac{1}{12} b_w h_w^3 = \frac{1}{12} (70)(140)^3$
   $I_{x, web} = \frac{1}{12} (70)(2744000) = 16006666.67$ mm⁴。

3. 下翼板：寬度 $b_f = 50$ mm，厚度 $t_f = 30$ mm。
   其底部距離 x 軸為 0 mm。
   其頂部距離 x 軸為 30 mm。
   對 x 軸的慣量 $I_{x, bottom\_flange} = \frac{1}{12} b_f t_f^3 + A_{bottom\_flange} d^2$。
   翼板質心距離 x 軸的高度為 $30/2 = 15$ mm。
   $A_{bottom\_flange} = 50 \times 30 = 1500$ mm²。
   $I_{x, bottom\_flange} = \frac{1}{12} (50)(30)^3 + (1500)(15)^2$
   $I_{I_{x, bottom\_flange}} = 112500 + 1500 \times 225 = 112500 + 337500 = 450000$ mm⁴。

總的關於 x 軸的慣量 $I_x = I_{x, top\_flange} + I_{x, web} + I_{x, bottom\_flange}$
$I_x = 36150000 + 16006666.67 + 450000 = 52606666.67$ mm⁴。

關於 y 軸的慣量 $I_y$：
y 軸通過腹板的左側邊緣。
截面可以看作一個大矩形（總寬度 170mm，腹板寬度 70mm）減去兩個翼板的區域。
或者，三個矩形組合。

1. 腹板：寬度 $b_w = 70$ mm，高度 $h_w = 140$ mm。
   其左側邊緣距離 y 軸為 0 mm。
   其右側邊緣距離 y 軸為 70 mm。
   對 y 軸的慣量 $I_{y, web} = \frac{1}{12} h_w b_w^3 + A_{web} d^2$。
   這裡的 $d$ 是腹板質心到 y 軸的距離。
   腹板質心距離 y 軸為 $70/2 = 35$ mm。
   $A_{web} = 70 \times 140 = 9800$ mm²。
   $I_{y, web} = \frac{1}{12} (140)(70)^3 + (9800)(35)^2$
   $I_{y, web} = \frac{1}{12} (140)(343000) + 9800 \times 1225$
   $I_{y, web} = 4016666.67 + 12005000 = 16021666.67$ mm⁴。

2. 左翼板：寬度 $b_f = 50$ mm，厚度 $t_f = 30$ mm。
   其左側邊緣距離 y 軸為 0 mm。
   其右側邊緣距離 y 軸為 50 mm。
   對 y 軸的慣量 $I_{y, left\_flange} = \frac{1}{12} t_f b_f^3 = \frac{1}{12} (30)(50)^3$
   $I_{y, left\_flange} = \frac{1}{12} (30)(125000) = 312500$ mm⁴。

3. 右翼板：寬度 $b_f = 50$ mm，厚度 $t_f = 30$ mm。
   其左側邊緣距離 y 軸為 $70 + 50 = 120$ mm。
   其右側邊緣距離 y 軸為 $70 + 50 + 50 = 170$ mm。
   對 y 軸的慣量 $I_{y, right\_flange} = \frac{1}{12} t_f b_f^3 + A_{right\_flange} d^2$。
   翼板質心距離 y 軸的距離 $d = (120 + 170)/2 = 145$ mm。
   $A_{right\_flange} = 50 \times 30 = 1500$ mm²。
   $I_{y, right\_flange} = \frac{1}{12} (30)(50)^3 + (1500)(145)^2$
   $I_{y, right\_flange} = 312500 + 1500 \times 21025 = 312500 + 31537500 = 31850000$ mm⁴。

總的關於 y 軸的慣量 $I_y = I_{y, web} + I_{y, left\_flange} + I_{y, right\_flange}$
$I_y = 16021666.67 + 312500 + 31850000 = 48184166.67$ mm⁴。

總結 (a)：
$I_x \approx 52.61 \times 10^6$ mm⁴
$I_y \approx 48.18 \times 10^6$ mm⁴

(b) 計算質心 C，並計算關於通過質心的 x' 和 y' 軸的慣量

質心 C 的位置：
由於截面關於水平軸和垂直軸都是對稱的（假設翼板寬度 50 mm），質心 C 應該位於截面的幾何中心。
總高度 $H = 200$ mm。質心 C 的 y' 座標（垂直於 x' 軸）應在 $H/2 = 200/2 = 100$ mm 處。
總寬度 $B = 170$ mm。質心 C 的 x' 座標（垂直於 y' 軸）應在 $B/2 = 170/2 = 85$ mm 處。

質心的定義：
$\bar{y} = \frac{\sum A_i y_i}{\sum A_i}$
$\bar{x} = \frac{\sum A_i x_i}{\sum A_i}$

我們需要重新定義原點，以便計算質心。
通常，我們將原點設在截面的左下角。
那麼 x 軸是通過腹板底部的。y 軸是通過截面左側邊緣的。
這與題目中標示的 x, y 軸一致。

質心 C 的座標 (以左下角為原點)：
$\bar{y} = \frac{A_{top\_flange} y_{top} + A_{web} y_{web} + A_{bottom\_flange} y_{bottom}}{A_{total}}$
$A_{top\_flange} = 50 \times 30 = 1500$ mm²。其質心 $y_{top} = 140 + 30/2 = 155$ mm。
$A_{web} = 70 \times 140 = 9800$ mm²。其質心 $y_{web} = 140/2 = 70$ mm。
$A_{bottom\_flange} = 50 \times 30 = 1500$ mm²。其質心 $y_{bottom} = 30/2 = 15$ mm。
$A_{total} = 1500 + 9800 + 1500 = 12800$ mm²。
$\bar{y} = \frac{1500 \times 155 + 9800 \times 70 + 1500 \times 15}{12800}$
$\bar{y} = \frac{232500 + 686000 + 22500}{12800} = \frac{941000}{12800} = 73.515625$ mm。