112 年 國立中山大學機械與機電工程學系碩士班丁組《靜力學》

核心觀念

本題考查：

• 靜摩擦力上限：$f_s \leq \mu_s N$
• 臨界運動時，靜摩擦力達最大值：$f_s=\mu_s N$
• 兩物體間的接觸摩擦力
• 固定滑輪兩側纜線張力相同

題目要求 35 kg 下方方塊開始向左運動，因此上方 25 kg 方塊受纜線牽引，有向右運動的趨勢。

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受力與摩擦方向

設纜線張力為 $T$。

上方 25 kg 方塊

纜線張力 $T$ 向右。由於上方方塊有向右運動的趨勢，下方方塊對上方方塊的摩擦力 $f_1$ 向左。

鉛直方向：

$$N_1=25g$$

臨界狀態下：

$$f_1=\mu_s N_1 =0.35(25g)$$

因此由上方方塊水平方向平衡：

$$T=f_1=0.35(25g)$$

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下方 35 kg 方塊

下方方塊受力如下：

• 外力 $P$ 向左
• 纜線張力 $T$ 向右
• 上方方塊施加的摩擦力 $f_1$ 向右
• 地面对下方方塊的摩擦力 $f_2$ 向右

本題考驗靜力學中物體在斜面上的受力分析與摩擦力判斷。題目給了一個 300 N 的木塊放在傾斜角度為 3-4-5 的斜面上，並施加一個 100 N 的水平外力。要求判斷木塊是否處於平衡狀態，並計算此時的摩擦力大小。

首先，我們需要分析木塊所受的力。

1. 重力 (Weight, $W$): 300 N，方向垂直向下。
2. 外力 (Applied Force, $F$): 100 N，方向水平向右。
3. 支持力 (Normal Force, $N$): 垂直於斜面向上。
4. 摩擦力 (Friction Force, $f$): 沿著斜面方向，與運動趨勢相反。

斜面的傾角 $\theta$ 可以由 3-4-5 的比例確定。設斜面底邊長為 $4a$，高為 $3a$，斜邊長為 $5a$。
則 $\sin \theta = \frac{3a}{5a} = \frac{3}{5} = 0.6$ 且 $\cos \theta = \frac{4a}{5a} = \frac{4}{5} = 0.8$。

我們建立一個座標系統，使 x 軸沿著斜面向上，y 軸垂直於斜面向上。

將重力 $W$ 分解到這個座標系統：
$W_x = -W \sin \theta = -300 \times 0.6 = -180$ N (沿斜面向下)。
$W_y = -W \cos \theta = -300 \times 0.8 = -240$ N (垂直於斜面向下)。

將水平外力 $F$ 分解到這個座標系統：
$F_x = F \cos \theta = 100 \times 0.8 = 80$ N (沿斜面向右)。
$F_y = -F \sin \theta = -100 \times 0.6 = -60$ N (垂直於斜面向下)。

現在，我們來判斷木塊是否處於平衡狀態。
首先，計算作用在木塊上的所有沿斜面方向的力的合力（未考慮摩擦力）。
$F_{net,x} = W_x + F_x = -180 + 80 = -100$ N。
這個合力是沿斜面向下的。這表示在沒有摩擦力時，木塊有沿斜面向下滑動的趨勢。

接下來，我們計算支持力 $N$。
在垂直於斜面方向上，合力為零（因為木塊不會離開斜面或嵌入斜面）。
$\sum F_y = N + W_y + F_y = 0$
$N - 240 - 60 = 0$
$N = 300$ N。

核心觀念

本題考查：

• 支承反力的計算
• 剪力圖與彎矩圖的繪製
• 集中力造成剪力圖瞬間跳躍
• 均佈載重造成剪力圖線性變化、彎矩圖二次曲線
• 剪力與彎矩的關係：

$$\frac{dV}{dx}=-w,\qquad \frac{dM}{dx}=V$$

由圖得各位置座標如下：

• $A$：$x=0$
• $B$：$x=1.8\ \text{m}$
• $C$：$x=4.2\ \text{m}$
• $D$：$x=7.2\ \text{m}$
• $E$：$x=9.6\ \text{m}$

載重為：

• $B$ 點集中力 $20\ \text{kN}$
• $C$ 點集中力 $12\ \text{kN}$
• $D$ 至 $E$ 間均佈載重 $1.5\ \text{kN/m}$

均佈載重合力為

$$W=1.5(2.4)=3.6\ \text{kN}$$

作用於 $D$ 右方 $1.2\ \text{m}$，即距離 $A$：

$$x_W=7.2+1.2=8.4\ \text{m}$$

解題方法：先求支承反力

設 $A$ 點反力為 $A_y$，$D$ 點反力為 $D_y$。水平方向無外力，因此

$$A_x=0$$

對 $A$ 點取力矩：

$$\sum M_A=0$$ $$D_y(7.2)-20(1.8)-12(4.2)-3.6(8.4)=0$$

因此

$$D_y=\frac{20(1.8)+12(4.2)+3.6(8.4)}{7.2} =16.2\ \text{kN}$$

再由鉛直力平衡：

$$\sum F_y=0$$ $$A_y+D_y-20-12-3.6=0$$ $$A_y=19.4\ \text{kN}$$

剪力圖

採用「左側截面向上為正剪力」的慣例。

各關鍵位置剪力值

在 $A$ 點右側：

$$V_{A^+}=+19.4\ \text{kN}$$

通過 $B$ 點後，剪力下降 $20\ \text{kN}$：

$$V_{B^+}=19.4-20=-0.6\ \text{kN}$$

通過 $C$ 點後，剪力再下降 $12\ \text{kN}$：

$$V_{C^+}=-0.6-12=-12.6\ \text{kN}$$

通過 $D$ 點，因支承反力向上 $16.2\ \text{kN}$：

$$V_{D^+}=-12.6+16.2=+3.6\ \text{kN}$$

在 $D$ 至 $E$ 間，均佈載重為 $1.5\ \text{kN/m}$，故剪力呈線性下降：

$$V(x)=3.6-1.5(x-7.2) \qquad (7.2\le x\le9.6)$$

在 $E$ 點：

$$V_E=3.6-1.5(2.4)=0$$

剪力圖形狀

• $A$ 至 $B$：水平線，$V=+19.4\ \text{kN}$
• $B$ 至 $C$：水平線，$V=-0.6\ \text{kN}$
• $C$ 至 $D$：水平線，$V=-12.6\ \text{kN}$
• $D$ 至 $E$：斜直線，由 $+3.6$ 線性下降至 $0$

關鍵剪力值整理如下：

位置	剪力
$A^+$	$+19.4\ \text{kN}$
$B^-$	$+19.4\ \text{kN}$
$B^+$	$-0.6\ \text{kN}$
$C^-$	$-0.6\ \text{kN}$
$C^+$	$-12.6\ \text{kN}$
$D^-$	$-12.6\ \text{kN}$
$D^+$	$+3.6\ \text{kN}$

本題要求利用直接積分法求取圖示區域的形心 (Centroid)。該區域由曲線 $y = kx^2$ 與直線 $y=h$ 所圍成，並在 $x=0$ 到 $x=a$ 的範圍內。

形心的座標 $(\bar{x}, \bar{y})$ 可以通過以下公式計算：
$\bar{x} = \frac{1}{A} \int_A x \, dA$
$\bar{y} = \frac{1}{A} \int_A y \, dA$
其中 $A$ 是區域的面積。

首先，我們需要確定曲線 $y = kx^2$ 中的常數 $k$。
圖示顯示，當 $x=a$ 時，曲線通過點 $(a, h)$。
所以，將 $(a, h)$ 代入曲線方程：$h = k a^2$。
由此解得 $k = \frac{h}{a^2}$。
因此，曲線的方程為 $y = \frac{h}{a^2} x^2$。

接下來，我們計算區域的面積 $A$。
我們可以使用垂直微元 $dA = (h - y) \, dx$ 來積分，或者使用水平微元 $dA = x \, dy$。
這裡我們使用垂直微元 $dA = (y_{upper} - y_{lower}) \, dx$。
在這個區域，上半部分是直線 $y_{upper} = h$，下半部分是曲線 $y_{lower} = \frac{h}{a^2} x^2$。
積分範圍是 $x$ 從 $0$ 到 $a$。

$A = \int_0^a (h - \frac{h}{a^2} x^2) \, dx$
$A = h \int_0^a (1 - \frac{x^2}{a^2}) \, dx$
$A = h \left[ x - \frac{x^3}{3a^2} \right]_0^a$
$A = h \left( a - \frac{a^3}{3a^2} - (0 - 0) \right)$
$A = h \left( a - \frac{a}{3} \right) = h \left( \frac{2a}{3} \right) = \frac{2}{3} ah$

現在，我們計算形心的 $\bar{x}$ 座標。
$\bar{x} = \frac{1}{A} \int_0^a x \, dA = \frac{1}{A} \int_0^a x (h - \frac{h}{a^2} x^2) \, dx$
$\bar{x} = \frac{1}{A} \int_0^a (hx - \frac{h}{a^2} x^3) \, dx$
$\bar{x} = \frac{1}{A} \left[ \frac{h}{2} x^2 - \frac{h}{4a^2} x^4 \right]_0^a$
$\bar{x} = \frac{1}{A} \left( \frac{h}{2} a^2 - \frac{h}{4a^2} a^4 \right)$
$\bar{x} = \frac{1}{A} \left( \frac{h a^2}{2} - \frac{h a^2}{4} \right) = \frac{1}{A} \left( \frac{h a^2}{4} \right)$
將 $A = \frac{2}{3} ah$ 代入：
$\bar{x} = \frac{1}{\frac{2}{3} ah} \left( \frac{h a^2}{4} \right) = \frac{3}{2ah} \frac{h a^2}{4} = \frac{3a}{8}$

接下來，我們計算形心的 $\bar{y}$ 座標。
我們使用 $y_{centroid} = \frac{1}{A} \int y \, dA$ 的形式，其中 $y$ 是微元 $dA$ 的形心座標。
對於垂直微元 $dA = (h - \frac{h}{a^2} x^2) \, dx$，其高度為 $dy = (h - \frac{h}{a^2} x^2)$。
微元的形心高度 $y_{centroid}$ 位於微元高度的中心。
微元的底邊是 $y_{lower} = \frac{h}{a^2} x^2$，頂邊是 $y_{upper} = h$。
微元的形心高度為 $y_{centroid} = \frac{y_{upper} + y_{lower}}{2} = \frac{h + \frac{h}{a^2} x^2}{2}$。
這個方法對於曲線區域的 $\bar{y}$ 計算有些複雜，因為 $y_{centroid}$ 隨 $x$ 變化。

更標準的直接積分法計算 $\bar{y}$ 是使用矩：
$\int_A y \, dA = \int_0^a y_{centroid} \, dA = \int_0^a \frac{y_{upper} + y_{lower}}{2} (y_{upper} - y_{lower}) \, dx$
$\int_A y \, dA = \int_0^a \frac{1}{2} (h + \frac{h}{a^2} x^2) (h - \frac{h}{a^2} x^2) \, dx$
$\int_A y \, dA = \frac{1}{2} \int_0^a (h^2 - (\frac{h}{a^2} x^2)^2) \, dx$
$\int_A y \, dA = \frac{1}{2} \int_0^a (h^2 - \frac{h^2}{a^4} x^4) \, dx$
$\int_A y \, dA = \frac{h^2}{2} \int_0^a (1 - \frac{x^4}{a^4}) \, dx$

核心觀念

本題利用「虛功原理」或「力矩平衡」求旋轉槓桿的平衡位置。圖中：

• $OA=l=200\ \text{mm}$
• $OB=r=75\ \text{mm}$
• 重物 $W=1.8\ \text{kN}=1800\ \text{N}$
• 彈簧常數 $k=45\ \text{N/mm}$
• $\theta=0$ 時彈簧未伸長

點 $B$ 沿半徑 $r$ 的圓弧移動，因此彈簧伸長量為

$$\delta=r\theta$$

其中 $\theta$ 必須以弧度表示。

解題方法

取槓桿 $O$ 點力矩平衡。

重物對 $O$ 點的力矩大小為

$$M_W=Wl\sin\theta$$

彈簧伸長後的彈力為

$$F_s=k\delta=kr\theta$$

彈簧對 $O$ 點產生的回復力矩為

$$M_s=F_s r=kr^2\theta$$

平衡時兩力矩大小相等：

$$Wl\sin\theta=kr^2\theta$$

代入數值：

$$(1800)(200)\sin\theta = (45)(75)^2\theta$$

整理得

核心觀念

將三條纜線力平移至 $A$ 點時：

• 合力保持不變：
  $\mathbf R=\sum \mathbf F$
• 需在 $A$ 點附加等效力偶：
  $\mathbf M_A=\sum(\mathbf r_{A\to P}\times\mathbf F_P)$

其中 $P$ 為各纜線與支架的作用點。

1. 各纜線的力向量

由圖中座標與方向可得：

$\overrightarrow{BE}=75\mathbf i-150\mathbf j+50\mathbf k\ \text{mm}$

且 $|\overrightarrow{BE}|=175\ \text{mm}$，因此

$$\mathbf F_B =700\frac{\overrightarrow{BE}}{|\overrightarrow{BE}|} =300\mathbf i-600\mathbf j+200\mathbf k\ \text{N}$$

$C$ 點的 $1000\ \text{N}$ 力，其方向與 $x、z$ 軸分量相等：

$$\mathbf F_C =1000\cos45^\circ\mathbf i -1000\cos45^\circ\mathbf k$$ $$\mathbf F_C =707.1\mathbf i-707.1\mathbf k\ \text{N}$$

$D$ 點的 $1200\ \text{N}$ 力：

$$\mathbf F_D =1200\cos60^\circ\mathbf i +1200\cos30^\circ\mathbf j$$ $$\mathbf F_D =600\mathbf i+1039.2\mathbf j\ \text{N}$$

2. 等效合力

$$\begin{aligned} \mathbf R &=\mathbf F_B+\mathbf F_C+\mathbf F_D\\ &=(300+707.1+600)\mathbf i\\ &\quad+(-600+1039.2)\mathbf j\\ &\quad+(200-707.1)\mathbf k \end{aligned}$$

因此

$$\boxed{\mathbf R =1607.1\mathbf i+439.2\mathbf j-507.1\mathbf k\ \text{N}}$$

3. 各作用點相對於 A 的位置向量

(a) Force-Couple System (力偶系統)：
力偶系統是指用一個單一的合力 (resultant force) 和一個合力偶 (resultant couple) 來等效取代一系列作用在物體上的力。其目的是簡化分析，將複雜的力系歸納為兩個基本的效應：一個是使物體產生平移的總效果 (合力)，另一個是使物體產生轉動的總效果 (合力偶)。

在靜力學中，任何一個力系都可以被簡化為一個作用在某參考點上的合力，以及一個獨立於該參考點的合力偶。合力是所有原始力的向量和，它決定了物體的整體平移運動趨勢。合力偶則是所有原始力對該參考點產生力矩的向量和，它決定了物體的整體轉動趨勢。

力偶系統的意義在於：

1. 簡化分析: 將多個力的影響歸納為兩個獨立的量，便於計算和理解。
2. 等效性: 該力偶系統對物體產生的運動效果（平移和轉動）與原始力系完全相同。
3. 參考點獨立性: 合力偶的大小和方向與所選的參考點無關，但其作用點（通常表示為一個力偶矩向量）與參考點有關。

(b) Equilibrium Equations (平衡方程)：
平衡方程是指滿足物體處於靜力平衡狀態 (static equilibrium) 的條件方程。根據牛頓第一運動定律，一個物體若處於靜力平衡狀態，則其所受的淨外力為零，且其對任意參考點產生的淨外力矩也為零。