112 年 國立中山大學機械與機電工程學系碩士班丙組《自動控制》

此題主要考察根軌跡的繪製與系統穩定性的判斷。

核心觀念：

• 根軌跡 (Root Locus)： 系統的閉迴路極點在開迴路增益 $K$ 變化時所形成的軌跡。
• 穩定性： 閉迴路系統穩定的充要條件是所有閉迴路極點皆位於複數平面的左半平面。

解題步驟：

首先，我們需要找出系統的開迴路傳遞函數 $KG(s)$。
由圖示可知，閉迴路系統的傳遞函數為 $\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{KG(s)}{1+KG(s)}$。
開迴路傳遞函數為：
$KG(s) = K \cdot \frac{s+1}{s+5} \cdot \frac{2}{s^2(s+2)}$
$KG(s) = \frac{2K(s+1)}{s^2(s+2)(s+5)}$

1(a) 繪製根軌跡：

根軌跡的繪製步驟如下：

1. 開迴路極點與零點：

   • 零點：$z_1 = -1$
   • 極點：$p_1 = 0$ (二階), $p_2 = -2$, $p_3 = -5$

2. 實軸上的根軌跡段：

   • 在實軸上，從右往左檢查。
   • $(-\infty, -5]$：右側有 4 個極點，偶數個，不是根軌跡。
   • $[-5, -2]$：右側有 3 個極點，奇數個，是根軌跡。
   • $[-2, -1]$：右側有 2 個極點 + 1 個零點 = 3 個實體，奇數個，是根軌跡。
   • $[-1, 0]$：右側有 2 個極點 + 1 個零點 = 3 個實體，奇數個，是根軌跡。
   • $[0, \infty)$：右側有 3 個極點 + 1 個零點 = 4 個實體，偶數個，不是根軌跡。
   • 因此，實軸上的根軌跡段為 $[-5, -2] \cup [-1, 0]$。

3. 漸近線 (Asymptotes)：

   • 根軌跡的數量等於極點數，即 4 條。
   • 漸近線的交點 (中心點)：
     $\sigma = \frac{\sum p_i - \sum z_i}{n-m} = \frac{(0 + (-2) + (-5)) - (-1)}{4-1} = \frac{-7 + 1}{3} = \frac{-6}{3} = -2$
   • 漸近線的角度：
     $\theta_k = \frac{(2k+1)\pi}{n-m}$，其中 $k = 0, 1, 2, ..., n-m-1$。
     $n-m = 3$。
     $k=0: \theta_0 = \frac{\pi}{3} = 60^\circ$
     $k=1: \theta_1 = \frac{3\pi}{3} = \pi = 180^\circ$
     $k=2: \theta_2 = \frac{5\pi}{3} = 300^\circ$ (或 $-60^\circ$)

4. 與虛軸的交點：

   • 令 $s = j\omega$ 代入 $1+KG(s) = 0$。
   • $1 + \frac{2K(j\omega+1)}{(j\omega)^2(j\omega+2)(j\omega+5)} = 0$
   • $(j\omega)^2(j\omega+2)(j\omega+5) + 2K(j\omega+1) = 0$
   • $-\omega^2(-\omega^2 + 7j\omega + 10) + 2K(j\omega+1) = 0$
   • $\omega^4 - 7j\omega^3 - 10\omega^2 + 2Kj\omega + 2K = 0$
   • 將實部與虛部分開：
     實部：$\omega^4 - 10\omega^2 + 2K = 0$
     虛部：$-7\omega^3 + 2K\omega = 0$
   • 從虛部方程式解 $\omega$：
     $\omega(-7\omega^2 + 2K) = 0$
     $\omega = 0$ (這是極點 $s=0$ 的情況，不代表與虛軸交點) 或 $7\omega^2 = 2K$。
   • 將 $2K = 7\omega^2$ 代入實部方程式：
     $\omega^4 - 10\omega^2 + 7\omega^2 = 0$
     $\omega^4 - 3\omega^2 = 0$
     $\omega^2(\omega^2 - 3) = 0$
     $\omega^2 = 3$ (因為 $\omega \neq 0$)
     $\omega = \pm\sqrt{3}$
   • 計算此時的 $K$ 值：
     $2K = 7\omega^2 = 7 \times 3 = 21$
     $K = 10.5$
   • 因此，系統與虛軸的交點為 $s = \pm j\sqrt{3}$，對應的 $K = 10.5$。

5. 實根分離點 (Breakaway/Break-in Points)：

   • 令 $K = -\frac{s^2(s+2)(s+5)}{2(s+1)}$。
   • 對 $K$ 求導並令其為零：$\frac{dK}{ds} = 0$。
   • $s^2(s+2)(s+5) = s^2(s^2+7s+10) = s^4+7s^3+10s^2$
   • $2(s+1) = 2s+2$
   • $K(s) = -\frac{1}{2} \frac{s^4+7s^3+10s^2}{s+1}$

此題為典型的機電系統動力學建模問題，需要利用牛頓第二運動定律建立系統的運動方程式，再轉換為拉普拉斯域的傳遞函數。

核心觀念：

• 牛頓第二運動定律： $\sum F = ma$。
• 拉普拉斯轉換： 將時域方程式轉換為複頻域 (s-domain)。
• 傳遞函數： 輸出量的拉普拉斯轉換與輸入量的拉普拉斯轉換之比。

解題步驟：

我們需要對系統中的兩個質量 $M_1$ 和 $M_2$ 分別列寫運動方程式。假設所有位移 $x_1(t)$ 和 $x_2(t)$ 都是相對於平衡位置的。

對質量 $M_1$ 列寫運動方程式：
作用在 $M_1$ 上的力有：

1. 彈簧 $K_1$ 的力：$-K_1 x_1(t)$ (假設 $x_1$ 向右為正，彈簧受壓縮或伸長，力向左)
2. 阻尼器 $B_1$ 的力：$-B_1 \dot{x}_1(t)$ (力與速度方向相反)
3. 彈簧 $K_2$ 的力：$-K_2 (x_1(t) - x_2(t))$ (彈簧一端連 $M_1$，另一端連 $M_2$，力的大小與相對位移成正比，方向取決於相對位移)
4. 阻尼器 $B_2$ 的力：$-B_2 (\dot{x}_1(t) - \dot{x}_2(t))$ (同上，力與相對速度方向相反)

根據牛頓第二定律，$M_1 \ddot{x}_1(t) = \sum F_1$：
$M_1 \ddot{x}_1(t) = -K_1 x_1(t) - B_1 \dot{x}_1(t) - K_2 (x_1(t) - x_2(t)) - B_2 (\dot{x}_1(t) - \dot{x}_2(t))$
$M_1 \ddot{x}_1(t) + (B_1 + B_2) \dot{x}_1(t) + (K_1 + K_2) x_1(t) - K_2 x_2(t) - B_2 \dot{x}_2(t) = 0$

對質量 $M_2$ 列寫運動方程式：
作用在 $M_2$ 上的力有：

1. 彈簧 $K_2$ 的力：$K_2 (x_1(t) - x_2(t))$ (與 $M_1$ 上的彈簧 $K_2$ 力大小相等，方向相反)
2. 阻尼器 $B_2$ 的力：$B_2 (\dot{x}_1(t) - \dot{x}_2(t))$ (與 $M_1$ 上的阻尼器 $B_2$ 力大小相等，方向相反)
3. 阻尼器 $B_3$ 的力：$-B_3 \dot{x}_2(t)$ (力與速度方向相反)
4. 外力 $f(t)$：$f(t)$ (作用在 $M_2$ 上)

根據牛頓第二定律，$M_2 \ddot{x}_2(t) = \sum F_2$：
$M_2 \ddot{x}_2(t) = K_2 (x_1(t) - x_2(t)) + B_2 (\dot{x}_1(t) - \dot{x}_2(t)) - B_3 \dot{x}_2(t) + f(t)$
$M_2 \ddot{x}_2(t) + (B_2 + B_3) \dot{x}_2(t) + K_2 x_2(t) - K_2 x_1(t) - B_2 \dot{x}_1(t) = f(t)$

將方程式轉換為拉普拉斯域：
假設初始條件為零。
對 $M_1$ 的方程式：
$M_1 s^2 X_1(s) + (B_1 + B_2) s X_1(s) + (K_1 + K_2) X_1(s) - K_2 X_2(s) - B_2 s X_2(s) = 0$
$(M_1 s^2 + (B_1 + B_2) s + (K_1 + K_2)) X_1(s) - (K_2 + B_2 s) X_2(s) = 0$ (Eq. 1)

核心觀念

本題考查理想反相運算放大器與頻率相關阻抗：

• 理想運算放大器的反相端為虛地，且輸入端不取電流。
• 反相放大器傳遞函數為
  $\frac{V_o(s)}{V_i(s)}=-\frac{Z_f(s)}{Z_{in}(s)}.$
• 圖中第一級為反相放大器，第二級亦為反相放大器，因此兩級負號相消。

假設運算放大器為理想，且圖中 $R_2$ 與 $C_1$ 串聯、$R_4$ 與 $C_2$ 串聯。

解題方法

第一級反相放大器

第一級輸入阻抗為 $R_1$ 與 $(R_2+C_1)$ 的並聯：

$$Z_{in} = R_1\parallel\left(R_2+\frac{1}{sC_1}\right).$$

整理得

$$Z_{in} = \frac{R_1\left(1+sR_2C_1\right)} {1+s(R_1+R_2)C_1}.$$

第一級回授阻抗為 $R_3$ 與 $(R_4+C_2)$ 的並聯：

$$Z_f = R_3\parallel\left(R_4+\frac{1}{sC_2}\right) = \frac{R_3\left(1+sR_4C_2\right)} {1+s(R_3+R_4)C_2}.$$

因此第一級輸出 $V_1(s)$ 為

$$\frac{V_1(s)}{V_i(s)} = -\frac{Z_f}{Z_{in}}.$$

第二級反相放大器

第二級為純電阻反相放大器，因此

$$\frac{V_o(s)}{V_1(s)} = -\frac{R_6}{R_5}.$$

兩級串接後：

$$G(s)=\frac{V_o(s)}{V_i(s)} = \frac{R_6}{R_5}\frac{Z_f}{Z_{in}}.$$

代入數值：

$$\frac{R_6}{R_5}=\frac{3\text{ M}\Omega}{1\text{ M}\Omega}=3, \qquad \frac{R_3}{R_1} = \frac{5\text{ M}\Omega}{300\text{ k}\Omega} = \frac{50}{3}.$$

所以常數增益為

$$\frac{R_6}{R_5}\frac{R_3}{R_1}=50.$$

各時間常數為

$$R_4C_2=(5\text{ M}\Omega)(0.1\ \mu\text{F})=0.5,$$

核心觀念

相位裕度（phase margin, PM）是在增益交越頻率 $\omega_{gc}$ 處，開迴路相位距離 $-180^\circ$ 還差多少角度：

$$\mathrm{PM}=180^\circ+\angle G(j\omega_{gc}), \qquad |G(j\omega_{gc})|=1$$

僅知道系統是「無零點的二階系統」還不足以唯一決定相位裕度，因為相位裕度取決於開迴路傳遞函數與回授架構。以下採用標準單位回授二階系統，其開迴路傳遞函數為

$$G(s)=\frac{\omega_n^2}{s(s+2\zeta\omega_n)}$$

其中 $\omega_n$ 是自然頻率，$\zeta$ 是阻尼比。

解題方法

令 $r=\omega_{gc}/\omega_n$。在增益交越頻率，開迴路增益大小等於 1：

$$|G(j\omega_{gc})| =\frac{1}{r\sqrt{r^2+4\zeta^2}} =1$$

因此

$$r^4+4\zeta^2r^2-1=0$$

取正根可得

此題考查高增益對回授系統的影響，特別是其主要的缺點。

核心觀念：

• 回授系統 (Feedback System)： 系統的輸出被用來影響輸入的控制系統。
• 開迴路傳遞函數 (Open-loop Transfer Function)： 在回授路徑斷開時，從系統輸入到輸出的傳遞函數。
• 增益 (Gain)： 系統對輸入信號的放大比例。
• 穩定性 (Stability)： 系統在受到擾動後能否恢復到平衡狀態。
• 頻寬 (Bandwidth)： 系統能有效響應的頻率範圍。
• 雜訊 (Noise)： 系統中不需要的干擾信號。
• 飽和 (Saturation)： 系統的輸出或中間環節的輸出達到其物理極限。

解題步驟：

首先，我們需要理解「增加開迴路增益」(increasing the gain of the loop transfer function) 對回授系統可能產生的影響。

增加增益的好處：

1. 提高系統精度/減少穩態誤差： 對於許多系統（特別是包含積分項的系統），增加增益可以顯著降低穩態誤差。例如，在PID控制器中，比例增益 $K_p$ 的增加通常會減小穩態誤差。
2. 提高系統響應速度： 增加增益可以使系統更快地響應輸入信號的變化。
3. 提高系統對參數變化的魯棒性： 在一定範圍內，增加增益可以使系統對被控對象參數的變化不那麼敏感。
4. 提高相位邊界 (一定範圍內)： 適當增加增益有時可以提高相位邊界，從而改善穩定性。

增加增益的主要缺點：
然而，無限制地增加增益會帶來嚴重的問題，其中最主要的一個缺點是：

1. 降低系統的穩定性 (Reduced Stability)：

• 原理： 系統的穩定性通常由閉迴路極點的位置決定。開迴路增益的增加會改變閉迴路極點的位置。根據根軌跡的原則，增益的增加通常會使閉迴路極點向右移動（或在某些情況下，從左半平面移到右半平面）。
• 影響： 當增益增加到一定程度時，閉迴路極點會進入右半平面，導致系統變得不穩定，產生振盪甚至失控。

此題考查對回授控制系統輸入信號頻率特性的理解。題目中提到「input is the desired output」，這通常指的是參考信號 $R(s)$。

核心觀念：

• 回授控制系統 (Feedback Control System)： 系統的輸入是期望的輸出 (參考信號 $R(s)$)，系統的目標是使實際輸出 $Y(s)$ 盡可能等於 $R(s)$。
• 幅度頻譜 (Amplitude Spectrum)： 表示一個信號在不同頻率下的幅度大小。
• 理想系統 (Ideal System)： 指能夠完美實現其功能的系統，沒有任何誤差或失真。
• 頻率響應 (Frequency Response)： 系統對不同頻率輸入信號的輸出響應特徵。

解題步驟：

題目描述的是一個回授控制系統，其輸入是「期望的輸出」(desired output)。在標準的回授控制系統方塊圖中，這個「期望的輸出」通常就是參考信號 $R(s)$ (或稱為指令信號)。系統的目標是讓實際輸出 $Y(s)$ 盡可能地追蹤這個參考信號 $R(s)$。

我們需要考慮的是，在什麼條件下，這個閉迴路系統的「輸入」(參考信號 $R(s)$) 的幅度頻譜是「理想的」。

什麼是「理想的輸入信號」？
題目問的是「ideal amplitude spectrum of such a closed-loop system」，這句話可以有兩種理解：

1. 系統的「參考信號 $R(s)$」本身的幅度頻譜是理想的。
2. 系統的「閉迴路傳遞函數」的頻率響應特性，使得系統能夠完美地複製輸入信號，從而輸出信號的幅度頻譜與輸入信號的幅度頻譜完全相同（在系統的能力範圍內）。

通常，在控制系統的語境下，我們更關注第二種情況：系統能否忠實地重現輸入信號。

理想的閉迴路系統特性：
一個理想的閉迴路控制系統，應該能夠將輸入的參考信號 $R(s)$ 完美地傳遞到輸出 $Y(s)$，即 $Y(s) = R(s)$。這意味著閉迴路傳遞函數 $T(s) = \frac{Y(s)}{R(s)}$ 應該是一個常數 1。

如果 $T(s) = 1$ 對於所有頻率 $\omega$ 都成立，那麼系統的幅度頻譜將與輸入信號的幅度頻譜完全相同。
即 $|T(j\omega)| = 1$ 對於所有 $\omega$。

然而，實際的控制系統不可能做到這一點。

• 頻寬限制： 實際系統的頻寬是有限的。系統只能在一定的頻率範圍內（通常是低頻範圍）近似地保持 $|T(j\omega)| \approx 1$。在高頻時，由於系統的慣性、延遲等因素， $|T(j\omega)|$ 會衰減。
• 穩定性限制： 為了保證系統穩定，通常需要對閉迴路傳遞函數施加限制，例如增益裕度 (Gain Margin) 和相位裕度 (Phase Margin)。這意味著 $|T(j\omega)|$ 不可能在所有頻率上都等於 1。

所以，什麼是「理想的幅度頻譜」？
在控制系統的上下文中，當我們談論「理想的」頻率響應時，通常是指系統能夠在「有意義的」頻率範圍內（即系統需要響應的頻率範圍）盡可能地保持一個平坦的幅度響應，並且幅度值接近 1。

此題考查相位超前控制器 (Phase-Lead Controller) 的作用及優點。

核心觀念：

• 相位超前控制器 (Phase-Lead Controller)： 這種控制器在頻率響應上，會在某個頻率範圍內提供正的相位角（相位超前），同時對系統的增益也有一定影響。
• 相位邊界 (Phase Margin, PM)： 衡量系統穩定性的指標。增加相位邊界可以提高系統的穩定性。
• 增益穿越頻率 (Gain Crossover Frequency, $\omega_{gc}$)： 開迴路傳遞函數的增益 $|G(j\omega)| = 1$ (或 0 dB) 時的頻率。
• 頻寬 (Bandwidth)： 系統能有效響應的頻率範圍。
• 暫態響應 (Transient Response)： 系統從一個狀態變到另一個狀態時的響應特性，如超調量 (overshoot) 和響應時間 (settling time)。

解題步驟：

相位超前控制器通常具有以下形式的傳遞函數：
$G_c(s) = K_c \frac{s + z}{s + p}$
其中 $z < p$ (零點在左半平面，極點也在左半平面，但極點比零點更靠近虛軸)。
在頻率域，$G_c(j\omega) = K_c \frac{j\omega + z}{j\omega + p}$。
由於 $z < p$，在某個頻率範圍內，相位角 $\angle G_c(j\omega) = \arctan(\omega/z) - \arctan(\omega/p)$ 為正。

使用相位超前控制器可以獲得的主要優點是：

1. 提高系統的穩定性 (Improve System Stability)：
   • 原理： 相位超前控制器在關鍵頻率範圍內（通常是增益穿越頻率附近）提供額外的相位裕度。
   • 影響： 增加相位裕度可以使系統更穩定，減少暫態響應中的振盪，並提高對參數變化的魯棒性。這通常是使用相位超前控制器最主要的目的。

核心觀念

本題考查：

1. 由 Bode 圖的低頻、高頻斜率與相位判斷控制器型態。
2. 積分器對穩態誤差的改善作用。
3. 正弦穩態響應公式。
4. Unity feedback 的閉迴路頻率響應：

$$T(j\omega)=\frac{L(j\omega)}{1+L(j\omega)}$$

其中

$$L(j\omega)=G_c(j\omega)G(j\omega)$$

---

(a) 判斷控制器型態

由圖可見：

• 低頻段斜率約為 $-20\ \mathrm{dB/dec}$，表示含有一個積分器 $\frac{1}{s}$。
• 高頻段斜率約為 $+20\ \mathrm{dB/dec}$，表示含有一個微分器 $s$。
• 相位由低頻約 $-90^\circ$ 逐漸上升至高頻約 $+90^\circ$，也符合同時具有積分與微分作用的特性。

因此控制器必須同時包含比例、積分、微分三部分：

$$G_c(s)=K_p+\frac{K_i}{s}+K_ds$$

所以：

$$\boxed{\text{此控制器為 PID 控制器}}$$

---

(b) 與比例控制器 $G_c=1$ 比較穩態誤差

比例控制器 $G_c=1$ 不含積分器。若系統為單位回授，且輸入為單位階躍，比例控制器的系統型別通常為 Type 0，因此穩態誤差為有限非零值：

$$e_{\mathrm{ss}}=\frac{1}{1+K_p}$$

本題控制器含有一個積分器，因此開迴路傳遞函數在低頻具有：

$$G_c(s)\sim \frac{K_i}{s}$$

使系統至少增加一個原點極點，成為 Type 1 系統。對單位階躍輸入：

$$e_{\mathrm{ss}}=0$$

因此，此 PID 控制器可以改善系統的階躍穩態誤差。

$\boxed{\text{可以，因為 PID 含積分作用，使階躍穩態誤差降為零。}}$

---

(c) 控制器的正弦穩態輸出

輸入為：

$$u(t)=\cos(0.1t)$$

由 Bode 圖及題目給定資料：

$$20\log_{10}|G_c(j0.1)|=27\ \mathrm{dB}$$

因此：

$$|G_c(j0.1)| =10^{27/20} \approx 22.39$$

又因為：

$$\angle G_c(j0.1)=-88^\circ$$

正弦輸入通過頻率響應後，輸出振幅乘上增益，並產生相位偏移：

$$y_{\mathrm{ss}}(t) =|G_c(j0.1)| \cos\left(0.1t+\angle G_c(j0.1)\right)$$

所以：

$$\boxed{ y_{\mathrm{ss}}(t) =22.39\cos(0.1t-88^\circ) }$$

---

(d) 閉迴路系統的正弦穩態輸出

輸入為：

$$r(t)=\cos(100t)$$

1. 求開迴路頻率響應