111 年 國立中山大學機械與機電工程學系碩士班丙組《自動控制》

核心觀念

本題考二階微分方程的拉氏轉換、單位負回授的閉迴路特徵方程，以及根軌跡的實軸分段、漸近線、離去角與虛軸交越。推導微分方程的傳遞函數時，採用零初始條件。

解題方法

原卷圖中高度方程是 $\ddot h=k_1\alpha-k_2(E-\alpha)$；閉迴路圖是單位負回授，前向串接控制器 $Ks/(1-s)$ 與高度傳遞函數 $G(s)=H(s)/E(s)$。

(1) 求 $\alpha/E$ 與 $h/E$

代入 $k_1=2$、$k_2=k_3=k_4=1$，兩式可寫為

$$\ddot h=3\alpha-E,\qquad \ddot\alpha+\dot\alpha+\alpha=E.$$

拉氏轉換後，

$$(s^2+s+1)A(s)=E(s),$$

因此

$$\boxed{\frac{A(s)}{E(s)}=\frac{1}{s^2+s+1}}.$$

由高度方程可得

$$s^2H(s)=3A(s)-E(s).$$

代入 $A(s)/E(s)$：

$$\frac{H(s)}{E(s)} =\frac{1}{s^2}\left(\frac{3}{s^2+s+1}-1\right) =\boxed{\frac{(1-s)(s+2)}{s^2(s^2+s+1)}}.$$

代回 $s^2H=3A-E$，所得 $H/E=[3/(s^2+s+1)-1]/s^2$，與上式相同。

(2) 閉迴路根軌跡

令控制器為 $C(s)=Ks/(1-s)$。依方塊圖，開迴路傳遞函數為

$$L(s)=C(s)G(s) =\frac{Ks}{1-s}\cdot \frac{(1-s)(s+2)}{s^2(s^2+s+1)} =\frac{K(s+2)}{s(s^2+s+1)}.$$

其中依題目傳遞函數作理想代數約分。閉迴路特徵方程為 $1+L(s)=0$，所以

$$s(s^2+s+1)+K(s+2)=0,$$

即

$$\boxed{s^3+s^2+(1+K)s+2K=0}.$$

開迴路極點與零點

$$\text{極點：}\quad 0,\quad -\frac12\pm j\frac{\sqrt3}{2}; \qquad \text{零點：}\quad -2.$$

共有 3 條根軌跡分支，其中 1 條終止於有限零點 $-2$，另 2 條趨向無限遠。

實軸根軌跡與漸近線

實軸上，只有 $(-2,0)$ 區間的右側有奇數個實軸極點、零點，因此根軌跡落在 $(-2,0)$。此分支由 $s=0$ 出發，沿負實軸移向零點 $s=-2$。

漸近線條數為 $3-1=2$，交點（重心）為

$$\sigma_a =\frac{\sum p_i-\sum z_i}{3-1} =\frac{-1-(-2)}{2} =\frac12.$$

漸近線角度為

$$\theta_a=\frac{(2q+1)180^\circ}{2}, \qquad q=0,1,$$

即 $90^\circ$ 與 $270^\circ$。兩條漸近線為通過 $\operatorname{Re}(s)=1/2$ 的垂直線。

離去角

對上方複數極點 $p_+=-\frac12+j\frac{\sqrt3}{2}$：

$$\theta_d =180^\circ+\angle(p_++2)-\angle(p_+)-\angle(p_+-p_-)$$

核心觀念

本題考查：

• 單位階躍與單位斜坡輸入的拉普拉斯轉換。

• 初值定理：

  $y(0^+)=\lim_{s\to\infty}sY(s)$

• 終值定理：

  $y(\infty)=\lim_{s\to 0}sY(s)$

  使用終值定理的前提是 $sY(s)$ 的所有極點皆位於左半平面，且不能有右半平面極點或虛軸上的非原點極點。

• 穩態誤差定義：

  $e(t)=r(t)-y(t)$

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（1）單位階躍輸入

解題方法

單位階躍輸入為

$$r(t)=u(t)$$

其拉普拉斯轉換為

$$R(s)=\frac{1}{s}$$

已知轉移函數

$$G(s)=\frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{s-1}{(s+2)^2}$$

因此

$$Y(s)=G(s)R(s) =\frac{s-1}{s(s+2)^2}$$

初值 $y(0^+)$

利用初值定理：

$$y(0^+)=\lim_{s\to\infty}sY(s)$$

代入 $Y(s)$：

$$y(0^+) = \lim_{s\to\infty} \frac{s-1}{(s+2)^2} =0$$

因此

$$\boxed{y(0)=0}$$

終值 $y(\infty)$

先檢查穩定性。$Y(s)$ 的極點為

$$s=0,\qquad s=-2$$

其中 $s=0$ 來自單位階躍輸入；在計算 $sY(s)$ 後，該極點會消失。因此

$$sY(s)=\frac{s-1}{(s+2)^2}$$

只有左半平面極點 $s=-2$，可以使用終值定理：

$$y(\infty) = \lim_{s\to 0}sY(s) = \lim_{s\to 0} \frac{s-1}{(s+2)^2} = \frac{-1}{4}$$

所以

$$\boxed{y(\infty)=-\frac14}$$

直接反拉普拉斯驗算

將 $Y(s)$ 部分分式分解：

$$\frac{s-1}{s(s+2)^2} = -\frac{1}{4s} +\frac{1}{4(s+2)} -\frac{1}{2(s+2)^2}$$

因此

$$y(t) = -\frac14 +\frac14e^{-2t} -\frac12te^{-2t}$$

當 $t=0$：

$$y(0)= -\frac14+\frac14=0$$

當 $t\to\infty$ 時，$e^{-2t}$ 與 $te^{-2t}$ 皆趨近於零，因此

$$y(\infty)=-\frac14$$

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（2）單位斜坡輸入

輸入與輸出

單位斜坡輸入為

$$r(t)=t\,u(t)$$

其拉普拉斯轉換為

$$R(s)=\frac{1}{s^2}$$

因此

$$Y(s) = G(s)R(s) = \frac{s-1}{s^2(s+2)^2}$$

初值 $y(0^+)$

利用初值定理：

本題為問答題，旨在考察自動控制領域的基本概念。

Part A: 線性系統與非線性系統的差異

核心觀念： 線性系統滿足疊加原理 (Superposition Principle)，而非線性系統則不滿足。

詳解：
從控制系統的角度來看，線性系統與非線性系統最根本的差異在於是否滿足疊加原理 (Superposition Principle)。

• 線性系統 (Linear System)： 線性系統必須同時滿足齊次性 (Homogeneity) 和可加性 (Additivity)。
  • 齊次性：若輸入為 $u(t)$ 時，輸出為 $y(t)$；則輸入為 $c \cdot u(t)$ (其中 $c$ 為常數) 時，輸出應為 $c \cdot y(t)$。
  • 可加性：若輸入為 $u_1(t)$ 時，輸出為 $y_1(t)$；輸入為 $u_2(t)$ 時，輸出為 $y_2(t)$；則輸入為 $u_1(t) + u_2(t)$ 時，輸出應為 $y_1(t) + y_2(t)$。
    齊次性和可加性合併起來就是疊加原理。
• 非線性系統 (Non-linear System)： 非線性系統不滿足疊加原理。即使輸入是兩個簡單訊號的組合，其輸出也無法簡單地透過對單獨輸入的輸出進行疊加來得到。

這種差異帶來了深遠的影響：

1. 分析方法： 線性系統的分析和設計有成熟且強大的數學工具，如拉普拉斯轉換、傅立葉轉換、狀態空間法、根軌跡、頻率響應分析等。非線性系統的分析則複雜得多，常需要運用相平面法、李雅布諾夫穩定性分析、小信號線性化近似或數值模擬等方法。
2. 行為預測： 線性系統的行為在一定範圍內是可預測的，且輸出與輸入的比例關係是固定的。非線性系統可能展現出豐富且複雜的行為，例如飽和 (saturation)、死區 (dead zone)、遲滯 (hysteresis)、多重穩態點、混沌 (chaos) 等，使其行為難以預測且不易控制。
3. 控制器設計： 線性控制器（如 PID）的設計相對直接。非線性系統的控制器設計則更具挑戰性，可能需要非線性控制策略（如滑動模態控制、反步法等）或針對特定工作點進行線性化近似設計。

總結來說，最重要的一點是：線性系統的輸出與輸入之間存在著簡單的比例關係 (滿足疊加原理)，使得分析和設計相對容易；而非線性系統則不然，其行為模式更為複雜，分析和設計的難度也更高。

【答案】
線性系統滿足疊加原理（齊次性和可加性），而非線性系統則不滿足。這使得線性系統的分析和設計工具相對成熟，行為較易預測；而非線性系統則行為更複雜，分析和設計難度更高。

Part B: 工業應用中 PI 控制器比 PID 控制器更受青睞的原因

核心觀念： 實務上，PID 控制器中的微分 (D) 項可能帶來不穩定性或對雜訊敏感，而 PI 控制器則能提供足夠的控制性能，同時避免這些問題。

詳解：
在許多工業控制應用中，PI (Proportional-Integral) 控制器確實比 PID (Proportional-Integral-Derivative) 控制器更常被使用。主要原因如下：

1. 對雜訊的敏感性： 微分 (D) 項對輸入訊號的變化率敏感。如果感測器訊號中存在高頻雜訊，微分項會將這些雜訊放大，導致控制器輸出訊號劇烈波動，進而引起執行器（如閥門、馬達）的頻繁、不必要的動作，縮短其壽命並影響系統穩定性。
2. 系統的穩定性： 在某些系統中，微分項可能會引入額外的相位延遲，進而降低閉迴路系統的穩定裕度，甚至導致系統不穩定。
3. 易於調整： PI 控制器只有兩個參數（比例增益 $K_p$ 和積分增益 $K_i$）需要調整，相對 PID 的三個參數 ($K_p, K_i, K_d$) 而言，調整過程通常更簡單直觀。
4. 足夠的控制性能： 對於許多常見的工業過程（例如溫度控制、液位控制、壓力控制等），這些過程本身通常具有一定的慣性，反應較慢，動態特性較為平順。此時，比例 (P) 和積分 (I) 項已經能夠提供足夠的控制能力來達到所需的穩態精度和動態響應。積分項可以消除穩態誤差，比例項則提供快速響應。
5. 微分項的實際應用限制： 微分項的主要作用是預測未來趨勢，以提前修正偏差。

本題主要在考察線性時不變系統在頻域下的響應特性，特別是當輸入為諧波訊號時，輸出訊號的幅度和相位如何受系統傳遞函數的影響。

核心觀念：

1. 頻域響應： 對於線性時不變系統 (LTI)，當輸入訊號為諧波訊號（例如 $A \cos(\omega t + \phi)$）時，穩態輸出訊號也是諧波訊號，其頻率與輸入相同，但幅度和相位會發生改變。
2. 傳遞函數的頻域表示： 將傳遞函數 $G(s)$ 中的 $s$ 替換為 $j\omega$ ($G(j\omega)$)，可以得到系統在特定頻率 $\omega$ 下的頻率響應。$G(j\omega)$ 是一個複數，其幅值 $|G(j\omega)|$ 代表了系統對該頻率訊號的幅值增益，其相位角 $\angle G(j\omega)$ 代表了系統對該頻率訊號的相位延遲或超前。
3. 諧波訊號的疊加原理： 任何週期性訊號都可以透過傅立葉級數分解為一系列諧波訊號的疊加。若輸入是多個諧波的組合，輸出則是各個諧波獨立響應的疊加。
4. 傅立葉轉換與拉普拉斯轉換的關係： 當系統穩定且我們關注穩態響應時，拉普拉斯域的傳遞函數 $G(s)$ 在 $s=j\omega$ 的值 $G(j\omega)$ 與傅立葉轉換下的頻率響應是相同的。

解題過程：

給定的系統傳遞函數為 $G(s) = \frac{1}{s+1}$。
輸入訊號為 $x(t) = \cos(2\pi t)$。

步驟 1：確定輸入訊號的頻率和參數
輸入訊號 $x(t) = \cos(2\pi t)$ 是一個餘弦函數，其形式為 $A \cos(\omega t + \phi)$。

• 幅值 $A = 1$。
• 角頻率 $\omega = 2\pi$ rad/s。
• 初始相位 $\phi = 0$。

步驟 2：計算系統在該頻率下的頻率響應 $G(j\omega)$
將 $s$ 替換為 $j\omega$：
$G(j\omega) = \frac{1}{j\omega + 1}$
將 $\omega = 2\pi$ 代入：
$G(j2\pi) = \frac{1}{j2\pi + 1} = \frac{1}{1 + j2\pi}$

步驟 3：計算 $G(j\omega)$ 的幅值 $|G(j\omega)|$ 和相位角 $\angle G(j\omega)$

• 幅值 (Magnitude)：
  $|G(j2\pi)| = \left| \frac{1}{1 + j2\pi} \right| = \frac{|1|}{|1 + j2\pi|} = \frac{1}{\sqrt{1^2 + (2\pi)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + 4\pi^2}}$
• 相位角 (Phase)：
  $\angle G(j2\pi) = \angle \left( \frac{1}{1 + j2\pi} \right) = \angle(1) - \angle(1 + j2\pi)$
  $\angle(1) = 0$
  $\angle(1 + j2\pi) = \arctan\left(\frac{2\pi}{1}\right) = \arctan(2\pi)$
  所以，
  $\angle G(j2\pi) = 0 - \arctan(2\pi) = -\arctan(2\pi)$
  由於 $2\pi \approx 6.28$，$\arctan(2\pi)$ 是一個接近 $\frac{\pi}{2}$ (90度) 的負角度。

步驟 4：計算輸出訊號 $y(t)$ 的穩態響應
穩態輸出訊號 $y(t)$ 的形式為 $A_{out} \cos(\omega t + \phi_{out})$。

• 輸出幅值 $A_{out} = |G(j\omega)| \times A_{in}$
  $A_{out} = \frac{1}{\sqrt{1 + 4\pi^2}} \times 1 = \frac{1}{\sqrt{1 + 4\pi^2}}$
• 輸出相位 $\phi_{out} = \angle G(j\omega) + \phi_{in}$

本題主要考察二階系統的頻域響應特性，特別是共振峰值 ($M_{pw}$) 和共振頻率 ($\omega_r$) 的概念，以及如何從實驗數據推導系統參數。

核心觀念：

1. 二階系統的頻域響應： 對於標準二階系統 $G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\xi\omega_n s + \omega_n^2}$，其頻率響應為 $G(j\omega) = \frac{\omega_n^2}{(j\omega)^2 + 2\xi\omega_n (j\omega) + \omega_n^2} = \frac{\omega_n^2}{-\omega^2 + j2\xi\omega_n\omega + \omega_n^2}$。
2. 共振峰值 ($M_{pw}$) 和共振頻率 ($\omega_r$)：
   • 當系統阻尼比 $\xi < \frac{1}{\sqrt{2}}$ 時，系統的幅頻響應 $|G(j\omega)|$ 會在某個頻率 $\omega_r$ 處達到最大值 $M_{pw}$。
   • 共振頻率 $\omega_r = \omega_n \sqrt{1 - 2\xi^2}$ (僅當 $\xi < \frac{1}{\sqrt{2}}$)。
   • 共振峰值 $M_{pw} = \frac{1}{2\xi\sqrt{1-\xi^2}}$ (僅當 $\xi < \frac{1}{\sqrt{2}}$)。
3. 實驗測定： 透過對系統施加不同頻率的正弦訊號，並測量輸出訊號的幅值和相位，繪製幅頻響應曲線。曲線的最高點即為共振峰值 $M_{pw}$，對應的頻率即為共振頻率 $\omega_r$。
4. 參數求解： 給定 $M_{pw}$ 和 $\omega_r$，可以反推出系統的阻尼比 $\xi$ 和自然頻率 $\omega_n$。

解題過程：

Part 1: 如何實驗確定 $M_{pw}$ 和 $\omega_r$？

實驗確定 $M_{pw}$ 和 $\omega_r$ 的步驟如下：

1. 系統激勵： 對被控對象（即傳遞函數為 $G(s)$ 的系統）施加一個頻率可調的正弦訊號作為輸入 $x(t)$。
2. 訊號測量： 同時測量輸入訊號 $x(t)$ 和輸出訊號 $y(t)$。
3. 幅值和相位測量： 對於每個輸入頻率 $\omega$，記錄輸出訊號 $y(t)$ 的穩定狀態下的幅值 $|Y(\omega)|$ 和輸入訊號 $x(t)$ 的幅值 $|X(\omega)|$。計算出幅值增益 $|G(j\omega)| = \frac{|Y(\omega)|}{|X(\omega)|}$。同時，測量輸入與輸出之間的相位差 $\Delta\phi(\omega)$，即 $\angle G(j\omega) = \Delta\phi(\omega)$。
4. 繪製幅頻響應曲線： 以頻率 $\omega$ 為橫座標，以幅值增益 $|G(j\omega)|$ 為縱座標（通常用對數尺度，如 dB），繪製出幅頻響應曲線。
5. 確定 $M_{pw}$ 和 $\omega_r$：
   • 在繪製的幅頻響應曲線上找到最高點。該最高點的縱座標值即為共振峰值 $M_{pw}$。
   • 對應於最高點的橫座標值即為共振頻率 $\omega_r$。
     （注意：如果系統的幅頻響應曲線在 $\omega=0$ 時就達到最大值，則表示沒有共振現象，此時 $M_{pw} = |G(0)|$ 且 $\omega_r = 0$ 或不定義）。

Part 2: 給定 $M_{pw} = 1.75$ 和 $\omega_r = 30$ rad/sec，求解 $\xi$ 和 $\omega_n$

我們知道共振峰值 $M_{pw}$ 和共振頻率 $\omega_r$ 的公式為：
$M_{pw} = \frac{1}{2\xi\sqrt{1-\xi^2}}$
$\omega_r = \omega_n \sqrt{1 - 2\xi^2}$
這些公式僅適用於 $\xi < \frac{1}{\sqrt{2}}$ 的情況。由於 $M_{pw} = 1.75 > 1$，這表明存在共振，因此 $\xi < \frac{1}{\sqrt{2}}$。

步驟 1：由 $M_{pw}$ 求解 $\xi$
$1.75 = \frac{1}{2\xi\sqrt{1-\xi^2}}$
$2\xi\sqrt{1-\xi^2} = \frac{1}{1.75} = \frac{1}{7/4} = \frac{4}{7}$
平方兩邊：
$(2\xi)^2 (1-\xi^2) = \left(\frac{4}{7}\right)^2$
$4\xi^2 (1-\xi^2) = \frac{16}{49}$
$4\xi^2 - 4\xi^4 = \frac{16}{49}$
令 $x = \xi^2$：
$4x - 4x^2 = \frac{16}{49}$
$-4x^2 + 4x - \frac{16}{49} = 0$
$4x^2 - 4x + \frac{16}{49} = 0$
$x^2 - x + \frac{4}{49} = 0$
使用二次方程式求根公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$：
$x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(\frac{4}{49})}}{2(1)}$
$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - \frac{16}{49}}}{2}$
$x = \frac{1 \pm \sqrt{\frac{49-16}{49}}}{2}$
$x = \frac{1 \pm \sqrt{\frac{33}{49}}}{2}$
$x = \frac{1 \pm \frac{\sqrt{33}}{7}}{2}$
$x = \frac{7 \pm \sqrt{33}}{14}$
所以，$\xi^2 = \frac{7 + \sqrt{33}}{14}$ 或 $\xi^2 = \frac{7 - \sqrt{33}}{14}$。