113 年 國立中山大學機械與機電工程學系碩士班丙組《自動控制》

此題主要考查閉迴路系統的根軌跡繪製以及穩定性分析。

(a) 根軌跡繪製：
系統的開迴路傳遞函數為 $G(s)H(s) = \frac{K(s+6)}{s(s+1)(s+5)(s+9)}$。
根軌跡的特性點分析如下：

1. 極點 (Poles)：$s=0, s=-1, s=-5, s=-9$ (共 4 個)
2. 零點 (Zeros)：$s=-6$ (共 1 個)
3. 根軌跡段數：有 4 個極點，1 個零點，所以有 4 條根軌跡。
4. 實軸漸近線：
   • 漸近線數量：$p-z = 4-1 = 3$ 條。
   • 漸近線交點 (質心)：$\sigma = \frac{\sum \text{poles} - \sum \text{zeros}}{p-z} = \frac{(0 + (-1) + (-5) + (-9)) - (-6)}{4-1} = \frac{-15 + 6}{3} = \frac{-9}{3} = -3$。
   • 漸近線角度：$\theta_k = \frac{(2k+1)\pi}{p-z} = \frac{(2k+1)\pi}{3}$，其中 $k=0, 1, 2$。
     • $k=0: \theta_0 = \frac{\pi}{3} = 60^\circ$
     • $k=1: \theta_1 = \frac{3\pi}{3} = \pi = 180^\circ$
     • $k=2: \theta_2 = \frac{5\pi}{3} = -60^\circ$
5. 實軸根軌跡：
   • 考慮開迴路傳遞函數 $G(s)H(s) = \frac{K(s+6)}{s(s+1)(s+5)(s+9)}$。
   • 當 $K>0$ 時，根軌跡存在於 $G(s)H(s)$ 的極點與零點之間，或在實軸上某點右側有奇數個極點與零點。
   • 在實軸上，我們檢查區間：
     • $(-\infty, -9)$: 左側有 4 個極點，偶數，無根軌跡。
     • $(-9, -6)$: 左側有 3 個極點，1 個零點，總共 4 個，偶數，無根軌跡。
     • $(-6, -5)$: 左側有 3 個極點，1 個零點，總共 4 個，偶數，無根軌跡。
     • $(-5, -1)$: 左側有 2 個極點，1 個零點，總共 3 個，奇數，有根軌跡。
     • $(-1, 0)$: 左側有 1 個極點，1 個零點，總共 2 個，偶數，無根軌跡。
     • $(0, \infty)$: 左側有 0 個極點，1 個零點，總共 1 個，奇數，有根軌跡。
   • 因此，實軸根軌跡存在於 $(-5, -1)$ 和 $(0, \infty)$。
6. 根軌跡起點與終點：
   • 當 $K \to 0^+$，根軌跡從開迴路極點出發：$s=0, s=-1, s=-5, s=-9$。
   • 當 $K \to \infty$，根軌跡趨向開迴路零點或在漸近線上。由於零點為 $s=-6$，且只有一個零點，所以有三條根軌跡趨向虛軸或實軸的負無限大，沿著漸近線。
7. 虛軸交點：
   令 $1 + G(s)H(s) = 0 \implies s(s+1)(s+5)(s+9) + K(s+6) = 0$。
   展開：$(s^2+s)(s^2+14s+45) + K(s+6) = 0$
   $s^4 + 14s^3 + 45s^2 + s^3 + 14s^2 + 45s + K(s+6) = 0$
   $s^4 + 15s^3 + 59s^2 + 45s + Ks + 6K = 0$
   $s^4 + 15s^3 + 59s^2 + (45+K)s + 6K = 0$
   利用 Routh 陣列來找虛軸交點。令 $s=j\omega$。 $$\begin{array}{c|cccc} s^4 & 1 & 59 & 6K \\ s^3 & 15 & 45+K & 0 \\ s^2 & \frac{15 \times 59 - (45+K)}{15} & 6K & 0 \\ s^1 & \frac{(15 \times 59 - (45+K))(45+K) - 15 \times 6K}{15 \times 59 - (45+K)} & 0 & 0 \\ s^0 & 6K & 0 & 0 \\ \end{array}$$ 為了使系統穩定，所有第一欄的元素都必須大於零。
   $6K > 0 \implies K > 0$ (已知條件)。
   $15 \times 59 - (45+K) > 0 \implies 885 - 45 - K > 0 \implies 840 - K > 0 \implies K < 840$。
   $s^1$ 項的分子必須大於零。
   令 $a_{2} = \frac{840-K}{15}$。
   $\frac{a_2(45+K) - 15 \times 6K}{a_2} > 0$
   $a_2(45+K) - 90K > 0$
   $\frac{840-K}{15}(45+K) - 90K > 0$
   $(840-K)(45+K) - 1350K > 0$

此題考查機電系統的動力學建模與傳遞函數求解。我們需要對系統的兩個質量塊分別建立運動方程式，然後進行拉氏轉換並求解。

已知參數：
$M_1 = 8$ kg
$M_2 = 5$ kg
$B_1 = 4$ N-s/m
$B_2 = 3$ N-s/m
$K = 3$ N/m

首先，我們需要畫出受力圖，並根據牛頓第二運動定律建立運動方程式。假設 $x_1(t)$ 和 $x_2(t)$ 分別為質量塊 $M_1$ 和 $M_2$ 的位移，並定義向右為正。

對質量塊 $M_1$ 的分析：
作用在 $M_1$ 上的力有：

1. 輸入力 $f(t)$ (向右)。
2. 阻尼力 $B_1$ 產生的力，與 $M_1$ 的速度 $\dot{x}_1$ 有關，方向與速度相反，即 $-B_1 \dot{x}_1$。
3. 彈簧力 $K$ 產生的力，與 $M_1$ 和 $M_2$ 的相對位移 $(x_1 - x_2)$ 有關。如果 $x_1 > x_2$，彈簧被壓縮，力向左，即 $-K(x_1 - x_2)$。

所以，$M_1$ 的運動方程式為：
$M_1 \ddot{x}_1(t) = f(t) - B_1 \dot{x}_1(t) - K(x_1(t) - x_2(t))$
$M_1 \ddot{x}_1(t) + B_1 \dot{x}_1(t) + K x_1(t) = f(t) + K x_2(t)$

對質量塊 $M_2$ 的分析：
作用在 $M_2$ 上的力有：

1. 阻尼力 $B_1$ 產生的力，與 $M_1$ 和 $M_2$ 的相對速度 $(\dot{x}_1 - \dot{x}_2)$ 有關。如果 $\dot{x}_1 > \dot{x}_2$，則 $B_1$ 施加給 $M_2$ 的力是向右的，即 $B_1(\dot{x}_1 - \dot{x}_2)$。
2. 彈簧力 $K$ 產生的力，與 $M_1$ 和 $M_2$ 的相對位移 $(x_1 - x_2)$ 有關。如果 $x_1 > x_2$，彈簧被壓縮，力向右，即 $K(x_1 - x_2)$。
3. 阻尼力 $B_2$ 產生的力，與 $M_2$ 的速度 $\dot{x}_2$ 有關，方向與速度相反，即 $-B_2 \dot{x}_2$。

所以，$M_2$ 的運動方程式為：
$M_2 \ddot{x}_2(t) = B_1(\dot{x}_1(t) - \dot{x}_2(t)) + K(x_1(t) - x_2(t)) - B_2 \dot{x}_2(t)$
$M_2 \ddot{x}_2(t) + (B_1 + B_2) \dot{x}_2(t) + K x_2(t) = B_1 \dot{x}_1(t) + K x_1(t)$

現在，我們將這些運動方程式進行拉氏轉換（假設初始條件為零）：
$M_1 s^2 X_1(s) + B_1 s X_1(s) + K X_1(s) = F(s) + K X_2(s)$
$(M_1 s^2 + B_1 s + K) X_1(s) - K X_2(s) = F(s) \quad (1)$

$M_2 s^2 X_2(s) + (B_1 + B_2) s X_2(s) + K X_2(s) = B_1 s X_1(s) + K X_1(s)$
$- (B_1 s + K) X_1(s) + (M_2 s^2 + (B_1 + B_2) s + K) X_2(s) = 0 \quad (2)$

我們要求 $G_1(s) = X_1(s)/F(s)$ 和 $G_2(s) = X_2(s)/F(s)$。
我們可以將 $X_2(s)$ 用 $X_1(s)$ 和 $F(s)$ 來表示，或者反之。
從方程式 (1)，我們可以得到 $K X_2(s) = (M_1 s^2 + B_1 s + K) X_1(s) - F(s)$。
$X_2(s) = \frac{1}{K} [(M_1 s^2 + B_1 s + K) X_1(s) - F(s)]$

將此代入方程式 (2)：
$- (B_1 s + K) X_1(s) + (M_2 s^2 + (B_1 + B_2) s + K) \frac{1}{K} [(M_1 s^2 + B_1 s + K) X_1(s) - F(s)] = 0$
整理此式以求 $X_1(s)/F(s)$。
令 $A = M_1 s^2 + B_1 s + K$
令 $B = M_2 s^2 + (B_1 + B_2) s + K$
令 $C = B_1 s + K$
方程式 (1) 變為：$A X_1(s) - K X_2(s) = F(s)$
方程式 (2) 變為：$-C X_1(s) + \frac{B}{K} (A X_1(s) - F(s)) = 0$
$-C X_1(s) + \frac{B A}{K} X_1(s) - \frac{B}{K} F(s) = 0$
$(\frac{B A}{K} - C) X_1(s) = \frac{B}{K} F(s)$
$X_1(s) = \frac{B/K}{\frac{B A}{K} - C} F(s) = \frac{B}{B A - K C} F(s)$

所以，$G_1(s) = \frac{X_1(s)}{F(s)} = \frac{B}{B A - K C}$

核心觀念

本題考查理想運算放大器的反相放大器公式：

$$\frac{V_o}{V_i}=-\frac{Z_f}{Z_i}$$

理想運算放大器使用以下性質：

• 輸入端電流為零。
• 負回授下，反相端為虛接地。
• 第一級與第二級皆為反相放大器，因此兩次反相後總增益為正。

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解題方法

第一級運算放大器

由圖可知，輸入端的阻抗為 $R_1$ 與 $C_1$ 並聯：

$$Z_i=R_1\parallel \frac{1}{sC_1}$$

因此

$$Z_i=\frac{R_1}{1+sR_1C_1}$$

回授阻抗為 $R_2$ 與 $C_2$ 串聯：

$$Z_f=R_2+\frac{1}{sC_2} =\frac{1+sR_2C_2}{sC_2}$$

第一級增益為

$$G_1(s)=-\frac{Z_f}{Z_i}$$

代入得

$$G_1(s) =-\frac{(1+sR_2C_2)(1+sR_1C_1)} {sR_1C_2}$$

第二級運算放大器

第二級為一般反相放大器，因此

$$G_2(s)=-\frac{R_4}{R_3}$$

總轉移函數為

$$G(s)=G_1(s)G_2(s)$$

所以

$$G(s) = \frac{R_4}{R_3} \frac{(1+sR_2C_2)(1+sR_1C_1)} {sR_1C_2}$$

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代入數值

先將單位換算：

$$R_1=500\,\text{M}\Omega=5\times10^8\ \Omega$$ $$R_2=20\,\text{M}\Omega=2\times10^7\ \Omega$$ $$R_3=1\,\text{k}\Omega,\qquad R_4=50\,\text{k}\Omega$$ $$C_1=0.01\,\mu\text{F}=10^{-8}\ \text{F}$$

此題為簡答題，共包含 10 個子題，每題需判斷敘述的真偽並簡要說明理由。

A. 錯誤 (False)。
理由：傅立葉級數中的基本頻率 (fundamental frequency) 是指週期訊號中最低的非零頻率成分，也就是訊號重複的頻率。最高頻率成分則稱為諧波 (harmonic)，是基本頻率的整數倍。

B. 錯誤 (False)。
理由：共振峰 (resonance peaks) 通常表示系統在特定頻率附近對輸入訊號的響應幅度非常大。在理想的控制系統設計中，我們通常希望避免過大的共振，以確保系統的穩定性和響應的平滑性，防止訊號放大失真或系統損壞。雖然在某些應用中，如濾波器設計，特定的共振可能是有益的，但對於一般的控制系統，過大的共振峰並非期望的特性。

C. 正確 (True)。
理由：對於一個標準的一階系統，其傳遞函數為 $G(s) = \frac{K}{\tau s + 1}$，時間常數 $\tau$ 與系統的頻寬 (bandwidth) 直接相關。頻寬通常定義為幅度響應下降到最大值 $1/\sqrt{2}$（或 -3dB）時的角頻率。對於一階系統，其幅度響應 $|G(j\omega)| = \frac{K}{\sqrt{(\tau\omega)^2 + 1}}$。當 $\omega = 1/\tau$ 時，幅度 $|G(j/\tau)| = \frac{K}{\sqrt{1+1}} = \frac{K}{\sqrt{2}}$。因此，時間常數 $\tau$ 直接決定了系統的頻寬為 $1/\tau$。

D. 錯誤 (False)。
理由：脈衝響應 (impulse response) 分析在控制系統設計中具有重要的實務應用。透過脈衝響應，我們可以了解系統在接收到一個瞬時輸入後如何隨時間衰減或變化，這能提供系統穩定性、響應速度、阻尼特性等關鍵資訊。許多系統的辨識方法（如系統辨識）也是基於測量其脈衝響應來建立數學模型。

E. 正確 (True)。
理由：根據線性時不變 (LTI) 系統的疊加原理 (superposition principle) 和時移不變性 (time-invariance)，一個 LTI 系統的輸出完全由其輸入和脈衝響應決定。任何任意輸入訊號都可以被視為一系列離散時間的脈衝（或連續時間的狄拉克 δ 函數）的加權和。