113 年 國立中山大學機械與機電工程學系碩士班乙組《應用力學（含靜力學與動力學）》

核心觀念

均質物體的質心可視為各部分質心的加權平均，權重為體積。將物體分成三個長方體，使用：

$$\bar{x}=\frac{\sum V_i x_i}{\sum V_i},\qquad \bar{y}=\frac{\sum V_i y_i}{\sum V_i},\qquad \bar{z}=\frac{\sum V_i z_i}{\sum V_i}$$

解題方法

依圖中座標方向，$x$ 方向尺寸為 $40$ mm，$z$ 方向尺寸為 $50$ mm。三個長方體上下置中，因此各塊的底面中心在水平方向都位於 $x=20$ mm、$z=25$ mm。以底層長方體底面為 $y=0$，整理各塊體積與質心：

長方體	尺寸 $(x\times y\times z)$（mm）	體積 $V_i$（mm$^3$）	質心 $(x_i,y_i,z_i)$（mm）
A	$40\times10\times50$	$20000$	$(20,5,25)$
B	$20\times15\times30$	$9000$	$(20,17.5,25)$

資訊判讀

目前附上的掃描圖內容是「電磁學」試題，未包含題目所述的 Figure 2 支架、三條纜線、各點座標與力的大小。因此無法得到唯一的數值答案；以下以圖中各纜線端點座標與力大小代入，即可完成計算。

核心觀念

將三個力移至點 $D$ 時，必須同時保留：

1. 合力 $\mathbf R$；
2. 對點 $D$ 的合力矩 $\mathbf M_D$。

等效力偶系統為

$$\mathbf R=\mathbf F_1+\mathbf F_2+\mathbf F_3$$ $$\mathbf M_D=\sum_i \mathbf r_i\times\mathbf F_i$$

其中 $\mathbf r_i$ 是由 $D$ 指向各力作用線上任一點的位置向量。

解題方法

設三條纜線的力大小分別為 $T_1,T_2,T_3$。

由題意：

• $\mathbf F_1$ 位於 $xy$ 平面，因此 $z$ 分量為零；
• $\mathbf F_2$ 位於 $xz$ 平面，因此 $y$ 分量為零；
• $\mathbf F_3$ 朝負 $z$ 方向。

因此可寫成

$$\mathbf F_1=T_1(u_{1x}\mathbf i+u_{1y}\mathbf j)$$

且

$$u_{1x}^2+u_{1y}^2=1$$ $$\mathbf F_2=T_2(u_{2x}\mathbf i+u_{2z}\mathbf k)$$

且

$$u_{2x}^2+u_{2z}^2=1$$ $$\mathbf F_3=-T_3\mathbf k$$

其中各 $u$ 值應由 Figure 2 中的幾何尺寸求得。例如，若纜線由點 $A$ 連至點 $B$，其單位方向向量為

$$\mathbf u_{AB} = \frac{\mathbf r_B-\mathbf r_A} {\left|\mathbf r_B-\mathbf r_A\right|}$$

故纜線力為

$$\mathbf F=T\mathbf u_{AB}$$

將三力相加：

$$\mathbf R = (T_1u_{1x}+T_2u_{2x})\mathbf i + T_1u_{1y}\mathbf j + (T_2u_{2z}-T_3)\mathbf k$$

這就是作用於 $D$ 點的等效合力，單位為 N。

若三力作用點相對於 $D$ 的位置向量分別為

$$\mathbf r_1=x_1\mathbf i+y_1\mathbf j+z_1\mathbf k$$ $$\mathbf r_2=x_2\mathbf i+y_2\mathbf j+z_2\mathbf k$$ $$\mathbf r_3=x_3\mathbf i+y_3\mathbf j+z_3\mathbf k$$

則對 $D$ 點的等效力偶為

$$\mathbf M_D = \mathbf r_1\times\mathbf F_1 + \mathbf r_2\times\mathbf F_2 + \mathbf r_3\times\mathbf F_3$$

逐項展開：

核心觀念

本題需結合：

1. 平拋運動：由球 $B$ 的落差與水平距離求碰撞後飛行時間。
2. 水平方向動量守恆：求碰撞後方塊 $A$ 的速度。
3. 碰撞後，方塊 $A$ 在球 $B$ 落地的同一段時間內所滑行的距離。

圖中球 $B$ 由高 $3\,\text{m}$ 處水平飛出，落點距階梯邊緣水平距離為 $5\,\text{m}$。

解題方法

球 $B$ 碰撞後作水平拋射，垂直方向初速為零，因此飛行時間為

$$3=\frac{1}{2}(9.8)t^2$$ $$t=\sqrt{\frac{6}{9.8}}=0.7825\,\text{s}$$

由水平方向等速運動：

$$v_B t=5$$ $$v_B=\frac{5}{0.7825}=6.390\,\text{m/s}$$

碰撞前，方塊 $A$ 速度為 $13\,\text{m/s}$，球 $B$ 靜止。以向右為正方向，水平方向動量守恆：

$$(5)(13)+(10)(0)=5v_A+10v_B$$

代入 $v_B=6.390\,\text{m/s}$：

$$65=5v_A+10(6.390)$$ $$v_A=0.220\,\text{m/s}$$

核心觀念

本題使用剛體平面轉動的機械能守恆：

• 細長桿繞固定鉸鏈 $A$ 轉動。
• 桿的轉動慣量為
  $I_A=\frac{1}{3}mL^2$
• 重力位能與彈簧彈性能互相轉換。
• 系統無摩擦，因此
  $T_1+V_{g1}+V_{s1}=T_2+V_{g2}+V_{s2}$

由圖可知，固定點 $B$ 與鉸鏈 $A$ 的距離為 $4\ \text{m}$，桿長 $AC=4\ \text{m}$，彈簧連接 $B$ 與桿端 $C$。

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幾何關係與彈簧長度

令桿端 $C$ 到固定點 $B$ 的距離為彈簧長度 $s$。由餘弦定理：

$$s^2=4^2+4^2+2(4)(4)\cos\theta$$

因此：

當 $\theta=30^\circ$ 時，

$$s_1=\sqrt{32+32\cos30^\circ}$$ $$s_1=7.727\ \text{m}$$

彈簧伸長量為

$$x_1=s_1-5=2.727\ \text{m}$$

當 $\theta=90^\circ$ 時，

$$s_2=\sqrt{32}=5.657\ \text{m}$$ $$x_2=s_2-5=0.657\ \text{m}$$

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動能

桿繞 $A$ 的轉動慣量：

$$I_A=\frac{1}{3}(18)(4^2)=96\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$$

初始角速度為 $3\ \text{rad/s}$，故初始動能：

$$T_1=\frac{1}{2}I_A\omega_1^2 =\frac{1}{2}(96)(3^2) =432\ \text{J}$$

末狀態動能為：

$$T_2=\frac{1}{2}(96)\omega_2^2$$

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重力位能變化

桿質心位於 $AC$ 的中點，距離鉸鏈 $A$ 為 $2\ \text{m}$。

核心觀念

本題考查差動錐齒輪的相對運動與齒面無滑動條件。設：

• $D$ 為齒輪 $C$ 的中心；
• $DE=80\text{ mm}$；
• 上、下兩板齒輪 $A、B$ 的節線距離為 $20\text{ mm}$，因此齒輪 $C$ 的節半徑為
  $r_C=\frac{20}{2}=10\text{ mm}.$
• 齒輪 $A、B$ 的等效節半徑為 $r_A=r_B=80\text{ mm}$；
• $+\boldsymbol{e}_y$ 取圖中 $y$ 軸向上；
• $+\boldsymbol{e}_{DE}$ 取由 $D$ 指向 $E$。

已知

$$\boldsymbol{\omega}_A=+2\boldsymbol{e}_y\ \text{rad/s}, \qquad \boldsymbol{\omega}_B=-6\boldsymbol{e}_y\ \text{rad/s}.$$

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解題方法

設軸 $DE$ 繞 $y$ 軸的角速度為 $\boldsymbol{\Omega}$，齒輪 $C$ 相對於軸 $DE$ 的自轉角速度為 $\boldsymbol{\omega}_C$。

由於軸 $DE$ 繞 $y$ 軸轉動，齒輪 $C$ 中心 $D$ 的平移速度大小為

$$v_D=DE\cdot \Omega=80\Omega.$$

在上方齒輪 $A$ 與齒輪 $C$ 的接觸點，無滑動條件為

$$80\Omega+10\omega_C=80(2).$$

在下方齒輪 $B$ 與齒輪 $C$ 的接觸點，因接觸位置位於齒輪 $C$ 的另一側，齒輪 $C$ 自轉造成的切向速度方向相反，因此