111 年 國立中山大學機械與機電工程學系碩士班乙組《應用力學（含靜力學與動力學）》

本題主要考驗直接積分法求面積質心以及面積對 y 軸的一階矩。

首先，我們需要確定曲線 $y = kx^2$ 中的常數 $k$。從圖中可知，當 $x=a$ 時，$y=h$，因此有 $h = ka^2$，解得 $k = \frac{h}{a^2}$。所以曲線方程式為 $y = \frac{h}{a^2}x^2$。

（a）求面積質心 $\bar{x}$：
對於一個由曲線 $y=f(x)$、x 軸以及直線 $x=a$ 所圍成的區域，其面積 $A$ 和質心 $\bar{x}$ 可由以下積分求得：
$A = \int_{0}^{a} y \, dx = \int_{0}^{a} \frac{h}{a^2}x^2 \, dx$
$A = \frac{h}{a^2} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{a} = \frac{h}{a^2} \left( \frac{a^3}{3} - 0 \right) = \frac{ah}{3}$

面積對 y 軸的一階矩 $M_y$ 定義為：
$M_y = \int_{0}^{a} x \, dA = \int_{0}^{a} x (y \, dx) = \int_{0}^{a} x \left( \frac{h}{a^2}x^2 \right) \, dx$

核心觀念

本題考查：

• 簡支梁支承反力
• 集中力造成剪力圖的跳躍
• 集中力矩造成彎矩圖的跳躍
• 剪力與彎矩的關係：$\dfrac{dM}{dx}=V$

由圖可知，三個 $400\ \text{N}$ 的力作用線，分別位於接點 $C,D,E$ 右方 $150\ \text{mm}$ 處。因此每個載重對梁 $AB$ 可等效為：

• 接點處向下集中力 $400\ \text{N}$
• 順時針集中力矩

$$M_0=400(150)=60000\ \text{N}\cdot\text{mm} =60\ \text{N}\cdot\text{m}$$

幾何位置為

$$AC=150\ \text{mm},\quad CD=300\ \text{mm},\quad DE=300\ \text{mm},\quad EB=150\ \text{mm}$$

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解題方法

1. 求支承反力

梁長為

$$AB=150+300+300+150=900\ \text{mm}$$

垂直力平衡：

$$A_y+B_y-3(400)=0$$ $$A_y+B_y=1200\ \text{N}$$

以 $A$ 點取力矩。三個集中力作用於 $C,D,E$，且每個接點另有 $60\ \text{N}\cdot\text{m}$ 的順時針力矩：

$$B_y(0.9)-400(0.15)-400(0.45)-400(0.75)-3(60)=0$$ $$0.9B_y-60-180-300-180=0$$ $$B_y=800\ \text{N}$$

因此

$$A_y=1200-800=400\ \text{N}$$

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2. 剪力圖

集中力矩不會造成剪力跳躍，只有集中力會改變剪力。

由左至右：

• $A$ 點後：$V=+400\ \text{N}$
• $C$ 點受 $400\ \text{N}$ 向下力後：$V=0$
• $D$ 點受 $400\ \text{N}$ 向下力後：$V=-400\ \text{N}$
• $E$ 點受 $400\ \text{N}$ 向下力後：$V=-800\ \text{N}$
• $B$ 點反力 $+800\ \text{N}$ 後回到零

剪力圖數值如下：

$$V_{AC}=+400\ \text{N}$$ $$V_{CD}=0$$ $$V_{DE}=-400\ \text{N}$$ $$V_{EB}=-800\ \text{N}$$

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3. 彎矩圖

彎矩圖的斜率等於剪力；通過集中力矩位置時，彎矩圖會產生跳躍，跳躍量為 $60\ \text{N}\cdot\text{m}$。

在 $A$ 點：

$$M_A=0$$

區間 $AC$

$$M_{C^-}=0+400(0.15)=60\ \text{N}\cdot\text{m}$$

在 $C$ 點，集中力矩使彎矩圖向上跳 $60\ \text{N}\cdot\text{m}$：

$$M_{C^+}=60+60=120\ \text{N}\cdot\text{m}$$

區間 $CD$

因為剪力為零，彎矩保持不變：

$$M_{D^-}=120\ \text{N}\cdot\text{m}$$

通過 $D$ 點集中力矩後：

核心觀念

本題考查兩物體間及下方地面間的靜摩擦力，並利用「開始滑動瞬間，靜摩擦力達到最大值」：

$$f_{s,\max}=\mu_s N$$

繩索為理想繩索，因此繩張力均為 $T$。上方 $20\text{ kg}$ 方塊與下方 $30\text{ kg}$ 方塊間、以及下方方塊與地面間皆有摩擦。

受力分析

上方方塊質量為 $20\text{ kg}$，其鉛直方向平衡，因此兩方塊間正向力為

$$N_{12}=20g$$

當下方方塊受到向左的力 $P$ 即將向左運動時，繩索使上方方塊有向右運動趨勢。因此：

• 上方方塊受繩張力 $T$ 向右；
• 上方方塊受摩擦力 $f_{12}$ 向左；
• 下方方塊受上方方塊的摩擦力向右；
• 地面对下方方塊的摩擦力也向右。

由於繩索約束使兩方塊有相反方向的運動趨勢，接觸面即將發生相對滑動，所以接觸面摩擦力達最大值：

$$f_{12}=\mu_sN_{12} =0.40(20g)$$

上方方塊水平方向平衡：

$$T=f_{12}=0.40(20g)$$

下方方塊與地面間的正向力為兩方塊總重量：

核心觀念

本題考查彈簧位能轉換成動能，使用機械能守恆。滑環沿水平桿運動且無摩擦，因此重力位能不變，桿的正向力也不作功。

由圖可知，$A$ 到水平桿的垂直距離為 $l$；滑環從初始位置 $B$ 移到 $C$ 時，$C$ 正好位於 $A$ 的正下方。彈簧原長為 $l$。

解題方法

初始時，滑環位於距離 $C$ 水平位置 $x_0$ 處。由直角三角形可得初始彈簧長度：

$$AB_0=\sqrt{l^2+x_0^2}$$

因此初始彈簧伸長量為：

$$\Delta_0=\sqrt{l^2+x_0^2}-l$$

核心觀念

箱子沿固定斜面下滑，受重力沿斜面的分量與動摩擦力作用。以沿斜面向下為正方向，利用牛頓第二定律求加速度，再用等加速度運動公式連結 $A$、$B$ 兩點的速度。

解題方法

由圖可讀出：斜面長度 $AB=6\ \text{m}$，斜面與水平夾角為 $15^\circ$；箱子從 $A$ 沿斜面向下滑至 $B$，動摩擦係數為 $\mu_k=0.40$，離開 $B$ 時速率為 $2.5\ \text{m/s}$。

取沿斜面向下為正。法向力為 $N=mg\cos15^\circ$，因此動摩擦力大小為 $\mu_k mg\cos15^\circ$，方向沿斜面向上。沿斜面列牛頓第二定律：

$$ma=mg\sin15^\circ-\mu_k mg\cos15^\circ$$ $$a=g(\sin15^\circ-0.40\cos15^\circ) \approx -1.251\ \text{m/s}^2$$

核心觀念

本題分成兩個階段：子彈嵌入木塊的短暫碰撞，以及木塊與手推車之間的相對滑動。碰撞時用水平方向動量守恆求碰撞後速度；滑動時用動摩擦力求木塊與手推車的加速度，再由相對運動求木塊滑過的距離。

解題方法

圖中子彈以 $480\ \text{m/s}$ 向右射入 $5\ \text{kg}$ 的木塊；木塊位於可自由滾動、質量為 $4\ \text{kg}$ 的手推車上，接觸面的動摩擦係數為 $0.50$。圖示的 $x$ 是木塊相對手推車的水平位移。依「射入木塊」的題意，碰撞後子彈留在木塊內。

先考慮碰撞。子彈質量為 $0.030\ \text{kg}$，木塊碰撞前靜止。碰撞時間很短，摩擦力對系統的衝量可忽略，因此子彈與木塊的水平動量守恆：

$$(0.030)(480)=(5+0.030)v_0$$ $$v_0=2.863\ \text{m/s}$$

碰撞後，木塊與子彈組成的物體向右滑動，手推車起初靜止。令 $m=5.03\ \text{kg}$ 為木塊與子彈的合質量，手推車質量 $M=4\ \text{kg}$。滑動期間的摩擦力大小為

$$F_k=\mu_k mg$$

摩擦力使木塊減速、手推車向右加速，因此

$$a_{\text{木塊}}=-\mu_k g$$

核心觀念

球與地面尚在滑動時，地面施加動摩擦力。這個摩擦力會同時改變球心的平移速度與球的角速度；當接觸點相對地面的速度降為零時，球開始無滑動滾動。

依標準均質實心球模型，球的轉動慣量為 $I_G=\frac{2}{5}mR^2$。

解題方法

圖中球的直徑為 $200\text{ mm}$、質量為 $6\text{ kg}$，初速向右 $5\text{ m/s}$，並有 $9\text{ rad/s}$ 的逆時針後旋；球與球道間的動摩擦係數為 $0.10$。因此初始接觸點向右滑動，摩擦力向左。

取向右為平移正方向，逆時針為角速度正方向。球半徑為

$$R=\frac{0.200}{2}=0.100\text{ m}$$

接觸點相對地面的初始滑動速度為

$$v_{\text{滑},0}=v_0+R\omega_0 =5+(0.100)(9)=5.9\text{ m/s}$$

法向力 $N=mg$，所以動摩擦力大小為 $F_k=\mu_kmg$。由平移運動方程：

$$a_G=-\frac{F_k}{m}=-\mu_k g$$

摩擦力對球心產生順時針力矩，因此角加速度為