109 年 國立中山大學機械與機電工程學系碩士班乙組《應用力學（含靜力學與動力學）》

核心觀念

本題考查：

• 光滑導軌的反作用力方向必垂直於導軌。
• 整體平衡條件：$\sum F_x=0$、$\sum F_y=0$、$\sum M=0$。
• 細長均勻桿的重量 $W$ 作用於桿的中點。
• 彈性繩張力已知為 $T=5W$。

由圖可知，$A$ 沿鉛直導軌運動，因此導軌反力為水平方向；$B$ 沿水平導軌運動，因此導軌反力為鉛直方向。繩子對 $A$ 的作用力向上，對 $B$ 的作用力向左。

解題方法

將桿 $AB$、滑塊 $A,B$ 視為整體。設桿長為 $l$，且 $\theta$ 為桿與水平線的夾角。

取 $A$ 點為力矩中心。設 $B$ 導軌反力為 $N_B$，則：

• $N_B$ 對 $A$ 的力矩為 $N_B(l\cos\theta)$；
• $B$ 點繩張力 $T$ 為水平向左，力矩為 $T(l\sin\theta)$；
• 桿重 $W$ 作用於中點，力矩為 $W\left(\dfrac{l}{2}\cos\theta\right)$。

先由鉛直方向平衡：

$$T+N_B-W=0$$

因此

$$N_B=W-T$$

再取 $A$ 點力矩平衡：

核心觀念

本題考查：

• 光滑或粗糙導引面上的受力平衡。
• 靜摩擦力條件：
  $|F|\leq \mu_s N$
• 無重細桿為二力構件，因此桿端作用力大小相等、方向沿桿軸線。
• 桿與鉛直方向夾角為 $\theta=30^\circ$，故桿力 $T$ 的分量為
  $T_x=T\sin\theta,\qquad T_y=T\cos\theta$

因為 $P$ 向下作用於 A，桿必須受拉，對 A 產生向右上方的拉力；對 B 則產生向左下方的拉力。

解題方法

設桿的拉力為 $T$，兩滑塊重量皆為 $10\ \text{N}$，摩擦係數為

$\mu_s=0.30$

1. 滑塊 B 的受力

B 在水平導引面上，因此：

• 垂直方向正向力：
  $N_B=10+T\cos\theta$
• 水平方向摩擦力需平衡桿力的水平分量：
  $F_B=T\sin\theta$

平衡條件要求

$T\sin\theta\leq \mu_s N_B$

代入 $N_B$：

$T\sin\theta\leq \mu_s(10+T\cos\theta)$

要使 $P$ 最大，桿力 $T$ 必須盡可能大，因此 B 的摩擦力達到極限：

$T\sin\theta=\mu_s(10+T\cos\theta)$

整理得

$T(\sin\theta-\mu_s\cos\theta)=10\mu_s$

$T=\frac{10\mu_s}{\sin\theta-\mu_s\cos\theta}$

代入 $\theta=30^\circ$：

本題考驗動量守恆定律與能量守恆定律的應用，並結合圓周運動的力學分析。題目描述一顆子彈射入一個懸掛的木塊，隨後木塊擺動至最大角度。我們需要計算子彈的初速度以及碰撞瞬間繩索的張力。

本題可以分成兩個階段來分析：

1. 碰撞階段（瞬間）：子彈射入木塊，並嵌入其中。由於碰撞時間極短，可以認為系統（子彈 + 木塊）在水平方向上的動量守恆。
2. 擺動階段：碰撞後，子彈和木塊組成的整體以初速度開始擺動，直到達到最大擺動角度。在這個階段，系統的機械能守恆（忽略空氣阻力）。

第一階段：碰撞與動量守恆

設子彈質量為 $m_b = 6 \, \text{g} = 0.006 \, \text{kg}$。
設木塊質量為 $m_w = 1000 \, \text{g} = 1.000 \, \text{kg}$。
碰撞後的總質量為 $M = m_b + m_w = 0.006 + 1.000 = 1.006 \, \text{kg}$。

設子彈的初速度為 $v$。
碰撞前系統的總動量（假設子彈水平射入，碰撞前木塊靜止）：
$P_{before} = m_b v + m_w (0) = m_b v$。

碰撞後，子彈和木塊一起擺動，設碰撞瞬間的共同速度為 $v'$。
碰撞後系統的總動量：
$P_{after} = M v' = (m_b + m_w) v'$。

根據動量守恆定律（在水平方向上）：
$m_b v = (m_b + m_w) v'$
$0.006 \, \text{kg} \times v = (1.006 \, \text{kg}) \times v'$
$v = \frac{1.006}{0.006} v' = \frac{1006}{6} v' = \frac{503}{3} v'$。

我們需要先求出 $v'$ 才能得到 $v$。

第二階段：擺動與能量守恆

碰撞後，木塊（含子彈）以速度 $v'$ 開始擺動。
繩索長度 $l = 2.2 \, \text{m}$。
最大擺動角度 $\theta = 60^\circ$。

設最低點（碰撞瞬間）的高度為參考點，即勢能為零。
在最低點，系統的總機械能為動能：
$E_{below} = \frac{1}{2} M (v')^2$。

當擺動到最大角度 $\theta$ 時，速度變為零，系統的總機械能為勢能。
此時的高度 $h$ 相對於最低點，可以通過幾何關係計算：
$h = l - l \cos\theta = l(1 - \cos\theta)$。
$h = 2.2 \, \text{m} \times (1 - \cos 60^\circ) = 2.2 \, \text{m} \times (1 - 0.5) = 2.2 \times 0.5 = 1.1 \, \text{m}$。

在最高點，系統的總機械能為勢能：
$E_{top} = M g h$。

根據機械能守恆定律：
$E_{below} = E_{top}$
$\frac{1}{2} M (v')^2 = M g h$
$\frac{1}{2} (v')^2 = g h$
$(v')^2 = 2 g h$
$v' = \sqrt{2 g h}$。

代入數值：
$g \approx 9.8 \, \text{m/s}^2$
$h = 1.1 \, \text{m}$
$v' = \sqrt{2 \times 9.8 \, \text{m/s}^2 \times 1.1 \, \text{m}} = \sqrt{21.56} \, \text{m/s} \approx 4.643 \, \text{m/s}$。

計算子彈的初速度 $v$

現在我們有了 $v'$，可以計算子彈的初速度 $v$：
$v = \frac{503}{3} v'$
$v = \frac{503}{3} \times \sqrt{21.56} \, \text{m/s}$

核心觀念

本題考查粗糙水平面上球體的滑動摩擦力，以及平移與轉動的動力學。球體最後完全靜止，因此必須同時滿足：

• 質心平移速度降為零；
• 角速度也降為零。

實心球的轉動慣量為

$$I_G=\frac{2}{5}mr^2$$

圖中球體向右平移，且自轉方向使接觸點相對地面向右滑動，因此動摩擦力向左。

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解題方法

動摩擦力大小為

$$f_k=\mu_k mg$$

由質心平移運動：

$$\sum F_x=-f_k=ma$$

因此

$$a=-\mu_k g$$

由轉動方程式：

$$\sum M_G=-f_kr=I_G\alpha$$

代入 $I_G=\frac{2}{5}mr^2$：

$$-\mu_k mgr=\frac{2}{5}mr^2\alpha$$

所以角加速度為

$$\alpha=-\frac{5\mu_k g}{2r}$$

1. 求所需初始角速度 $\omega_0$

平移速度在時間 $\tau$ 後降為零：

$$0=v_0-\mu_k g\tau$$

故

$$\tau=\frac{v_0}{\mu_k g}$$

角速度同時降為零：

$$0=\omega_0-\frac{5\mu_k g}{2r}\tau$$

代入 $\tau$：