109 年 國立中山大學機械與機電工程學系碩士班丙組《自動控制》

此題考查二階系統的暫態響應分析。首先需由圖示建立系統的運動方程式，進而推導出傳遞函數，最後利用二階系統的暫態響應公式計算超前量與穩定時間。

由圖示可知，系統的運動方程式為：
$M\ddot{x}(t) + f_v\dot{x}(t) + Kx(t) = f(t)$

將題目給定的參數代入：
$3\ddot{x}(t) + 2.4\dot{x}(t) + 2x(t) = f(t)$

此為一標準的二階系統形式 $M\ddot{x}(t) + B\dot{x}(t) + Kx(t) = f(t)$，或者寫成 $m\ddot{x}(t) + c\dot{x}(t) + kx(t) = f(t)$。

為了得到傳遞函數 $\frac{X(s)}{F(s)}$，我們對運動方程式進行拉普拉斯轉換，假設初始條件為零，即 $x(0)=0$ 且 $\dot{x}(0)=0$：
$3s^2X(s) + 2.4sX(s) + 2X(s) = F(s)$
$X(s)(3s^2 + 2.4s + 2) = F(s)$
$\frac{X(s)}{F(s)} = \frac{1}{3s^2 + 2.4s + 2}$

標準二階系統的傳遞函數形式為 $\frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}$。
為了與標準形式比較，我們將上式除以 3：
$\frac{X(s)}{F(s)} = \frac{1/3}{s^2 + \frac{2.4}{3}s + \frac{2}{3}} = \frac{1/3}{s^2 + 0.8s + \frac{2}{3}}$

比較係數：
$\omega_n^2 = \frac{2}{3} \implies \omega_n = \sqrt{\frac{2}{3}} \approx 0.8165$ rad/s
$2\zeta\omega_n = 0.8$

此題考查 RC 電路的傳遞函數以及單位階躍響應。題目給出了一個由電阻和電容組成的電路，並要求計算其輸入輸出電壓的傳遞函數以及單位階躍輸入下的響應。

由圖示可知，這是一個由兩個運算放大器組成的電路。
第一個運算放大器是一個反向放大器，其輸入為 $V_{in}$，輸出為 $V_1$。
電路中，輸入電阻為 $10k\Omega$，反向輸入端的電阻為 $10k\Omega$。
因此，第一個運算放大器的傳遞函數為：
$\frac{V_1(s)}{V_{in}(s)} = -\frac{R_{feedback}}{R_{in}} = -\frac{10k\Omega}{10k\Omega} = -1$

第二個運算放大器構成了一個積分器電路。
輸入端連接的電阻為 $R = 10k\Omega$，反饋元件為一個 $0.1\mu F$ 的電容。
運算放大器的輸入阻抗視為無限大，且虛短、虛斷。
對於積分器，其傳遞函數為 $\frac{V_o(s)}{V_1(s)} = -\frac{1}{sRC}$。
其中 $R = 10k\Omega = 10^4 \Omega$，$C = 0.1\mu F = 0.1 \times 10^{-6} F = 10^{-7} F$。
$RC = (10^4)(10^{-7}) = 10^{-3}$。
所以，第二個運算放大器的傳遞函數為：
$\frac{V_o(s)}{V_1(s)} = -\frac{1}{s(10^{-3})} = -\frac{1000}{s}$

現在，我們可以計算整個電路的傳遞函數 $G(s) = \frac{V_o(s)}{V_{in}(s)}$。
$G(s) = \frac{V_o(s)}{V_1(s)} \times \frac{V_1(s)}{V_{in}(s)}$
$G(s) = \left(-\frac{1000}{s}\right) \times (-1) = \frac{1000}{s}$

接下來，我們需要找到單位階躍輸入響應，即當 $V_{in}(t) = u(t)$ 時，$V_o(t)$ 是什麼。
$V_{in}(s) = \mathcal{L}\{u(t)\} = \frac{1}{s}$。
$V_o(s) = G(s) V_{in}(s) = \frac{1000}{s} \times \frac{1}{s} = \frac{1000}{s^2}$。

核心觀念

本題利用 Bode 圖的漸近線與相位變化，估計開迴路傳遞函數：

• 積分器 $1/s$：低頻相位約為 $-90^\circ$。
• 一個零點：使高頻斜率增加 $+20\ \text{dB/dec}$，相位增加 $+90^\circ$。
• 一個極點：使高頻斜率減少 $-20\ \text{dB/dec}$，相位減少 $-90^\circ$。
• 增益裕度與相位裕度定義為
  $GM=\frac{1}{|G(j\omega_{pc})|},$
  $PM=180^\circ+\angle G(j\omega_{gc}),$
  其中 $\omega_{pc}$ 為相位交越頻率，$\omega_{gc}$ 為增益交越頻率。

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一、由 Bode 圖估計 $G(s)$

由相位圖可觀察到：

1. 低頻相位約為 $-90^\circ$，表示含有一個原點極點。
2. 相位在約 $\omega=10\ \text{rad/s}$ 附近上升，表示存在一個零點。
3. 高頻相位又回到約 $-90^\circ$，表示另有一個極點。

由相位峰值約為 $-53^\circ$，且峰值頻率約為 $10\ \text{rad/s}$，可取：

• 零點：$\omega_z\approx 5\ \text{rad/s}$；
• 非原點極點：$\omega_p\approx 20\ \text{rad/s}$。

因此傳遞函數形式為

$$G(s)=K\frac{s+5}{s(s+20)}.$$

由幅值圖在 $\omega=1000\ \text{rad/s}$ 時約為 $-30\ \text{dB}$：

$$|G(j1000)| \approx K\frac{1000}{1000(1000)} =\frac{K}{1000}.$$

因為

$$20\log_{10}|G(j1000)|\approx -30\ \text{dB},$$

所以

$$|G(j1000)|\approx 10^{-30/20}=0.0316,$$

得到

$$K\approx 31.6\approx 30.$$

故估計

$$\boxed{G(s)\approx \frac{30(s+5)}{s(s+20)}}.$$

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二、增益裕度與相位裕度

傳遞函數的相位為

$$\angle G(j\omega) = -90^\circ +\tan^{-1}\left(\frac{\omega}{5}\right) -\tan^{-1}\left(\frac{\omega}{20}\right).$$

增益交越頻率

令 $|G(j\omega_{gc})|=1$：

$$30\frac{\sqrt{\omega^2+25}} {\omega\sqrt{\omega^2+400}}=1.$$

平方後得

$$900(\omega^2+25)=\omega^2(\omega^2+400).$$

令 $x=\omega^2$，則

$$x^2-500x-22500=0.$$

取正根：

$$\omega_{gc}\approx 23.3\ \text{rad/s}.$$

此時

核心觀念

本題考查正回授增益 $K\ge 0$ 下的根軌跡，包括：

• 開迴路極點與零點
• 實軸根軌跡範圍
• 根軌跡漸近線
• 分離點與匯入點
• 利用 Routh–Hurwitz 判定閉迴路穩定範圍

開迴路傳遞函數為

$$G(s)=\frac{K(s+2)}{s(s+1)(s^2+20s+200)}.$$

其中

$$s^2+20s+200=0 \Rightarrow s=-10\pm j10.$$

因此開迴路極點為

$$0,\quad -1,\quad -10+j10,\quad -10-j10,$$

開迴路零點為

$$s=-2.$$

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(a) 根軌跡

1. 實軸根軌跡

實軸上的根軌跡判斷規則為：某點右側若有奇數個實軸極點與零點，該區段即為根軌跡。

依序排列：

$$-\infty \quad -2 \quad -1 \quad 0$$

可得實軸根軌跡為

$$(-\infty,-2)\quad\text{以及}\quad(-1,0).$$

2. 根軌跡分支數

共有 $4$ 個開迴路極點，因此共有 $4$ 條根軌跡分支：

• 1 條分支終止於有限零點 $s=-2$
• 3 條分支沿漸近線趨向無限遠

3. 重要根軌跡特徵

• $s=0$ 與 $s=-1$ 之間的兩條分支，從 $0$ 與 $-1$ 出發，於實軸分離後成為共軛複數根。
• 複數極點 $-10\pm j10$ 所對應的分支會往右側移動，並與左側分支形成根軌跡。
• 在 $s=-4.063$ 附近有匯入點，兩條複數分支進入實軸。
• 在 $s=-0.5735$ 附近有分離點，兩條實軸分支離開實軸。

複數極點的出發角約為

$$\theta_d=48.33^\circ,\quad -48.33^\circ.$$

因此繪圖時，根軌跡應由 $-10\pm j10$ 以此方向離開。

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(b) $K$ 的穩定範圍

閉迴路特徵方程式為

$$1+G(s)=0.$$

因此

$$s(s+1)(s^2+20s+200)+K(s+2)=0.$$

展開得

$$s^4+21s^3+220s^2+(200+K)s+2K=0.$$

建立 Routh 表：

$$\begin{array}{c|ccc} s^4 & 1 & 220 & 2K\\ s^3 & 21 & 200+K & 0\\ s^2 & \dfrac{4420-K}{21} & 2K & 0\\ s^1 & \dfrac{(4420-K)(200+K)-882K}{4420-K} &0&0\\ s^0 & 2K&& \end{array}$$

為使系統穩定，第一欄必須全部為正。

首先要求

$$K>0,$$

且

$$4420-K>0.$$

$s^1$ 列的條件為

$$(4420-K)(200+K)-882K>0.$$

整理：

$$884000+3338K-K^2>0,$$

或

$$K^2-3338K-884000<0.$$

其正根為

$$K=\frac{3338+\sqrt{14678244}}{2} \approx 3584.61.$$

因此穩定範圍為

$$\boxed{0<K<3584.61}.$$

在 $K=3584.61$ 時，系統位於臨界穩定狀態；$K=0$ 時因為原點有極點，並非嚴格穩定。

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(c) 漸近線

極點數 $n=4$，零點數 $m=1$，因此漸近線數為