109 年 國立中山大學機械與機電工程學系碩士班乙組《材料力學》

此題考驗對材料力學中應力-應變曲線的基本概念，特別是區分工程應力-應變與真實應力-應變曲線的差異。

解題說明：
對於延性材料（ductile material），其應力-應變曲線通常包含以下幾個區域：

1. 彈性區 (Elastic Region)：在此區域，應力與應變成正比（符合虎克定律），移除應力後材料會恢復原狀。
2. 比例極限 (Proportional Limit)：彈性區的終點，超過此點後應力與應變不再呈線性關係。
3. 彈性極限 (Elastic Limit)：材料能夠恢復原狀的最高應力點，通常非常接近比例極限。
4. 降伏點 (Yield Point)：材料開始發生顯著塑性變形的點。對於某些材料（如低碳鋼），會有一個明顯的降伏點（上降伏點和下降伏點）；對於其他延性材料，則可能只有一個屈服強度（Yield Strength），通常定義為 0.2% 應變下的應力值。
5. 加工硬化區 (Strain Hardening Region)：在降伏點之後，材料持續承受塑性變形，但所需的應力會隨著應變的增加而提高，這是由於材料內部的晶格結構發生了變化。
6. 極限強度/抗拉強度 (Ultimate Tensile Strength, UTS)：材料所能承受的最大應力。在此點之後，材料開始出現頸縮（necking）現象。
7. 斷裂點 (Fracture Point)：材料最終斷裂時的應力與應變。

工程應力-應變曲線 (Engineering Stress-Strain Curve)：

• 應力定義為 $\sigma_e = \frac{P}{A_0}$，其中 $P$ 是施加的載荷，$A_0$ 是材料的初始橫截面積。

此題為名詞解釋題，涵蓋材料力學中的基本概念，旨在測試考生對關鍵術語的理解程度。

解題說明：

(a) General state of stress (6%)
解釋： 在三維空間中，材料內某一點的應力狀態，由通過該點的平面上作用的所有法向應力（normal stresses）和剪切應力（shear stresses）所描述。通常用一個 $3 \times 3$ 的應力張量（stress tensor）來表示。
圖示：
繪製一個微小立方體單元，並在其六個面上標示出垂直於面的法向應力（$\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z$）以及面內垂直於邊緣的剪切應力（$\tau_{xy}, \tau_{yx}, \tau_{xz}, \tau_{zx}, \tau_{yz}, \tau_{zy}$）。由於剪切應力張量是對稱的，即 $\tau_{xy} = \tau_{yx}$ 等，因此只需要標示出 9 個獨立的應力分量：$\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z, \tau_{xy}, \tau_{xz}, \tau_{yz}$。

$$\begin{bmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z \end{bmatrix}$$

其中 $\tau_{xy} = \tau_{yx}$, $\tau_{xz} = \tau_{zx}$, $\tau_{yz} = \tau_{zy}$。
【答案】 應力張量及其圖示。

(b) Hooke's law (2%)
解釋： 在材料的彈性範圍內，應力與應變成正比關係的定律。對於線彈性材料，此比例常數稱為材料的彈性模數（Young's Modulus）或剪力彈性模數（Shear Modulus），取決於所考慮的應力類型。
公式：
單軸拉伸/壓縮：$\sigma = E \epsilon$
其中 $\sigma$ 是正向應力，$E$ 是楊氏模數，$\epsilon$ 是正向應變。
剪切：$\tau = G \gamma$
其中 $\tau$ 是剪應力，$G$ 是剪力彈性模數，$\gamma$ 是剪應變。
【答案】 解釋並包含上述公式。

核心觀念

此題考查懸臂梁的剪力圖（$V$-Diagram）與彎矩圖（$M$-Diagram），使用：

$$\frac{dV}{dx}=-w(x),\qquad \frac{dM}{dx}=V(x)$$

其中 $w(x)$ 為分布載重。集中力會造成剪力圖垂直跳躍；集中力矩會造成彎矩圖垂直跳躍。

取 $x=0$ 為固定端 $A$，向右為正，彎矩以逆時針為正；剪力圖採左截面向上為正，彎矩圖正值代表正彎矩。

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1. 等效載重與支承反力

均佈載重

前 $6\ \text{ft}$ 承受 $2\ \text{kip/ft}$：

$$R_1=2(6)=12\ \text{kip}$$

作用位置在：

$$x=3\ \text{ft}$$

三角形分布載重

後 $3\ \text{ft}$ 的載重由 $2\ \text{kip/ft}$ 線性遞減至零：

$$R_2=\frac{1}{2}(3)(2)=3\ \text{kip}$$

其作用位置距離大端 $1\ \text{ft}$，因此：

$$x=6+1=7\ \text{ft}$$

固定端反力

垂直力平衡：

$$A_y=12+3+4=19\ \text{kip}$$

水平力平衡：

$$A_x=0$$

固定端力矩平衡：

$$M_A =12(3)+3(7)+4(9)+20$$ $$\boxed{M_A=113\ \text{kip}\cdot\text{ft}}$$

固定端反力矩方向為逆時針。

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2. 剪力圖

區段 $0\le x\le6$

此區間載重為 $2\ \text{kip/ft}$，故：

$$V(x)=19-2x$$

重要位置：

$$V(0)=19\ \text{kip}$$ $$V(6)=19-2(6)=7\ \text{kip}$$

因此剪力圖由 $+19$ 以斜率 $-2\ \text{kip/ft}$ 線性下降至 $+7\ \text{kip}$。

區段 $6\le x\le9$

令 $t=x-6$，三角形載重函數為：

$$w(t)=2-\frac{2}{3}t$$

因此：

$$V(t)=7-\int_0^t\left(2-\frac{2}{3}s\right)ds$$ $$V(t)=7-2t+\frac{t^2}{3}$$

在 $x=9$，即 $t=3$：

$$V(9^-)=7-2(3)+\frac{3^2}{3}=4\ \text{kip}$$

末端有向下集中力 $4\ \text{kip}$，故剪力圖跳降：

$$V(9^+)=4-4=0$$

剪力圖關鍵值為：

位置	剪力
$x=0$	$+19\ \text{kip}$
$x=6$	$+7\ \text{kip}$
$x=9^-$	$+4\ \text{kip}$
$x=9^+$	$0$

剪力圖形狀：前段為直線下降，後段為向上凹的二次曲線，末端因 $4\ \text{kip}$ 集中力跳回零。

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3. 彎矩圖

固定端彎矩為負彎矩：

$$M(0)=-113\ \text{kip}\cdot\text{ft}$$

區段 $0\le x\le6$

由 $\dfrac{dM}{dx}=V$：

$$M(x)=\int(19-2x)\,dx$$

核心觀念

本題考查簡支梁集中力作用下的：

• 支承反力
• 剪力圖（V-Diagram）
• 彎矩圖（M-Diagram）
• 集中力造成剪力圖的垂直跳躍
• 剪力與彎矩的關係：$\dfrac{dM}{dx}=V$

取 A 點為 $x=0$，向右為正；彎矩正號採下凹（sagging）為正。

梁長為

$$L=125+600+75=800\ \text{mm}$$

集中力位置為：

• $800\ \text{N}$：$x=125\ \text{mm}$
• $1500\ \text{N}$：$x=125+600=725\ \text{mm}$

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解題方法

1. 求支承反力

垂直力平衡：

$$A_y+B_y-800-1500=0$$ $$A_y+B_y=2300\ \text{N}$$

對 A 點取力矩：

$$B_y(800)-800(125)-1500(725)=0$$

因此

$$B_y=\frac{800(125)+1500(725)}{800}$$ $$B_y=1484.375\ \text{N}\approx1484\ \text{N}$$

代回垂直力平衡：

$$A_y=2300-1484.375$$ $$A_y=815.625\ \text{N}\approx816\ \text{N}$$

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剪力圖

採用「截面左側向上為正剪力」的慣例。

各區段剪力

區段一：$0<x<125\ \text{mm}$

$$V=A_y=815.625\ \text{N}$$

通過 $800\ \text{N}$ 集中力

剪力下降 $800\ \text{N}$：

$$V=815.625-800=15.625\ \text{N}$$

區段二：$125<x<725\ \text{mm}$

$$V=15.625\ \text{N}$$

通過 $1500\ \text{N}$ 集中力

剪力下降 $1500\ \text{N}$：

$$V=15.625-1500=-1484.375\ \text{N}$$

區段三：$725<x<800\ \text{mm}$

$$V=-1484.375\ \text{N}$$

通過 B 點反力

剪力上升 $1484.375\ \text{N}$：

$$V=-1484.375+1484.375=0$$

剪力圖關鍵數值

位置	剪力
A 點右側	$+815.625\ \text{N}$
$800\ \text{N}$ 力右側	$+15.625\ \text{N}$
$1500\ \text{N}$ 力右側	$-1484.375\ \text{N}$
B 點右側	$0$

示意如下：

V (N)
 ^
 | +815.625 ─────────────
 |                       │ −800
 |  +15.625 ─────────────┘
 |                                      │ −1500
 | −1484.375 ──────────────────────────┘
 |                                                        │ +1484.375
 |                                                        └── 0
 +------------------------------------------------------------> x
 A          125 mm                         725 mm       800 mm

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彎矩圖

集中力之間沒有分布載重，因此各區段剪力為常數，彎矩圖呈直線。

區段一：$0\le x\le125\ \text{mm}$

$$M(x)=A_yx$$ $$M(x)=815.625x$$

核心觀念

本題為左端固定、右端自由的懸臂梁，長度為

$$L=6+4=10\ \text{ft}$$

載重包括：

• 均佈載重：$2\ \text{kip/ft}$，作用於 $0\le x\le6\ \text{ft}$
• 集中力：$10\ \text{kip}$，作用於 $x=6\ \text{ft}$
• 集中力：$8\ \text{kip}$，作用於 $x=10\ \text{ft}$
• 自由端順時針力矩：$40\ \text{kip}\cdot\text{ft}$

取截面左側內力向上為剪力正號，梁下凹（sagging）為彎矩正號。

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解題方法

1. 求固定端反力

均佈載重的合力為

$$R_w=2(6)=12\ \text{kip}$$

作用位置在均佈載重區中央，即 $x=3\ \text{ft}$。

垂直力平衡：

$$A_y-12-10-8=0$$

因此

$$A_y=30\ \text{kip}$$

以固定端取力矩：

$$M_A-12(3)-10(6)-8(10)-40=0$$ $$M_A=216\ \text{kip}\cdot\text{ft}$$

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2. 剪力圖 $V$

區段一：$0\le x<6$

截面右側共有：

• 均佈載重右側合力：$2(6-x)$
• $10\ \text{kip}$
• $8\ \text{kip}$

因此剪力為

$$V(x)=-\left[2(6-x)+10+8\right]$$ $$\boxed{V(x)=2x-30\ \text{kip}} \qquad (0\le x<6)$$

重要位置：

$$V(0)=-30\ \text{kip}$$ $$V(6^-)=2(6)-30=-18\ \text{kip}$$

$x=6$ 的集中力

向右通過 $10\ \text{kip}$ 集中力時，剪力上升 $10\ \text{kip}$：

$$V(6^+)=-18+10=-8\ \text{kip}$$

區段二：$6<x<10$

截面右側只有 $8\ \text{kip}$ 集中力，因此

$$\boxed{V(x)=-8\ \text{kip}} \qquad (6<x<10)$$

$x=10$ 的集中力

向右通過 $8\ \text{kip}$ 集中力後：

$$V(10)=0$$

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3. 彎矩圖 $M$

區段一：$0\le x\le6$

截面右側各載重對截面的力矩總和為

$$M(x) = -\left[ 2(6-x)\left(\frac{6-x}{2}\right) +10(6-x) +8(10-x) +40 \right]$$

整理得

$$\boxed{M(x)=-(216-18x-x^2)\ \text{kip}\cdot\text{ft}} \qquad (0\le x\le6)$$

即

$$M(x)=x^2+18x-216 \quad\text{若將負號展開表示}$$

重要位置：

$$M(0)=-216\ \text{kip}\cdot\text{ft}$$ $$M(6)=-72\ \text{kip}\cdot\text{ft}$$

區段二：$6\le x\le10$

截面右側只有 $8\ \text{kip}$ 與自由端力矩：

$$M(x) = -\left[8(10-x)+40\right]$$

因此

$$\boxed{M(x)=8x-120\ \text{kip}\cdot\text{ft}} \qquad (6\le x\le10)$$

重要位置：

$$M(6)=-72\ \text{kip}\cdot\text{ft}$$

核心觀念

本題考查：

• 集中力偶對剪力圖與彎矩圖的影響。
• 樑的平衡方程式。
• 剪力與彎矩的關係：

$$\frac{dM}{dx}=V$$

本題樑上只有力偶，沒有分布力與集中力，因此跨距內剪力為常數；每一個集中力偶會使彎矩圖產生跳躍，但不會造成剪力圖跳躍。

依圖示，左端與右端力偶方向為順時針，中點力偶方向為逆時針，三者大小皆為 $M_0$。

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解題方法

取鉛直向上為正，逆時針力矩為正。

1. 求支承反力

鉛直方向平衡：

$$\sum F_y=0$$ $$A_y+B_y=0$$

以 $A$ 點取矩：

$$\sum M_A=0$$ $$B_yL-M_0+M_0-M_0=0$$

因此：

$$B_y=\frac{M_0}{L}$$ $$A_y=-\frac{M_0}{L}$$

所以 $A$ 點反力向下，$B$ 點反力向上。

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2. 剪力圖 $V$

集中力偶不會改變剪力，因此在 $0<x<L$：

$$V=A_y=-\frac{M_0}{L}$$

剪力圖關鍵值為：

• $A$ 點左側：$V=0$
• $A$ 點右側至 $B$ 點左側：

$$V=-\frac{M_0}{L}$$

• $B$ 點受到向上的反力後，剪力跳回 $0$。

剪力圖為整段高度 $-\dfrac{M_0}{L}$ 的水平線：

$$\boxed{V(x)=-\frac{M_0}{L}\qquad(0<x<L)}$$

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3. 彎矩圖 $M$

以左端截面為基準。集中力偶會使彎矩圖產生垂直跳躍，跨距內則依剪力呈線性變化。

區段一：$0<x<\dfrac{L}{2}$

左側外力包含 $A_y$ 與左端順時針力偶 $M_0$：

$$M(x)=A_yx-M_0$$

代入 $A_y=-\dfrac{M_0}{L}$：

$$M(x)=-\frac{M_0}{L}x-M_0$$

因此：

$$M(0^+)=-M_0$$ $$M\left(\frac{L}{2}^-\right) =-\frac{M_0}{L}\frac{L}{2}-M_0 =-\frac{3M_0}{2}$$

中點力偶造成跳躍

中點為逆時針力偶 $M_0$，因此彎矩圖向上跳升 $M_0$：

$$M\left(\frac{L}{2}^+\right) =-\frac{3M_0}{2}+M_0 =-\frac{M_0}{2}$$

區段二：$\dfrac{L}{2}<x<L$

此時：

$$M(x)=A_yx-M_0+M_0$$ $$M(x)=-\frac{M_0}{L}x$$

因此：

核心觀念

兩端支承各可視為剛度為 $k$ 的彈簧。$B$ 點受向右的軸力 $P$ 後，兩段桿件與各自的支承彈簧串聯；每一側的桿件軸向變形與彈簧位移相加，得到該側的等效柔度。

由圖可知，$AB$ 長 $2a$、直徑為 $d$；$BC$ 長 $a$、直徑為 $\frac{3}{4}d$。兩端反力的方向都向左，且力平衡要求其大小總和為 $P$。

解題方法

令 $R_A$、$R_C$ 為支承對桿件的反力大小。$A$、$B$、$C$ 三點的位移均向右。由桿件伸長與支承彈簧變形的相對位置，可表示為：

$$\text{固定端}\;-\;\boxed{k}_A\;-\;A \xrightarrow[\text{桿件伸長}]{u_B-u_A} B \xrightarrow[\text{桿件伸長}]{u_B-u_C} C\;-\;\boxed{k}_C\;-\;\text{固定端}$$

其中 $u_A=R_A/k$、$u_C=R_C/k$。兩段桿件的軸向變形分別為

$$u_B-u_A=\frac{R_A(2a)}{EA_1}, \qquad u_B-u_C=\frac{R_Ca}{EA_2}.$$

截面積為

$$A_1=\frac{\pi d^2}{4}, \qquad A_2=\frac{\pi}{4}\left(\frac{3d}{4}\right)^2 =\frac{9\pi d^2}{64}.$$

因此，從 $B$ 點到固定端的總位移關係為

核心觀念

本題考查複合軸的扭轉變形。扭轉公式為

$$\phi=\frac{TL}{GJ}$$

其中：

• $T$：內部扭矩
• $L$：軸段長度
• $G$：剪力模數
• $J$：截面的極慣性矩

中段 $AB$ 由實心軸與套管組成，兩者焊接於剛性法蘭，因此具有相同的扭轉角，但扭矩依其 $J$ 值分配。故中段的等效極慣性矩為

$$J_{AB}=J_s+J_t$$

題目給出的 $E_{st}$ 不需使用，因為本題是扭轉問題，應使用

$$G_{st}=11(10^3)\ \text{ksi} =11\times10^6\ \text{psi}$$

解題方法

由圖可知：

• $CA$、$BD$ 為直徑 $1\ \text{in.}$ 的實心軸
• $AB$ 長度為 $0.75\ \text{ft}$
• $AB$ 中的套管外徑為 $3\ \text{in.}$，壁厚為 $0.25\ \text{in.}$
• $CA=BD=0.5\ \text{ft}$
• 外加扭矩為 $800\ \text{lb}\cdot\text{ft}$

先統一單位：

$$T=800(12)=9600\ \text{lb}\cdot\text{in.}$$ $$L_{CA}=L_{BD}=0.5(12)=6\ \text{in.}$$ $$L_{AB}=0.75(12)=9\ \text{in.}$$

套管內徑為

$$d_i=3-2(0.25)=2.5\ \text{in.}$$

實心軸的極慣性矩：

$$J_s=\frac{\pi d^4}{32} =\frac{\pi(1)^4}{32} =0.09817\ \text{in.}^4$$

套管的極慣性矩：

$$J_t=\frac{\pi}{32}\left(d_o^4-d_i^4\right)$$ $$J_t=\frac{\pi}{32}\left(3^4-2.5^4\right) =4.117\ \text{in.}^4$$

因此中段 $AB$ 的等效極慣性矩為