113 年 國立中山大學機械與機電工程學系碩士班乙組《材料力學》

本題主要在測試考生對於材料力學基本名詞與概念的理解程度。

(1) Idealized elastoplastic material (理想彈塑性材料)：
這是一種簡化的材料模型，用來描述材料在應力-應變曲線上的行為。其特點是：

• 彈性階段 (Elastic Region)：在達到降伏點 (yield point) 之前，材料的應力與應變之間呈線性關係，符合虎克定律 ($\sigma = E\epsilon$)。當應力移除後，材料會完全恢復原狀，沒有永久變形。
• 降伏點 (Yield Point)：材料開始發生永久變形（塑性變形）的應力值。
• 塑性階段 (Plastic Region)：一旦應力超過降伏點，材料開始發生不可恢復的永久變形。在「理想彈塑性」模型中，一旦材料進入塑性階段，其應力-應變曲線會變得水平，意味著應力不再隨應變增加而增加（或增加極緩慢），即材料的應力保持在降伏強度 ($\sigma_y$) 不變，直到發生斷裂。
  簡而言之，理想彈塑性材料在降伏點之前是線彈性行為，降伏之後則是以恆定的降伏應力發生無限大的塑性變形（直到斷裂）。

(2) Engineering stress and true stress (工程應力與真應力)：
這兩種應力是描述材料受力時內部應力狀態的兩種不同定義方式，尤其在材料發生較大變形時，兩者差異顯著。

• 工程應力 (Engineering Stress, $\sigma_{eng}$ 或 $\sigma$)：定義為施加的外力 $P$ 除以材料初始（未變形）的截面積 $A_0$。
  $\sigma_{eng} = \frac{P}{A_0}$
  工程應力計算簡單，且在彈性範圍內與應變呈線性關係，是工程上最常使用的應力定義。然而，當材料發生顯著變形時，實際的變形截面積會改變，但工程應力仍使用初始截面積計算，因此其代表性會降低。

• 真應力 (True Stress, $\sigma_{true}$ 或 $\sigma_t$)：定義為施加的外力 $P$ 除以材料當前的（即時）截面積 $A$。
  $\sigma_{true} = \frac{P}{A}$
  由於 $A$ 會隨變形而改變，真應力更能反映材料在變形過程中真實的應力狀態。對於拉伸變形，通常 $A < A_0$，所以真應力會大於工程應力。在彈性範圍內，真應力與真應變的關係與工程應力、工程應變的關係相同。
  真應力與工程應力、真應變 ($\epsilon_{true}$) 的關係為：
  $\sigma_{true} = \sigma_{eng}(1+\epsilon_{eng}) = \sigma_{eng} e^{\epsilon_{true}}$
  $\epsilon_{true} = \ln(1+\epsilon_{eng}) = \ln\left(\frac{L}{L_0}\right)$

(3) Statically indeterminate beams (靜不定樑)：
靜不定結構是指其內力（如剪力、彎矩）或支承反力無法僅透過靜力平衡方程式（$\Sigma F_x = 0$, $\Sigma F_y = 0$, $\Sigma M = 0$）來求解的結構。
對於樑而言，如果未知反力或內力的數量超過了獨立的靜力平衡方程式的數量，該樑就被稱為靜不定樑。
求解靜不定樑需要額外考慮材料的變形協調條件（相容性條件），例如位移和轉角的連續性，或應變與應力的關係。
例如，一個單純支撐的樑只有兩個支承反力，可以用兩個垂直力平衡和力矩平衡方程式解出。但若樑有三個或更多支承反力，或者有內約束（如彈性支承），則會變成靜不定。

(4) Tresca and von-Mises yield criteria (Tresca 準則與 von-Mises 準則)：
這兩種準則是判斷材料在複雜應力狀態下是否會發生降伏（開始產生塑性變形）的準則。

核心觀念

本題考查串聯階梯桿的軸向應力與變形，以及理想彈塑性材料卸載後的永久變形。桿件達到降伏後，已降伏部分可在力維持不變時繼續產生塑性伸長；卸載時，彈性伸長會恢復，塑性伸長則保留。

解題方法

依圖讀取：上段 $BC$ 長 $1.2\,\text{m}$、直徑 $40\,\text{mm}$；下段 $AB$ 長 $0.8\,\text{m}$、直徑 $30\,\text{mm}$，且 $A$ 端位於下方並受軸向拉力 $P$。兩段串聯，軸力相同；較細的 $AB$ 段會先降伏。

先計算兩段截面積：

$$A_{AB}=\frac{\pi}{4}(30)^2=706.86\ \text{mm}^2$$ $$A_{BC}=\frac{\pi}{4}(40)^2=1256.64\ \text{mm}^2$$

$AB$ 段開始降伏時的力為

$$P_y=\sigma_y A_{AB} =250(706.86) =176714\ \text{N} =176.7\ \text{kN}$$

$BC$ 段的降伏力為

$$\sigma_y A_{BC}=250(1256.64)=314.2\ \text{kN}$$

因此，$AB$ 段先降伏。理想彈塑性材料在降伏後可繼續伸長而不增加軸力，所以桿件達到所需永久變形時的最大力為

$$P_{\max}=176.7\ \text{kN}$$

在此力下，卸載會恢復的彈性伸長量為

核心觀念

這題考查「兩種材料黏結形成複合梁」的彎曲應力分析。由於鋁片與銅片完全黏結，兩者彎曲時具有相同曲率 $\kappa$，但因彈性模數不同，應力不相同：

$$\sigma=E\kappa y$$

複合梁的中性軸不一定位於幾何形心，必須由軸向力合力為零求得：

$$\sum E_i A_i(y_i-\bar y)=0$$

其中 $\bar y$ 為彈性中性軸位置。

解題方法

由圖可知，複合梁寬度為 $24\ \text{mm}$，鋁片與銅片厚度均為 $6\ \text{mm}$。

各材料截面積：

$$A_a=A_c=24(6)=144\ \text{mm}^2$$

取截面底部為 $y=0$，則：

• 銅片形心：$y_c=3\ \text{mm}$
• 鋁片形心：$y_a=9\ \text{mm}$

材料彈性模數為：

$$E_c=105000\ \text{N/mm}^2,\qquad E_a=75000\ \text{N/mm}^2$$

1. 求彈性中性軸

$$\bar y= \frac{E_cA_cy_c+E_aA_ay_a}{E_cA_c+E_aA_a}$$

因兩片面積相同：

$$\bar y= \frac{105(3)+75(9)}{105+75} =5.5\ \text{mm}$$

因此中性軸位於距截面底部 $5.5\ \text{mm}$ 處。

2. 求複合梁的彎曲剛度

每一片的自身形心慣性矩為：

$$I_0=\frac{bt^3}{12} =\frac{24(6)^3}{12} =432\ \text{mm}^4$$

銅片形心至中性軸距離：

$$d_c=5.5-3=2.5\ \text{mm}$$

鋁片形心至中性軸距離：

$$d_a=9-5.5=3.5\ \text{mm}$$

因此：

$$I_c=I_0+A_cd_c^2 =432+144(2.5)^2 =1332\ \text{mm}^4$$ $$I_a=I_0+A_ad_a^2 =432+144(3.5)^2 =2196\ \text{mm}^4$$

複合彎曲剛度為：

本題考驗薄殼結構（球形壓力容器）的應力與變形分析。

核心觀念：
球形壓力容器在內壓作用下，其殼體承受均勻的雙軸向拉應力。薄殼理論適用於殼體厚度遠小於其直徑的情況。

已知條件：

• 外徑 $D_o = 3 \text{ m}$
• 壁厚 $t = 12 \text{ mm} = 0.012 \text{ m}$
• 允許拉應力 $\sigma_{allow} = 80 \text{ MPa} = 80 \times 10^6 \text{ Pa}$
• 楊氏模數 $E = 200 \text{ GPa} = 200 \times 10^9 \text{ Pa}$
• 蒲松比 $v = 0.29$

求解步驟：

1. 計算內徑與平均半徑：
通常薄殼理論使用平均半徑 $r$。
平均直徑 $D_{avg} = D_o - t = 3 \text{ m} - 0.012 \text{ m} = 2.988 \text{ m}$。
平均半徑 $r = D_{avg} / 2 = 2.988 \text{ m} / 2 = 1.494 \text{ m}$。
（也可以使用內徑 $D_i = D_o - 2t = 3 - 2 \times 0.012 = 2.976 \text{ m}$，半徑 $r_i = 1.488 \text{ m}$，或外徑 $r_o = 1.5 \text{ m}$。對於薄殼，使用平均半徑通常足夠。）
我們使用平均半徑 $r = 1.494 \text{ m}$。

2. 球形壓力容器的應力公式：
對於球形壓力容器，內壓 $p$ 作用下，殼體的周向應力 (hoop stress) 和經向應力 (meridional stress) 是相等的，且均為拉應力。
$\sigma_{hoop} = \sigma_{meridional} = \sigma = \frac{pr}{t}$
其中 $p$ 是表壓 (gage pressure)。

3. (a) 計算允許的表壓 $p_{allow}$：
允許的表壓是基於允許應力 $\sigma_{allow}$ 計算的。
$\sigma_{allow} = \frac{p_{allow} r}{t}$
$p_{allow} = \frac{\sigma_{allow} t}{r}$
代入數值：
$\sigma_{allow} = 80 \times 10^6 \text{ Pa}$
$t = 0.012 \text{ m}$
$r = 1.494 \text{ m}$
$p_{allow} = \frac{(80 \times 10^6 \text{ Pa}) \times (0.012 \text{ m})}{1.494 \text{ m}} = \frac{0.96 \times 10^6}{1.494} \text{ Pa} \approx 0.64257 \times 10^6 \text{ Pa}$
$p_{allow} \approx 0.6426 \text{ MPa}$

4. (b) 計算直徑的增加量 $\Delta D$：
內壓 $p$ 作用下，球殼的應變為：
$\epsilon_{hoop} = \epsilon_{meridional} = \epsilon = \frac{pr}{tE}$
這個應力是雙軸向的。對於雙軸向應力狀態（$\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma$, $\sigma_3 = 0$），應變與應力的關係為：
$\epsilon_1 = \frac{1}{E} (\sigma_1 - v\sigma_2 - v\sigma_3) = \frac{1}{E} (\sigma - v\sigma) = \frac{\sigma(1-v)}{E}$
$\epsilon_2 = \frac{1}{E} (\sigma_2 - v\sigma_1 - v\sigma_3) = \frac{1}{E} (\sigma - v\sigma) = \frac{\sigma(1-v)}{E}$
$\epsilon_3 = \frac{1}{E} (\sigma_3 - v\sigma_1 - v\sigma_2) = \frac{1}{E} (0 - v\sigma - v\sigma) = -\frac{2v\sigma}{E}$
在球殼中，$\sigma = \frac{pr}{t}$。
$\epsilon = \frac{pr}{tE}(1-v)$
這個 $\epsilon$ 是徑向方向的應變，也是圓周方向的應變。
直徑的增加量 $\Delta D$ 與圓周應變 $\epsilon_{hoop}$ 的關係為：
$\Delta D = D \times \epsilon_{hoop}$。
我們使用平均直徑 $D_{avg} = 2.988 \text{ m}$。

核心觀念

本題考查「最大畸變能準則」（maximum-distortion-energy criterion，又稱 von Mises 降伏準則）。

由圖可讀得應力分量為：

• $\sigma_x=20\ \text{MPa}$
• $\sigma_y=25\ \text{MPa}$
• $\tau_{xy}=10\ \text{MPa}$
• $\sigma_z$ 分別取 $+45\ \text{MPa}$ 與 $-45\ \text{MPa}$

其餘剪應力皆為零。黃銅的降伏應力為

$$\sigma_{\text{yield}}=160\ \text{MPa}$$

von Mises 等效應力為

$$\sigma_{\text{vm}} = \sqrt{ \frac{1}{2} \left[ (\sigma_x-\sigma_y)^2+ (\sigma_y-\sigma_z)^2+ (\sigma_z-\sigma_x)^2 \right] +3(\tau_{xy}^2+\tau_{yz}^2+\tau_{zx}^2) }$$

當

$$\sigma_{\text{vm}}\geq \sigma_{\text{yield}}$$

時即發生降伏。

解題計算

(a) $\sigma_z=+45\ \text{MPa}$

代入公式：

$$\begin{aligned} \sigma_{\text{vm}}^2 &= \frac{1}{2} \left[ (20-25)^2+(25-45)^2+(45-20)^2 \right] +3(10)^2\\ &= \frac{1}{2}(25+400+625)+300\\ &=825 \end{aligned}$$