此題主要考驗學生對材料力學基本概念的理解，包含應力-應變曲線、應力狀態、材料性質以及靜不定問題的定義。

(1) 工程應力-應變曲線圖：
此小題要求繪製延性材料 (ductile material) 和脆性材料 (brittle material) 的工程應力-應變曲線圖。考試說明中提到不必依照比例，但需標示座標軸、圖上各區域名稱及相對應的應力名稱。

• 延性材料 (Ductile Material)：

  • 座標軸: 橫軸為工程應變 (Engineering Strain, $\epsilon$)，縱軸為工程應力 (Engineering Stress, $\sigma$)。
  • 區域名稱與應力名稱:
    1. 彈性區 (Elastic Region): 應力與應變近似呈線性關係，卸載後可恢復原狀。此區的斜率為楊氏模數 (Young's Modulus, $E$)。
    2. 比例極限 (Proportional Limit): 線性關係結束的點。
    3. 彈性極限 (Elastic Limit): 材料開始產生永久變形的點。通常非常接近比例極限。
    4. 屈服點 (Yield Point): 材料應力達到此點後，即使應力不增加或略微下降，應變也會顯著增加。這是材料開始發生顯著塑性變形的點。有些材料（如低碳鋼）會有明顯的屈服點，有些則沒有。
    5. 應力硬化區 (Strain Hardening Region / Work Hardening Region): 應力超過屈服點後，材料繼續承受塑性變形，但需要增加應力才能使應變繼續增加。
    6. 極限強度 (Ultimate Tensile Strength, UTS): 工程應力-應變曲線的最高點，代表材料所能承受的最大工程應力。
    7. 斷裂點 (Fracture Point): 材料最終斷裂的位置。

• 脆性材料 (Brittle Material):

  • 座標軸: 同樣是工程應變 ($\epsilon$) 為橫軸，工程應力 ($\sigma$) 為縱軸。

  • 區域名稱與應力名稱:

    1. 彈性區 (Elastic Region): 應力與應變近似呈線性關係。
    2. 比例極限 (Proportional Limit): 線性關係結束的點。
    3. 彈性極限 (Elastic Limit): 材料開始產生永久變形的點。
    4. 斷裂點 (Fracture Point): 脆性材料通常在發生顯著塑性變形前就斷裂。其極限強度與斷裂強度通常很接近。脆性材料的斷裂通常發生在彈性區或接近彈性區的末端，沒有明顯的屈服點和應力硬化區。

  • 圖示:

    • 延性材料的曲線會呈現明顯的屈服點、應力硬化區，最後才斷裂。
    • 脆性材料的曲線則較為陡峭，在應力達到一定值後（即極限強度/斷裂強度）就直接斷裂，塑性變形很小。

(2) 名詞解釋：

(a) General state of stress (應力狀態)：
* 定義: 在空間某一點，描述材料內部受到所有方向應力分量的集合。通常在一個點上，有三個相互垂直的平面，每個平面上都有一個正向應力 (normal stress) 和兩個剪應力 (shear stress)。
* 表示法:
* 笛卡兒座標系: 在三維空間中，可以透過一個 $3 \times 3$ 的柯西應力張量 (Cauchy stress tensor) 來表示：
$\sigma = \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz} \end{bmatrix}$

核心觀念

本題考查樑的剪力圖（$V$-Diagram）與彎矩圖（$M$-Diagram）：

$$\frac{dV}{dx}=-w(x),\qquad \frac{dM}{dx}=V$$

其中：

• 集中力會造成剪力圖垂直跳躍。
• 集中力矩會造成彎矩圖垂直跳躍。
• 均布載重使剪力圖呈線性變化、彎矩圖呈拋物線。
• 三角形分布載重使剪力圖呈二次曲線、彎矩圖呈三次曲線。
• 簡支端彎矩為零；自由端若無外加力矩，彎矩亦為零。

以下採用「剪力向上為正、下凹彎矩為正」的符號 convention。本題為計算繪圖題，沒有選項分析。

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Prob. #2-(1)

樑為左端固定、右端自由的懸臂樑，兩個集中力 $P$ 分別作用於 $x=L$ 與 $x=2L$。

固定端反力為

$$R_A=2P$$

固定端反力矩為

$$M_A=P(L)+P(2L)=3PL$$

令 $x$ 自固定端向右量。

剪力圖

在 $0<x<L$：

$$V=-2P$$

在 $L<x<2L$：

$$V=-P$$

因此剪力圖由固定端的 $-2P$，在 $x=L$ 處向上跳升 $P$，再於 $x=2L$ 處跳升 $P$ 至零。

彎矩圖

在 $0\leq x\leq L$：

$$M(x)=-2P(L-x)-P(2L-x)$$

整理得

$$M(x)=-3PL+3Px$$

所以

$$M(0)=-3PL,\qquad M(L)=-PL$$

在 $L\leq x\leq 2L$：

$$M(x)=-P(2L-x)$$

因此

$$M(L)=-PL,\qquad M(2L)=0$$

彎矩圖為兩段直線，固定端為最大負彎矩 $-3PL$，自由端為零。

【答案】

$$V= \begin{cases} -2P,&0<x<L\\[2mm] -P,&L<x<2L \end{cases}$$ $$M= \begin{cases} -3PL+3Px,&0\leq x\leq L\\[2mm] -P(2L-x),&L\leq x\leq2L \end{cases}$$

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Prob. #2-(2)

樑長為 $2L$，中央施加圖示順時針力矩 $M_0$。

設左、右支承反力分別為 $R_A$、$R_B$。

由垂直力平衡：

$$R_A+R_B=0$$

取左支承點力矩：

$$R_B(2L)-M_0=0$$

因此

$$R_B=\frac{M_0}{2L},\qquad R_A=-\frac{M_0}{2L}$$

剪力圖

樑上沒有垂直分布載重，故兩端之間剪力保持常數：

$$V(x)=-\frac{M_0}{2L},\qquad 0<x<2L$$

剪力圖為一條位於負值的水平線。

彎矩圖

在左半段 $0\leq x<L$：

$$M(x)=R_Ax =-\frac{M_0}{2L}x$$

故

$$M(0)=0,\qquad M(L^-)= -\frac{M_0}{2}$$

中央順時針集中力矩使彎矩圖向上跳升 $M_0$：

$$M(L^+)=+\frac{M_0}{2}$$

在右半段 $L<x\leq2L$：

$$M(x)=\frac{M_0}{2}-\frac{M_0}{2L}(x-L)$$

亦可寫成

$$M(x)=M_0-\frac{M_0}{2L}x$$

因此

$$M(2L)=0$$

【答案】

$$V(x)=-\frac{M_0}{2L} \qquad (0<x<2L)$$

彎矩圖關鍵值為

$$M(0)=0,\quad M(L^-)=-\frac{M_0}{2},\quad M(L^+)=+\frac{M_0}{2},\quad M(2L)=0$$

中央力矩造成彎矩圖跳升 $M_0$。

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Prob. #2-(3)

樑長 $12\ \text{ft}$，三角形分布載重由左端零載重線性增加至右端

$$w_0=120\ \text{lb/ft}$$

其合力為三角形面積：

$$W=\frac12(12)(120)=720\ \text{lb}$$

合力作用於距離左端 $8\ \text{ft}$ 處，因此支承反力為

$$R_A=240\ \text{lb},\qquad R_B=480\ \text{lb}$$

令 $x$ 自左端量，則分布載重函數為

$$w(x)=\frac{120}{12}x=10x\ \text{lb/ft}$$

剪力圖

左端開始：

$$V(x)=R_A-\int_0^x10\xi\,d\xi$$

因此

$$V(x)=240-5x^2 \qquad (0\leq x\leq12)$$

關鍵值為

$$V(0)=240\ \text{lb}$$ $$V(12^-)=240-5(12)^2=-480\ \text{lb}$$

在剪力為零處，彎矩達到最大值：

$$240-5x^2=0$$ $$x=\sqrt{48}=6.93\ \text{ft}$$

剪力圖為向下彎曲的二次曲線。

彎矩圖

由 $dM/dx=V$：

$$M(x)=\int_0^x(240-5\xi^2)\,d\xi$$

得到

$$M(x)=240x-\frac53x^3 \qquad (0\leq x\leq12)$$

兩端彎矩：

$$M(0)=0$$ $$M(12)=240(12)-\frac53(12)^3=0$$

核心觀念

本題考查「不同材料組合件的熱應力」：

• 鋁套管與鋼螺栓兩端受螺帽限制，因此升溫後兩者的總變形必須相同。
• 鋁的自由熱膨脹量較大，受到限制後產生壓縮力。
• 鋼螺栓自由熱膨脹量較小，受到鋁套管推擠後產生拉力。
• 兩者內力大小相等、方向相反。

溫度變化為

$$\Delta T=T_2-T_1=60-10=50^\circ\text{C}$$

材料與截面資料：

$$A_{st}=500\text{ mm}^2,\qquad E_{st}=200\text{ GPa}=200000\text{ N/mm}^2$$ $$A_{Al}=800\text{ mm}^2,\qquad E_{Al}=73.1\text{ GPa}=73100\text{ N/mm}^2$$ $$\alpha_{st}=12\times10^{-6}/^\circ\text{C},\qquad \alpha_{Al}=23\times10^{-6}/^\circ\text{C}$$

變形相容關係

設螺栓拉力與套管壓力的大小皆為 $P$，原始長度為 $L$。

初始狀態：$T_1=10^\circ\text{C}$

題目指出組件為 snug position，且螺栓軸力可忽略：

$$P_1\approx 0$$

因此鋁套管與鋼螺栓均具有相同初始長度 $L$。

升溫後的相對變形

鋼螺栓的總變形為：

$$\delta_{st} = \underbrace{\alpha_{st}\Delta T L}_{\text{鋼螺栓自由熱膨脹}} + \underbrace{\frac{PL}{E_{st}A_{st}}}_{\text{拉力造成的伸長}}$$

鋁套管的總變形為：

$$\delta_{Al} = \underbrace{\alpha_{Al}\Delta T L}_{\text{鋁套管自由熱膨脹}} - \underbrace{\frac{PL}{E_{Al}A_{Al}}}_{\text{壓力造成的縮短}}$$

由於兩端受螺帽限制，兩者實際總變形相同：

$$\delta_{st}=\delta_{Al}$$

因此

$$\alpha_{st}\Delta T L+\frac{PL}{E_{st}A_{st}} = \alpha_{Al}\Delta T L-\frac{PL}{E_{Al}A_{Al}}$$

約去 $L$ 後整理得

$$P\left( \frac{1}{E_{st}A_{st}} + \frac{1}{E_{Al}A_{Al}} \right) = (\alpha_{Al}-\alpha_{st})\Delta T$$

計算螺栓與套管內力

代入數值：

核心觀念

本題為組合梁截面的應力分析，截面由：

• 直立腹板：$30\text{ mm}\times300\text{ mm}$
• 水平翼板：$300\text{ mm}\times30\text{ mm}$

組成對稱 T 形截面。需利用：

$$\tau=\frac{VQ}{Ib}$$

求最大剪應力，並利用彎曲公式：

$$\sigma=\frac{My}{I}$$

求最大拉應力與最大壓應力。

以下取圖示截面為腹板高度 $300\text{ mm}$、翼板厚度 $30\text{ mm}$，因此總高度為 $330\text{ mm}$。

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一、截面重心位置

以翼板底部為基準，兩部分面積為：

$$A_f=300(30)=9000\text{ mm}^2$$ $$A_w=30(300)=9000\text{ mm}^2$$

翼板與腹板形心位置分別為：

$$y_f=15\text{ mm}$$ $$y_w=30+\frac{300}{2}=180\text{ mm}$$

因此組合截面的重心：

$$\bar y=\frac{A_fy_f+A_wy_w}{A_f+A_w}$$ $$\bar y =\frac{9000(15)+9000(180)}{18000} =97.5\text{ mm}$$

所以中性軸距離翼板底部為 $97.5\text{ mm}$。

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二、截面慣性矩

利用平行軸定理：

$$I=\sum\left(I_c+Ad^2\right)$$

翼板部分：

$$I_f=\frac{300(30)^3}{12}+9000(97.5-15)^2$$ $$I_f=6.75\times10^6+61.25625\times10^6 =68.00625\times10^6\text{ mm}^4$$

腹板部分：

$$I_w=\frac{30(300)^3}{12}+9000(180-97.5)^2$$ $$I_w=67.5\times10^6+61.25625\times10^6 =128.75625\times10^6\text{ mm}^4$$

故：

$$I=I_f+I_w =196.7625\times10^6\text{ mm}^4$$

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三、最大彎曲壓應力與拉應力

外加彎矩：

$$M=100\text{ kN}\cdot\text{m} =100\times10^6\text{ N}\cdot\text{mm}$$

截面最上緣距中性軸：

$$c_{\text{top}}=330-97.5=232.5\text{ mm}$$