111 年 國立中山大學機械與機電工程學系碩士班乙組《材料力學》

本題為材料力學基本名詞解釋與概念應用題，涵蓋了材料的力學行為、應力狀態、結構分析基本概念以及安全設計考量。

(a) 延性材料與脆性材料在拉伸實驗下的應力-應變曲線：
延性材料（Ductile material）在拉伸過程中會發生顯著的塑性變形，直至斷裂。其應力-應變曲線通常呈現彈性變形區、屈服點、加工硬化區，最後進入頸縮（necking）並斷裂。
脆性材料（Brittle material）在拉伸過程中，彈性變形後會直接發生斷裂，塑性變形非常小。其應力-應變曲線通常是線性的，斷裂發生在彈性區或接近彈性區的末端。

應力-應變曲線圖示：
縱軸：應力 (Stress, $\sigma$)，單位通常為 MPa 或 GPa。
橫軸：應變 (Strain, $\epsilon$)，無單位或表示為百分比。

圖示：
[在此處繪製兩條曲線：一條代表延性材料，包含明顯的屈服點和塑性變形區；另一條代表脆性材料，呈現較短的線性彈性區後直接斷裂。]

(b) 脆性材料的降伏強度：
對於大多數脆性材料，在拉伸實驗中，其降伏強度（Yield strength）通常與其極限強度（Ultimate tensile strength）非常接近，甚至難以明確區分。在工程應用上，常以彈性極限（Elastic limit）或某個微小應變（例如 0.002 或 0.2%）下的應力作為其「屈服強度」的近似值，但嚴格來說，脆性材料的定義是缺乏明顯塑性變形的。

(c) 等向性材料：
等向性材料（Isotropic material）是指其材料性質（如彈性模數、剪力模數、熱膨脹係數等）在所有方向上均相同。這意味著，無論從哪個方向對材料施加應力或觀察其響應，其力學行為都是一致的。

(d) 軸向負荷桿件的複雜影響：
當假設桿件為軸向負荷桿件 (Axially loaded bar) 時，我們主要是要避免的複雜影響是「剪應力」(Shear stress) 和「彎曲應力」(Bending stress) 的影響。軸向負荷主要引起正向應力 (Normal stress)，而剪應力和彎曲應力則是由於橫向力、彎矩或扭矩引起的。

(e) 安全係數 (Factor of safety)：
安全係數 (Factor of safety, $FS$) 是衡量結構或組件在承受預期載荷時，其強度裕度的一種指標。其公式可以表示為：
$FS = \frac{\text{材料強度}}{\text{最大工作應力}}$
其中：

• 材料強度 (Material strength) 指的是材料的極限強度、降伏強度或容許應力等，代表材料能承受的最大應力。

本題為計算題，主要在於應用扭轉公式分析實心軸與中空軸在相同材料條件下的最大扭矩傳遞能力，並繪製應力分佈圖。

1. 實心軸的最大扭矩 $T$

材料性質：
允許剪應力 $\tau_{\text{allow}} = 100 \text{ MPa}$
軸的直徑 $d = 100 \text{ mm} = 0.1 \text{ m}$
軸的半徑 $r = d/2 = 50 \text{ mm} = 0.05 \text{ m}$

扭轉公式為：
$\tau = \frac{Tr}{J}$
其中：
$\tau$ 為剪應力
$T$ 為扭矩
$r$ 為距離軸心的半徑
$J$ 為極慣性矩 (Polar moment of inertia)

對於實心圓軸，極慣性矩 $J$ 為：
$J = \frac{\pi}{2} r^4 = \frac{\pi}{32} d^4$
代入數值：
$J = \frac{\pi}{32} (0.1 \text{ m})^4 = \frac{\pi}{32} (0.0001) \text{ m}^4 \approx 9.817 \times 10^{-6} \text{ m}^4$

最大扭矩 $T$ 發生在材料達到允許剪應力 $\tau_{\text{allow}}$ 時，此時剪應力最大值發生在軸的最外緣 ($r = r_{\text{max}}$)。
$\tau_{\text{allow}} = \frac{T r_{\text{max}}}{J}$
$T = \frac{\tau_{\text{allow}} J}{r_{\text{max}}}$
其中 $r_{\text{max}} = r = 0.05 \text{ m}$。

$T = \frac{(100 \times 10^6 \text{ Pa}) \times (9.817 \times 10^{-6} \text{ m}^4)}{0.05 \text{ m}}$
$T = \frac{981.7 \text{ N} \cdot \text{m}}{0.05 \text{ m}} = 19634 \text{ N} \cdot \text{m} \approx 19.63 \text{ kN} \cdot \text{m}$

2. 中空軸的最大扭矩 $T'$

中空軸的參數：
外徑 $d_o = 100 \text{ mm} = 0.1 \text{ m}$
外半徑 $r_o = d_o/2 = 50 \text{ mm} = 0.05 \text{ m}$
內徑 $d_h = 75 \text{ mm} = 0.075 \text{ m}$
內半徑 $r_i = d_h/2 = 37.5 \text{ mm} = 0.0375 \text{ m}$

對於中空圓軸，極慣性矩 $J'$ 為：
$J' = \frac{\pi}{2} (r_o^4 - r_i^4) = \frac{\pi}{32} (d_o^4 - d_h^4)$
代入數值：
$J' = \frac{\pi}{2} [(0.05 \text{ m})^4 - (0.0375 \text{ m})^4]$
$J' = \frac{\pi}{2} [6.25 \times 10^{-6} - 1.9775 \times 10^{-6}] \text{ m}^4$
$J' = \frac{\pi}{2} [4.2725 \times 10^{-6}] \text{ m}^4 \approx 6.713 \times 10^{-6} \text{ m}^4$

核心觀念

本題考查：

1. 軸向桿件的正應力與變形：
   $\delta=\frac{NL}{AE}$
2. 固定端接觸後的靜不定問題。
3. 平衡方程式與變形相容條件。
4. 桿件右端原有 $0.2\text{ mm}$ 間隙，受力後剛好伸長至接觸右側牆面。

桿徑為 $10\text{ mm}$，截面積為

$$A=\frac{\pi d^2}{4} =\frac{\pi(10)^2}{4} =78.54\text{ mm}^2$$

彈性模數：

$$E=200\text{ GPa}=200000\text{ N/mm}^2$$

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受力分析與座標

取 $x$ 軸向右為正。設：

• $R_A$：A 端牆面對桿的反力，方向向左
• $R_{B'}$：B' 端牆面對桿的反力，方向向左
• $P=20\text{ kN}$：C 點向右作用

桿長度：

$$AC=400\text{ mm},\qquad CB'=800\text{ mm}$$

整根桿的水平力平衡：

$$\sum F_x=0$$ $$P-R_A-R_{B'}=0$$

因此

$$R_A+R_{B'}=20\text{ kN} \tag{1}$$

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接觸狀態判斷

若 B' 尚未接觸右側牆面，則整個外力 $P$ 只由 A 端承受，且 AC 段的伸長為

$$\delta_{AC} =\frac{PL_{AC}}{AE} =\frac{(20000)(400)} {(78.54)(200000)} =0.509\text{ mm}$$

由於

$$0.509\text{ mm}>0.2\text{ mm}$$

所以在 $P=20\text{ kN}$ 時，B' 必已與右側牆面接觸，必須考慮 $R_{B'}$。

接觸前所需的臨界載重為

$$P_{\text{接觸}} =\frac{(0.2)AE}{400} =7.854\text{ kN}$$

而 $20\text{ kN}>7.854\text{ kN}$，故題目確實屬於接觸後狀態。

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變形相容條件

A 端固定，因此

$$u_A=0$$

B' 端接觸牆面後，桿右端相對於原位置向右移動 $0.2\text{ mm}$，故

$$u_{B'}=0.2\text{ mm}$$

AC 段受拉，其軸力為 $R_A$：

$$\delta_{AC}=\frac{R_A(400)}{AE}$$

CB' 段受到壓縮，其軸力大小為 $R_{B'}$，因此其變形為縮短：

核心觀念

本題考查簡支梁受線性變化分佈載重時：

• 以全梁自由體圖及平衡方程式求支承反力。
• 由分佈載重積分求剪力函數 $V(x)$。
• 由剪力函數積分求彎矩函數 $M(x)$。
• 最大彎矩發生於剪力為零的位置。

依圖面判讀，載重不是右端集中力，而是沿全長線性增加的分佈載重：

$$w_A=2\ \text{kip/ft},\qquad w_B=6\ \text{kip/ft}$$

梁長為 $L=18\ \text{ft}$。

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解題方法

1. 建立座標與等效載重

令 $x$ 軸由左支承 $A$ 指向右支承 $B$，$0\le x\le18$。

分佈載重函數為

$$w(x)=2+\frac{6-2}{18}x =2+\frac{2}{9}x \qquad (\text{kip/ft})$$

將梯形分佈載重分解為：

• 矩形：$2(18)=36\ \text{kip}$，作用於 $x=9\ \text{ft}$。
• 三角形：$\frac12(18)(4)=36\ \text{kip}$，作用於距左端 $12\ \text{ft}$。

因此總等效載重為

$$W=36+36=72\ \text{kip}$$

其作用位置距 $A$：

$$\bar{x} =\frac{36(9)+36(12)}{72} =10.5\ \text{ft}$$

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2. 求支承反力

設左支承反力為 $A_y$，右支承反力為 $B_y$。

全梁自由體圖需標示：

• $A_y$、$B_y$ 向上。
• 梯形分佈載重的等效力 $72\ \text{kip}$，作用於 $x=10.5\ \text{ft}$。
• 座標軸 $x$ 向右、$y$ 向上。

取 $A$ 點力矩：

$$\sum M_A=0$$ $$B_y(18)-72(10.5)=0$$ $$B_y=42\ \text{kip}$$

再由垂直方向力平衡：

$$\sum F_y=0$$ $$A_y+B_y-72=0$$ $$A_y=30\ \text{kip}$$

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剪力圖

1. 剪力函數

取距離左端 $x$ 的截面，左側分佈載重為

$$\int_0^x w(s)\,ds = \int_0^x\left(2+\frac{2}{9}s\right)ds = 2x+\frac{x^2}{9}$$

因此截面剪力為

$$\boxed{ V(x)=30-2x-\frac{x^2}{9} } \qquad (0\le x<18)$$

單位為 kip。

2. 重要剪力值

左端：

$$V(0^+)=30\ \text{kip}$$

右端支承前：

$$V(18^-) =30-36-\frac{18^2}{9} =-42\ \text{kip}$$

在右支承處受到 $B_y=42\ \text{kip}$ 的向上反力，因此剪力圖向上跳 $42$ kip：

$$V(18^+)=0$$

3. 剪力為零的位置

最大彎矩處滿足 $V(x)=0$：