111 年 國立中山大學機械與機電工程學系碩士班甲組《基礎熱傳學》

本題主要考察 Biot 數 (Biot number, Bi) 與 Nusselt 數 (Nusselt number, Nu) 的定義及其物理解義。

Biot 數 (Bi)
Biot 數定義為物體內部熱傳導阻力與物體表面對流傳熱阻力之比。
$Bi = \frac{hL_c}{k}$
其中：

• $h$ 為物體表面的對流傳熱係數 (convective heat transfer coefficient)。
• $L_c$ 為特徵長度 (characteristic length)，對於不同幾何形狀有不同的定義。例如，對於平板，特徵長度通常定義為體積與其表面積之比。
• $k$ 為物體的導熱係數 (thermal conductivity)。

物理解義： Biot 數代表物體內部熱傳導的相對重要性與物體表面對流散熱的相對重要性。

• 當 $Bi \ll 1$ (通常指 $Bi < 0.1$) 時，表示物體內部的熱傳導比表面對流散熱快得多。此時，物體內部溫度分布可以視為均勻，即物體內部的溫度變化很小。這種情況下，可以使用集總參數法 (lumped capacitance method) 來分析瞬態傳熱問題。
• 當 $Bi \gg 1$ 時，表示物體內部的熱傳導比表面對流散熱慢得多。此時，物體內部的溫度梯度很大，需要考慮內部溫度分布的變化。

本題主要考察 Prandtl 數的定義，以及其與速度邊界層及熱邊界層的關係。

Prandtl 數 (Pr)
Prandtl 數定義為流體的動量擴散率 (momentum diffusivity) 與熱擴散率 (thermal diffusivity) 之比。
$Pr = \frac{\nu}{\alpha} = \frac{\mu/\rho}{k/(\rho c_p)} = \frac{\nu c_p \rho}{k} = \frac{c_p \mu}{k}$
其中：

• $\nu$ 為運動黏度 (kinematic viscosity)，$\nu = \mu/\rho$。
• $\alpha$ 為熱擴散率 (thermal diffusivity)，$\alpha = k/(\rho c_p)$。
• $\mu$ 為動力黏度 (dynamic viscosity)。
• $\rho$ 為密度 (density)。
• $c_p$ 為定壓比熱 (specific heat at constant pressure)。
• $k$ 為流體的導熱係數 (thermal conductivity)。

物理解義： Prandtl 數代表動量在流體中擴散的速度與熱量在流體中擴散的速度的相對比例。

• 動量擴散率 ($\nu$) 描述了流體中動量（速度）的傳遞速率，主要受黏滯力的影響。
• 熱擴散率 ($\alpha$) 描述了熱量在流體中傳遞的速率，主要受導熱性的影響。

本題要求針對一維平面壁在不同情況下的溫度分布，寫出熱傳導方程式、初始條件及邊界條件。題目假設物性常數不變，且可能存在均勻的體積生熱。

熱擴散方程式 (Heat Diffusion Equation) 在一維穩態無生熱的情況下為：
$\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = 0$
若考慮體積生熱 $q'''$：
$\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{q'''}{k} = 0$
在瞬態情況下 (考慮時間變化)：
$\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{q'''}{\rho c_p}$
其中 $\alpha = k/(\rho c_p)$ 是熱擴散率。

題目圖示 (a) 和 (b) 都是一維平面壁，但圖示方式略有不同，我們需要根據圖示和文字描述來判斷。圖示 (a) 和 (b) 都顯示了壁面從 $x=0$ 到 $x=L$ 的溫度分布。

分析圖示 (a) 與 (b)：
圖示 (a) 和 (b) 描繪的是溫度分布 $T$ 隨位置 $x$ 的變化。

• 頂部標示的 $t = 0$ 代表初始狀態。
• 頂部標示的 $t \to \infty$ 代表穩態 (steady state)。
• 中間的曲線代表不同中間時間點的溫度分布。

圖示 (a) 的溫度分布分析：

• 初始狀態 ($t=0$)：溫度分布為一條曲線，在 $x=0$ 處溫度最高，然後隨 $x$ 增加而降低，在 $x=L$ 處溫度最低。
• 中間時間：溫度分布曲線逐漸變得平緩，最高溫點向內部移動。
• 穩態 ($t \to \infty$)：溫度分布變為一條直線，從 $x=0$ 的較高溫度線性下降到 $x=L$ 的較低溫度。

圖示 (b) 的溫度分布分析：

• 初始狀態 ($t=0$)：溫度分布為一條曲線，在 $x=0$ 處溫度最高，然後隨 $x$ 增加而降低，在 $x=L$ 處溫度最低。
• 中間時間：溫度分布曲線逐漸變得平緩，最高溫點向內部移動。
• 穩態 ($t \to \infty$)：溫度分布變為一條直線，從 $x=0$ 的較高溫度線性下降到 $x=L$ 的較低溫度。

兩者在初始和穩態的趨勢上是相似的，但中間過程的曲線形狀可能略有不同。不過，題目要求的是「適當形式的熱擴散方程式」、「初始條件」和「邊界條件」。通常，這類圖示主要用來區分瞬態和穩態，以及是否有生熱。

假設： 題目提到「If volumetric generation occurs, it is uniform throughout the wall. The properties are constant.」。這表示我們需要考慮體積生熱 $q'''$ 的可能性。

情況分析：

Case 1: 穩態 (Steady State) - 圖示的 $t \to \infty$ 部分
穩態表示溫度不隨時間變化 ($\frac{\partial T}{\partial t} = 0$)。

• 熱擴散方程式：

  • 若無體積生熱 ($q'''=0$)：
    $\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = 0$
    此方程式積分得到 $T(x) = C_1 x + C_2$。
  • 若有均勻體積生熱 ($q''' \neq 0$)：
    $\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{q'''}{k} = 0$
    此方程式積分得到 $T(x) = -\frac{q'''}{2k} x^2 + C_1 x + C_2$。

• 初始條件 (Initial Condition)： 題目圖示中的 $t=0$ 的溫度分布。

  • 通常表示為 $T(x, 0) = f(x)$，其中 $f(x)$ 是由圖示中 $t=0$ 的曲線決定的函數。

• 邊界條件 (Boundary Conditions)： 題目未明確給出邊界條件的形式 (例如定溫、定熱流、對流)，但圖示顯示了 $x=0$ 和 $x=L$ 的溫度。我們需要假設一些常見的邊界條件。

  • 常見的邊界條件類型：

    1. 定溫 (Dirichlet)： $T(0, t) = T_0$ 且 $T(L, t) = T_L$。
    2. 定熱流 (Neumann)： $-k \frac{\partial T}{\partial x}|_{x=0} = q''_0$ 且 $-k \frac{\partial T}{\partial x}|_{x=L} = q''_L$。
    3. 對流 (Robin)： $-k \frac{\partial T}{\partial x}|_{x=0} = h_0 (T_{fluid,0} - T(0, t))$ 且 $-k \frac{\partial T}{\partial x}|_{x=L} = h_L (T(L, t) - T_{fluid,L})$。

  • 根據圖示判斷： 圖示的穩態溫度分布是直線，這強烈暗示了「無生熱」且邊界條件為「定溫」的情況，或者「有生熱」但邊界條件是「對稱」且「特定形式」的。

    • 如果沒有生熱 ($q'''=0$)，且邊界是定溫，例如 $T(0, t) = T_0$ 和 $T(L, t) = T_L$，則穩態溫度分布為 $T(x) = T_0 + \frac{T_L - T_0}{L} x$，這是一條直線。
    • 如果沒有生熱 ($q'''=0$)，且邊界是定熱流，例如 $-k \frac{\partial T}{\partial x}|_{x=0} = q''_0$ 和 $-k \frac{\partial T}{\partial x}|_{x=L} = q''_L$，則穩態溫度分布為 $T(x) = -\frac{q''_0}{k} x + C_1$。若 $q''_0 \neq q''_L$，則為斜直線。若 $q''_0 = q''_L$，則為水平直線 (此時 $\frac{\partial T}{\partial x} = 0$，溫度處處相等)。
    • 如果有生熱 ($q''' \neq 0$)，且邊界條件是對稱的，例如 $T(0, t) = T(L, t)$，則穩態溫度分布是拋物線，最高溫點在中間。圖示的穩態是直線，所以不太可能是有生熱且邊界對稱的情況。

  • 最可能的解釋： 圖示的穩態直線溫度分布，最符合「無體積生熱」且邊界為「定溫」的條件。

Case 2: 瞬態 (Unsteady) - 圖示的 $t=0$ 及中間時間
瞬態表示溫度隨時間變化 ($\frac{\partial T}{\partial t} \neq 0$)。

• 熱擴散方程式：

  • 若無體積生熱 ($q'''=0$)：
    $\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}$
  • 若有均勻體積生熱 ($q''' \neq 0$)：
    $\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{q'''}{\rho c_p}$

• 初始條件 (Initial Condition)：

  • $T(x, 0) = f(x)$，其中 $f(x)$ 是由圖示中 $t=0$ 的曲線決定的函數。

• 邊界條件 (Boundary Conditions)：

  • 與穩態情況下的邊界條件相同，因為邊界條件通常不隨時間改變。
  • 最可能的是定溫條件：
    • $T(0, t) = T_0$
    • $T(L, t) = T_L$

題目要求： "Write the appropriate form of the heat diffusion equation for each case and the equations for the initial condition and boundary conditions at x = 0 and x = L."

這句話有點模糊，「each case」是指圖示 (a) 和 (b) 分別作為 case 嗎？還是指穩態和瞬態作為 case？
從圖示來看，(a) 和 (b) 似乎只是同一類問題的不同表現形式，可能僅在中間溫度分布的曲線形狀上有差異，但基本物理過程相同。
因此，我們將分別處理「瞬態」和「穩態」兩種物理情況。

綜合以上分析，我們提供三種可能的解釋來回答題目：

解釋一：針對「瞬態」與「穩態」兩種情況，並考慮生熱的可能性。

1. 瞬態情況 (Unsteady State)，對應圖示的 $t=0$ 及中間曲線：

• 熱擴散方程式：
  * 若無體積生熱 ($q'''=0$):
  $\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}$
  * 若有均勻體積生熱 ($q''' \neq 0$):
  $\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{q'''}{\rho c_p}$
• 初始條件 (Initial Condition)：

本題要求在穩態條件下，針對圖示的二維網格中的節點 $(m, n)$，寫出有限差分方程式 (Finite Difference Equation, FDE)。該節點位於兩種不同材料 (Material A 和 Material B) 的交界面上。

問題設定：

• 系統：二維傳導，包含兩種不同材料 A 和 B。
• 節點：$(m, n)$，位於兩種材料的交界面上。
• 條件：穩態 (steady-state)，無接觸電阻 (no contact resistance)。
• 要求：寫出節點 $(m, n)$ 的有限差分方程式。
• 圖示：圖示顯示了一個二維網格，節點 $(m, n)$ 周圍有四個鄰近節點：$(m-1, n), (m+1, n), (m, n-1), (m, n+1)$。節點 $(m, n)$ 位於 Material A 和 Material B 的交界處。假設 Material A 的導熱係數為 $k_A$，Material B 為 $k_B$。控制體積沿著頁面深度方向延伸 $L$ 個單位長度。

有限差分法的基本原理：
對於穩態熱傳導問題，我們應用能量守恆原理到一個離散的控制體積 (通常以網格節點為中心)。對於節點 $(m, n)$，其周圍的能量流入等於能量流出。
$\sum (\text{Heat In}) = \sum (\text{Heat Out})$
或者，對於穩態，控制體積內的總熱產生率等於淨熱流出率。如果沒有內部熱產生，則淨熱流出為零。

針對節點 $(m, n)$ 的控制體積：
我們考慮以節點 $(m, n)$ 為中心的控制體積。這個控制體積會被兩種材料分割。
我們需要考慮從四個鄰近節點 $(m-1, n), (m+1, n), (m, n-1), (m, n+1)$ 流入節點 $(m, n)$ 的熱量。

熱傳導率的處理：
由於節點 $(m, n)$ 位於兩種材料的交界面，其左側 (指向 $x$ 負方向) 屬於 Material A，右側 (指向 $x$ 正方向) 屬於 Material B。

• 節點 $(m-1, n)$ 和 $(m, n)$ 之間的熱傳導，主要由 Material A 決定。
• 節點 $(m, n)$ 和 $(m+1, n)$ 之間的熱傳導，主要由 Material B 決定。
• 節點 $(m, n-1)$ 和 $(m, n)$ 之間的熱傳導，以及節點 $(m, n)$ 和 $(m, n+1)$ 之間的熱傳導，則取決於節點 $(m, n)$ 在垂直方向上的位置。圖示顯示節點 $(m, n)$ 本身好像是 Material A 的一部分，但其右側是 Material B。更準確地說，這個節點是交界點。

標準的有限差分法離散化 (二維)：
對於一個節點 $(m, n)$，其能量守恆方程式通常寫成：
$k_x \frac{T_{m-1, n} - T_{m, n}}{\Delta x} \cdot \Delta y \cdot L + k_x \frac{T_{m+1, n} - T_{m, n}}{\Delta x} \cdot \Delta y \cdot L + k_y \frac{T_{m, n-1} - T_{m, n}}{\Delta y} \cdot \Delta x \cdot L + k_y \frac{T_{m, n+1} - T_{m, n}}{\Delta y} \cdot \Delta x \cdot L = 0$
這裡 $k_x$ 是沿 $x$ 方向的平均導熱係數，$k_y$ 是沿 $y$ 方向的平均導熱係數。

處理不同材料的界面：
當節點位於不同材料的界面時，我們需要正確選擇沿著熱流方向的導熱係數。

• 沿 $x$ 方向的傳熱：
  • 從 $(m-1, n)$ 到 $(m, n)$：這一段熱流經過 Material A。因此，導熱係數為 $k_A$。
  • 從 $(m, n)$ 到 $(m+1, n)$：這一段熱流經過 Material B。因此，導熱係數為 $k_B$。
• 沿 $y$ 方向的傳熱：
  • 從 $(m-1, n)$ 到 $(m, n)$：由於節點 $(m, n)$ 位於材料界面，圖示顯示 $(m, n)$ 節點本身似乎在 Material A 區域，但其右側為 Material B。而 $(m-1, n)$ 節點顯然在 Material A 區域。因此，從 $(m-1, n)$ 到 $(m, n)$ 的熱流主要經過 Material A。
  • 從 $(m, n)$ 到 $(m+1, n)$：這段熱流經過 Material B。
  • 從 $(m, n-1)$ 到 $(m, n)$：這個節點 $(m, n-1)$ 似乎在 Material A 區域。
  • 從 $(m, n)$ 到 $(m, n+1)$：這個節點 $(m, n+1)$ 似乎在 Material A 區域。
  • 仔細觀察圖示： 圖示中的網格劃分顯示，節點 $(m, n)$ 似乎是 Material A 和 Material B 的一個「公共」節點。通常，在材料界面上的節點，其周圍的熱傳導係數需要根據節點的具體位置來決定。
  • 標準處理方法 (假設節點中心法)：

    • 節點 $(m, n)$ 的左邊是 Material A，右邊是 Material B。

    • 節點 $(m, n)$ 的上方和下方，根據圖示，似乎都落在 Material A 的區域，或者至少是 Material A 和 Material B 的邊界附近。

    • 更精確的理解： 題目說「control volume that spans two different materials」。這意味著節點 $(m, n)$ 本身可能位於界面上，或者其控制體積跨越了界面。

    • 常見的界面處理：

      • 如果節點 $(m, n)$ 位於界面上，那麼從 $(m-1, n)$ 到 $(m, n)$ 的熱流經過 Material A，而從 $(m, n)$ 到 $(m+1, n)$ 的熱流經過 Material B。
      • 對於垂直方向的熱流，如果節點 $(m, n)$ 上的控制體積一半在 Material A，一半在 Material B，那麼我們需要考慮平均導熱係數。
      • 然而，圖示中的節點 $(m, n)$ 標示在 Material A 和 Material B 的交界處，並且周圍的節點 $(m-1, n), (m, n+1), (m, n-1)$ 似乎都在 Material A 區域，而 $(m+1, n)$ 似乎在 Material B 區域。
      • 另一種常見的離散化方法： 考慮節點 $(m, n)$ 的控制體積。
        • 左側邊界：位於 Material A 和 Material B 之間。
        • 右側邊界：位於 Material B 區域。
        • 上方邊界：位於 Material A 區域。
        • 下方邊界：位於 Material A 區域。

    • 最標準的處理界面節點的方法：
      假設節點 $(m, n)$ 的中心在界面上。

      • 沿 $x$ 方向：
        • 熱流從 $(m-1, n)$ 流向 $(m, n)$：經過 Material A。
        • 熱流從 $(m, n)$ 流向 $(m+1, n)$：經過 Material B。
      • 沿 $y$ 方向：
        • 熱流從 $(m, n-1)$ 流向 $(m, n)$：假設經過 Material A。
        • 熱流從 $(m, n)$ 流向 $(m, n+1)$：假設經過 Material A。

      這樣，我們需要考慮從每個鄰居節點傳到節點 $(m, n)$ 的熱量。
      熱量從 $(m-1, n)$ 到 $(m, n)$：$q_{m-1,n \to m,n} = k_A \frac{T_{m-1,n} - T_{m,n}}{\Delta x} (\Delta y \cdot L)$
      熱量從 $(m+1, n)$ 到 $(m, n)$：$q_{m+1,n \to m,n} = k_B \frac{T_{m+1,n} - T_{m,n}}{\Delta x} (\Delta y \cdot L)$ <-- 注意：這裡的 $k_B$ 是因為節點 $(m+1, n)$ 在 Material B 區域，而節點 $(m, n)$ 雖然在界面，但我們通常假設熱流是從 $(m, n)$ 流向 $(m+1, n)$ 經過 Material B。
      熱量從 $(m, n-1)$ 到 $(m, n)$：$q_{m,n-1 \to m,n} = k_A \frac{T_{m,n-1} - T_{m,n}}{\Delta y} (\Delta x \cdot L)$ <-- 假設垂直方向的熱流也經過 Material A。
      熱量從 $(m, n+1)$ 到 $(m, n)$：$q_{m,n+1 \to m,n} = k_A \frac{T_{m,n+1} - T_{m,n}}{\Delta y} (\Delta x \cdot L)$ <-- 假設垂直方向的熱流也經過 Material A。

      穩態能量守恆：
      $q_{m-1,n \to m,n} + q_{m+1,n \to m,n} + q_{m,n-1 \to m,n} + q_{m,n+1 \to m,n} = 0$
      $k_A \frac{T_{m-1,n} - T_{m,n}}{\Delta x} (\Delta y L) + k_B \frac{T_{m+1,n} - T_{m,n}}{\Delta x} (\Delta y L) + k_A \frac{T_{m,n-1} - T_{m,n}}{\Delta y} (\Delta x L) + k_A \frac{T_{m,n+1} - T_{m,n}}{\Delta y} (\Delta x L) = 0$

      簡化並整理：
      將 $\Delta x \Delta y L$ 提出公因數並消去：
      $k_A \frac{T_{m-1,n} - T_{m,n}}{\Delta x} + k_B \frac{T_{m+1,n} - T_{m,n}}{\Delta x} + k_A \frac{T_{m,n-1} - T_{m,n}}{\Delta y} + k_A \frac{T_{m,n+1} - T_{m,n}}{\Delta y} = 0$

      進一步整理，將 $T_{m,n}$ 的項合併：
      $\frac{k_A T_{m-1,n}}{\Delta x} + \frac{k_B T_{m+1,n}}{\Delta x} + \frac{k_A T_{m,n-1}}{\Delta y} + \frac{k_A T_{m,n+1}}{\Delta y} - T_{m,n} \left( \frac{k_A}{\Delta x} + \frac{k_B}{\Delta x} + \frac{k_A}{\Delta y} + \frac{k_A}{\Delta y} \right) = 0$

      或者，我們可以將所有項移到等號右邊，讓 $T_{m,n}$ 的係數為正：
      $T_{m,n} \left( \frac{k_A}{\Delta x} + \frac{k_B}{\Delta x} + \frac{k_A}{\Delta y} + \frac{k_A}{\Delta y} \right) = \frac{k_A T_{m-1,n}}{\Delta x} + \frac{k_B T_{m+1,n}}{\Delta x} + \frac{k_A T_{m,n-1}}{\Delta y} + \frac{k_A T_{m,n+1}}{\Delta y}$

      假設網格是均勻的，即 $\Delta x = \Delta y$：
      令 $\Delta x = \Delta y = \Delta s$。
      $T_{m,n} \left( \frac{k_A}{\Delta s} + \frac{k_B}{\Delta s} + \frac{k_A}{\Delta s} + \frac{k_A}{\Delta s} \right) = \frac{k_A T_{m-1,n}}{\Delta s} + \frac{k_B T_{m+1,n}}{\Delta s} + \frac{k_A T_{m,n-1}}{\Delta s} + \frac{k_A T_{m,n+1}}{\Delta s}$
      兩邊乘以 $\Delta s$：
      $T_{m,n} (k_A + k_B + k_A + k_A) = k_A T_{m-1,n} + k_B T_{m+1,n} + k_A T_{m,n-1} + k_A T_{m,n+1}$
      $T_{m,n} (3k_A + k_B) = k_A T_{m-1,n} + k_B T_{m+1,n} + k_A T_{m,n-1} + k_A T_{m,n+1}$

      將 $T_{m,n}$ 移到一邊，並除以係數：
      $T_{m,n} = \frac{k_A T_{m-1,n} + k_B T_{m+1,n} + k_A T_{m,n-1} + k_A T_{m,n+1}}{3k_A + k_B}$

      另一種常見的表達方式是將 $T_{m,n}$ 的係數寫在等號左邊：
      $(3k_A + k_B) T_{m,n} = k_A T_{m-1,n} + k_B T_{m+1,n} + k_A T_{m,n-1} + k_A T_{m,n+1}$

      檢查圖示和題目描述：

      • 「control volume that spans two different materials」
      • 「no contact resistance at the interface」
      • 「node (m, n)」
      • 圖示中，節點 $(m, n)$ 處於 Material A 和 Material B 的交界。
      • $(m-1, n)$ 在 Material A。
      • $(m+1, n)$ 在 Material B。
      • $(m, n-1)$ 在 Material A。
      • $(m, n+1)$ 在 Material A。

      這意味著：

      • 熱流從 $(m-1, n) \leftrightarrow (m, n)$ 經過 Material A。
      • 熱流從 $(m, n) \leftrightarrow (m+1, n)$ 經過 Material B。

核心觀念

本題考查一維、無內部熱生成之非穩態熱傳導問題，使用：

• Fourier 熱傳導方程式
• 無因次化
• 分離變數法
• Fourier 正弦級數
• Fourier 數 $Fo$ 對暫態導熱的描述

熱擴散率定義為

$$\alpha=\frac{k}{\rho c_p}$$

其中 $k$ 為熱導率、$\rho$ 為密度、$c_p$ 為定壓比熱。

由於邊界兩端皆維持 $T_\infty$，先將溫度改寫成相對於環境溫度的超額溫度。

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解題方法

1. 建立有因次控制方程式

題目指出：

• 一維熱傳導
• 無體積熱生成或熱損失
• 物性為常數

因此控制方程式為

$$\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}, \qquad 0<x<L,\ t>0$$

初始條件與邊界條件為

$$T(x,0)=f(x)$$ $$T(0,t)=T(L,t)=T_\infty$$

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2. 定義無因次變數

選擇長度尺度 $L$、時間尺度 $L^2/\alpha$，並選定一個非零的參考溫差 $\Delta T_{\mathrm{ref}}$。定義

$$X=\frac{x}{L}$$ $$Fo=\frac{\alpha t}{L^2}$$ $$\theta(X,Fo) = \frac{T(x,t)-T_\infty}{\Delta T_{\mathrm{ref}}}$$

初始無因次溫度定義為

$$F(X) = \frac{f(LX)-T_\infty}{\Delta T_{\mathrm{ref}}}$$

其中 $\Delta T_{\mathrm{ref}}$ 可任選，只要不為零。例如可取初始溫度超額溫度的代表值。由於最後的溫度解與 $\Delta T_{\mathrm{ref}}$ 無關，參考溫差只是無因次化尺度。

變數轉換如下：

$$\frac{\partial T}{\partial t} = \Delta T_{\mathrm{ref}} \frac{\alpha}{L^2} \frac{\partial\theta}{\partial Fo}$$ $$\frac{\partial^2T}{\partial x^2} = \Delta T_{\mathrm{ref}} \frac{1}{L^2} \frac{\partial^2\theta}{\partial X^2}$$

代入熱傳導方程式：

$$\Delta T_{\mathrm{ref}} \frac{\alpha}{L^2} \frac{\partial\theta}{\partial Fo} = \alpha \Delta T_{\mathrm{ref}} \frac{1}{L^2} \frac{\partial^2\theta}{\partial X^2}$$

約去共同因子後，得到無因次熱擴散方程式：

$$\boxed{ \frac{\partial\theta}{\partial Fo} = \frac{\partial^2\theta}{\partial X^2} }$$

其無因次初始與邊界條件為

$$\theta(X,0)=F(X)$$ $$\theta(0,Fo)=\theta(1,Fo)=0$$

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3. 使用分離變數法

令

$$\theta(X,Fo)=\mathcal{X}(X)\mathcal{T}(Fo)$$

代入控制方程式：

$$\mathcal{X}(X)\frac{d\mathcal{T}}{dFo} = \mathcal{T}(Fo)\frac{d^2\mathcal{X}}{dX^2}$$

整理得

$$\frac{1}{\mathcal{T}}\frac{d\mathcal{T}}{dFo} = \frac{1}{\mathcal{X}}\frac{d^2\mathcal{X}}{dX^2} = -\lambda^2$$

其中 $\lambda^2$ 為分離常數。於是得到兩個常微分方程式：

$$\frac{d^2\mathcal{X}}{dX^2} + \lambda^2\mathcal{X}=0$$ $$\frac{d\mathcal{T}}{dFo} + \lambda^2\mathcal{T}=0$$

空間邊界條件為

$$\mathcal{X}(0)=0, \qquad \mathcal{X}(1)=0$$

空間方程式的一般解為

$$\mathcal{X}(X)=A\sin(\lambda X)+B\cos(\lambda X)$$

由 $\mathcal{X}(0)=0$ 得 $B=0$，因此

$$\mathcal{X}(X)=A\sin(\lambda X)$$

核心觀念

本題考查「圓柱座標下的熱阻網路」與「內部發熱分流」：

1. 圓柱壁導熱熱阻：
   $R_{\mathrm{cond}}=\frac{\ln(r_o/r_i)}{2\pi kL}$

2. 圓柱表面對流熱阻：
   $R_{\mathrm{conv}}=\frac{1}{h(2\pi rL)}$

3. 電阻加熱器位於半徑 $r_2$ 處，熱量分別向內、向外傳遞，因此可視為由加熱器溫度 $T_h$ 分成兩條並聯熱路。

以下令加熱器總發熱量為 $\dot Q_h$，內、外流體所吸收的熱量分別為 $\dot Q_i$、$\dot Q_o$。若題目中的熱通量以單位長度表示，則可將 $\dot Q$ 全部改寫成 $\dot Q'$；推導完全相同。

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解題方法

圖中由內而外的結構為：

• 內部流體：$T_{\infty,i}$，對流係數 $h_i$
• 材料 $B$：$r_1<r<r_2$，導熱係數 $k_B$
• 電阻加熱器：位於 $r=r_2$，溫度 $T_h$
• 材料 $A$：$r_2<r<r_3$，導熱係數 $k_A$
• 外界空氣：$T_{\infty,o}$，對流係數 $h_o$

由於接觸熱阻可忽略，材料 $A$、$B$ 與加熱器之間的溫度直接連續。

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(a) 等效熱路與所有熱阻

等效熱路為：

$$T_{\infty,i} \longleftrightarrow R_i \longleftrightarrow T_h \longleftrightarrow R_o \longleftrightarrow T_{\infty,o}$$

其中加熱器提供熱量 $\dot Q_h$，熱量分成向內的 $\dot Q_i$ 與向外的 $\dot Q_o$：

$$\dot Q_h=\dot Q_i+\dot Q_o$$

向內熱路

由內表面對流熱阻與材料 $B$ 導熱熱阻串聯：

$$R_i = R_{\mathrm{conv},i}+R_{\mathrm{cond},B}$$ $$R_i = \frac{1}{h_i(2\pi r_1L)} + \frac{\ln(r_2/r_1)}{2\pi k_BL}$$

向外熱路

由材料 $A$ 導熱熱阻與外表面對流熱阻串聯：

$$R_o = R_{\mathrm{cond},A}+R_{\mathrm{conv},o}$$ $$R_o = \frac{\ln(r_3/r_2)}{2\pi k_AL} + \frac{1}{h_o(2\pi r_3L)}$$

因此，熱流分別為

$$\dot Q_i=\frac{T_h-T_{\infty,i}}{R_i}$$ $$\dot Q_o=\frac{T_h-T_{\infty,o}}{R_o}$$

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(b) 加熱器溫度 $T_h$

由能量守恆：

$$\dot Q_h = \frac{T_h-T_{\infty,i}}{R_i} + \frac{T_h-T_{\infty,o}}{R_o}$$

整理得

$$\dot Q_h = T_h\left(\frac{1}{R_i}+\frac{1}{R_o}\right) - \left( \frac{T_{\infty,i}}{R_i} + \frac{T_{\infty,o}}{R_o} \right)$$

所以加熱器溫度為