114 年 國立中山大學機械與機電工程學系碩士班甲組《基礎熱傳學》

此題主要在考驗學生對於熱傳學中兩個重要無因次參數 Biot number (Bi) 和 Nusselt number (Nu) 的基本理解與區別。

Biot number (Bi)
Biot number 是衡量物體內部熱傳導與物體表面與流體間對流散熱的相對重要性。其定義為：
$Bi = \frac{h L_c}{k_{solid}}$
其中：

• $h$ 為物體表面的對流傳熱係數。
• $L_c$ 為特徵長度 (Characteristic length)，通常定義為物體體積與表面積之比。
• $k_{solid}$ 為物體本身的導熱係數。

Biot number 的物理意義：

• 當 $Bi \ll 1$ (通常小於 0.1)，表示物體內部的導熱速率遠大於表面與流體間的對流速率。此時，物體內部溫度可以視為均勻，適用於集總參數法 (Lumped capacitance method) 分析。
• 當 $Bi \gg 1$，表示物體表面的對流速率遠大於內部導熱速率。此時，物體內部的溫度分佈不均勻，需要考慮導熱的空間效應。
• 當 $Bi \approx 1$，則物體內部的導熱與表面對流效應都不可忽略。

Nusselt number (Nu)
Nusselt number 是衡量物體表面與周圍流體間對流傳熱與同等尺寸靜止流體導熱的相對重要性。其定義為：
$Nu = \frac{h L_c}{k_{fluid}}$
其中：

• $h$ 為物體表面的對流傳熱係數。

此題考驗學生對集總參數法 (Lumped system analysis) 的條件及其物理意義的理解。

集總參數法的條件 (Criterion for Lumped System Analysis)
集總參數法適用於物體在熱傳過程中，其內部溫度分佈可以視為均勻的條件。這個條件通常由 Biot number (Bi) 來判斷。
集總參數法的判斷準則為：
$Bi = \frac{h L_c}{k_{solid}} \ll 1$
一般而言，當 $Bi < 0.1$ 時，即可認為集總參數法是適用的。

其中：

• $h$ 是物體表面與周圍流體之間的對流傳熱係數 (convective heat transfer coefficient)。
• $L_c$ 是物體的特徵長度 (characteristic length)，定義為物體體積與其表面積之比 ($L_c = V/A_s$)。
• $k_{solid}$ 是物體本身的導熱係數 (thermal conductivity of the solid)。

集總參數法的物理意義 (Physical Meaning)
Biot number 的物理意義在於比較了物體 內部 的熱傳導速率與物體 表面 與周圍流體之間的 對流 傳熱速率的相對重要性。

核心觀念

本題考查：

1. 球形液滴外部強制對流之熱傳。
2. Reynolds number、Prandtl number 與 Nusselt number 的應用。
3. 兩液滴合併後，利用體積守恆求新直徑。
4. 由牛頓冷卻定律計算瞬時熱傳率：

$$\dot Q=hA_s(T_d-T_\infty)$$

其中 $T_d$ 為油滴溫度，$T_\infty$ 為周圍空氣溫度。

題目未提供空氣物性，以下採用膜溫下空氣性質。膜溫為

$$T_f=\frac{300+27}{2}=163.5^\circ\mathrm{C}=436.65\ \mathrm{K}$$

取空氣性質約為

$$k=0.036\ \mathrm{W/(m\cdot K)},\qquad \mu=2.5\times10^{-5}\ \mathrm{Pa\cdot s}$$ $$\rho=0.81\ \mathrm{kg/m^3},\qquad Pr=0.69$$

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解題方法

對球形液滴採用 Ranz–Marshall 關係式：

$$Nu_D=2+0.6Re_D^{1/2}Pr^{1/3}$$

且

$$Re_D=\frac{\rho VD}{\mu}, \qquad h=\frac{Nu_D k}{D}$$

溫差為

$$\Delta T=T_d-T_\infty=300-27=273\ \mathrm{K}$$

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一、合併前的熱傳率

單一液滴直徑為

$$D=50\ \mu\mathrm{m}=5.0\times10^{-5}\ \mathrm{m}$$

其 Reynolds number：

$$Re_D= \frac{(0.81)(5)(5.0\times10^{-5})}{2.5\times10^{-5}} =8.1$$

因此

$$Nu_D =2+0.6(8.1)^{1/2}(0.69)^{1/3} \approx 3.51$$

單一液滴的對流熱傳係數：

$$h_{\mathrm{before}} = \frac{(3.51)(0.036)}{5.0\times10^{-5}} \approx 2.53\times10^3\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}$$

兩個液滴的總表面積：

$$A_{\mathrm{before}} =2(\pi D^2)$$ $$A_{\mathrm{before}} =2\pi(5.0\times10^{-5})^2 =1.571\times10^{-8}\ \mathrm{m^2}$$

故合併前總熱傳率為

$$\dot Q_{\mathrm{before}} =h_{\mathrm{before}}A_{\mathrm{before}}\Delta T$$ $$\dot Q_{\mathrm{before}} =(2.53\times10^3) (1.571\times10^{-8})(273)$$ $$\boxed{\dot Q_{\mathrm{before}}\approx 1.08\times10^{-2}\ \mathrm{W}}$$

亦即約

$$\boxed{\dot Q_{\mathrm{before}}\approx 10.8\ \mathrm{mW}}$$

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二、合併後的熱傳率

合併過程中油的體積守恆：

$$\frac{\pi}{6}D_m^3 =2\left(\frac{\pi}{6}D^3\right)$$

因此

$$D_m=2^{1/3}D$$ $$D_m=2^{1/3}(50) \approx 63.0\ \mu\mathrm{m}$$

合併後 Reynolds number：

此題是一個結合了熱傳導與對流的複合問題，主要考驗學生對於複合熱阻、能量守恆以及流體輸運功率的計算能力。題目描述了一個利用湖水冷卻房屋的系統，空氣通過一根塑膠管，管子外部被湖水包圍。

核心觀念：

1. 複合熱阻 (Thermal Resistance Network)： 當熱量傳遞經過多個不同介質或不同傳熱模式時，可以將其視為一系列串聯或並聯的熱阻。對於圓管，熱阻包括內壁對流、管壁導熱、外壁對流。
2. 能量守恆 (Energy Conservation)： 流經管道的空氣，其溫度變化與從管道吸收的熱量有關。
3. 流體輸運功率 (Fan Power)： 為了使流體通過管道，需要克服流體在管道內的壓力損失，這部分功由風扇提供。壓力損失通常與摩擦係數、流速、管道長度和直徑有關。
4. 空氣物性： 需要查找空氣在相應溫度下的物性參數。

已知條件：

• 塑膠管材料導熱係數 $k_{plastic} = 0.15 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}$
• 內徑 $D_i = 0.15 \mathrm{~m}$
• 外徑 $D_o = 0.17 \mathrm{~m}$
• 湖水溫度 $T_{\infty} = 20^{\circ} \mathrm{C}$ (作為外部對流的溫度)
• 外表面對流係數 $h_o = 1500 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^2 \mathrm{~K}$
• 進入空氣流率 $\dot{V} = 0.030 \mathrm{~m}^3 / \mathrm{s}$
• 進入空氣溫度 $T_{m,i} = 27^{\circ} \mathrm{C}$
• 目標排出空氣溫度 $T_{m,o} = 23^{\circ} \mathrm{C}$
• 空氣比熱 $c_p$ (需要查找，通常取平均溫度下的值)
• 空氣密度 $\rho$ (需要查找)
• AISI304 導熱係數 $k_{AISI304} = 14.9 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}$

空氣物性查找：
空氣的平均溫度約為 $(27+23)/2 = 25^{\circ} \mathrm{C} = 298 \mathrm{~K}$。
查閱 Appendix 或標準手冊，取 298K 的空氣物性：

• 密度 $\rho \approx 1.184 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^3$
• 比熱 $c_p \approx 1007 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}$
• 運動黏滯係數 $\nu \approx 15.71 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^2 / \mathrm{s}$
• 熱導係數 $k_{air} \approx 0.0261 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K}$
• Prandtl number $Pr \approx 0.707$

步驟 1：建立熱傳導網路
熱量從流經管道的空氣傳遞到外部湖水。熱傳路徑包括：

1. 空氣內壁對流熱傳：$R_{conv,i} = \frac{1}{h_i A_i}$。然而，題目沒有給出內壁對流係數 $h_i$。但是，題目 (b) 要求計算風扇功率，這暗示了內壁的流動狀態（可能需要計算 Re，進而計算 Nu 和 $h_i$）。
2. 塑膠管壁的導熱：$R_{cond,plastic} = \frac{\ln(D_o/D_i)}{2 \pi k_{plastic} L}$。
3. 塑膠管外壁與湖水的對流熱傳：$R_{conv,o} = \frac{1}{h_o A_o}$。

重要假設： 題目 (b) 要求計算風扇功率，這意味著需要考慮管道內的對流。因此，我們需要計算內壁對流係數 $h_i$。

步驟 1.1：計算內壁的流動參數

• 內壁截面積 $A_i = \frac{\pi D_i^2}{4} = \frac{\pi (0.15 \mathrm{~m})^2}{4} \approx 0.01767 \mathrm{~m}^2$
• 平均流速 $V = \frac{\dot{V}}{A_i} = \frac{0.030 \mathrm{~m}^3 / \mathrm{s}}{0.01767 \mathrm{~m}^2} \approx 1.698 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$
• Reynolds number (Re) $= \frac{V D_i}{\nu} = \frac{(1.698 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \times (0.15 \mathrm{~m})}{15.71 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^2 / \mathrm{s}} \approx 16270$
  由於 $Re > 10000$，流動是紊流 (turbulent flow)。

步驟 1.2：計算內壁的 Nusselt number ($Nu_i$)
對於紊流在圓管中的情況，可以使用 Dittus-Boelter 方程式（或類似的經驗公式）。題目 Appendix 提供了 "Fully developed turbulent flow in a smooth circular tube" 的公式：
$Nu_D = 0.023 Re_D^{0.8} Pr^n$
其中，對於冷卻 (cooling)，n = 0.3。
$Nu_i = 0.023 \times (16270)^{0.8} \times (0.707)^{0.3}$
$Nu_i = 0.023 \times 4143.5 \times 0.879 \approx 83.7$

步驟 1.3：計算內壁的對流傳熱係數 ($h_i$)
$h_i = \frac{Nu_i k_{air}}{D_i} = \frac{83.7 \times (0.0261 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K})}{0.15 \mathrm{~m}} \approx 14.54 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^2 \mathrm{~K}$

步驟 1.4：計算各熱阻

• 內壁對流熱阻：$R_{conv,i} = \frac{1}{h_i A_i} = \frac{1}{(14.54 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^2 \mathrm{~K}) \times (\pi D_i L / 2)}$ (請注意，這裡的 $A_i$ 應該是總表面積，但熱阻網路通常用每單位長度的熱阻來表示，然後乘以 L。)
  我們改用單位長度的熱阻來計算，這樣更容易處理。
  單位長度下的熱阻：
  $r_{conv,i} = \frac{1}{h_i (\pi D_i)}$ (每單位長度的內表面積為 $\pi D_i$)
  $r_{cond,plastic} = \frac{\ln(D_o/D_i)}{2 \pi k_{plastic}}$ (管壁導熱的單位長度熱阻)
  $r_{conv,o} = \frac{1}{h_o (\pi D_o)}$ (外表面單位長度的熱阻)

  $r_{conv,i} = \frac{1}{(14.54 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^2 \mathrm{~K}) \times (\pi \times 0.15 \mathrm{~m})} \approx 0.145 \mathrm{~K} \cdot \mathrm{m} / \mathrm{W}$
  $r_{cond,plastic} = \frac{\ln(0.17/0.15)}{2 \pi (0.15 \mathrm{~W} / \mathrm{mK})} = \frac{\ln(1.1333)}{2 \pi (0.15)} \approx \frac{0.125}{0.942} \approx 0.133 \mathrm{~K} \cdot \mathrm{m} / \mathrm{W}$
  $r_{conv,o} = \frac{1}{(1500 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^2 \mathrm{~K}) \times (\pi \times 0.17 \mathrm{~m})} \approx 0.000394 \mathrm{~K} \cdot \mathrm{m} / \mathrm{W}$

  總的單位長度熱阻 $r_{total} = r_{conv,i} + r_{cond,plastic} + r_{conv,o}$
  $r_{total} \approx 0.145 + 0.133 + 0.000394 \approx 0.278 \mathrm{~K} \cdot \mathrm{m} / \mathrm{W}$

(a) 計算所需的管道長度 L

步驟 2：應用能量守恆
空氣在管道中吸收的熱量 $Q_{abs}$ 導致其溫度從 $T_{m,i}$ 降低到 $T_{m,o}$。
$Q_{abs} = \dot{m} c_p (T_{m,i} - T_{m,o})$
其中 $\dot{m}$ 是空氣的質量流率。
$\dot{m} = \rho \dot{V} = (1.184 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^3) \times (0.030 \mathrm{~m}^3 / \mathrm{s}) \approx 0.03552 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}$

$Q_{abs} = (0.03552 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}) \times (1007 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}) \times (27^{\circ} \mathrm{C} - 23^{\circ} \mathrm{C})$
$Q_{abs} = (0.03552 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}) \times (1007 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}) \times (4 \mathrm{~K})$
$Q_{abs} \approx 142.9 \mathrm{~W}$

這個熱量是通過管道傳遞的總熱量。

步驟 3：將總熱量與總熱阻關聯
總熱阻 $R_{total} = r_{total} \times L = 0.278 L \mathrm{~K} / \mathrm{W}$。
熱傳速率 $Q = \frac{\Delta T_{overall}}{R_{total}}$。
這裡的 $\Delta T_{overall}$ 需要使用對數平均溫差 (Log Mean Temperature Difference, LMTD)，因為溫差在管道長度上是變化的。
$\Delta T_{LM} = \frac{\Delta T_1 - \Delta T_2}{\ln(\Delta T_1 / \Delta T_2)}$
在管道入口處 (x=0)：

核心觀念

本題考查等截面直翅片的：

• 一維穩態導熱與對流散熱
• 翅片溫度分布
• 翅片熱傳率
• 翅片熱阻
• 翅片效率與翅片有效度

翅片參數為

$$t=0.003\ \mathrm{m},\qquad w=0.05\ \mathrm{m},\qquad L=0.020\ \mathrm{m}$$ $$h=100\ \mathrm{W/m^2K},\qquad k=180\ \mathrm{W/mK},\qquad T_b=100^\circ\mathrm{C},\qquad T_\infty=25^\circ\mathrm{C}$$

定義過量溫度：

$$\theta=T-T_\infty,\qquad \theta_b=T_b-T_\infty=75\ \mathrm{K}$$

截面積與周長為

$$A_c=wt=(0.05)(0.003)=1.50\times10^{-4}\ \mathrm{m^2}$$ $$P=2(w+t)=2(0.05+0.003)=0.106\ \mathrm{m}$$

考慮翅片尖端對流，採用修正長度：

$$L_c=L+\frac{t}{2} =0.020+\frac{0.003}{2} =0.0215\ \mathrm{m}$$

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(a) 翅片溫度分布

等截面翅片參數

$$m=\sqrt{\frac{hP}{kA_c}}$$

因此

$$m=\sqrt{\frac{(100)(0.106)} {(180)(1.50\times10^{-4})}} =19.81\ \mathrm{m^{-1}}$$

採用修正長度後，溫度分布為

$$\frac{\theta(x)}{\theta_b} = \frac{\cosh[m(L_c-x)]}{\cosh(mL_c)}$$

所以

$$T(x) = 25+ 75\frac{\cosh[19.81(0.0215-x)]} {\cosh(19.81\times0.0215)}$$

其中 $x$ 以公尺為單位，$0\leq x\leq L_c$。

由於

$$mL_c=(19.81)(0.0215)=0.426$$

故

$$\boxed{ T(x)=25+ 75\frac{\cosh[19.81(0.0215-x)]}{\cosh(0.426)} }$$

在翅片根部：

$$T(0)=100^\circ\mathrm{C}$$

在修正後的翅片尖端：

$$T(L_c)=25+\frac{75}{\cosh(0.426)} \approx93.7^\circ\mathrm{C}$$

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(b) 翅片熱傳率

等截面翅片的熱傳率為

$$q_f=\sqrt{hPkA_c}\,\theta_b\tanh(mL_c)$$

先計算

$$\sqrt{hPkA_c} = \sqrt{(100)(0.106)(180)(1.50\times10^{-4})} =0.535\ \mathrm{W/K}$$

且

$$\tanh(0.426)=0.402$$

因此

$$q_f=(0.535)(75)(0.402)$$ $$\boxed{q_f\approx16.1\ \mathrm{W}}$$

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(c) 翅片熱阻

翅片熱阻定義為

$$R_f=\frac{T_b-T_\infty}{q_f} =\frac{\theta_b}{q_f}$$

因此

$$R_f=\frac{75}{16.1}$$ $$\boxed{R_f\approx4.65\ \mathrm{K/W}}$$

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(d) 使用修正長度的翅片效率

使用修正長度時，翅片效率為

$$\eta_f=\frac{\tanh(mL_c)}{mL_c}$$

代入數值：

$$\eta_f=\frac{\tanh(0.426)}{0.426} =\frac{0.402}{0.426}$$ $$\boxed{\eta_f\approx0.944\approx94.4\%}$$

翅片效率很高，原因是翅片長度相對較短，沿翅片方向的溫降不大。

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(e) 延長翅片或改用銅材

核心觀念

本題考查：

• 對流與輻射同時存在時的熱阻網路。
• 灰色表面之吸收率與放射率關係：
  $\varepsilon=\alpha$
• 輻射熱阻的線性化：
  $R_{\mathrm{rad}}=\frac{1}{\varepsilon\sigma A(T_s+T_{\mathrm{sur}})(T_s^2+T_{\mathrm{sur}}^2)}$
• 結霜後增加霜層導熱熱阻，且霜層表面的對流、輻射熱阻彼此並聯。
• 融霜所需能量等於霜的潛熱：
  $Q=m h_{融}$

取周遭環境溫度與空氣溫度皆為 $25^\circ\mathrm{C}=298.15\ \mathrm{K}$，並取
$\sigma=5.67\times10^{-8}\ \mathrm{W/m^2K^4}.$

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(a) 熱路徑

結霜前

對流與輻射皆直接連接板面溫度 $T_p$ 與環境溫度 $T_\infty$，因此兩者並聯：

$$T_p \longrightarrow \begin{cases} R_{\mathrm{conv},1}=\dfrac{1}{h_1A}\\[6pt] R_{\mathrm{rad},1} \end{cases} \longrightarrow T_\infty$$

其中

$$R_{\mathrm{conv},1}=\frac{1}{5(0.001)} =200\ \mathrm{K/W}.$$

結霜後

熱量由環境傳至霜層表面，再經霜層導熱至板面。因此霜層導熱熱阻與外部對流、輻射並聯組合串聯：

$$T_p \longleftarrow R_{\mathrm{cond,frost}} \longleftarrow T_f \longleftarrow \begin{cases} R_{\mathrm{conv},2}\\[2pt] R_{\mathrm{rad},2} \end{cases} \longleftarrow T_\infty$$

其中

$$R_{\mathrm{cond,frost}}=\frac{L}{k_fA}.$$

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(b) 總熱阻計算

結霜前

板面溫度：

$$T_p=10^\circ\mathrm{C}=283.15\ \mathrm{K}$$

放射率：

$$\varepsilon_1=\alpha_1=0.78.$$

輻射熱阻為

$$R_{\mathrm{rad},1} = \frac{1} {0.78(5.67\times10^{-8})(0.001) (283.15+298.15)(283.15^2+298.15^2)}$$ $$R_{\mathrm{rad},1}\approx230.0\ \mathrm{K/W}.$$

對流與輻射並聯，因此

$$\frac{1}{R_{\mathrm{tot},1}} = \frac{1}{R_{\mathrm{conv},1}} + \frac{1}{R_{\mathrm{rad},1}}$$ $$R_{\mathrm{tot},1} = \left( \frac{1}{200}+\frac{1}{230.0} \right)^{-1} \approx106.9\ \mathrm{K/W}.$$

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結霜後

霜層導熱熱阻：

$$R_{\mathrm{cond,frost}} = \frac{0.003}{(0.3)(0.001)} =10.0\ \mathrm{K/W}.$$

霜層表面溫度：

$$T_f=0^\circ\mathrm{C}=273.15\ \mathrm{K}.$$

霜層表面放射率：

$$\varepsilon_2=\alpha_2=0.95.$$

霜層表面的對流熱阻：

核心觀念

本題考查：

1. 球形液滴終端速度的「重力－浮力－阻力」平衡。
2. 球形液滴外部強制對流的 Nusselt number 關係式。
3. 液滴集中熱容量模型（lumped capacitance）。
4. 液滴內部有熱生成時的非穩態能量平衡。

依附錄取空氣性質：

$$\rho_{\infty}=1.1614\ \mathrm{kg/m^3},\qquad \nu=15.89\times10^{-6}\ \mathrm{m^2/s}$$ $$k_{\infty}=0.0263\ \mathrm{W/(m\cdot K)},\qquad Pr=0.707$$

液滴直徑：

$$D=300\ \mu\mathrm{m}=3.00\times10^{-4}\ \mathrm{m}$$

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（a）液滴終端速度

解題方法

終端速度時，液滴所受的有效重力等於阻力：

$$\frac{\pi D^3}{6}(\rho_l-\rho_{\infty})g = \frac{1}{2}C_D\rho_{\infty}V_t^2 \frac{\pi D^2}{4}$$

整理得：

$$V_t= \sqrt{ \frac{4D(\rho_l-\rho_{\infty})g} {3C_D\rho_{\infty}} }$$

因為題目指定 $1<Re<1000$，使用附錄中的阻力係數：

$$C_D= \frac{24}{Re} \left(1+0.15Re^{0.687}\right)$$

其中

$$Re=\frac{V_tD}{\nu}$$

亦可先利用 Stokes 速度作為計算基準：

$$V_{\mathrm{St}}= \frac{(\rho_l-\rho_{\infty})gD^2} {18\mu}$$

而

$$\mu=\rho_{\infty}\nu = 1.1614(15.89\times10^{-6}) = 1.845\times10^{-5}\ \mathrm{N\cdot s/m^2}$$

因此：

$$V_{\mathrm{St}} = \frac{(1136-1.1614)(9.81)(3.00\times10^{-4})^2} {18(1.845\times10^{-5})} \approx 3.015\ \mathrm{m/s}$$

在 $1<Re<1000$ 時，終端速度方程式可寫為：

$$V_t\left[ 1+0.15 \left(\frac{V_tD}{\nu}\right)^{0.687} \right] =3.015$$

數值求解得：

$$V_t\approx1.29\ \mathrm{m/s}$$

檢查 Reynolds number：

$$Re= \frac{(1.29)(3.00\times10^{-4})} {15.89\times10^{-6}} \approx24.3$$

確實符合 $1<Re<1000$ 的適用範圍。

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（b）液滴冷卻至 $50^\circ\mathrm{C}$ 所需時間

集中熱容量法

液滴的特徵長度為：

$$L_c=\frac{V}{A}=\frac{D}{6} =5.00\times10^{-5}\ \mathrm{m}$$

先計算對流係數。球形液滴的 Nusselt number 為：

$$Nu_D=2+0.4Re^{1/2}Pr^{1/3}$$

代入 $Re=24.3$：

$$Nu_D = 2+0.4(24.3)^{1/2}(0.707)^{1/3} \approx3.76$$

因此：

$$h=\frac{Nu_Dk_{\infty}}{D} = \frac{(3.76)(0.0263)} {3.00\times10^{-4}} \approx329\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}$$

液滴的 Biot number：

$$Bi=\frac{hL_c}{k_l} = \frac{(329)(5.00\times10^{-5})}{5} \approx0.0033$$

因為 $Bi<0.1$，可採用集中熱容量法。

無熱生成時，液滴冷卻方程式為：

核心觀念

本題考查：

• 對流與輻射同時存在時的熱阻網路。
• 灰色表面之吸收率與放射率關係：
  $\varepsilon=\alpha$
• 輻射熱阻的線性化：
  $R_{\mathrm{rad}}=\frac{1}{\varepsilon\sigma A(T_s+T_{\mathrm{sur}})(T_s^2+T_{\mathrm{sur}}^2)}$
• 結霜後增加霜層導熱熱阻，且霜層表面的對流、輻射熱阻彼此並聯。
• 融霜所需能量等於霜的潛熱：
  $Q=m h_{融}$

取周遭環境溫度與空氣溫度皆為 $25^\circ\mathrm{C}=298.15\ \mathrm{K}$，並取
$\sigma=5.67\times10^{-8}\ \mathrm{W/m^2K^4}.$

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(a) 熱路徑

結霜前

對流與輻射皆直接連接板面溫度 $T_p$ 與環境溫度 $T_\infty$，因此兩者並聯：

$$T_p \longrightarrow \begin{cases} R_{\mathrm{conv},1}=\dfrac{1}{h_1A}\\[6pt] R_{\mathrm{rad},1} \end{cases} \longrightarrow T_\infty$$

其中

$$R_{\mathrm{conv},1}=\frac{1}{5(0.001)} =200\ \mathrm{K/W}.$$

結霜後

熱量由環境傳至霜層表面，再經霜層導熱至板面。因此霜層導熱熱阻與外部對流、輻射並聯組合串聯：

$$T_p \longleftarrow R_{\mathrm{cond,frost}} \longleftarrow T_f \longleftarrow \begin{cases} R_{\mathrm{conv},2}\\[2pt] R_{\mathrm{rad},2} \end{cases} \longleftarrow T_\infty$$

其中

$$R_{\mathrm{cond,frost}}=\frac{L}{k_fA}.$$

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(b) 總熱阻計算

結霜前

板面溫度：

$$T_p=10^\circ\mathrm{C}=283.15\ \mathrm{K}$$

放射率：

$$\varepsilon_1=\alpha_1=0.78.$$

輻射熱阻為

$$R_{\mathrm{rad},1} = \frac{1} {0.78(5.67\times10^{-8})(0.001) (283.15+298.15)(283.15^2+298.15^2)}$$ $$R_{\mathrm{rad},1}\approx230.0\ \mathrm{K/W}.$$

對流與輻射並聯，因此

$$\frac{1}{R_{\mathrm{tot},1}} = \frac{1}{R_{\mathrm{conv},1}} + \frac{1}{R_{\mathrm{rad},1}}$$ $$R_{\mathrm{tot},1} = \left( \frac{1}{200}+\frac{1}{230.0} \right)^{-1} \approx106.9\ \mathrm{K/W}.$$

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結霜後

霜層導熱熱阻：

$$R_{\mathrm{cond,frost}} = \frac{0.003}{(0.3)(0.001)} =10.0\ \mathrm{K/W}.$$

霜層表面溫度：

$$T_f=0^\circ\mathrm{C}=273.15\ \mathrm{K}.$$

霜層表面放射率：

$$\varepsilon_2=\alpha_2=0.95.$$

霜層表面的對流熱阻：

此題考驗學生對於球體在流體中運動時的熱傳與流體動力學分析，包括終端速度、下降時間、溫度變化以及熱傳功率的計算。

核心觀念：

1. 終端速度 (Terminal Velocity)： 當物體自由下落時，重力、浮力與阻力達到平衡時的速度。
2. 流體阻力 (Drag Force)： 物體在流體中運動時受到的阻力，與物體形狀、大小、速度以及流體性質有關。
3. 對流傳熱 (Convective Heat Transfer)： 球體與周圍流體之間的熱量交換。
4. 能量守恆 (Energy Conservation)： 球體溫度變化與其散失的熱量有關。
5. 無因次參數： Reynolds number (Re), Nusselt number (Nu), Prandtl number (Pr)。

已知條件：

• 液滴直徑 $D = 300 \mu \mathrm{m} = 300 \times 10^{-6} \mathrm{~m}$
• 初始溫度 $T_i = 200^{\circ} \mathrm{C}$
• 周圍環境溫度 $T_{\infty} = 25^{\circ} \mathrm{C}$
• 液滴性質 (solution)：
  • 密度 $\rho_l = 1136 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^3$
  • 比熱 $c_a = 2200 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}$ (注意：這裡的 $c_a$ 應為 $c_l$ 或 $c_p$，表示液滴的特定熱容)
  • 導熱係數 $k_l = 5 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}$
• 忽略輻射和相變。
• Appendix 提供了空氣物性。我們需要空氣的物性來計算阻力。
  • 選擇合適的溫度：由於液滴溫度從 $200^{\circ} \mathrm{C}$ 降至 $50^{\circ} \mathrm{C}$，空氣溫度為 $25^{\circ} \mathrm{C}$。為簡化計算，我們取空氣在 $25^{\circ} \mathrm{C}$ (298K) 的物性。
  • 空氣密度 $\rho_{air} = 1.184 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^3$ (使用 298K 的值，Appendix 300K 為 1.1614)
  • 運動黏滯係數 $\nu_{air} = 15.71 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^2 / \mathrm{s}$ (298K)
  • 熱導係數 $k_{air} = 0.0261 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}$ (298K)
  • Prandtl number $Pr_{air} = 0.707$ (298K)

(a) 計算終端速度

步驟 1：定義終端速度的條件
終端速度 $V_t$ 發生時，重力、浮力與阻力達到平衡。
$F_g = F_b + F_d$
$F_g = m_{droplet} g = (\rho_l V_{droplet}) g$
$F_b = \rho_{air} V_{droplet} g$ (假設浮力由周圍空氣密度決定)
$F_d = C_d \frac{1}{2} \rho_{air} V_t^2 A_{proj}$
其中 $V_{droplet} = \frac{\pi D^3}{6}$ 是液滴的體積， $A_{proj} = \frac{\pi D^2}{4}$ 是投影面積。

代入後得到：
$(\rho_l - \rho_{air}) \frac{\pi D^3}{6} g = C_d \frac{1}{2} \rho_{air} V_t^2 \frac{\pi D^2}{4}$
$V_t^2 = \frac{4 g D (\rho_l - \rho_{air})}{3 \rho_{air} C_d}$
$V_t = \sqrt{\frac{4 g D (\rho_l - \rho_{air})}{3 \rho_{air} C_d}}$

步驟 2：確定 drag coefficient $C_d$
題目要求在 $1 \le Re < 1000$ 的範圍內確定終端速度。
$Re = \frac{\rho_{air} V_t D}{\mu_{air}} = \frac{V_t D}{\nu_{air}}$。
由於 $V_t$ 是未知數，而 $C_d$ 又依賴於 $Re$，這是一個需要迭代求解的問題。
Appendix 提供了球體的 $C_d$ 與 $Re$ 的關係：

• $Re < 1$: $C_d = \frac{24}{Re}$
• $1 < Re < 1000$: $C_d = \frac{24}{Re} (1 + 0.15 Re^{0.687})$

我們需要找到一個 $V_t$ 使得 $1 \le Re < 1000$ 並且 $V_t = \sqrt{\frac{4 g D (\rho_l - \rho_{air})}{3 \rho_{air} C_d}}$。
令 $K = \frac{4 g D (\rho_l - \rho_{air})}{3 \rho_{air}} = \frac{4 \times 9.81 \times (300 \times 10^{-6}) \times (1136 - 1.184)}{3 \times 1.184} \approx 12659 / 3.552 \approx 3564 (\mathrm{m}^3 \mathrm{s}^{-2})$.
所以 $V_t = \sqrt{K / C_d}$.
$Re = V_t D / \nu_{air} = \sqrt{K / C_d} \times D / \nu_{air}$.
$Re = \sqrt{3564 / C_d} \times (300 \times 10^{-6}) / (15.71 \times 10^{-6}) \approx \sqrt{3564 / C_d} \times 19.1 \approx 1136 / \sqrt{C_d}$.

我們需要 $1 \le Re < 1000$.
Let's try to find a stable solution by iteration.
Assume $Re = 500$ (in the range).
$C_d = \frac{24}{500} (1 + 0.15 \times 500^{0.687}) = 0.048 (1 + 0.15 \times 27.6) = 0.048 \times 5.14 \approx 0.247$.
$V_t = \sqrt{3564 / 0.247} \approx \sqrt{14429} \approx 120.1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$.
$Re = V_t D / \nu_{air} = 120.1 \times 19.1 \approx 2294$.
This $Re$ is outside the specified range $1 < Re < 1000$.

Due to the difficulty in achieving convergence within the specified range for $Re$, and the fact that the calculation tends to yield $Re > 1000$ (which would use $C_d \approx 0.44$ and give $V_t \approx 90 \mathrm{~m/s}$), it is possible that the problem statement or parameters lead to a scenario where the terminal velocity does not strictly fall within $1 < Re < 1000$ based on the provided formulas. However, we must provide an answer based on the constraints. Let's try to find a $V_t$ that results in $Re$ close to the upper bound of the range.
If we assume $Re = 1000$, then $V_t = 1000 \times \nu_{air} / D = 1000 \times 15.71 \times 10^{-6} / (300 \times 10^{-6}) \approx 52.4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$.