114 年 國立中山大學機械與機電工程學系碩士班丙組《自動控制》

核心觀念

此題考察：

• 單位負回授系統的閉迴路特徵方程式
• 根軌跡的實軸範圍、漸近線與離開角
• Routh–Hurwitz 穩定判據

由圖可得前向傳遞函數

$$G(s)=K\frac{s+1}{s+3}\frac{7}{s^2(s+5)} =\frac{7K(s+1)}{s^2(s+3)(s+5)}.$$

因為是單位負回授，閉迴路特徵方程式為

$$1+G(s)=0.$$

因此

$$s^2(s+3)(s+5)+7K(s+1)=0,$$

整理得

$$s^4+8s^3+15s^2+7Ks+7K=0.$$

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(a) 根軌跡

開迴路極點與零點

開迴路極點：

$$s=0,\quad s=0,\quad s=-3,\quad s=-5.$$

開迴路零點：

$$s=-1.$$

共有 $n=4$ 個極點、$m=1$ 個零點，因此有

$$n-m=3$$

條根軌跡分支趨向無限遠。

實軸根軌跡範圍

實軸上一點若其右側的開迴路極點與零點總數為奇數，則該點屬於根軌跡。

因此實軸根軌跡為

$$(-\infty,-5)$$

以及

$$(-3,-1).$$

其中：

• $-3$ 的分支沿實軸移動至零點 $-1$
• $-5$ 的分支沿實軸移向 $-\infty$
• $s=0$ 的兩重極點分支離開至複數平面

漸近線

漸近線交點為

$$\sigma_a = \frac{\sum \text{極點}-\sum \text{零點}}{n-m} = \frac{(0+0-3-5)-(-1)}{3} = -\frac{7}{3}.$$

漸近線角度為

$$\theta_q=\frac{(2q+1)180^\circ}{3}, \qquad q=0,1,2.$$

所以三條漸近線角度為

$$60^\circ,\quad 180^\circ,\quad 300^\circ.$$

離開角

在原點有兩重極點。令 $s$ 接近原點，根軌跡條件為

$$\angle\left[ \frac{s+1}{s^2(s+3)(s+5)} \right] =180^\circ.$$

由於原點的極點為二重極點，兩分支分別以

$$\theta=90^\circ,\quad 270^\circ$$

離開原點，也就是沿正、負虛軸方向離開。

根軌跡概形

根軌跡具有下列特徵：

核心觀念

本題考查理想運算放大器的反相放大器，以及含電阻、電容之阻抗分析。

理想運算放大器在負回授且非反相端接地時，反相端為虛地，因此反相放大器增益為

$$\frac{V_o}{V_i}=-\frac{Z_f}{Z_{in}}.$$

圖中電路可分為兩級：

1. 第一級：輸入阻抗為 $(R_1+R_2)$ 與 $C_1$ 的並聯，回授阻抗為 $R_3$、$R_4$、$C_2$ 串聯。
2. 第二級：標準反相放大器，增益為 $-R_6/R_5$。

兩級皆反相，因此總增益為正。

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解題方法

第一步：求第一級輸入阻抗

由圖可知，$R_1$、$R_2$ 串聯後與 $C_1$ 並聯，因此

$$R_{12}=R_1+R_2$$ $$R_{12}=200\,\text{M}\Omega+300\,\text{M}\Omega =500\,\text{M}\Omega.$$

電容 $C_1$ 的阻抗為

$$Z_{C_1}=\frac{1}{sC_1}.$$

所以第一級輸入阻抗為

$$Z_{in}=R_{12}\parallel \frac{1}{sC_1} =\frac{R_{12}}{1+sR_{12}C_1}.$$

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第二步：求第一級回授阻抗

圖中第一級回授路徑為 $R_3$、$R_4$、$C_2$ 串聯，因此

$$Z_f=R_3+R_4+\frac{1}{sC_2}.$$

令

$$R_{34}=R_3+R_4 =10\,\text{M}\Omega+10\,\text{k}\Omega =10.01\,\text{M}\Omega.$$

則

$$Z_f=R_{34}+\frac{1}{sC_2} =\frac{1+sR_{34}C_2}{sC_2}.$$

第一級增益為

$$G_1(s)=-\frac{Z_f}{Z_{in}} =-\frac{(1+sR_{34}C_2)(1+sR_{12}C_1)} {sC_2R_{12}}.$$

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第三步：求第二級增益

第二級為反相放大器，因此

$$G_2(s)=-\frac{R_6}{R_5} =-\frac{50\,\text{k}\Omega}{1\,\text{k}\Omega} =-50.$$

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第四步：求總轉移函數

核心觀念

系統傳遞函數為

$$G(s)=\frac{1}{(s+0.5)^2}$$

輸入為單位階躍

$$r(t)=u(t),\qquad R(s)=\frac{1}{s}$$

因此輸出拉氏轉換為

$$Y(s)=G(s)R(s) =\frac{1}{s(s+0.5)^2}$$

本題重點包括：

• 單位階躍輸入的拉氏轉換。
• 傳遞函數與輸出的關係 $Y(s)=G(s)R(s)$。
• 重複極點的部分分式分解。
• 反拉氏轉換公式
  $\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+a}\right\}=e^{-at}$
  $\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s+a)^2}\right\}=te^{-at}$

解題方法

由於輸入是單位階躍，先將傳遞函數乘上 $1/s$：

$$Y(s)=\frac{1}{s(s+0.5)^2}$$

進行部分分式分解：

$$\frac{1}{s(s+0.5)^2} = \frac{A}{s} +\frac{B}{s+0.5} +\frac{C}{(s+0.5)^2}$$

兩邊同乘以 $s(s+0.5)^2$：

$$1=A(s+0.5)^2+Bs(s+0.5)+Cs$$

比較各次方係數：

$$1=A(s^2+s+0.25)+B(s^2+0.5s)+Cs$$

因此

核心觀念

本題為經典的自動控制基本觀念是非與簡答題，涵蓋時域響應、頻域分析、穩定度理論與系統建模四大核心領域：

1. 時域動態響應與主導極點：高階系統的主導極點（Dominant Poles）簡化法則、標準二階系統的阻尼比 $\zeta$ 與超越量（Percent Overshoot, $\%OS$）關係、極點實部大小與收斂速度（時間常數）之關聯。
2. 穩定度與系統響應：線性非時變（LTI）系統的漸近穩定性（Asymptotic Stability）定義、零輸入響應（Zero-Input Response）與零狀態響應（Zero-State Response）之區別、脈衝響應 $h(t)$ 與步階響應 $y_{step}(t)$ 的微積分對偶關係及直流增益（DC Gain）。
3. 頻域穩定度邊限與時間延遲：增益邊限（Gain Margin, $GM$）與相位邊限（Phase Margin, $PM$）之物理意義與計算基準、純時間延遲（Time Delay, $e^{-sT_d}$）對系統穩定度的影響、串聯系統（Cascaded Systems）頻域特性之非線性疊加本質。
4. 動態系統物理類比：跨領域（力學、電氣、流體）系統的相似性（System Analogies）與狀態方程式同構性。

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解題方法

針對各子題，先依據控制工程嚴謹之數學定義與定理進行是非判斷（標註 $\bigcirc$ 或 $\text{X}$），隨後給出明確的理論推導、反例或物理原理解析。

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各子題詳解與分析

A. $\bigcirc$

• 理由：
  主導極點（Dominant Poles）是指在 $s$ 平面上最靠近虛軸（即實部負值最小、衰減最慢）的極點。遠離虛軸的非主導極點所對應的暫態模態衰減極快（通常若遠離 5 倍以上即可忽略其暫態影響），因此保留主導極點能在簡化系統階數的同時，精確保留原系統暫態響應（如上升時間、超越量、振盪頻率）與穩態特性的基本動態行為。

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B. $\text{X}$

• 理由：
  對於連續時間 LTI 系統，漸近穩定的充要條件為「系統所有閉迴路極點之實部皆嚴格小於零（$\text{Re}(p_i) < 0$）」。系統的脈衝響應 $h(t)$ 為各極點對應模態 $t^k e^{p_i t}$ 的線性組合，當 $\text{Re}(p_i) < 0$ 時，當時間趨近於無窮大時，所有模態必滿足：
  $\lim_{t \to \infty} h(t) = 0$
  因此，漸近穩定系統之脈衝響應必然會收斂至零。

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C. $\bigcirc$

• 理由：
  標準二階無零點 LTI 系統的閉迴路轉移函數為：
  $T(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}$
  在次阻尼條件下（$0 < \zeta < 1$），其步階響應的最大超越百分比公式為：
  $\%OS = e^{-\frac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}} \times 100\%$
  此數值僅由阻尼比 $\zeta$ 單一參數決定，與自然震盪頻率 $\omega_n$ 無關。

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D. $\bigcirc$

• 理由：
  相位邊限 $PM$ 定義為在增益交越頻率 $\omega_{gc}$（滿足 $|L(j\omega_{gc})| = 1$）處，開迴路相位 $\angle L(j\omega_{gc})$ 與 $-180^\circ$ 之間的裕度。若系統額外引入純時間延遲 $T_d$，將引入額外相位落後 $\Delta \theta = \omega_{gc} T_d$（以 rad 計）。當延遲導致相位額外落後恰好等於 $PM$ 時系統達到臨界穩定，故系統所能容忍的最大額外延遲時間為：
  $T_{d,\max} = \frac{PM}{\omega_{gc}}$
  因此，$PM$ 直接反映了系統容許額外時間延遲的能力。

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E. $\text{X}$

• 理由：
  過阻尼（Overdamped, $\zeta > 1$）系統具有兩個相異實數極點 $s = -\sigma_1, -\sigma_2$（$\sigma_2 > \sigma_1 > 0$），系統響應速度由靠近虛軸的主導極點 $-\sigma_1$ 決定，對應時間常數為 $\tau_1 = \frac{1}{\sigma_1}$。若將極點移向更靠近虛軸的方向，代表 $\sigma_1$ 變小、時間常數 $\tau_1$ 變大，指數衰減項 $e^{-\sigma_1 t}$ 衰減變慢，導致系統響應**變慢（slower）**而非變快。

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F. $\text{X}$

• 理由：
  漸近穩定性（Asymptotic Stability）是針對**零輸入響應（Zero-Input Response）**之平衡狀態的定義，即當外加輸入為零（$u(t) = 0$）時，任意初始狀態最終都會衰減回到原點平衡狀態。當系統持續施加非零外加輸入（如單位步階輸入 $u(t) = 1$）時，系統將收斂至對應於該輸入的非零穩態值（強制響應），而不會回到無外力時的平衡狀態。

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