114 年 國立中山大學機械與機電工程學系碩士班戊組《科技英文》

核心觀念

本題考查「滾動運動中的摩擦力」以及靜摩擦力、滑動摩擦力的差異。

• 靜摩擦力：接觸面之間沒有相對滑動時存在，大小會依需求調整，且不一定等於最大靜摩擦力。
• 滑動摩擦力：接觸面之間發生相對滑動時存在，會將機械能轉化為熱能，造成能量損失。

滑板輪子正常滾動時，輪子與人行道的接觸點瞬間相對於地面靜止，因此理想情況下屬於純滾動。純滾動所需的摩擦力是靜摩擦力，理想靜摩擦力不做耗能功。

解題方法

題目要求同時滿足兩個條件：

1. 盡量減少能量損失
   應避免輪子在地面上滑動，因為滑動摩擦會造成摩擦耗散。滑板輪子應保持滾動而非打滑，因此需要靜摩擦力。

2. 能控制運動方向
   滑板轉彎時，輪子需要受到側向力，使速度方向改變。這個側向力由輪子與地面間的靜摩擦力提供。

在理想純滾動條件下，摩擦力可表示為靜摩擦力：

$$f_s \leq \mu_s N$$

其中 $f_s$ 是實際靜摩擦力，$\mu_s$ 是靜摩擦係數，$N$ 是正向力。只要所需側向力不超過最大靜摩擦力，滑板就能在不打滑的情況下轉向。

因此，最適合的摩擦類型是只有靜摩擦力。

選項分析

好的，這是一題關於汽車輪胎不平衡所引起的震動現象，考驗的是對共振 (Resonance) 概念的理解。

核心觀念：

此題的核心觀念是「共振現象」。當一個系統受到週期性外力，且此外力的頻率接近系統的自然頻率時，系統的振幅會急劇增大，這種現象稱為共振。在汽車輪胎的例子中，不平衡的輪胎在旋轉時會產生一個週期性的不平衡力，若此頻率與汽車某個部件（例如懸吊系統或車身）的自然振動頻率相近，就會引發強烈的震動。

解題過程：

1. 分析題目情境： 題目描述當汽車輪胎安裝新輪胎後，若配重塊脫落，在特定速度下汽車會劇烈震動。這表示輪胎的不平衡在特定轉速下會產生一個顯著的效應。

2. 評估選項 (A)： 「The vibrating wheel behaves like a harmonic oscillator.」

   • 說明： 輪胎在不平衡時，其旋轉會產生一個週期性的力或力矩。這個週期性的力可以被視為驅動一個系統（輪胎本身或與之相連的懸吊系統）的週期性外力。許多物理系統，包括受週期性外力驅動的輪胎，都可以近似地被描述為諧振子 (harmonic oscillator)。然而，僅僅說它「像」諧振子，並未解釋為何會「劇烈震動」。這是一個描述，但不是根本原因。

3. 評估選項 (B)： 「The rotational kinetic energy of the wheel equals the car's translational kinetic energy, allowing resonant energy transfer.」

好的，這是一題關於熱傳導的基本觀念題。

這題考的核心觀念是熱傳導的定律，特別是熱量總是從高溫物體流向低溫物體，以及不同材質的導熱性差異。當兩個溫度不同的物體接觸時，熱量會透過傳導的方式在它們之間移動，直到兩者的溫度達到平衡。

解題過程：

題目中提到有三個金屬、玻璃和塑膠的碗，它們的初始溫度都是攝氏 20°C (華氏 68°F)。當你將這三個碗互相接觸時，我們需要判斷熱量會如何流動。

1. 溫度判斷： 題目明確指出，三個碗的初始溫度是相同的，都是 68°F (20°C)。

好的，這是一題關於物理現象的科學常識題，主要考驗你對「沸點」與「氣壓」之間關係的理解。

題目詳解

這題的核心觀念是水的沸點與周圍環境的氣壓有關。在標準大氣壓下，水的沸點是攝氏 100 度。然而，當氣壓降低時，水的沸點也會隨之降低。反之，當氣壓升高時，水的沸點也會升高。

解題過程：

1. 理解題意： 題目描述了在海平面（Charlottesville）煮雞蛋可以煮熟，但在高山上（聖母峰）卻煮不熟。詢問原因。
2. 分析關鍵資訊：
   • 海平面：氣壓較高，水的沸點約為 100°C。
   • 聖母峰（高海拔）：氣壓較低。
   • 雞蛋需要達到一定溫度才能煮熟（蛋白質變性）。
3. 連結物理原理：
   • 水的沸騰是指液態水轉變成氣態水蒸氣的過程。這個過程發生時，水的蒸氣壓等於周圍的氣壓。
   • 在低氣壓環境下，水的蒸氣壓更容易達到周圍的氣壓，因此水可以在較低的溫度下就開始沸騰。
   • 雞蛋的烹煮過程是蛋白質受熱變性的化學反應，需要足夠的熱能（溫度）才能有效進行。
4. 評估選項：

好的，我是你的科技英文補教名師。這題是關於流體力學中波浪運動的觀念題，看似簡單，但需要對波浪的傳播方式有正確的理解。

第 5 題詳解

這題主要考驗學生對水波（特別是前進中的波浪）中質點運動的理解。當我們身處於海浪中，身體的運動並非單純的上下或前後移動，而是與波浪的能量傳遞方式有關。

核心觀念：

水波的傳播本質上是能量的傳遞，而不是水的質點本身的長距離位移。在大多數情況下，水中的質點會沿著近似圓形的軌跡運動，隨著波浪通過而來回擺動。

解題過程：

題目描述在海邊游泳，越過破碎的浪頭，漂浮在波浪之中。當每個波峰經過時，你的移動方式為何？

我們需要分析波浪中質點的運動軌跡。對於前進的表面波，水中的質點會進行近似的圓周運動。想像一下，當一個波峰接近時，水面會抬升，質點會向上移動；當波峰通過並開始形成波谷時，水面會下降，質點會向下移動。同時，由於波浪是向前傳播的，質點也會有水平方向的運動。

具體來說，質點的運動軌跡是：

1. 向上移動：當波峰接近時。
2. 向前（向岸邊）移動：當波峰到達最高點時，質點會向前移動。
3. 向下移動：當波谷接近時。
4. 向後（遠離岸邊）移動：當波谷到達最低點時，質點會向後移動。

這個運動軌跡合起來就是一個近似的圓形。

讓我們逐一檢視選項：

核心觀念

盪鞦韆可近似視為單擺。當擺動角度不大時，單擺週期為

$$T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$

其中：

• $T$：完成一次完整振盪所需的時間
• $L$：繩子的長度
• $g$：重力加速度

由公式可知，週期只與繩長 $L$ 和重力加速度 $g$ 有關，與孩童的質量及小振幅無關。

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解題方法

對單擺而言，孩童受到的切向回復力為

$$F_{\text{t}}=-mg\sin\theta$$

在小角度下，使用小角近似 $\sin\theta\approx\theta$：

$$F_{\text{t}}\approx -mg\theta$$

又因為弧長位移 $s=L\theta$，所以

$$\theta=\frac{s}{L}$$

代入牛頓第二定律：

$$m\frac{d^2s}{dt^2}=-mg\frac{s}{L}$$

約去質量 $m$：

$$\frac{d^2s}{dt^2}+\frac{g}{L}s=0$$

這是簡諧運動方程式，其角頻率為

$$\omega=\sqrt{\frac{g}{L}}$$

因此週期為

$$T=\frac{2\pi}{\omega} =2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$

公式中沒有孩童質量，也沒有振幅，表示在小角度條件下，週期與這兩者皆無關；週期只會隨繩長改變。

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選項分析

(A) The weight of the child, but not the amplitude of the motion.

好的，這是一題關於物體受力分析的題目，核心觀念是牛頓第二運動定律 ($\vec{F}_{net} = m\vec{a}$) 以及力的分解。題目描述了一個衝浪者在海浪上移動的情境，要求判斷作用在衝浪者身上的淨力方向。

解題過程：

1. 理解題目情境： 題目描述衝浪者「位於海浪前緣的半途中」，並且「以恆定的速度朝岸邊前進」。這意味著衝浪者的加速度 $\vec{a}$ 為零，因為速度是恆定的。

2. 應用牛頓第二運動定律： 根據牛頓第二運動定律，作用在物體上的淨力（合力）等於物體的質量乘以其加速度：
   $\vec{F}_{net} = m\vec{a}$
   由於衝浪者以恆定的速度朝岸邊前進，其加速度 $\vec{a} = 0$。因此，作用在衝浪者身上的淨力為：
   $\vec{F}_{net} = m \times 0 = 0$

核心觀念

本題考查理想繩子的張力傳遞與力的總和：

• 無摩擦穿過鞋孔，因此鞋帶各處張力皆為 $10\ \text{N}$。
• 每個鞋孔兩側各連接一段鞋帶，因此該鞋孔受到兩個大小皆為 $10\ \text{N}$ 的拉力。
• 右側共有 $5$ 個鞋孔，需計算這 $5$ 個鞋孔承受的力總和。

解題方法

對右側的每一個鞋孔而言，鞋帶在孔的兩側各施加一個張力：

$$F_{\text{每孔}}=10+10=20\ \text{N}$$

右側共有 $5$ 個鞋孔，因此鞋帶對右側鞋面的總力為：

$$F_{\text{總}}=5\times 20$$ $$F_{\text{總}}=100\ \text{N}$$

此題採用考試中的理想化模型，將每個鞋孔兩側的張力貢獻直接相加。

選項分析

好的，這是一題關於熱傳學的觀念題，主要考驗你對輻射、對流和傳導這三種熱傳方式的理解，以及不同表面性質（如光澤度、顏色）如何影響熱傳效率。

第 9 題詳解

核心觀念：
本題主要探討熱傳的三種基本方式：輻射、對流和傳導，以及物體表面性質（如反射率、吸收率、發射率）對輻射熱傳的影響。在密閉空間內，太陽輻射是主要的熱源，而窗戶的材料和表面處理會顯著影響室內溫度。

解題過程：

題目描述在一個高樓的角落辦公室，即使在涼爽的天氣，陽光強烈時室內也會變得異常炎熱。為了改善這個情況，你在窗戶的內側貼上了鋁箔。我們要分析這個舉動會產生什麼效果。

首先，我們需要了解熱傳的三種方式：

1. 傳導 (Conduction)： 熱量透過直接接觸從一個物體傳遞到另一個物體。例如，手碰到熱鍋會被燙到。
2. 對流 (Convection)： 熱量透過流體（液體或氣體）的移動來傳遞。例如，煮水時，熱水從鍋底上升，冷水下降，形成對流。
3. 輻射 (Radiation)： 熱量以電磁波的形式傳遞，不需要介質。例如，太陽的熱量透過太空傳播到地球。

在辦公室的案例中，主要的熱源是來自窗外的太陽輻射。當陽光照射到窗戶時，一部分能量會被玻璃吸收並傳導進來，一部分會穿透玻璃進入室內。

現在，我們來分析貼上鋁箔的效果：

• 鋁箔的性質： 鋁箔通常具有非常光滑、有光澤的表面。這種表面具有很高的反射率（對可見光和紅外線輻射），以及很低的發射率（emissivity）。
• 反射率 (Reflectivity, $\rho$)： 指物體表面反射入射輻射的能力。高反射率意味著大部分輻射被反射，吸收的能量少。
• 發射率 (Emissivity, $\epsilon$)： 指物體表面發射熱輻射的能力，與其吸收能力（吸收率, $\alpha$）有關。根據克希荷夫熱輻射定律 (Kirchhoff's Law of Thermal Radiation)，在熱平衡狀態下，物體的吸收率等於其發射率 ($\alpha = \epsilon$)。對於不透明物體，反射率、吸收率和透射率之和為 1 ($\rho + \alpha + \tau = 1$)。由於玻璃和鋁箔都是不透明的，所以 $\tau = 0$，則 $\rho + \alpha = 1$。
• 史提芬-波茲曼定律 (Stefan-Boltzmann Law)： 物體輻射出的能量與其絕對溫度的四次方成正比，並與其發射率有關。淨輻射熱傳速率 $Q_{rad}$ 可以表示為：
  $Q_{rad} = \epsilon \sigma A (T_{surface}^4 - T_{surroundings}^4)$
  其中 $\epsilon$ 是發射率，$\sigma$ 是史提芬-波茲曼常數，$A$ 是表面積，$T$ 是絕對溫度。

分析選項：

好的，這是一題關於牛頓第二運動定律與受力分析的經典題目，核心觀念在於分析物體在非慣性參考系（或有加速度的參考系）中的「視重」變化。當你位於一個加速的系統中時，你感受到的「重量」並非你真實的質量乘以重力加速度 $g$，而是由你所受的合力與你的運動狀態所決定。

解題過程：

首先，我們需要理解「感覺較重」或「感覺較輕」的物理意義。在日常生活中，我們感覺到的重量是身體對支撐物（例如地面或椅子）施加的力，同時支撐物也對我們施加一個大小相等、方向相反的「支持力」（或稱正向力）。當我們處於靜止或等速直線運動時，這個支持力的大小等於我們的重力，即 $N = mg$。然而，當我們處於一個加速運動的參考系中時，我們感受到的「重量」實際上是這個支持力 $N$ 的大小。

題目描述了一個山地自行車騎士騎過一個光滑、碗狀底部深谷的情境。忽略摩擦力和空氣阻力，騎士從一側滑下，又滑上另一側。我們關心的是騎士在谷底時的感受。

在谷底，騎士的運動軌跡是一個圓弧的最低點。雖然騎士在谷底的瞬間速度是水平的（因為是從一側滑下後到達最低點，然後開始向上滑），但他的運動方向正在改變。更重要的是，騎士在這個碗狀底部受到兩個力的作用：

1. 重力 (Gravity): 大小為 $mg$，方向鉛直向下。
2. 支持力 (Normal Force): 由谷底的曲面提供，方向垂直於該曲面，即指向圓心（向上）。

由於騎士正在進行圓周運動（即使只是瞬間，但有向心加速度），因此在谷底時，他必定受到一個指向圓心的合力，這個合力提供了向心力。在谷底，圓周運動的圓心在騎士的上方。因此，合力方向是向上的。

根據牛頓第二運動定律，合力等於質量乘以加速度：
$\sum F = ma$

在谷底，我們考慮鉛直方向的力。騎士所受的合力是支持力 $N$ 減去重力 $mg$（因為支持力向上，重力向下，且合力方向向上）：
$N - mg = ma_c$
其中 $a_c$ 是向心加速度，方向向上。

好的，這是一份針對國立中山大學機械與機電工程學系碩士班戊組 114 年度科技英文考古題 B.1 題的詳解。

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B.1 題：工程應力與真實應力的區別

核心觀念：
本題旨在探討材料力學中兩種重要的應力描述方式：工程應力 (engineering stress) 和真實應力 (true stress)。兩者在定義、計算方式以及應用場合上有所不同，尤其在材料發生較大形變（塑性變形）時，其差異會變得顯著。理解這兩者的區別對於準確分析材料的力學行為至關重要。

解題過程：

定義與計算方式的區別

• 工程應力 (Engineering Stress)
  工程應力是材料力學中最常用的應力定義，它基於材料試驗時的初始尺寸來計算。當對材料施加外力時，我們測量作用力 $F$ 以及材料試樣的初始橫截面積 $A_0$（或初始長度 $L_0$）。

  • 定義： 工程應力定義為作用力除以試樣的初始橫截面積。
  • 計算公式：
    $\sigma_e = \frac{F}{A_0}$
    其中：
    • $\sigma_e$ 代表工程應力 (engineering stress)。
    • $F$ 是施加的外力。
    • $A_0$ 是試樣的初始橫截面積。

  工程應力在材料發生小範圍彈性變形時，能很好地描述材料的行為。然而，當材料發生顯著的塑性變形時，試樣的橫截面積會不斷減小，但工程應力仍使用初始面積計算，因此它會低估實際作用在材料上的應力。

• 真實應力 (True Stress)
  真實應力則基於材料試驗時的瞬時尺寸來計算。在材料發生形變的過程中，我們不斷測量作用力 $F$ 以及試樣在該瞬間的實際橫截面積 $A$（或實際長度 $L$）。

  • 定義： 真實應力定義為作用力除以試樣的瞬時橫截面積。
  • 計算公式：
    $\sigma_t = \frac{F}{A}$
    其中：
    • $\sigma_t$ 代表真實應力 (true stress)。
    • $F$ 是施加的外力。
    • $A$ 是試樣在施加力 $F$ 時的瞬時橫截面積。

  真實應力更準確地反映了材料在任何變形階段所承受的實際應力狀態，尤其是在進行大塑性變形分析時，真實應力是更為合適的參數。

兩者之間的關係

好的，這題是關於材料力學中，延性材料（ductile material）的應力-應變關係，重點在於區分彈性變形（elastic behavior）與塑性變形（plastic behavior）的差異。

解題過程

核心觀念：
材料在受力時會產生變形。當外力移除後，如果材料能完全恢復原狀，這種變形稱為彈性變形；如果材料產生永久變形，則稱為塑性變形。應力-應變曲線（stress-strain curve）能清楚地描繪出這兩種行為的差異。

彈性行為 (Elastic Behavior)：
在彈性範圍內，材料的應力與應變之間呈現線性或非線性的比例關係，但這種變形是可逆的。當應力移除後，材料會完全恢復其原始形狀。對於大多數金屬材料，在低應力下，應力與應變的關係近似於線性，遵循虎克定律（Hooke's Law）。

數學上，在彈性範圍內，應力 $\sigma$ 與應變 $\epsilon$ 的關係可以表示為：
$\sigma = E \epsilon$
其中 $E$ 是材料的楊氏模數（Young's Modulus），代表材料抵抗彈性變形的剛度。

塑性行為 (Plastic Behavior)：
當應力超過材料的彈性極限（elastic limit）或降伏強度（yield strength）後，材料會開始產生永久變形，這就是塑性變形。在塑性範圍內，即使應力移除，材料也無法完全恢復原狀，會留下永久的變形。塑性變形通常是非線性的，且應力與應變的關係會變得複雜。

核心觀念

本題考查靜力平衡與彎矩零點。圖中：

• 梁長為 $L$，右端支點 $C$ 位於 $x=L$。
• 左端有向下集中力 $P$。
• $B$ 點距離 $C$ 為 $L/3$，因此 $B$ 的位置為 $x=2L/3$。
• 滾輪支承 $A$ 位於距左端 $a$ 的位置。
• 要使 $B$ 點彎矩為零，必須滿足 $M_B=0$。

解題方法

設支點 $A$ 的垂直反力為 $R_A$。

先對整根梁以 $C$ 點取力矩。由圖中兩個向下力：

• 左端的 $P$ 到 $C$ 的距離為 $L$；
• $B$ 點的 $P$ 到 $C$ 的距離為 $L/3$。

因此，

$$R_A(L-a)-PL-P\left(\frac{L}{3}\right)=0$$

得到

$$R_A(L-a)=\frac{4PL}{3}$$ $$R_A=\frac{4PL}{3(L-a)}$$

接著對 $B$ 點左側取彎矩。左端集中力 $P$ 對 $B$ 的力臂為 $2L/3$，支點反力 $R_A$ 的力臂為 $2L/3-a$。由題意 $M_B=0$：

$$R_A\left(\frac{2L}{3}-a\right)-P\left(\frac{2L}{3}\right)=0$$

代入 $R_A$：

核心觀念

本題考查面積對 $x$ 軸的面積慣性矩：

$$I_x=\int_A y^2\,dA$$

圖中陰影區位於矩形 $0\le x\le4$、$0\le y\le8$ 內，曲線為

$$y=\frac{1}{8}x^3$$

因此對固定的 $x$，陰影範圍是

$$\frac{x^3}{8}\le y\le8$$

解題方法

取寬度為 $dx$ 的垂直微小面積條，則

$$dA=dy\,dx$$

面積慣性矩為

$$I_x=\int_0^4\int_{x^3/8}^{8}y^2\,dy\,dx$$

先對 $y$ 積分：

$$I_x =\int_0^4 \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{x^3/8}^{8}dx$$ $$=\frac{1}{3}\int_0^4 \left[ 8^3-\left(\frac{x^3}{8}\right)^3 \right]dx$$ $$=\frac{1}{3}\int_0^4 \left(512-\frac{x^9}{512}\right)dx$$ $$=\frac{1}{3} \left[ 512x-\frac{x^{10}}{5120} \right]_0^4$$ $$=\frac{1}{3} \left( 2048-\frac{4^{10}}{5120} \right) =614.4\ \text{m}^4$$

核心觀念

彈性模數 $E$ 是應力—應變圖中線性彈性區的斜率：

$$E=\frac{\Delta \sigma}{\Delta \varepsilon}$$

其中應力 $\sigma$ 的單位為 ksi，應變 $\varepsilon$ 為無因次量。

解題方法

取圖中從原點 $O$ 到 $A$ 的直線段。由縱軸讀得 $A$ 點應力約為 $50\ \text{ksi}$；應變須讀圖下方的細部刻度，$A$ 點對應 $\varepsilon=0.0016$。因此：

核心觀念

本題考「$0.2\%$ 偏移降伏強度」。對沒有明顯降伏平台的材料，將彈性直線段平行移動，使新直線從應變 $\varepsilon=0.002$（即 $0.2\%$）開始；此線與應力－應變曲線的交點所對應的應力，就是降伏強度 $\sigma_{ys}$。

解題方法

核心觀念

工程應力以試片原始截面積 $A_0$ 計算：

$$\sigma=\frac{F}{A_0}$$

應力－應變圖上的極大應力為極限抗拉應力 $\sigma_u$；試片斷裂時對應的應力為斷裂應力 $\sigma_f$。

解題方法

直接讀取圖 3 的縱軸應力值：曲線最高點 $B$ 對應約 $108\ \text{ksi}$，因此 $\sigma_u=108\ \text{ksi}$；