111 年 國立中山大學機械與機電工程學系碩士班丁組《靜力學》

這是一題名詞解釋題，主要在測試考生對靜力學基本概念的理解程度。

(a) Newton's Laws of Motion (牛頓運動定律)
牛頓運動定律是描述物體運動與受力之間關係的三條基本定律，是古典力學的基礎。
第一運動定律（慣性定律）：任何物體都會保持靜止或等速直線運動的狀態，直到有外力作用於其上改變這種狀態。
第二運動定律（加速度定律）：物體所受的淨外力等於其質量與加速度的乘積，且力的方向與加速度的方向相同。數學表達式為 $\mathbf{F} = m\mathbf{a}$。
第三運動定律（作用與反作用定律）：每一個作用力都有一個大小相等、方向相反的反作用力。

(b) Unit Vector (單位向量)
單位向量是一個大小（長度）為 1 的向量。它通常用來表示方向。如果一個向量 $\mathbf{v}$ 的大小為 $|\mathbf{v}|$，那麼與 $\mathbf{v}$ 同方向的單位向量 $\mathbf{u}$ 可以表示為 $\mathbf{u} = \frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}$。在三維空間中，常用的單位向量有沿 x, y, z 軸的 $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$, $\mathbf{k}$。

核心觀念

本題考查複合平面圖形的形心座標。將 I 形截面分成三個矩形，利用面積形心公式：

$$\bar{x}=\frac{\sum A_i x_i}{\sum A_i}, \qquad \bar{y}=\frac{\sum A_i y_i}{\sum A_i}$$

由圖可知：

• 總寬度：$3+1+3=7\text{ cm}$
• 總高度：$1+5+1=7\text{ cm}$
• 腹板厚度：$1\text{ cm}$

解題方法

以圖示左側 $y$ 軸與底部 $x$ 軸的交點為座標原點，將截面分為：

部分	面積 $A_i$	形心座標 $(x_i,y_i)$
下翼板	$7(1)=7$	$(3.5,0.5)$
腹板	$1(5)=5$	$(3.5,3.5)$
上翼板	$7(1)=7$	$(3.5,6.5)$

由於截面左右對稱，形心必位於中央垂直線上，因此：

此題考驗計算力對一點的力矩。題目要求計算 750 lb 的力 F 對點 A 所產生的力矩。

解題步驟：

1. 確定力的向量表示：
   力 F 大小為 750 lb，方向與水平線成 60° 角，向上且向右。
   我們可以將力 F 分解為水平分量 $F_x$ 和垂直分量 $F_y$。
   $F_x = F \cos(60^\circ) = 750 \text{ lb} \times \frac{1}{2} = 375 \text{ lb}$ (水平向右)。
   $F_y = F \sin(60^\circ) = 750 \text{ lb} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 750 \times 0.866 = 649.5 \text{ lb}$ (垂直向上)。
   所以，力 F 的向量表示為 $\mathbf{F} = (375 \mathbf{i} + 649.5 \mathbf{j})$ lb。

2. 確定力作用點相對於點 A 的向量：
   從圖二可知，力 F 的作用點相對於點 A 的位置向量 $\mathbf{r}$。
   點 A 的座標可以設為 $(0,0)$。
   力 F 的作用點在水平方向距離 A 為 3 ft，在垂直方向距離 A 為 2 ft。
   所以，力 F 的作用點的座標為 $(3, 2)$ ft。
   則力作用點相對於點 A 的向量為 $\mathbf{r} = (3 \mathbf{i} + 2 \mathbf{j})$ ft。

3. 計算力矩：
   力矩 $\mathbf{M}_A$ 等於力作用點相對於參考點的向量 $\mathbf{r}$ 與力向量 $\mathbf{F}$ 的叉積：
   $\mathbf{M}_A = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$
   $\mathbf{M}_A = (3 \mathbf{i} + 2 \mathbf{j}) \times (375 \mathbf{i} + 649.5 \mathbf{j})$
   $\mathbf{M}_A = (3 \times 649.5) (\mathbf{i} \times \mathbf{j}) + (3 \times 375) (\mathbf{i} \times \mathbf{i}) + (2 \times 649.5) (\mathbf{j} \times \mathbf{i}) + (2 \times 375) (\mathbf{j} \times \mathbf{j})$
   由於 $\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}$，$\mathbf{i} \times \mathbf{i} = 0$，$\mathbf{j} \times \mathbf{i} = -\mathbf{k}$，$\mathbf{j} \times \mathbf{j} = 0$，
   $\mathbf{M}_A = (1948.5) \mathbf{k} + 0 + (-1299) \mathbf{k} + 0$
   $\mathbf{M}_A = (1948.5 - 1299) \mathbf{k} \text{ lb-ft}$
   $\mathbf{M}_A = 649.5 \mathbf{k} \text{ lb-ft}$

   力矩的大小為 649.5 lb-ft，方向為沿 z 軸正向（垂直紙面向上）。

4. 另一種計算方法（力臂法）：
   力矩的大小等於力的大小乘以該力作用線到參考點的垂直距離（力臂）。
   力 F 的大小為 750 lb。
   點 A 到力 F 作用線的垂直距離（力臂）需要計算。
   首先，我們需要確定力 F 作用線的方程式。
   力 F 的作用點為 $(3, 2)$。
   力 F 的方向向量與水平線成 60° 角。
   力 F 的斜率 $m = \tan(60^\circ) = \sqrt{3}$。
   力 F 作用線的方程式為：$y - 2 = \sqrt{3}(x - 3)$
   $\sqrt{3}x - y + (2 - 3\sqrt{3}) = 0$

   點 A 的座標是 $(0,0)$。
   點到直線的距離公式：$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$
   在這裡，$A = \sqrt{3}$, $B = -1$, $C = 2 - 3\sqrt{3}$, $x_0 = 0$, $y_0 = 0$。
   力臂 $d = \frac{| \sqrt{3}(0) - 1(0) + (2 - 3\sqrt{3}) |}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2}}$

核心觀念

本題考查平面剛體的靜力平衡。樑在靜止狀態下必須滿足：

$$\sum F_y=0,\qquad \sum M_A=0$$

要求支承 $B$ 的反力，最直接的方法是對支承 $A$ 取力矩，使 $A$ 點反力的力矩消失。

由圖可知：

• $A$ 位於距左端 $10\ \text{in}$ 處。
• $B$ 位於距 $A$ 點 $6+6+6=18\ \text{in}$ 處。
• 左、右兩段均承受均佈載重 $12\ \text{lb/in}$，作用長度皆為 $10\ \text{in}$。
• 集中力依序為 $100\ \text{lb}$、$150\ \text{lb}$、$100\ \text{lb}$。
• 水平方向沒有外力，因此 $B$ 點無水平反力。

解題方法

將均佈載重等效為集中力：

左側均佈載重：

$$W_L=12(10)=120\ \text{lb}$$

其作用點位於左段中央，距 $A$ 點 $5\ \text{in}$。

右側均佈載重：

$$W_R=12(10)=120\ \text{lb}$$

其作用點距 $A$ 點：

$$18+5+6?$$

核心觀念

本題考查鼓桶在粗糙水平面上的「滑動」與「翻倒」臨界狀態，必須分別計算：

1. 靜摩擦力達到最大值時的滑動臨界力。
2. 鼓桶繞右下角接觸點翻倒時的臨界力。

圖中力 $P$ 的方向為 $3$-$4$-$5$ 三角形，因此

$$P_x=\frac{4}{5}P,\qquad P_y=\frac{3}{5}P$$

其中 $P_x$ 向右，$P_y$ 向下。

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解題方法一：檢查滑動臨界狀態

鼓桶尚未離開地面時，鉛直方向平衡：

$$N-W-\frac{3}{5}P=0$$

因此

$$N=100+\frac{3}{5}P$$

水平方向所需的摩擦力為

$$F=\frac{4}{5}P$$

滑動臨界時，摩擦力達最大值：

$$F=\mu_sN$$

代入 $\mu_s=0.5$：

$$\frac{4}{5}P = 0.5\left(100+\frac{3}{5}P\right)$$ $$0.8P=50+0.3P$$ $$0.5P=50$$ $$P_{\text{slide}}=100\ \text{lb}$$

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解題方法二：檢查翻倒臨界狀態

鼓桶若翻倒，將繞右下角接觸點 $O$ 旋轉。由圖中尺寸，力 $P$ 的作用點距右側邊緣水平距離為 $a=3\ \text{ft}$，距地面高度為 $b=4\ \text{ft}$。

以右下角 $O$ 取力矩：

• $P_x$ 造成順時針力矩：