109 年 國立中山大學機械與機電工程學系碩士班丁組《靜力學》

核心觀念

在接點 $B$ 取自由體圖，受到三個力：

• 貨物重量：$W=mg$
• 繩 $AB$ 的張力 $T_{AB}$，方向沿 $BA$
• 繩 $BC$ 的張力 $T_{BC}$，因 $C$ 處滾輪作用而保持水平

接點 $B$ 靜止，因此必須滿足：

$$\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0$$

由圖中 $AB=1.5\ \text{m}$、$y=0.75\ \text{m}$，可得繩 $AB$ 與水平線的夾角 $\theta$：

$$\sin\theta=\frac{0.75}{1.5}=0.5$$

因此：

$$\theta=30^\circ,\qquad \cos\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

解題方法

貨物重量為：

$$W=mg=200(9.81)=1962\ \text{N}$$

對接點 $B$ 寫鉛直方向平衡：

$$\sum F_y=0$$

本題考驗二維平面力系之靜力平衡條件。系統包含三個力 $F_1$, $F_2$, $F_3$，處於靜力平衡狀態，因此合力為零。

系統受到三個力的作用：

1. 力 $F_1$：大小為 100 N，方向與 +X 軸夾角為 $20^\circ$。
2. 力 $F_2$：大小為 60 N，方向與 +X 軸夾角為 $-35^\circ$ (或與 -X 軸夾角 $35^\circ$)。
3. 力 $F_3$：大小未知，其 x 和 y 分量需要求解。

系統處於靜力平衡，表示合力為零：$\sum \vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 = \vec{0}$。
這意味著合力的 x 和 y 分量都為零：
$\sum F_x = F_{1x} + F_{2x} + F_{3x} = 0$
$\sum F_y = F_{1y} + F_{2y} + F_{3y} = 0$

首先，計算已知力 $F_1$ 和 $F_2$ 的 x 和 y 分量。
力 $F_1 = 100 \, \text{N}$，與 +X 軸夾角 $20^\circ$。
$F_{1x} = F_1 \cos(20^\circ) = 100 \cos(20^\circ)$
$F_{1y} = F_1 \sin(20^\circ) = 100 \sin(20^\circ)$

力 $F_2 = 60 \, \text{N}$，與 +X 軸夾角 $-35^\circ$。
$F_{2x} = F_2 \cos(-35^\circ) = 60 \cos(35^\circ)$
$F_{2y} = F_2 \sin(-35^\circ) = 60 \sin(-35^\circ) = -60 \sin(35^\circ)$

本題考驗計算質心座標的方法。質心是物體質量分佈的平均位置。對於由多個離散質點組成的系統，其質心座標 $(x_{CM}, y_{CM})$ 可以通過以下公式計算：
$x_{CM} = \frac{\sum m_i x_i}{\sum m_i}$
$y_{CM} = \frac{\sum m_i y_i}{\sum m_i}$
其中 $m_i$ 是第 i 個質點的質量，$x_i$ 和 $y_i$ 是第 i 個質點的座標。

從圖三中，我們可以讀取三個質點 $M_1$, $M_2$, $M_3$ 的質量及其在 xy 平面上的座標：

1. 質點 $M_1$：
   質量 $m_1 = 5.6 \, \text{kg}$。
   座標 $(x_1, y_1) = (1, 4)$。

2. 質點 $M_2$：
   質量 $m_2 = 8.1 \, \text{kg}$。
   座標 $(x_2, y_2) = (2, 1)$。

3. 質點 $M_3$：
   質量 $m_3 = 2.3 \, \text{kg}$。
   座標 $(x_3, y_3) = (3, 4)$。

首先，計算系統的總質量 $M_{total}$：
$M_{total} = m_1 + m_2 + m_3 = 5.6 \, \text{kg} + 8.1 \, \text{kg} + 2.3 \, \text{kg} = 16.0 \, \text{kg}$。

接著，計算質心座標的分子部分：
$\sum m_i x_i = m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3$

核心觀念

力 $\mathbf F$ 對斜線 $AF$ 的矩，為總力矩在 $AF$ 軸線方向上的向量投影：

$$\mathbf M_{AF} = \left(\mathbf M_A\cdot \mathbf u_{AF}\right)\mathbf u_{AF}$$

其中 $\mathbf M_A$ 是力對軸上任一點 $A$ 的力矩，$\mathbf u_{AF}$ 是由 $A$ 指向 $F$ 的單位向量。

由圖得矩形塊尺寸為 $3\text{ m}\times 3\text{ m}\times1.5\text{ m}$，力作用於頂點 $B$：

$$\mathbf F=(-6\mathbf i+3\mathbf j+10\mathbf k)\text{ N}$$

解題方法

取 $A$ 為矩心計算點。由圖中座標方向：

$$\overrightarrow{AF} = 3\mathbf i+3\mathbf j-1.5\mathbf k$$

因此：

$$|\overrightarrow{AF}| = \sqrt{3^2+3^2+(-1.5)^2} =4.5\text{ m}$$

軸線 $AF$ 的單位向量為：

$$\mathbf u_{AF} = \frac{\overrightarrow{AF}}{|\overrightarrow{AF}|} = \frac{3\mathbf i+3\mathbf j-1.5\mathbf k}{4.5} = \frac{2}{3}\mathbf i+\frac{2}{3}\mathbf j-\frac{1}{3}\mathbf k$$

力的作用點為 $B$，故：

$$\overrightarrow{AB}=3\mathbf j\text{ m}$$

先求力對 $A$ 點的力矩：

核心觀念

本題考查：

1. 軸向桿件平均正應力
   $\sigma=\frac{N}{A}$

2. 軸向變形
   $\delta=\frac{NL}{AE}$

3. 剛性帽 $G$ 的變形相容條件：剛性帽只作水平平移，因此三根桿件端點的水平位移大小相同。

由圖可知，外力共有兩個 $40\ \text{kN}$，總水平外力為

$P=80\ \text{kN}$

採用材料彈性模數：

• C83400 red brass：$E_b=103\ \text{GPa}$
• Stainless 304：$E_s=193\ \text{GPa}$

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解題方法

1. 計算各桿件截面積

AB、CD 的直徑為 $30\ \text{mm}$：

$$A_b=\frac{\pi(30)^2}{4} =706.86\ \text{mm}^2$$

EF 的直徑為 $40\ \text{mm}$：

$$A_s=\frac{\pi(40)^2}{4} =1256.64\ \text{mm}^2$$

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2. 建立剛性帽的相容條件

三根桿件與剛性帽連接，端點水平位移相同，因此

$$\delta_{AB}=\delta_{CD}=\delta_{EF}=\delta$$

由

$$\delta=\frac{NL}{AE}$$

可得桿件軸力與軸向剛度 $AE/L$ 成正比：

$$N\propto \frac{AE}{L}$$

各桿件剛度為

$$k_b=\frac{A_bE_b}{L_b} =\frac{(706.86)(103000)}{300} =242688\ \text{N/mm}$$ $$k_s=\frac{A_sE_s}{L_s} =\frac{(1256.64)(193000)}{450} =538958\ \text{N/mm}$$

AB 與 CD 相同，因此兩者軸力相等，設為 $N_b$；EF 軸力設為 $N_s$。

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3. 利用力平衡分配軸力

剛性帽的水平力平衡為

核心觀念

本題考查剛體即將運動時的兩種可能形式：

1. 平移滑動：水平推力達到最大靜摩擦力。
2. 傾倒：以滾筒右下角為支點，外力造成的傾倒力矩等於重量造成的穩定力矩。

由圖中 $3$-$4$-$5$ 三角形，力 $P$ 的分量為

$$P_x=\frac{4}{5}P,\qquad P_y=\frac{3}{5}P$$

其中 $P_y$ 方向向下。

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解題方法

設滾筒重量為 $W=100\ \text{lb}$，靜摩擦係數為 $\mu_s=0.5$。

一、檢查滑動條件

垂直方向平衡：

$$N=W+P_y$$

因此

$$N=100+\frac{3}{5}P$$

即將滑動時，水平分力等於最大靜摩擦力：

$$P_x=\mu_s N$$

代入分量：

$$\frac{4}{5}P = 0.5\left(100+\frac{3}{5}P\right)$$ $$0.8P=50+0.3P$$ $$P=100\ \text{lb}$$

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二、檢查傾倒條件

滾筒底部寬度為 $a=3\ \text{ft}$，高度為 $b=4\ \text{ft}$。傾倒支點取右下角。

重量的穩定力矩為