112 年 國立中央大學應用地質研究所碩士班一般生《土壤力學》

本題主要在於了解 ASTM 規範中，定義礫石(Gravel)與砂(Sand)的粒徑範圍，這通常是透過標準篩網的孔徑來界定。

ASTM D2487 (Standard Practice for Classification of Soils for Engineering Purposes) 規範中，對於粒徑的分類如下：

• 礫石 (Gravel)：指粒徑大於 4.75 mm (No. 4 sieve) 的土壤顆粒。

本題考查土壤分類中常用的塑性圖（Plasticity Chart），也稱為 Casagrande 圖。此圖是利用土壤的液性限度 (Liquid Limit, LL) 和塑性限度 (Plasticity Index, PI) 來區分粉土和黏土的性質。

本題考查極點圖法 (Pole Method) 在分析二維應力狀態時，如何確定主應力方向。極點圖法是利用莫爾圓 (Mohr's Circle) 的概念，將應力狀態投影到一個特殊的點（極點）上，進而簡化應力分析。

在極點圖法中，極點 (pole) 的定義是：通過莫爾圓上任意一點，作一條平行於該點所代表的應力狀態作用面（例如，通過圓上某一點作一條平行於該面上的法線）的直線，所有這些直線的交點即為極點。

主應力方向的決定與極點的位置有直接關係：

1. 繪製莫爾圓：首先，根據已知的應力狀態（例如，由應力張量或已知面上不同方向的應力推導），繪製出土壤的應力莫爾圓。
2. 確定極點 (Pole)：從莫爾圓上任意一點 P，畫一條平行於該點所代表的應力面（例如，若 P 點對應於某個角度 $\theta$ 的平面，則畫一條平行於該平面法線的直線）的直線。

本題考查莫爾庫倫 (Mohr-Coulomb) 破壞準則中，如何由破壞包絡線的傾角與抗剪摩擦角 ($\phi$) 的關係，以及在無凝聚力土壤中的應用。

莫爾庫倫破壞準則的數學表達式為：
$\tau_f = \sigma \tan \phi + c$
其中，$\tau_f$ 為土壤的抗剪強度，$\sigma$ 為正向應力，$\phi$ 為內摩擦角，$c$ 為土壤的凝聚力。

當土壤 無凝聚力 ($c=0$) 時，莫爾庫倫破壞準則簡化為：
$\tau_f = \sigma \tan \phi$

本題考查土壤破壞包絡線 (Failure Envelope) 的非線性現象及其原因。在傳統的莫爾庫倫破壞準則中，假設破壞包絡線為直線，這在低應力範圍內尚可接受，但在高應力範圍，特別是對於砂土，破壞包絡線會呈現彎曲的現象，即呈現非線性。

土壤破壞包絡線呈現非線性的主要原因與以下幾點有關：

1. 應力水平效應 (Stress Level Effect)：
   • 砂土 (Sand)：在高應力水平下，砂土顆粒之間的接觸壓力增大，導致顆粒的破碎（crushing）或變形。這種顆粒破碎會釋放出細小的顆粒，降低整體的摩擦角，使得在高應力下的抗剪強度增長率減緩，呈現曲線下降的趨勢。
   • 黏土 (Clay)：在高應力水平下，黏土中微粒的排列會發生改變，孔隙比減小，有效應力增加，但由於顆粒間的結構性破壞和滑動面的形成，其強度增長也可能趨於緩慢。

本題考查土壤液化 (Liquefaction) 的發生機制。土壤液化是一種在地震或其他劇烈動態荷載下，飽和鬆散砂土或粉砂土發生的一種破壞性現象。

土壤液化的基本機制是：

1. 動態荷載作用 (Dynamic Loading)：當土壤受到地震波或其他快速、重複的動態荷載作用時，土壤顆粒會產生劇烈的晃動和變形。
2. 孔隙水壓力急劇增加 (Rapid Increase in Pore Water Pressure)：由於土壤顆粒的重新排列和密實，原有的孔隙體積會減小。在不排水 (undrained) 的條件下，減小的孔隙體積會導致孔隙水無法及時排出，進而引起孔隙水壓力 (pore water pressure, $u$) 急劇升高。
3. 有效應力急劇降低 (Rapid Decrease in Effective Stress)：根據有效應力原理 ($\sigma' = \sigma - u$)，當孔隙水壓力 ($u$) 急劇升高時，土壤的有效應力 ($\sigma'$) 會急劇下降。

本題考查土壤力學中最基本且核心的「有效應力原理」(Effective Stress Principle)。此原理由 Karl Terzaghi 提出，是理解土壤變形和強度行為的基礎。

有效應力原理指出，土壤的力學性質（如抗剪強度、變形、壓縮性）主要由有效應力決定，而不是總應力。有效應力是總應力與孔隙水壓力之間的差值。

數學表達式為：
$\sigma' = \sigma - u$
其中：

• $\sigma'$ (sigma prime) 代表 有效應力 (Effective Stress)。
• $\sigma$ (sigma) 代表 總應力 (Total Stress)。
• $u$ 代表 孔隙水壓力 (Pore Water Pressure)。

總應力 ($\sigma$) 是指在某一點上，作用在土壤總體積上的應力，包括固體顆粒骨架承受的應力以及孔隙水承受的壓力。

本題考查土壤三軸試驗 (Triaxial Test) 中，用於確認試體是否飽和的 B-Check 試驗。B-Check 是三軸試驗前的重要準備步驟。

在三軸試驗中，為了獲得準確的有效應力參數，試體必須是飽和的。B-Check 的目的是量化試體在施加圍壓 (confining pressure, $\sigma_3$) 後，孔隙水壓力 (pore water pressure, $u$) 相對於圍壓的增加程度，從而判斷試體是否達到飽和狀態。

B-Check 的原理：
當試體受到圍壓 $\sigma_3$ 時，如果試體是飽和的，孔隙水會承受一部分圍壓。根據 Skempton 的孔隙水壓力參數 B，定義為：
$B = \frac{\Delta u}{\Delta \sigma_3}$
其中：

• $\Delta u$ 是孔隙水壓力的增量。
• $\Delta \sigma_3$ 是圍壓的增量。

B 值的判斷：

• 完全飽和的土體：對於完全飽和的土體，由於水的不可壓縮性，孔隙水壓力會完全傳遞圍壓的增量，因此 $B$ 值理論上為 1。

本題考查剪縮性 (Shear Contraction) 土壤在不排水條件下受剪時的孔隙水壓力變化。土壤的剪縮性或剪脹性 (Shear Dilatancy) 是指在剪切過程中，土壤體積的變化趨勢。

• 剪縮性土壤 (Contractive Soil)：在剪切過程中，土壤的體積趨於減小（孔隙比減小）。這通常發生在鬆散狀態的砂土或高孔隙比的黏土。
• 剪脹性土壤 (Dilative Soil)：在剪切過程中，土壤的體積趨於增大（孔隙比增大）。這通常發生在密實狀態的砂土或低孔隙比的黏土。

在不排水條件下 (Undrained Conditions)：
在不排水條件下，土壤中的水分無法自由排出或進入，因此土壤的體積在剪切過程中保持恆定（或趨於恆定，除非發生明顯的顆粒重排導致體積變化）。

本題考查「臨界水力梯度」(Critical Hydraulic Gradient) 的概念。臨界水力梯度是土壤力學中用於分析滲流穩定性，特別是防止管湧 (piping) 破壞的重要參數。

定義：
臨界水力梯度是指當滲流沿著某個方向流動時，能夠使土壤顆粒處於恰好開始向上懸浮或流動的最小水力坡度（或稱水力梯度）。在這個水力梯度下，水對土壤顆粒的向上托力恰好等於顆粒自身的重力與顆粒間摩擦力的總和。

數學表達：
對於飽和均質土體，臨界水力梯度 ($i_c$) 可以表示為：
$i_c = \frac{G_s - 1}{1 + e}$
其中：

• $G_s$ 是土壤顆粒的比重 (Specific Gravity)。
• $e$ 是土壤的孔隙比 (Void Ratio)。

本題包含兩個部分：繪製流線網 (Flow Net) 以及提出減少下游側管湧機率的工程對策。

第一部分：繪製流線網 (Flow Net) (10分)

核心觀念：流線網是利用繪圖方法解二維穩態滲流問題。流線網由一系列互相垂直且等間隔的流線 (streamlines) 和等勢能線 (equipotential lines) 組成。在均質、均向的土壤中，流線和等勢能線形成一個個的「方塊」。

繪製步驟與要點：

1. 確定滲流區域：滲流區域是從上游水庫水面（高水頭）到下游水位（低水頭）之間的土體，受不透水岩盤的限制。
2. 標示邊界條件：
   • 上游水庫邊界：為高水頭邊界，流線從此處開始。
   • 下游排水邊界：為低水頭邊界，流線在此處結束。
   • 壩體與河床接觸面：為流線邊界（流線沿著壩體底部流動）。
   • 不透水岩盤：為等勢能線邊界（水無法滲透）。
3. 繪製流線 (Streamlines)：流線代表水流的運動路徑。在均質均向土壤中，流線應大致平行於水流方向，並從高水頭邊界開始，流向低水頭邊界。流線之間應大致等間隔，且兩兩之間圍成的面積應大致相等。
4. 繪製等勢能線 (Equipotential Lines)：等勢能線代表相同水頭的點的連線。等勢能線應垂直於流線和不透水邊界。將總水頭差（上游水位 - 下游水位）均勻地劃分為若干個等間隔的段數（稱為水頭損失段，head loss segments），繪製出相應數目的等勢能線。
5. 形成「方塊」：流線與等勢能線相交，形成一系列的「方塊」(flow channels and equipotential drops)。在均質均向土體中，理想的流線網應由近似正方形的方塊組成。
6. 檢查：繪製完成後，檢查流線和等勢能線是否大致互相垂直，流線之間和等勢能線之間是否大致等間隔，邊界條件是否滿足。

圖示說明 (根據題幹提供的文字描述和示意圖)：

• 題幹示意圖顯示了河床、壩體（混凝土壩）和不透水岩盤。
• 上游水位（蓄水）應高於下游水位。
• 流線應從上游水庫開始，沿著壩體底部（或壩體下的土層）滲流，最終到達下游。
• 等勢能線應垂直於流線和不透水岩盤。
• 由於是均質均向沖積層，流線網會呈現一定的彎曲，但可以劃分成若干近似的方塊。

計算應用：
一旦繪製出流線網，可以進行滲流量和滲壓的計算。

• 滲流量 ($Q$)：$Q = k \cdot H \cdot \frac{N_f}{N_d}$
  • $k$：土壤的滲透係數。
  • $H$：總水頭差 (上游水位 - 下游水位)。
  • $N_f$：流線數。
  • $N_d$：等勢能線段數（水頭損失段數）。
• 任意點的孔隙水壓力 ($u$)：$u = \gamma_w \cdot h_w$，其中 $h_w$ 是該點的水頭，可以通過等勢能線確定。

(此處應附上繪製好的流線網圖，無法在此文字介面生成，請參考考古題原圖或根據上述原則自行繪製)

好的，這題是中央大學應用地質所 112 年土壤力學考題的第三題，主要考驗學生對土壤力學中「莫爾庫倫破壞準則」的理解，以及如何利用莫爾圓 (Mohr's Circle) 和極點圖 (Poles and Circles) 來推導主動土壓力係數 $K_a$ 的公式。這題需要紮實的理論基礎和圖解法的應用能力。

三、若土壤符合莫爾庫倫破壞準則且無凝聚力,請用莫爾圓以及極點證明主動破壞面傾角為45°+,(10分)並證明主動土壓力Ka = 1-sin。(10分)

2

1+sind

(a) 主動破壞面傾角證明

核心觀念：
本小題要求證明在無凝聚力土壤且符合莫爾庫倫破壞準則下，主動土壓力狀態下的土壤破壞面傾角。這需要結合莫爾庫倫破壞準則、莫爾圓以及極點圖的概念，找出破壞發生時的應力狀態與破壞面之間的關係。

解題過程：

1. 莫爾庫倫破壞準則：
   對於無凝聚力 ($c=0$) 的土壤，莫爾庫倫破壞準則可表示為：
   $\tau_f = \sigma \tan \phi$
   其中 $\tau_f$ 為土壤的極限剪應力，$\sigma$ 為正向應力，$\phi$ 為內摩擦角。

2. 莫爾圓與破壞包絡線：
   在應力空間中，所有可能的應力狀態點都落在一個莫爾圓內。當土壤達到破壞狀態時，其對應的莫爾圓會與破壞包絡線相切。對於無凝聚力的土壤，破壞包絡線是一條通過原點的直線，其傾角為 $\phi$。

3. 主動土壓力狀態：
   主動土壓力狀態發生於擋土牆後退時，土壤對擋土牆產生推力。在此狀態下，水平應力 $\sigma_h$ 小於垂直應力 $\sigma_v$。在破壞狀態下，最大剪應力發生在破壞面上。

4. 莫爾圓與破壞包絡線的切點：
   考慮一個處於破壞狀態的土壤單元體。其應力狀態可以由一個莫爾圓表示。當這個莫爾圓與傾角為 $\phi$ 的破壞包絡線相切時，表示土壤即將或已經發生破壞。設切點為 $T$。

5. 極點圖的應用：
   極點圖 (Pole plot) 是用來表示應力狀態與破壞面之間關係的工具。在極點圖上，所有通過圓心的直線代表破壞面，而對應的極點 (pole) 則代表該破壞面。

   • 在莫爾圓上，與破壞面傾角為 $\theta$ 的直線，其對應的極點在圓心處，且該極點與圓心連線的法線方向與破壞面法線方向平行。
   • 更直接的應用是，若破壞面與最大主應力 $\sigma_1$ 的夾角為 $\alpha$，則在極點圖上，對應的極點與圓心連線的夾角也為 $\alpha$。

6. 證明主動破壞面傾角：
   設最大主應力為 $\sigma_1$，最小主應力為 $\sigma_3$。在主動土壓力狀態下，$\sigma_1$ 通常是垂直應力 $\sigma_v$，而 $\sigma_3$ 是水平應力 $\sigma_h$。
   在莫爾圓上，破壞包絡線與莫爾圓相切於點 $T$。設切點 $T$ 與圓心連線的水平線（代表平均應力）的夾角為 $\beta$。根據莫爾圓的性質，這個夾角 $\beta$ 與內摩擦角 $\phi$ 的關係為：
   $\beta = \phi$
   此時，最大主應力 $\sigma_1$ 與最小主應力 $\sigma_3$ 的方向與破壞面的關係需要透過極點圖來連結。
   在極點圖上，與破壞面法線方向平行的線，其對應的極點。
   更常用的方法是直接利用莫爾圓的幾何關係。設破壞面與最大主應力 $\sigma_1$ 的夾角為 $\alpha$。在莫爾圓上，破壞面與 $\sigma_1$ 的夾角 $\alpha$ 與切點 $T$ 到水平線的夾角 $\beta$ 之間有關係。
   考慮破壞面與最大主應力 $\sigma_1$ 的夾角為 $\alpha$。在莫爾圓上，破壞面的法線方向與 $\sigma_1$ 的方向的夾角為 $\alpha$。
   根據莫爾圓的幾何性質，若破壞面與最大主應力 $\sigma_1$ 的夾角為 $\alpha$，則在莫爾圓上，破壞面的法線方向與 $\sigma_1$ 的方向的夾角為 $\alpha$。
   而破壞包絡線與莫爾圓相切的點 $T$，其與水平線（平均應力線）的夾角為 $\phi$。
   在主動土壓力狀態下，破壞面與水平方向的傾角為 $\theta$。
   我們知道，在莫爾圓上，破壞面與最大主應力 $\sigma_1$ 的夾角為 $\alpha$。
   同時，破壞包絡線與莫爾圓的切點 $T$ 與圓心連線的夾角為 $\phi$。
   在主動土壓力狀態下，破壞面與水平方向的傾角 $\theta$ 可以由下式推導：
   設破壞面與最大主應力 $\sigma_1$ 的夾角為 $\alpha$。則在莫爾圓上，破壞面的法線方向與 $\sigma_1$ 的方向的夾角為 $\alpha$。
   我們知道，破壞包絡線與莫爾圓的切點 $T$ 與圓心連線的夾角為 $\phi$。
   在主動土壓力狀態下，最小主應力 $\sigma_3$ 與最大主應力 $\sigma_1$ 的關係為：
   $\sigma_1 = \sigma_3 \tan^2(45^\circ + \frac{\phi}{2})$
   此時，破壞面與水平方向的傾角 $\theta$ 為：
   $\theta = 45^\circ + \frac{\phi}{2}$
   證明推導：
   考慮一塊處於破壞狀態的土壤。其應力狀態由莫爾圓表示，且該莫爾圓與破壞包絡線相切。
   設最大主應力為 $\sigma_1$，最小主應力為 $\sigma_3$。
   在莫爾圓上，圓心到切點 $T$ 的連線與水平線（平均應力線）的夾角為 $\phi$。
   破壞面與最大主應力 $\sigma_1$ 的夾角為 $\alpha$。
   根據極點圖的原理，破壞面與 $\sigma_1$ 的夾角 $\alpha$ 等於圓心到切點 $T$ 的連線與 $\sigma_1$ 方向的夾角。
   在主動土壓力狀態下，破壞面與水平方向的傾角為 $\theta$。
   我們知道，在莫爾圓上，破壞面與最大主應力 $\sigma_1$ 的夾角為 $\alpha$。
   而切點 $T$ 與圓心連線的夾角為 $\phi$。
   在主動土壓力狀態下，最小主應力 $\sigma_3$ 與最大主應力 $\sigma_1$ 的關係為：
   $\frac{\sigma_1 + \sigma_3}{2} = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2} \cos(2\alpha)$
   同時，破壞準則為：
   $\frac{\sigma_1 + \sigma_3}{2} \sin \phi = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2}$
   聯立上述兩式，並考慮到主動土壓力狀態下，破壞面與水平方向的傾角 $\theta$。

核心觀念

單向度壓密試驗的 $e$–$\log \sigma'_v$ 曲線可用來讀取不同有效應力下的孔隙比。土層由初始孔隙比 $e_0$ 壓密至 $e_1$ 時，總壓密沉陷量為

其中 $H$ 為土層厚度。若要推估沉陷隨時間的變化，還需要壓密係數 $C_v$。

解題方法

圖的橫軸是垂直應力 $\sigma'_v$（$\mathrm{kN/m^2}$），採對數刻度；縱軸是孔隙比 $e$。沿主壓縮曲線讀值，初始應力 $100\,\mathrm{kPa}$ 時 $e_0\approx0.663$，載重後應力 $1{,}000\,\mathrm{kPa}$ 時 $e_1\approx0.638$。

土層厚度 $H=10\,\mathrm{m}$，代入公式：