115 年 國立中央大學應用地質研究所碩士班一般生《微積分》

本題為基本微分運算，主要考驗學生對多項式函數及有理函數的微分規則的掌握。

a. 對於函數 $f(x)=3x^4+5x^2-x+7$，我們可以使用幂次法則（Power Rule）進行微分。幂次法則指出 $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$。
$f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^4+5x^2-x+7)$
$f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^4) + \frac{d}{dx}(5x^2) - \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(7)$
$f'(x) = 3 \cdot 4x^{4-1} + 5 \cdot 2x^{2-1} - 1 \cdot x^{1-1} + 0$
$f'(x) = 12x^3 + 10x - 1$

【答案】$f'(x) = 12x^3 + 10x - 1$

本題考驗連鎖法則（Chain Rule）和除法定律（Quotient Rule）的應用。

首先，我們定義兩個函數：$u(x) = \frac{x+3}{x-2}$ 和 $f(x) = (u(x))^2$。
根據連鎖法則， $f'(x) = 2u(x) \cdot u'(x)$。

我們需要先計算 $u'(x)$。這裡我們使用除法定律，若 $u(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$，則 $u'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{(h(x))^2}$。
令 $g(x) = x+3$，則 $g'(x) = 1$。
令 $h(x) = x-2$，則 $h'(x) = 1$。

本題考驗隱函數微分或變數代換的技巧，以及連鎖法則的應用。

給定函數關係 $f(x^2) = (x^2+5x)^2$。我們想要找到 $f'(5)$。
注意到等式左邊是 $f$ 套用了 $x^2$ 這個函數，而右邊是關於 $x$ 的表達式。

方法一：利用連鎖法則直接微分。
對等式兩邊同時對 $x$ 微分：
$\frac{d}{dx} f(x^2) = \frac{d}{dx} (x^2+5x)^2$

左邊使用連鎖法則，令 $u = x^2$，則 $\frac{d}{dx} f(u) = f'(u) \cdot \frac{du}{dx} = f'(x^2) \cdot (2x)$。
右邊使用連鎖法則，令 $v = x^2+5x$，則 $\frac{d}{dx} v^2 = 2v \cdot \frac{dv}{dx} = 2(x^2+5x) \cdot (2x+5)$。

所以，我們得到：
$f'(x^2) \cdot (2x) = 2(x^2+5x)(2x+5)$

為了求 $f'(5)$，我們需要讓 $x^2 = 5$。由於題目條件是 $x>0$，所以 $x = \sqrt{5}$。
將 $x=\sqrt{5}$ 代入上式：
$f'(5) \cdot (2\sqrt{5}) = 2((\sqrt{5})^2+5\sqrt{5})(2\sqrt{5}+5)$
$f'(5) \cdot (2\sqrt{5}) = 2(5+5\sqrt{5})(2\sqrt{5}+5)$
$f'(5) \cdot (2\sqrt{5}) = 2 \cdot 5(1+\sqrt{5}) \cdot (2\sqrt{5}+5)$
$f'(5) \cdot (2\sqrt{5}) = 10(1+\sqrt{5})(2\sqrt{5}+5)$
$f'(5) \cdot (2\sqrt{5}) = 10(2\sqrt{5} + 5 + 2(\sqrt{5})^2 + 5\sqrt{5})$
$f'(5) \cdot (2\sqrt{5}) = 10(2\sqrt{5} + 5 + 10 + 5\sqrt{5})$
$f'(5) \cdot (2\sqrt{5}) = 10(15 + 7\sqrt{5})$

本題考驗高階微分的計算，需要對多項式和三角函數的微分規則熟練掌握。

給定函數 $y = 6x^5 - 5x^4 + x^3 - 6x + \cos x$。
首先，我們計算一階導數 $\frac{dy}{dx}$：
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(6x^5) - \frac{d}{dx}(5x^4) + \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(6x) + \frac{d}{dx}(\cos x)$
$\frac{dy}{dx} = 6(5x^4) - 5(4x^3) + 3x^2 - 6 + (-\sin x)$
$\frac{dy}{dx} = 30x^4 - 20x^3 + 3x^2 - 6 - \sin x$

本題考驗定積分與不定積分的計算能力，包含三角函數積分與幾何意義的判斷。

a. 計算不定積分 $\int x^2 \sin(x^2) dx$。
這個積分形式比較複雜，直接的積分技巧（如換元積分法、分部積分法）似乎不易處理。仔細觀察被積函數 $x^2 \sin(x^2)$，它不像常見的 $x \sin(x^2)$ 或 $x^2 \sin(x^3)$ 這樣可以透過簡單換元解決。
讓我們嘗試分部積分法：$\int u \, dv = uv - \int v \, du$。
令 $u = x$，$dv = x \sin(x^2) dx$。
則 $du = dx$。
為了計算 $v = \int x \sin(x^2) dx$，我們進行換元積分。令 $w = x^2$，則 $dw = 2x dx$，所以 $x dx = \frac{1}{2} dw$。
$v = \int \sin(w) \frac{1}{2} dw = \frac{1}{2} (-\cos w) = -\frac{1}{2} \cos(x^2)$。

現在套用分部積分公式：
$\int x^2 \sin(x^2) dx = x \cdot (-\frac{1}{2} \cos(x^2)) - \int (-\frac{1}{2} \cos(x^2)) dx$
$= -\frac{1}{2} x \cos(x^2) + \frac{1}{2} \int \cos(x^2) dx$

積分 $\int \cos(x^2) dx$ 是一個菲涅爾積分（Fresnel integral），它沒有初等函數的原函數。因此，這個不定積分無法用初等函數表示。
在研究所考試中，若出現此類積分，可能表示有以下情況：

1. 題目印刷錯誤。
2. 考驗學生辨識「無法用初等函數表示」的能力。
3. 題目應為定積分，且有特殊方法求解（例如對稱性、級數展開等），但此處是 $\int \cos(x^2) dx$ 形式，難以直接處理。
4. 題目可能希望學生寫出形式解，即 $\frac{1}{2} \int \cos(x^2) dx$。

假設題目無誤，且要求初等函數解答，那麼此題可能無解或有誤。
如果題目原始意圖是 $\int x \sin(x^2) dx$ 或 $\int x^2 \sin(x^3) dx$ 等，則可以求解。
例如，若為 $\int x \sin(x^2) dx$，令 $u=x^2$, $du=2xdx$, $\int \sin(u) \frac{1}{2}du = -\frac{1}{2}\cos(x^2)+C$。
若為 $\int x^2 \sin(x^3) dx$，令 $u=x^3$, $du=3x^2dx$, $\int \sin(u) \frac{1}{3}du = -\frac{1}{3}\cos(x^3)+C$。

由於無法確定題目是否有誤，我們在此提供最直接的分部積分結果，並指出其中包含非初等函數積分。
若考試時遇到，應當場反應或寫下「此積分無法用初等函數表達」。
如果我們假設這題的考題確實是 $\int x^2 \sin(x^2) dx$，那麼標準的回答應該是無法用初等函數表示。

在某些情境下，可能要求用級數展開來近似，但這通常不會是研究所考試的標準要求，除非有特別說明。

本題考驗學生繪製曲線圖形、找出切線方程式以及計算曲線圍成的面積的能力。

a. 求 $y=x^2$ 及其在點 $(1,1)$ 的切線與 $y$ 軸所圍成之面積。

首先，我們需要找到函數 $y=x^2$ 在點 $(1,1)$ 的切線方程式。
函數的導數是 $y' = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x$。
在點 $(1,1)$ 的斜率是 $y'(1) = 2(1) = 2$。
使用點斜式 $y - y_1 = m(x - x_1)$，切線方程式為：
$y - 1 = 2(x - 1)$
$y - 1 = 2x - 2$
$y = 2x - 1$

現在我們需要繪製圖形並找出所圍成的區域。
函數 $y=x^2$ 是一個開口向上的拋物線，通過原點 $(0,0)$。
切線 $y=2x-1$ 是一條斜率為 2 的直線，y軸截距為 -1。
我們需要求由 $y=x^2$、切線 $y=2x-1$ 和 $y$ 軸（即 $x=0$）所圍成的面積。

首先找出曲線 $y=x^2$ 和切線 $y=2x-1$ 的交點。
$x^2 = 2x - 1$
$x^2 - 2x + 1 = 0$
$(x-1)^2 = 0$
$x=1$。這證實了 $(1,1)$ 是切點。

我們要求的面積是在 $x$ 從 0 (y軸) 到 1 (切點) 的範圍內，由較高的曲線減去較低的曲線所形成。
在區間 $[0, 1]$ 上，我們需要比較 $y=x^2$ 和 $y=2x-1$ 的大小。
我們可以檢查 $x=0$ 時的值：$y=0^2=0$ 和 $y=2(0)-1=-1$。顯然 $x^2 > 2x-1$。
或者，我們檢查 $x^2 - (2x-1) = (x-1)^2 \ge 0$。這意味著在區間 $[0, 1]$ 上，$y=x^2$ 始終大於或等於 $y=2x-1$。

因此，所求面積 $A$ 為：
$A = \int_0^1 (x^2 - (2x-1)) dx$
$A = \int_0^1 (x^2 - 2x + 1) dx$
$A = \int_0^1 (x-1)^2 dx$

我們可以計算這個積分：
$A = \left[ \frac{(x-1)^3}{3} \right]_0^1$
$A = \frac{(1-1)^3}{3} - \frac{(0-1)^3}{3}$
$A = \frac{0^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3}$
$A = 0 - \frac{-1}{3} = \frac{1}{3}$

繪圖說明：
在坐標平面上，畫出拋物線 $y=x^2$。
畫出直線 $y=2x-1$，它與拋物線在 $(1,1)$ 相切，並與 $y$ 軸交於 $(0,-1)$。
所圍成的區域是一個尖角朝下的區域，頂點在 $(1,1)$，底部邊界是 $y$ 軸（從 $y=-1$ 到 $y=0$），頂部邊界是拋物線 $y=x^2$（從 $(0,0)$ 到 $(1,1)$）。
面積是曲線 $y=x^2$ 與直線 $y=2x-1$ 在 $x \in [0,1]$ 之間的區域。

【答案】面積 $A = \frac{1}{3}$

b. 求 $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$ 所圍成之面積。

這個方程式代表一個橢圓。
標準橢圓方程式為 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$。
將給定方程式 $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{1} = 1$ 與標準形式比較，我們得到：
$a^2 = 4 \implies a = 2$ (長半軸，沿 x 軸)
$b^2 = 1 \implies b = 1$ (短半軸，沿 y 軸)

橢圓的長軸長為 $2a = 2(2) = 4$，橫跨 x 軸從 $(-2, 0)$ 到 $(2, 0)$。
橢圓的短軸長為 $2b = 2(1) = 2$，橫跨 y 軸從 $(0, -1)$ 到 $(0, 1)$。