113 年 國立中央大學應用地質研究所碩士班在職生《微積分》

本題主要考驗微分的基本規則，包含多項式函數的微分、商法則的應用。

a. $f(x) = 3x^4 + 5x^2 - x + 7$
這是多項式函數的微分，直接使用冪次法則 $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ 和常數項微分為零的規則。
$f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^4) + \frac{d}{dx}(5x^2) - \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(7)$
$f'(x) = 3(4x^{4-1}) + 5(2x^{2-1}) - 1(1x^{1-1}) + 0$
$f'(x) = 12x^3 + 10x - 1$

【答案】$f'(x) = 12x^3 + 10x - 1$

b. $f(x) = \frac{x^3 + 2x^2 - 6}{x^3}$
首先，可以先將函數化簡，再進行微分，這樣會比直接使用商法則簡單。

本題主要考驗二階微分，即先求一階微分 $f'(x)$，再對 $f'(x)$ 進行微分得到二階微分 $f''(x)$。

a. $f(x) = \sin x - \cos x$
首先求一階微分 $f'(x)$：
$f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin x) - \frac{d}{dx}(\cos x)$
$f'(x) = \cos x - (-\sin x)$
$f'(x) = \cos x + \sin x$
接著求二階微分 $f''(x)$，對 $f'(x)$ 進行微分：
$f''(x) = \frac{d}{dx}(\cos x + \sin x)$

本題考驗連鎖法則 (Chain Rule) 的應用。函數 $f(x)$ 是兩個函數的複合，外層函數是 $\sin(u)$，內層函數是 $u = \cos x$。

根據連鎖法則，若 $f(x) = g(h(x))$，則 $f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)$。
在這裡，令 $g(u) = \sin u$ 且 $h(x) = \cos x$。
則 $g'(u) = \cos u$ 且 $h'(x) = -\sin x$。

本題考驗連鎖法則與商法則的結合應用。首先對複合函數進行微分，然後將 $x=1$ 代入求值。

令 $u = \frac{x+3}{x-2}$，則 $f(x) = u^4$。
根據連鎖法則， $f'(x) = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx}$。
$\frac{df}{du} = 4u^3 = 4\left(\frac{x+3}{x-2}\right)^3$。

接下來，我們需要計算 $\frac{du}{dx}$，這裡使用商法則：
$u = \frac{x+3}{x-2}$
$\frac{du}{dx} = \frac{\frac{d}{dx}(x+3) \cdot (x-2) - (x+3) \cdot \frac{d}{dx}(x-2)}{(x-2)^2}$
$\frac{du}{dx} = \frac{1 \cdot (x-2) - (x+3) \cdot 1}{(x-2)^2}$

核心觀念

1. 反函數微分定理（Derivative of Inverse Function）：
   設函數 $f(x)$ 在定義域上連續、嚴格單調且可微。若 $y_0 = f(x_0)$ 且 $f'(x_0) \neq 0$，則其反函數 $f^{-1}(y)$ 在 $y_0$ 處亦可微，且其導數滿足：
   $(f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)} \quad \text{其中 } y_0 = f(x_0)$
2. 切線斜率的互倒關係：
   原函數圖形 $y = f(x)$ 與反函數圖形 $y = f^{-1}(x)$ 對稱於直線 $y = x$。因此，原函數在點 $(x_0, y_0)$ 處的切線斜率 $f'(x_0)$ 與反函數在對應點 $(y_0, x_0)$ 處的切線斜率 $(f^{-1})'(y_0)$ 互為倒數。

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解題方法

本題要求計算 $(f^{-1})'(4)$，即反函數自變數在 $y_0 = 4$ 處的導數。依照反函數微分法，分為三個步驟推導：

步驟一：求對應的原函數輸入值 $x_0$

令 $f(x_0) = 4$，由題目所給之函數關係式：
$x_0^2 + 5x_0 = 4 \implies x_0^2 + 5x_0 - 4 = 0$

利用一元二次方程式的公式解：
$x_0 = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)} = \frac{-5 \pm \sqrt{41}}{2}$

由題目限制條件 $x > 0$，因 $\sqrt{41} > \sqrt{25} = 5$，故取正根：
$x_0 = \frac{-5 + \sqrt{41}}{2}$

步驟二：計算原函數在 $x_0$ 處的導數 $f'(x_0)$

對 $f(x) = x^2 + 5x$ 進行微分：
$f'(x) = 2x + 5$

本題考驗定積分的計算，其中包含幾何意義的解釋以及基本積分公式的應用。

a. $\int_0^1 \sqrt{1 - x^2} \, dx$
這個積分的幾何意義是計算函數 $y = \sqrt{1 - x^2}$ 在區間 $[0, 1]$ 下方的面積。
函數 $y = \sqrt{1 - x^2}$ 代表圓心在 $(0,0)$、半徑為 $1$ 的圓的上半圓。
當 $x$ 從 $0$ 變到 $1$ 時，這正好是上半圓位於第一象限的四分之一圓。
圓的面積公式為 $A = \pi r^2$。
對於半徑為 $1$ 的圓，其總面積為 $\pi (1)^2 = \pi$。
四分之一圓的面積就是 $\frac{1}{4}\pi$。

因此，
$\int_0^1 \sqrt{1 - x^2} \, dx = \frac{\pi}{4}$。

【答案】$\frac{\pi}{4}$

b. $\int_0^2 2x \, dx$
這個積分的幾何意義是計算函數 $y = 2x$ 在區間 $[0, 2]$ 下方的面積。
函數 $y = 2x$ 是一條通過原點的直線。在區間 $[0, 2]$，它與 x 軸圍成一個直角三角形。
三角形的底邊長度為 $2$（從 $x=0$ 到 $x=2$）。
三角形的頂點在高處，當 $x=2$ 時，$y = 2(2) = 4$。所以三角形的高為 $4$。
三角形的面積公式為 $A = \frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高}$。

本題考驗不定積分的計算，包含變數代換法和一些較複雜的積分形式。

a. $\int \sqrt{1 + 4x} \, dx$
這個積分可以使用變數代換法來解決。
令 $u = 1 + 4x$。
則 $du = 4 \, dx$，所以 $dx = \frac{1}{4} \, du$。
將這些代入積分式：
$\int \sqrt{u} \left(\frac{1}{4} \, du\right)$
$= \frac{1}{4} \int u^{1/2} \, du$
現在使用冪次積分法則 $\int u^n \, du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$：
$= \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{1/2 + 1}}{1/2 + 1} + C$
$= \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{3/2}}{3/2} + C$
$= \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} + C$
$= \frac{1}{6} u^{3/2} + C$
最後，將 $u = 1 + 4x$ 代回：
$= \frac{1}{6} (1 + 4x)^{3/2} + C$