108 年 國立中央大學應用地質研究所碩士班在職生《微積分》

核心觀念

本題考查：

• 鏈鎖律：若 $y=g(u)$ 且 $u=u(x)$，則
  $\frac{dy}{dx}=g'(u)\frac{du}{dx}.$
• 根式微分：
  $\frac{d}{dx}\sqrt{u}= \frac{u'}{2\sqrt{u}}.$
• 商數法則：
  $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}.$

本題為計算題，沒有選項分析。

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(1) $f(x)=\sqrt[3]{3x+\sqrt{2x-1}}$

解題方法

先將立方根改寫為冪次形式：

$$f(x)=\left(3x+\sqrt{2x-1}\right)^{1/3}.$$

令

$$u=3x+\sqrt{2x-1},$$

則

$$f(x)=u^{1/3}.$$

由鏈鎖律，

$$f'(x)=\frac{1}{3}u^{-2/3}\cdot u'.$$

計算 $u'$：

$$u'=3+\frac{d}{dx}(2x-1)^{1/2} =3+\frac{1}{2}(2x-1)^{-1/2}\cdot 2 =3+\frac{1}{\sqrt{2x-1}}.$$

因此

$$f'(x) = \frac{1}{3} \left(3x+\sqrt{2x-1}\right)^{-2/3} \left(3+\frac{1}{\sqrt{2x-1}}\right).$$

寫成根式形式為

$$\boxed{ f'(x)= \frac{3+\dfrac{1}{\sqrt{2x-1}}} {3\left(3x+\sqrt{2x-1}\right)^{2/3}} }.$$

解題技巧與注意事項

因為 $\sqrt{2x-1}$ 必須有意義，所以函數定義域為

$$x\geq \frac12.$$

上述導數公式適用於 $x>\frac12$。在 $x=\frac12$ 處，$\dfrac{1}{\sqrt{2x-1}}$ 不存在，因此沒有有限的導數值。

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此題主要考驗隱函數微分法，以及對連鎖法則的熟練應用。

(1) 題目給出一個隱函數關係式 $12x = 12y + 4y^3+3y^4$，要求計算 $\frac{dy}{dx}$。
我們對等式兩邊同時對 $x$ 微分。
$\frac{d}{dx}(12x) = \frac{d}{dx}(12y + 4y^3+3y^4)$
$12 = 12\frac{dy}{dx} + 4(3y^2)\frac{dy}{dx} + 3(4y^3)\frac{dy}{dx}$
$12 = 12\frac{dy}{dx} + 12y^2\frac{dy}{dx} + 12y^3\frac{dy}{dx}$
將含有 $\frac{dy}{dx}$ 的項提出來：
$12 = \frac{dy}{dx}(12 + 12y^2 + 12y^3)$
解出 $\frac{dy}{dx}$：
$\frac{dy}{dx} = \frac{12}{12 + 12y^2 + 12y^3}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + y^2 + y^3}$。

【答案】$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + y^2 + y^3}$

(2) 題目給出一個隱函數關係式 $b^3x^2 + a^3y^2 = a^2b^3$，要求計算 $\frac{d^2y}{dx^2}$。
首先，我們對等式兩邊同時對 $x$ 微分，計算 $\frac{dy}{dx}$。
$\frac{d}{dx}(b^3x^2 + a^3y^2) = \frac{d}{dx}(a^2b^3)$
$b^3(2x) + a^3(2y)\frac{dy}{dx} = 0$
$2b^3x + 2a^3y\frac{dy}{dx} = 0$
解出 $\frac{dy}{dx}$：
$2a^3y\frac{dy}{dx} = -2b^3x$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{2b^3x}{2a^3y} = -\frac{b^3x}{a^3y}$。

此題主要考驗對位移、速度、加速度與時間關係的理解，以及平均速度與瞬時速度的區別。

核心觀念：

• 瞬時速度是位移對時間的一階導數：$v(t) = h'(t)$。
• 平均速度是總位移除以總時間：$v_{avg} = \frac{\Delta h}{\Delta t}$。
• 自由落體運動中，若不考慮空氣阻力，加速度是常數（重力加速度 $g$），但此題給定的高度函數 $h(t)$ 已包含了運動的完整描述，我們直接對其求導即可。

(1) 題目要求計算金屬球落地 ($h=0$) 時的瞬時速度。
給定高度函數為 $h(t) = 100 - 4t^2$。
首先，我們需要找到金屬球落地時的時間 $t$。落地時 $h(t) = 0$。
$100 - 4t^2 = 0$
$4t^2 = 100$
$t^2 = 25$
由於時間 $t$ 必須為正，所以 $t = 5$ 秒。

接著，我們計算瞬時速度 $v(t)$，它是高度 $h(t)$ 對時間 $t$ 的導數。
$v(t) = h'(t) = \frac{d}{dt}(100 - 4t^2)$
$v(t) = -8t$。

最後，我們將落地時間 $t=5$ 秒代入速度函數 $v(t)$，計算落地時的瞬時速度。
$v(5) = -8(5) = -40$ 公尺/秒。
負號表示速度方向向下，與高度定義的方向相反。

【答案】$-40$ 公尺/秒

(2) 題目要求計算質量為0.5公克之羽毛，其瞬時速度於何時等於落地時間內的平均速度。

此題考驗不定積分與定積分的概念，以及利用初始條件（通過的點和斜率）來確定積分常數。

核心觀念：

• $y''$ 是 $y'$ 的導數，所以 $y'$ 是 $y''$ 的積分。
• $y'$ 是 $y$ 的導數，所以 $y$ 是 $y'$ 的積分。
• 積分會產生積分常數，需要利用給定的條件來確定這些常數。

步驟：

1. 對 $y''$ 進行積分，得到 $y'$。
2. 利用給定的點 $(1,0)$ 和斜率 $y'(1)=5$ 來確定 $y'$ 中的積分常數。
3. 對 $y'$ 進行積分，得到 $y$。
4. 利用給定的點 $(1,0)$ 來確定 $y$ 中的積分常數。

計算過程：

第一步：積分 $y''$ 得到 $y'$。
已知 $y'' = 4x+2$。
對兩邊積分：
$y' = \int y'' dx = \int (4x+2) dx$
$y' = 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 2x + C_1$
$y' = 2x^2 + 2x + C_1$
其中 $C_1$ 是積分常數。

第二步：利用初始條件確定 $C_1$。
題目告知，在點 $(1,0)$ 時，斜率為 5。這意味著 $y'(1) = 5$。
將 $x=1$ 代入 $y'$ 的表達式：
$y'(1) = 2(1)^2 + 2(1) + C_1 = 5$
$2 + 2 + C_1 = 5$

此題考驗計算兩函數所圍區域面積的方法，需要先找出兩函數的交點，然後利用定積分計算面積。

步驟：

1. 找出兩函數的交點，即聯立方程組 $y = 2x^2 + 1$ 和 $y = 2x + 5$。
2. 確定哪個函數在上，哪個函數在下，以確定積分的被積函數。
3. 對兩函數交點之間的區域進行定積分，計算面積。

計算過程：

第一步：找出交點。
令 $2x^2 + 1 = 2x + 5$。
$2x^2 - 2x - 4 = 0$
$x^2 - x - 2 = 0$
因式分解：
$(x-2)(x+1) = 0$
所以交點的 $x$ 座標為 $x = 2$ 和 $x = -1$。

當 $x = 2$ 時，$y = 2(2) + 5 = 4 + 5 = 9$。交點為 $(2, 9)$。
當 $x = -1$ 時，$y = 2(-1) + 5 = -2 + 5 = 3$。交點為 $(-1, 3)$。

第二步：確定哪個函數在上。
在區間 $(-1, 2)$ 內，我們需要比較 $2x^2 + 1$ 和 $2x + 5$ 的大小。
我們可以選擇一個測試點，例如 $x=0$。
當 $x=0$ 時，$y = 2(0)^2 + 1 = 1$ (拋物線)。
當 $x=0$ 時，$y = 2(0) + 5 = 5$ (直線)。
因為 $5 > 1$，所以在區間 $(-1, 2)$ 內，直線 $y = 2x + 5$ 在拋物線 $y = 2x^2 + 1$ 的上方。

此題主要考驗各種積分技巧，包括換元積分法、分部積分法以及部分分式分解法（或多項式長除法後再積分）。

(1) $\int \frac{x}{\sqrt{x^2+5}} dx$
此積分可使用換元積分法。
令 $u = x^2+5$。
則 $du = 2x dx$，所以 $x dx = \frac{1}{2} du$。
原積分變為：
$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^{-1/2} du$
$= \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{1/2}}{1/2} + C$
$= u^{1/2} + C$
將 $u = x^2+5$ 代回：
$= \sqrt{x^2+5} + C$。

【答案】$\sqrt{x^2+5} + C$

(2) $\int x^3 \ln x^2 dx$
此積分可使用分部積分法。
$\int u dv = uv - \int v du$
我們先化簡 $\ln x^2 = 2 \ln x$。
所以積分變為 $\int x^3 (2 \ln x) dx = 2 \int x^3 \ln x dx$。
令 $u = \ln x$ 且 $dv = x^3 dx$。
則 $du = \frac{1}{x} dx$ 且 $v = \int x^3 dx = \frac{x^4}{4}$。
應用分部積分公式：
$2 \int x^3 \ln x dx = 2 \left( (\ln x)(\frac{x^4}{4}) - \int (\frac{x^4}{4})(\frac{1}{x}) dx \right)$
$= 2 \left( \frac{x^4 \ln x}{4} - \int \frac{x^3}{4} dx \right)$
$= 2 \left( \frac{x^4 \ln x}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{x^4}{4} \right) + C$
$= 2 \left( \frac{x^4 \ln x}{4} - \frac{x^4}{16} \right) + C$
$= \frac{x^4 \ln x}{2} - \frac{x^4}{8} + C$。

【答案】$\frac{x^4 \ln x}{2} - \frac{x^4}{8} + C$

(3) $\int \frac{x^4+3x^3+2x^2+5x+4}{x^3+3x^2+2x} dx$
被積函數是一個真分式（分子次數高於分母次數），所以我們需要先進行多項式長除法，或者觀察分母結構。
分母可以分解為 $x(x^2+3x+2) = x(x+1)(x+2)$。
由於分子次數 (4) 大於分母次數 (3)，我們必須先做長除法。

進行長除法：