111 年 國立中央大學應用地質研究所碩士班在職生《微積分》

本題要求找出函數 $f(x)$ 的極值點，即斜率（一階導數）為零的點。

解題步驟如下：

1. 計算函數 $f(x)$ 的一階導數 $f'(x)$。
2. 令 $f'(x) = 0$，解出 $x$ 的值。
3. 將求得的 $x$ 值代回原函數 $f(x)$，得到對應的 $y$ 值（即點座標）。

計算過程：
給定函數 $f(x) = 4x^3 + 2x^2 - 3x + 5$。

1. 計算一階導數：
   $f'(x) = \frac{d}{dx}(4x^3 + 2x^2 - 3x + 5)$
   $f'(x) = 12x^2 + 4x - 3$

2. 令 $f'(x) = 0$：
   $12x^2 + 4x - 3 = 0$
   這是一個二次方程式，我們可以使用二次方程式的求根公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ 來求解。
   在此，$a=12$, $b=4$, $c=-3$。
   $x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(12)(-3)}}{2(12)}$
   $x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 144}}{24}$
   $x = \frac{-4 \pm \sqrt{160}}{24}$
   $x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 \times 10}}{24}$
   $x = \frac{-4 \pm 4\sqrt{10}}{24}$
   $x = \frac{-1 \pm \sqrt{10}}{6}$
   所以，有兩個 $x$ 值使得斜率為零：$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{10}}{6}$ 和 $x_2 = \frac{-1 - \sqrt{10}}{6}$。

3. 將 $x$ 值代回 $f(x)$ 求對應的 $y$ 值。
   這一步的計算會比較複雜，通常在考試時，如果題目沒有特別要求計算出精確的 $y$ 值，僅求 $x$ 值可能就足夠。但本題要求「點座標」，故需計算。

   令 $x = \frac{-1 \pm \sqrt{10}}{6}$。
   為了簡化計算，我們知道 $12x^2 + 4x - 3 = 0$。
   我們可以嘗試將 $f(x)$ 進行多項式長除法，除以 $f'(x)$，或者利用 $12x^2 = 3-4x$ 來代換。
   $f(x) = 4x^3 + 2x^2 - 3x + 5$
   $f(x) = x(4x^2) + 2x^2 - 3x + 5$
   從 $12x^2 + 4x - 3 = 0$ 可得 $4x^2 = \frac{3-4x}{3} = 1 - \frac{4}{3}x$。
   代入：
   $f(x) = x(1 - \frac{4}{3}x) + 2x^2 - 3x + 5$
   $f(x) = x - \frac{4}{3}x^2 + 2x^2 - 3x + 5$
   $f(x) = \frac{2}{3}x^2 - 2x + 5$
   現在我們需要將 $x^2$ 用 $x$ 表示。
   從 $12x^2 = 3-4x$ 可得 $x^2 = \frac{3-4x}{12} = \frac{1}{4} - \frac{1}{3}x$。
   代入：
   $f(x) = \frac{2}{3}(\frac{1}{4} - \frac{1}{3}x) - 2x + 5$

本題是隱函數微分的應用，要求計算給定曲線在特定點的一階導數和二階導數。

解題步驟：

1. 對給定方程式進行一次隱函數微分，求解 $\frac{dy}{dx}$。
2. 將給定點的座標代入 $\frac{dy}{dx}$ 的表達式，驗證其值。
3. 對一次微分的結果進行再次微分（二階微分），求解 $\frac{d^2y}{dx^2}$。
4. 將給定點的座標和已求得的 $\frac{dy}{dx}$ 值代入 $\frac{d^2y}{dx^2}$ 的表達式，計算出最終結果。

計算過程：
給定方程式：$x^2 + xy - y^2 = 5$

第一部分：求解 $\frac{dy}{dx}$
對方程式兩邊關於 $x$ 微分：
$\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(xy) - \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(5)$
$2x + (1 \cdot y + x \cdot \frac{dy}{dx}) - (2y \cdot \frac{dy}{dx}) = 0$
$2x + y + x\frac{dy}{dx} - 2y\frac{dy}{dx} = 0$

將含有 $\frac{dy}{dx}$ 的項移到一邊，其他項移到另一邊：
$x\frac{dy}{dx} - 2y\frac{dy}{dx} = -2x - y$
$\frac{dy}{dx}(x - 2y) = -(2x + y)$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x + y}{x - 2y}$

在點 $(3, -1)$ 處計算 $\frac{dy}{dx}$：
將 $x=3$ 和 $y=-1$ 代入上式：
$\frac{dy}{dx}\bigg|_{(3,-1)} = -\frac{2(3) + (-1)}{3 - 2(-1)}$
$= -\frac{6 - 1}{3 + 2}$
$= -\frac{5}{5}$
$= -1$

本題要求計算球面在特定點的切平面方程式。切平面是通過曲面上某一點並垂直於該點法向量的平面。

解題步驟：

1. 確認給定方程式代表的曲面類型。
2. 計算曲面上該點的法向量。法向量可以通過計算梯度向量 $\nabla F(x, y, z)$ 來得到，其中 $F(x, y, z)$ 是曲面方程式的左側。
3. 利用點法式建立切平面的方程式。點法式的公式為 $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$，其中 $(x_0, y_0, z_0)$ 是平面上的點，$(A, B, C)$ 是平面的法向量。

計算過程：
給定曲面方程式為 $x^2 + y^2 + z^2 = 22$。
令 $F(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - 22 = 0$。
給定點為 $(x_0, y_0, z_0) = (2, -3, 3)$。

1. 驗證點是否在曲面上：
   將點 $(2, -3, 3)$ 代入方程式：
   $2^2 + (-3)^2 + 3^2 = 4 + 9 + 9 = 22$。
   點 $(2, -3, 3)$ 確實在此曲面上。

2. 計算法向量：
   法向量 $\vec{n}$ 是梯度向量 $\nabla F(x, y, z)$ 在點 $(2, -3, 3)$ 的值。
   $\nabla F(x, y, z) = \left(\frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z}\right)$
   $\frac{\partial F}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + y^2 + z^2 - 22) = 2x$

本題考驗積分在物理學中的應用，特別是位移、速度與加速度之間的關係，以及能量的計算。

第一部分：計算位移

核心觀念：加速度是速度對時間的二階導數，速度是位移對時間的一階導數。因此，要從加速度求位移，需要進行兩次積分。

解題步驟：

1. 從加速度函數 $a(t)$ 積分一次，得到速度函數 $v(t)$。此時會出現一個積分常數。
2. 利用初始條件 $v(0)=0$（粒子初始在零點不動，故初始速度為零）來求解積分常數。
3. 從速度函數 $v(t)$ 積分一次，得到位移函數 $s(t)$。此時會出現另一個積分常數。
4. 利用初始條件 $s(0)=0$（粒子初始在零點，即初始位移為零）來求解積分常數。
5. 計算地震結束時（$t=5$ 秒）的位移 $s(5)$。

計算過程：
給定加速度函數：$a(t) = 6t^3 - 4t^2 + t$ (單位：公分/平方秒)
初始條件：$v(0) = 0$ 公分/秒，$s(0) = 0$ 公分。

1. 求速度函數 $v(t)$：
   $v(t) = \int a(t) dt = \int (6t^3 - 4t^2 + t) dt$
   $v(t) = 6 \frac{t^4}{4} - 4 \frac{t^3}{3} + \frac{t^2}{2} + C_1$
   $v(t) = \frac{3}{2}t^4 - \frac{4}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2 + C_1$

2. 利用初始條件求 $C_1$：
   已知 $v(0) = 0$。
   $v(0) = \frac{3}{2}(0)^4 - \frac{4}{3}(0)^3 + \frac{1}{2}(0)^2 + C_1 = 0$
   $0 + C_1 = 0 \implies C_1 = 0$。
   所以，速度函數為：$v(t) = \frac{3}{2}t^4 - \frac{4}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2$ (單位：公分/秒)。

3. 求位移函數 $s(t)$：
   $s(t) = \int v(t) dt = \int \left(\frac{3}{2}t^4 - \frac{4}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2\right) dt$
   $s(t) = \frac{3}{2} \frac{t^5}{5} - \frac{4}{3} \frac{t^4}{4} + \frac{1}{2} \frac{t^3}{3} + C_2$
   $s(t) = \frac{3}{10}t^5 - \frac{1}{3}t^4 + \frac{1}{6}t^3 + C_2$

4. 利用初始條件求 $C_2$：
   已知 $s(0) = 0$。
   $s(0) = \frac{3}{10}(0)^5 - \frac{1}{3}(0)^4 + \frac{1}{6}(0)^3 + C_2 = 0$
   $0 + C_2 = 0 \implies C_2 = 0$。
   所以，位移函數為：$s(t) = \frac{3}{10}t^5 - \frac{1}{3}t^4 + \frac{1}{6}t^3$ (單位：公分)。

5. 計算地震結束時的位移 $s(5)$：
   $s(5) = \frac{3}{10}(5)^5 - \frac{1}{3}(5)^4 + \frac{1}{6}(5)^3$
   $s(5) = \frac{3}{10}(3125) - \frac{1}{3}(625) + \frac{1}{6}(125)$
   $s(5) = \frac{9375}{10} - \frac{625}{3} + \frac{125}{6}$
   $s(5) = 937.5 - \frac{625}{3} + \frac{125}{6}$
   為了進行加減，我們找到公分母 6：
   $s(5) = \frac{937.5 \times 6}{6} - \frac{625 \times 2}{6} + \frac{125}{6}$
   $s(5) = \frac{5625}{6} - \frac{1250}{6} + \frac{125}{6}$
   $s(5) = \frac{5625 - 1250 + 125}{6}$
   $s(5) = \frac{4375 + 125}{6}$
   $s(5) = \frac{4500}{6}$
   $s(5) = 750$ 公分。

   【答案】(1) 地震後地下水粒子的位置為 750 公分。

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第二部分：計算地震能量密度

核心觀念：能量密度是由速度的平方積分得到的。

解題步驟：

1. 確定地震結束時間 $t_0$。
2. 使用第一部分計算出的速度函數 $v(t)$。
3. 計算 $v(t)^2$。
4. 對 $v(t)^2$ 從 $t=0$ 到 $t=t_0$ 進行積分，得到地震能量密度 $e$。

計算過程：
地震結束時間 $t_0 = 5$ 秒。
速度函數 $v(t) = \frac{3}{2}t^4 - \frac{4}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2$。

1. 計算 $v(t)^2$：
   $v(t)^2 = \left(\frac{3}{2}t^4 - \frac{4}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2\right)^2$
   這一步的計算會非常繁瑣。
   $v(t)^2 = \left(\frac{3}{2}t^4\right)^2 + \left(-\frac{4}{3}t^3\right)^2 + \left(\frac{1}{2}t^2\right)^2 + 2\left(\frac{3}{2}t^4\right)\left(-\frac{4}{3}t^3\right) + 2\left(\frac{3}{2}t^4\right)\left(\frac{1}{2}t^2\right) + 2\left(-\frac{4}{3}t^3\right)\left(\frac{1}{2}t^2\right)$
   $v(t)^2 = \frac{9}{4}t^8 + \frac{16}{9}t^6 + \frac{1}{4}t^4 - 4t^7 + \frac{3}{2}t^6 - \frac{4}{3}t^5$
   將同次方的項合併，並按指數降冪排列：

本題要求計算由一曲線繞 $x$ 軸旋轉所形成的旋轉體體積。

核心觀念：使用圓盤法 (Disk Method) 來計算旋轉體體積。當曲線 $y=f(x)$ 在區間 $[a, b]$ 繞 $x$ 軸旋轉時，體積由積分 $V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$ 給出。

解題步驟：

1. 確定曲線方程式 $y = f(x)$。
2. 確定旋轉的 $x$ 區間 $[a, b]$。
3. 將曲線方程式和區間代入圓盤法體積公式。
4. 計算積分。

計算過程：
給定曲線方程式：$y = x^2 + 1$。
給定 $x$ 區間：$x=-3$ 到 $x=3$。
旋轉軸：$x$ 軸。

1. 確認參數：
   $f(x) = x^2 + 1$
   $a = -3$
   $b = 3$

2. 應用體積公式：
   $V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$
   $V = \pi \int_{-3}^{3} (x^2 + 1)^2 dx$

3. 展開被積函數：
   $(x^2 + 1)^2 = (x^2)^2 + 2(x^2)(1) + 1^2 = x^4 + 2x^2 + 1$

4. 計算積分：
   $V = \pi \int_{-3}^{3} (x^4 + 2x^2 + 1) dx$

   被積函數 $x^4 + 2x^2 + 1$ 是偶函數（因為所有指數都是偶數），積分區間 $[-3, 3]$ 對稱於原點。因此，我們可以將積分範圍縮小一半，並乘以 2：
   $V = 2\pi \int_{0}^{3} (x^4 + 2x^2 + 1) dx$

本題要求計算兩個函數的一階導數。

第一小題：$f(x) = (1 + 2x)(2x + x^2)$

核心觀念：可以使用乘法定則 (Product Rule) 或先展開再微分。

解題步驟（使用乘法定則）：

1. 設 $u = 1 + 2x$ 且 $v = 2x + x^2$。
2. 計算 $u'$ 和 $v'$。
3. 套用乘法定則 $f'(x) = u'v + uv'$。

計算過程：
設 $u = 1 + 2x \implies u' = \frac{d}{dx}(1 + 2x) = 2$。
設 $v = 2x + x^2 \implies v' = \frac{d}{dx}(2x + x^2) = 2 + 2x$。

套用乘法定則：
$f'(x) = u'v + uv'$
$f'(x) = (2)(2x + x^2) + (1 + 2x)(2 + 2x)$
$f'(x) = 4x + 2x^2 + (1 \cdot 2 + 1 \cdot 2x + 2x \cdot 2 + 2x \cdot 2x)$
$f'(x) = 4x + 2x^2 + (2 + 2x + 4x + 4x^2)$
$f'(x) = 4x + 2x^2 + 2 + 6x + 4x^2$

合併同類項：
$f'(x) = (2x^2 + 4x^2) + (4x + 6x) + 2$
$f'(x) = 6x^2 + 10x + 2$

解題步驟（先展開再微分）：

1. 展開 $f(x)$。
2. 逐項微分。

計算過程：
$f(x) = (1 + 2x)(2x + x^2)$
$f(x) = 1(2x) + 1(x^2) + 2x(2x) + 2x(x^2)$
$f(x) = 2x + x^2 + 4x^2 + 2x^3$
$f(x) = 2x^3 + 5x^2 + 2x$

微分：
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 + 5x^2 + 2x)$
$f'(x) = 2(3x^2) + 5(2x) + 2$
$f'(x) = 6x^2 + 10x + 2$

兩種方法結果一致。
【答案】(1) $f'(x) = 6x^2 + 10x + 2$。

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第二小題：$f(x) = \cos^3 (2x) \sin(2x)$

核心觀念：需要使用乘法定則和連鎖法則 (Chain Rule)。

解題步驟：

1. 設 $u = \cos^3 (2x)$ 且 $v = \sin(2x)$。
2. 計算 $u'$ 和 $v'$。
   • 計算 $u' = \frac{d}{dx}(\cos^3 (2x))$：這需要連鎖法則。設 $w = \cos(2x)$，則 $u = w^3$。 $u' = 3w^2 \cdot \frac{dw}{dx}$。
     $\frac{dw}{dx} = \frac{d}{dx}(\cos(2x))$。再次使用連鎖法則，設 $p=2x$，則 $w=\cos(p)$。

本題要求計算兩個不定積分。

第一小題：$\int \frac{2x^4}{(1+2x)^3} dx$

核心觀念：這是一個有理函數積分。由於分母是 $(1+2x)^3$ 的形式，且分子次數高於分母，可以考慮使用部分分式分解 (Partial Fraction Decomposition) 或變數代換。考慮到分母的形式，變數代換 $u = 1+2x$ 會是較好的選擇。

解題步驟：

1. 進行變數代換：令 $u = 1+2x$。
2. 從代換式解出 $x$ 和 $dx$。
3. 將原積分轉換為關於 $u$ 的積分。
4. 計算關於 $u$ 的積分。
5. 將結果換回關於 $x$ 的表達式。

計算過程：
令 $u = 1+2x$。
則 $du = 2 dx \implies dx = \frac{1}{2} du$。
同時，從 $u = 1+2x$ 可得 $2x = u-1 \implies x = \frac{u-1}{2}$。
所以，$x^4 = \left(\frac{u-1}{2}\right)^4 = \frac{(u-1)^4}{16}$。
分母 $(1+2x)^3 = u^3$。

將原積分轉換為關於 $u$ 的積分：
$\int \frac{2x^4}{(1+2x)^3} dx = \int \frac{2 \cdot \frac{(u-1)^4}{16}}{u^3} \cdot \frac{1}{2} du$
$= \int \frac{\frac{(u-1)^4}{8}}{u^3} \cdot \frac{1}{2} du$
$= \int \frac{(u-1)^4}{16u^3} du$
$= \frac{1}{16} \int \frac{(u-1)^4}{u^3} du$

展開 $(u-1)^4$：
$(u-1)^4 = u^4 - 4u^3(1) + 6u^2(1)^2 - 4u(1)^3 + 1^4$
$(u-1)^4 = u^4 - 4u^3 + 6u^2 - 4u + 1$

現在，將展開式代入積分：
$\frac{1}{16} \int \frac{u^4 - 4u^3 + 6u^2 - 4u + 1}{u^3} du$
$= \frac{1}{16} \int \left(\frac{u^4}{u^3} - \frac{4u^3}{u^3} + \frac{6u^2}{u^3} - \frac{4u}{u^3} + \frac{1}{u^3}\right) du$
$= \frac{1}{16} \int \left(u - 4 + \frac{6}{u} - \frac{4}{u^2} + \frac{1}{u^3}\right) du$

對每一項進行積分：
$\int u du = \frac{u^2}{2}$
$\int -4 du = -4u$
$\int \frac{6}{u} du = 6 \ln|u|$
$\int -\frac{4}{u^2} du = -4 \int u^{-2} du = -4 \frac{u^{-1}}{-1} = \frac{4}{u}$
$\int \frac{1}{u^3} du = \int u^{-3} du = \frac{u^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2u^2}$

將這些結果組合起來，並乘以 $\frac{1}{16}$：
$\frac{1}{16} \left(\frac{u^2}{2} - 4u + 6 \ln|u| + \frac{4}{u} - \frac{1}{2u^2}\right) + C$
$= \frac{u^2}{32} - \frac{4u}{16} + \frac{6 \ln|u|}{16} + \frac{4}{16u} - \frac{1}{32u^2} + C$
$= \frac{u^2}{32} - \frac{u}{4} + \frac{3 \ln|u|}{8} + \frac{1}{4u} - \frac{1}{32u^2} + C$