109 年 國立中山大學海洋科學系碩士班乙組《微積分》

本題主要考查基本不定積分的計算技巧。

(a) 計算 $\int \sin^2 x \, dx$。
我們使用三角恆等式 $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$ 來簡化積分。
$\int \sin^2 x \, dx = \int \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx$
$= \frac{1}{2} \int (1 - \cos(2x)) \, dx$
$= \frac{1}{2} \left( \int 1 \, dx - \int \cos(2x) \, dx \right)$
$= \frac{1}{2} \left( x - \frac{1}{2} \sin(2x) \right) + C$
$= \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin(2x) + C$
【答案】$\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin(2x) + C$

(b) 計算 $\int (x + 1)^2 \, dx$。
此積分可透過代換積分法或直接展開來計算。
方法一：代換積分法。令 $u = x+1$，則 $du = dx$。
$\int (x + 1)^2 \, dx = \int u^2 \, du = \frac{u^3}{3} + C = \frac{(x+1)^3}{3} + C$
方法二：直接展開。

本題考查泰勒級數的展開與應用。

(a) 求 $\sqrt{x-1}$ 對 $x$ 在 $x=a$ 點的泰勒展開。
首先，我們需要選擇一個展開點 $a$。為了方便計算 $\sqrt{x-1}$，且使展開後的級數能夠近似 $\sqrt{344}$，我們選擇一個接近 344 的完全平方數。注意到 $343 = 7^3$ 且 $344$ 接近 $343$。然而，這裡的函數是 $\sqrt{x-1}$，所以我們需要 $x-1$ 是完全平方數。
若要計算 $\sqrt{344}$，則 $x-1 = 344$，即 $x=345$。我們需要找一個點 $a$ 使得 $a-1$ 是完全平方數，並且 $a$ 接近 $345$。
考慮 $x=5$。此時 $x-1=4=2^2$。若我們將 $\sqrt{x-1}$ 在 $x=5$ 點展開，則當 $x=345$ 時，我們求得的是 $\sqrt{344}$。

令 $f(x) = \sqrt{x-1} = (x-1)^{1/2}$。
我們需要在 $x=5$ 點進行泰勒展開。
計算各階導數：
$f(x) = (x-1)^{1/2}$
$f(5) = (5-1)^{1/2} = \sqrt{4} = 2$

$f'(x) = \frac{1}{2}(x-1)^{-1/2}$
$f'(5) = \frac{1}{2}(5-1)^{-1/2} = \frac{1}{2}(4)^{-1/2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

$f''(x) = \frac{1}{2} (-\frac{1}{2})(x-1)^{-3/2} = -\frac{1}{4}(x-1)^{-3/2}$
$f''(5) = -\frac{1}{4}(5-1)^{-3/2} = -\frac{1}{4}(4)^{-3/2} = -\frac{1}{4} (\frac{1}{2^3}) = -\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8} = -\frac{1}{32}$

泰勒展開式為 $f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \dots$
將 $a=5$ 代入，展開至 $x^2$ 階（即包含 $(x-5)^2$ 項）：
$f(x) \approx f(5) + f'(5)(x-5) + \frac{f''(5)}{2}(x-5)^2$
$\sqrt{x-1} \approx 2 + \frac{1}{4}(x-5) + \frac{-1/32}{2}(x-5)^2$
$\sqrt{x-1} \approx 2 + \frac{1}{4}(x-5) - \frac{1}{64}(x-5)^2$

【答案】$\sqrt{x-1} \approx 2 + \frac{1}{4}(x-5) - \frac{1}{64}(x-5)^2$

(b) 利用以上結果求 $\sqrt{344}$ 的近似值。
我們需要計算 $\sqrt{344}$，所以令 $x-1 = 344$，即 $x=345$。
將 $x=345$ 代入 (a) 的泰勒展開式：
$\sqrt{344} \approx 2 + \frac{1}{4}(345-5) - \frac{1}{64}(345-5)^2$
$\sqrt{344} \approx 2 + \frac{1}{4}(340) - \frac{1}{64}(340)^2$
$\sqrt{344} \approx 2 + 85 - \frac{1}{64}(115600)$
$\sqrt{344} \approx 87 - \frac{115600}{64}$

本題考查向量函數的微分，要求計算質點的速度和加速度。

質點的位置向量為 $\vec{r}(t) = 3e^{3t} \hat{i} + \cosh(2t) \hat{j} + 2t^2 \hat{k}$。

速度向量 $\vec{v}(t)$ 是位置向量對時間 $t$ 的一階導數：$\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt}$。
我們逐項對向量的各分量進行微分：
$\frac{d}{dt}(3e^{3t}) = 3 \cdot (3e^{3t}) = 9e^{3t}$
$\frac{d}{dt}(\cosh(2t)) = \sinh(2t) \cdot 2 = 2\sinh(2t)$
$\frac{d}{dt}(2t^2) = 2 \cdot (2t) = 4t$

所以，速度向量為：
$\vec{v}(t) = 9e^{3t} \hat{i} + 2\sinh(2t) \hat{j} + 4t \hat{k}$

本題考查隱函數微分法及其應用，求曲線的切線斜率和方程式。

給定曲線的方程式為 $(x-6)^2 + (y-2)^2 = 1$。這是一個以 $(6,2)$ 為圓心，半徑為 1 的圓。

(a) 求 $\frac{dy}{dx}$。
我們對方程式的兩邊同時對 $x$ 微分，利用連鎖律處理含 $y$ 的項。
$\frac{d}{dx}((x-6)^2 + (y-2)^2) = \frac{d}{dx}(1)$
$\frac{d}{dx}((x-6)^2) + \frac{d}{dx}((y-2)^2) = 0$

對於第一項：$\frac{d}{dx}((x-6)^2) = 2(x-6) \cdot \frac{d}{dx}(x-6) = 2(x-6) \cdot 1 = 2(x-6)$。
對於第二項：$\frac{d}{dx}((y-2)^2) = 2(y-2) \cdot \frac{d}{dx}(y-2) = 2(y-2) \cdot \frac{dy}{dx}$。

將兩項代回：
$2(x-6) + 2(y-2)\frac{dy}{dx} = 0$

解出 $\frac{dy}{dx}$：
$2(y-2)\frac{dy}{dx} = -2(x-6)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{-2(x-6)}{2(y-2)}$

本題考查積分上限的導數，需要使用微積分基本定理和連鎖律。

給定函數 $f(x) = \int_{x}^{x^2} \frac{1}{t} dt$。
我們需要計算 $f'(3)$。

首先，我們需要找到 $f'(x)$。
我們可以使用微積分基本定理。若 $G(x)$ 是 $g(x)$ 的一個反導函數，則 $\int_a^b g(t) dt = G(b) - G(a)$。
令 $g(t) = \frac{1}{t}$。它的反導函數是 $G(t) = \ln|t|$。
所以，$f(x) = \int_{x}^{x^2} \frac{1}{t} dt = G(x^2) - G(x) = \ln|x^2| - \ln|x|$。
由於積分的下限是 $x$，通常我們假設 $x>0$，所以可以寫成 $f(x) = \ln(x^2) - \ln(x)$。
利用對數性質，$\ln(x^2) = 2\ln(x)$ (當 $x>0$)。
因此，$f(x) = 2\ln(x) - \ln(x) = \ln(x)$。

現在，我們計算 $f'(x)$：
$f'(x) = \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}$。

最後，我們計算 $f'(3)$：
$f'(3) = \frac{1}{3}$。

本題考查波動傳播的概念，涉及速度、距離與時間的關係。

已知波動從 $x=0$ 公里處產生，以速度 $v = \frac{\pi}{2}$ 公里/小時 向 $+x$ 方向傳播。

(a) 在 $x$ 公里處,波經過 $dx$ 距離需要多少小時?
波動的速度是恆定的，即 $v = \frac{\text{距離}}{\text{時間}}$。
在這裡，距離是 $dx$ (一個微小的距離)，速度是 $v = \frac{\pi}{2}$ 公里/小時。
我們要求的是經過這個距離所需的時間 $dt$。
所以，$dt = \frac{dx}{v}$。
將速度值代入：
$dt = \frac{dx}{\frac{\pi}{2}}$
$dt = \frac{2}{\pi} dx$

這表示在 $x$ 公里處，波傳播一個微小距離 $dx$ 所需的時間是 $\frac{2}{\pi} dx$ 小時。

本題考查點到平面的最短距離計算，這是一個空間向量幾何問題。

點 $P_0 = (x_0, y_0, z_0) = (1,3,5)$。
平面方程式為 $Ax + By + Cz + D = 0$。
給定的平面方程式是 $2x+y+3z=3$，我們可以將其改寫為 $2x+y+3z-3=0$。
所以，$A=2$, $B=1$, $C=3$, $D=-3$。

點到平面的最短距離公式為：
$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$