112 年 國立中山大學海洋科學系碩士班乙組《微積分》

此題考查微積分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus）。

根據微積分基本定理，若函數 $F(x)$ 定義為 $F(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt$，其中 $a$ 為常數，則 $F'(x) = f(x)$。

在本題中，我們有 $F(x) = \int_{0}^{x} (8 - 6t + e^{t^2} - e^{-t^3}) dt$。
令 $f(t) = 8 - 6t + e^{t^2} - e^{-t^3}$。

此題考查連鎖律（Chain Rule）與冪函數的微分。

我們需要對函數 $f(x) = \sqrt{x(a+bx)}$ 求導。
首先，將函數改寫為指數形式：
$f(x) = (x(a+bx))^{1/2} = (ax + bx^2)^{1/2}$

接著，我們使用連鎖律來求導。設 $u = ax + bx^2$，則 $f(x) = u^{1/2}$。
根據連鎖律，$f'(x) = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx}$。

首先，計算 $\frac{df}{du}$：
$\frac{df}{du} = \frac{d}{du}(u^{1/2}) = \frac{1}{2} u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$

此題考查基本函數的微分規則，包括冪函數和三角函數的微分。

我們需要對函數 $f(x) = 3x^2 - 2\cos(x)$ 求導。
根據微分的線性性質，我們可以對每一項分別求導：
$f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2) - \frac{d}{dx}(2\cos(x))$

對於第一項 $3x^2$，我們使用冪函數的微分規則 $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$：

此題考查除法定則（Quotient Rule）的應用。

我們需要對函數 $y(t) = \frac{t}{1+t}$ 求導。
根據除法定則，若 $y(t) = \frac{u(t)}{v(t)}$，則 $y'(t) = \frac{u'(t)v(t) - u(t)v'(t)}{(v(t))^2}$。

此題考查多元函數的全導數（Total Derivative）概念，特別是當自變數也是其他變數的函數時。

函數 $G$ 是 $x, y, z, t$ 的函數，而 $x, y, z$ 又分別是 $t$ 的函數。我們要求的是 $G$ 對 $t$ 的全導數 $\frac{dG}{dt}$。
全導數的鏈式法則（Chain Rule）表示為：
$\frac{dG}{dt} = \frac{\partial G}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial G}{\partial y} \frac{dy}{dt} + \frac{\partial G}{\partial z} \frac{dz}{dt} + \frac{\partial G}{\partial t}$

題目中給定了以下關係：
$u = \frac{\partial x}{\partial t}$，但這裡的符號 $\frac{\partial x}{\partial t}$ 應該是指 $x$ 對 $t$ 的全導數 $\frac{dx}{dt}$，因為 $x$ 是 $t$ 的單一變數函數。
同理，$v = \frac{\partial y}{\partial t}$ 應為 $\frac{dy}{dt}$。

核心觀念

本題考查三維向量微積分中的：

• 旋度（curl）的定義
• 散度（divergence）的定義
• 混合偏導數相等所造成的消去
• 向量恆等式
  $\nabla\cdot(\nabla\times V)=0$

令

$$V=V_x\hat{i}+V_y\hat{j}+V_z\hat{k},$$

其中 $V_x,V_y,V_z$ 為 $x,y,z$ 的函數。題目所給條件表示混合偏導數可以交換順序，例如

$$\frac{\partial^2 V_x}{\partial y\partial x} = \frac{\partial^2 V_x}{\partial x\partial y}.$$

這類條件通常在各分量具有足夠光滑性時成立。

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一、求 $\nabla\times V$

旋度的定義

三維空間中的旋度定義為

$$\nabla\times V = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z}\\ V_x & V_y & V_z \end{vmatrix}.$$

沿第一列展開：

$$\nabla\times V = \hat{i} \left( \frac{\partial V_z}{\partial y} - \frac{\partial V_y}{\partial z} \right) -\hat{j} \left( \frac{\partial V_z}{\partial x} - \frac{\partial V_x}{\partial z} \right) +\hat{k} \left( \frac{\partial V_y}{\partial x} - \frac{\partial V_x}{\partial y} \right).$$

將中間項整理後，得到

$$\nabla\times V = \left( \frac{\partial V_z}{\partial y} - \frac{\partial V_y}{\partial z} \right)\hat{i} + \left( \frac{\partial V_x}{\partial z} - \frac{\partial V_z}{\partial x} \right)\hat{j} + \left( \frac{\partial V_y}{\partial x} - \frac{\partial V_x}{\partial y} \right)\hat{k}.$$

因此第一部分答案為

$$\boxed{ \nabla\times V = \left(V_{z,y}-V_{y,z}\right)\hat{i} + \left(V_{x,z}-V_{z,x}\right)\hat{j} + \left(V_{y,x}-V_{x,y}\right)\hat{k} }$$

其中記號 $V_{x,y}$ 代表 $\dfrac{\partial V_x}{\partial y}$。

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二、求 $\nabla\cdot(\nabla\times V)$

解題方法

先將旋度視為另一個向量：

$$\nabla\times V = C_x\hat{i}+C_y\hat{j}+C_z\hat{k},$$

其中

$$C_x= \frac{\partial V_z}{\partial y} - \frac{\partial V_y}{\partial z},$$ $$C_y= \frac{\partial V_x}{\partial z} - \frac{\partial V_z}{\partial x},$$ $$C_z= \frac{\partial V_y}{\partial x} - \frac{\partial V_x}{\partial y}.$$

再套用散度公式：

$$\nabla\cdot C = \frac{\partial C_x}{\partial x} + \frac{\partial C_y}{\partial y} + \frac{\partial C_z}{\partial z}.$$

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逐項微分

代入 $C_x,C_y,C_z$：

此題考查高斯散度定理（Gauss's Divergence Theorem）。

Divergence Theorem 的向量表達式：

高斯散度定理描述了向量場的散度（Divergence）與其通過閉合曲面的通量（Flux）之間的關係。其向量表達式為：
$\iiint_V (\nabla \cdot F) dV = \iint_S (F \cdot \hat{n}) dS$
其中：

• $V$ 代表一個三維空間中的體積區域。
• $S$ 是包圍體積 $V$ 的閉合曲面。
• $F$ 是一個向量場，它在體積 $V$ 內及其邊界 $S$ 上是連續且可微的。
• $\nabla \cdot F$ 是向量場 $F$ 的散度。
• $\hat{n}$ 是曲面 $S$ 在某一點上的外法線單位向量。
• $F \cdot \hat{n}$ 是向量場 $F$ 在曲面 $S$ 上的通量密度。

核心觀念

平面可表示為

$$x=h(y,z)$$

將其改寫為等位面形式：

$$F(x,y,z)=x-h(y,z)=0$$

等位面的法向量可由梯度給出：

$$\nabla F = \frac{\partial F}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial F}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial F}{\partial z}\hat{k}$$

梯度方向垂直於等位面，因此 $\nabla F$ 即為此平面的法向量。

解題方法

由

$$F(x,y,z)=x-h(y,z)$$

分別計算偏導數：

$$\frac{\partial F}{\partial x}=1, \qquad \frac{\partial F}{\partial y}=-\frac{\partial h}{\partial y}, \qquad \frac{\partial F}{\partial z}=-\frac{\partial h}{\partial z}$$

因此法向量為

$$\nabla F = \hat{i} - \frac{\partial h}{\partial y}\hat{j} - \frac{\partial h}{\partial z}\hat{k}$$

其長度為

$$\left\lVert \nabla F \right\rVert = \sqrt{ 1+ \left(\frac{\partial h}{\partial y}\right)^2+ \left(\frac{\partial h}{\partial z}\right)^2 }$$

將法向量正規化，得到指向正 $x$ 方向的單位法向量：

$$\hat{n} = \frac{ \hat{i} - \frac{\partial h}{\partial y}\hat{j} - \frac{\partial h}{\partial z}\hat{k} }{ \sqrt{ 1+ \left(\frac{\partial h}{\partial y}\right)^2+ \left(\frac{\partial h}{\partial z}\right)^2 } }$$

若選擇相反方向，另一個合法的單位法向量為