113 年 國立中山大學海洋科學系碩士班乙組《微積分》

此題考查基本不定積分的計算技巧。

(a) 計算 $\int \cos^2 x \, dx$。
我們使用三角恆等式 $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$ 來簡化積分。
$\int \cos^2 x \, dx = \int \frac{1 + \cos(2x)}{2} \, dx$
$= \frac{1}{2} \int (1 + \cos(2x)) \, dx$
$= \frac{1}{2} \left( x + \frac{1}{2}\sin(2x) \right) + C$
$= \frac{x}{2} + \frac{1}{4}\sin(2x) + C$
【答案】$\frac{x}{2} + \frac{1}{4}\sin(2x) + C$

(b) 計算 $\int (2x+3)^2 \, dx$。
我們可以使用換元積分法，令 $u = 2x+3$，則 $du = 2 \, dx$，即 $dx = \frac{1}{2} \, du$。
$\int (2x+3)^2 \, dx = \int u^2 \left(\frac{1}{2} \, du\right)$
$= \frac{1}{2} \int u^2 \, du$
$= \frac{1}{2} \cdot \frac{u^3}{3} + C$
$= \frac{1}{6} u^3 + C$
將 $u = 2x+3$ 代回：
$= \frac{1}{6} (2x+3)^3 + C$
或者，直接展開後積分：

此題考查連鎖法則與微積分基本定理的應用。

已知 $f(x) = e^{g(x)}$。根據連鎖法則，我們有 $f'(x) = e^{g(x)} \cdot g'(x)$。
我們需要計算 $g'(x)$。
已知 $g(x) = \int_{0}^{x} \sin(t) \, dt$。
根據微積分基本定理的第一部分，若 $G(x) = \int_{a}^{x} h(t) \, dt$，則 $G'(x) = h(x)$。
在此題中，$g(x)$ 的形式符合微積分基本定理，其中 $h(t) = \sin(t)$。
因此，$g'(x) = \sin(x)$。

現在，我們將 $g'(x)$ 代入 $f'(x)$ 的公式中：
$f'(x) = e^{g(x)} \cdot g'(x)$
$f'(x) = e^{g(x)} \cdot \sin(x)$

此題考查極限的計算，包含雙曲函數的極限和不定型極限的處理。

(a) 求 $\lim_{x \to 0} \frac{\cosh x}{x}$。
首先，我們知道 $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$。
當 $x \to 0$ 時，$\cosh x \to \frac{e^0 + e^0}{2} = \frac{1+1}{2} = 1$。
而分母 $x \to 0$。
因此，此極限為 $\frac{1}{0}$ 的形式。
從右側趨近 $x \to 0^+$，分母為正，極限為 $+\infty$。
從左側趨近 $x \to 0^-$，分母為負，極限為 $-\infty$。
由於左右極限不相等，此極限不存在。

更嚴謹地，我們也可以考慮使用羅必達法則（L'Hôpital's Rule），但前提是極限為 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型。在此處，分子趨近於 1，分母趨近於 0，所以不能直接使用羅必達法則。

【答案】極限不存在 (DNE)

(b) 求 $\lim_{x \to 0} \frac{(x+4)^3 - 64}{x}$。
當 $x \to 0$ 時，分子趨近於 $(0+4)^3 - 64 = 4^3 - 64 = 64 - 64 = 0$。
分母趨近於 $0$。
這是 $\frac{0}{0}$ 型的不定形式，我們可以使用羅必達法則或代數方法。

此題考查泰勒級數展開及其應用。

(a) 以 Taylor Series 將 $\sqrt{1+x}$ 對 $x$ 展開至 $x^2$ 階。
我們需要計算函數 $f(x) = \sqrt{1+x}$ 在 $x=0$ 處的泰勒展開式的前三項（常數項、一次項、二次項）。
首先計算函數值及其各階導數在 $x=0$ 處的值：
$f(x) = (1+x)^{1/2}$
$f(0) = (1+0)^{1/2} = 1$

$f'(x) = \frac{1}{2}(1+x)^{-1/2}$
$f'(0) = \frac{1}{2}(1+0)^{-1/2} = \frac{1}{2}$

$f''(x) = \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{2}\right) (1+x)^{-3/2} = -\frac{1}{4}(1+x)^{-3/2}$
$f''(0) = -\frac{1}{4}(1+0)^{-3/2} = -\frac{1}{4}$

泰勒展開式（麥克勞林級數）的一般形式為：
$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dots$
我們只需要展開到 $x^2$ 階，所以我們需要前三項：
$f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2$
將計算出的值代入：
$\sqrt{1+x} \approx 1 + \left(\frac{1}{2}\right)x + \frac{-\frac{1}{4}}{2}x^2$
$\sqrt{1+x} \approx 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2$

【答案】$1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2$

(b) 利用以上結果求 $\sqrt{26}$ 的近似值。
我們需要將 $\sqrt{1+x}$ 的展開式與 $\sqrt{26}$ 連結起來。
$\sqrt{26} = \sqrt{25+1} = \sqrt{25(1+\frac{1}{25})} = 5\sqrt{1+\frac{1}{25}}$。
現在，我們可以令 $x = \frac{1}{25}$。
將 $x = \frac{1}{25}$ 代入 (a) 的展開式：

此題為一物理應用題，考查變速運動的路徑計算，本質上是積分問題。

問題描述：
波動從 $x_0 = 100$ 公里處產生。
波動的速度為 $v(x) = \sqrt{x}$ 公里/小時。
波動向 $x$ 方向傳播。
我們要求從 $x=100$ 公里傳播到 $x=400$ 公里所需的時間。

我們知道速度是位置對時間的微分，即 $v(x) = \frac{dx}{dt}$。
在這個問題中，速度 $v$ 是位置 $x$ 的函數，而不是時間 $t$ 的函數。
我們可以將這個微分方程寫成 $\frac{dx}{dt} = \sqrt{x}$。
為了求解所需的時間，我們需要將這個方程改寫成 $dt = \frac{dx}{\sqrt{x}}$，然後進行積分。

我們從初始位置 $x_0 = 100$ 公里開始，目標位置是 $x_f = 400$ 公里。
總時間 $T$ 可以通過對 $dt$ 在整個路徑上積分來得到：

此題考查泰勒級數展開及其在向量分析中的應用，以及極限方向的判斷。

首先，我們將向量 $\vec{u}$ 的每個分量看作是函數，並對它們進行泰勒展開。
$\vec{u} = [u_1, u_2]$
其中 $u_1(x) = 1 - e^{-\cos(x)}$
$u_2(x) = e^x \sin(x)$

我們需要將這兩個函數對 $x$ 在 $x=0$ 附近展開到 $x^2$ 階。

對於 $u_1(x) = 1 - e^{-\cos(x)}$：
我們知道 $\cos(x)$ 的泰勒展開是 $\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + O(x^4)$。
所以，$-\cos(x) = -1 + \frac{x^2}{2} + O(x^4)$。
接下來，我們需要 $e^y$ 的泰勒展開，其中 $y = -\cos(x)$。
$e^y = 1 + y + \frac{y^2}{2!} + O(y^3)$。
將 $y = -1 + \frac{x^2}{2} + O(x^4)$ 代入：
$e^{-\cos(x)} = e^{-1 + \frac{x^2}{2} + O(x^4)}$
$e^{-\cos(x)} = e^{-1} \cdot e^{\frac{x^2}{2} + O(x^4)}$
$e^{-\cos(x)} = e^{-1} \left( 1 + \left(\frac{x^2}{2} + O(x^4)\right) + \frac{1}{2!}\left(\frac{x^2}{2} + O(x^4)\right)^2 + O((x^2)^3) \right)$
$e^{-\cos(x)} = e^{-1} \left( 1 + \frac{x^2}{2} + O(x^4) \right)$
$e^{-\cos(x)} = \frac{1}{e} + \frac{1}{2e}x^2 + O(x^4)$。

現在計算 $u_1(x) = 1 - e^{-\cos(x)}$：
$u_1(x) = 1 - \left( \frac{1}{e} + \frac{1}{2e}x^2 + O(x^4) \right)$
$u_1(x) = \left(1 - \frac{1}{e}\right) - \frac{1}{2e}x^2 + O(x^4)$。
展開到 $x^2$ 階，我們得到 $u_1(x) \approx \left(1 - \frac{1}{e}\right) - \frac{1}{2e}x^2$。

對於 $u_2(x) = e^x \sin(x)$：
我們知道 $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + O(x^3)$。
我們知道 $\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + O(x^5)$。
為了展開到 $x^2$ 階，我們需要 $e^x$ 的 $x^0, x^1, x^2$ 項，以及 $\sin(x)$ 的 $x^1$ 項。
$u_2(x) = (1 + x + \frac{x^2}{2} + O(x^3)) \cdot (x - \frac{x^3}{6} + O(x^5))$
我們只保留到 $x^2$ 階的項：
$u_2(x) \approx (1 + x + \frac{x^2}{2}) \cdot x$
$u_2(x) \approx x + x^2 + \frac{x^3}{2}$
忽略 $x^3$ 及更高階的項，我們得到 $u_2(x) \approx x + x^2$。

此題考查隱函數微分、圓的參數方程、幾何意義的應用。

此方程式 $(x-1)^2 + (y-1)^2 = 1$ 代表一個圓心在 $(1,1)$、半徑為 $1$ 的圓。

(a) 求 $\frac{dy}{dx}$。
我們使用隱函數微分法對方程式兩邊對 $x$ 微分。
$\frac{d}{dx} \left( (x-1)^2 + (y-1)^2 \right) = \frac{d}{dx}(1)$
$\frac{d}{dx}(x-1)^2 + \frac{d}{dx}(y-1)^2 = 0$
對於第一項，$\frac{d}{dx}(x-1)^2 = 2(x-1) \cdot \frac{d}{dx}(x-1) = 2(x-1) \cdot 1 = 2(x-1)$。
對於第二項，我們使用連鎖法則，因為 $y$ 是 $x$ 的函數：
$\frac{d}{dx}(y-1)^2 = 2(y-1) \cdot \frac{d}{dx}(y-1) = 2(y-1) \cdot \frac{dy}{dx}$。
將兩項結果代回：
$2(x-1) + 2(y-1)\frac{dy}{dx} = 0$
解出 $\frac{dy}{dx}$：
$2(y-1)\frac{dy}{dx} = -2(x-1)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{-2(x-1)}{2(y-1)}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{x-1}{y-1}$
或者寫成：
$\frac{dy}{dx} = \frac{1-x}{y-1}$

【答案】$\frac{dy}{dx} = -\frac{x-1}{y-1}$