111 年 國立臺灣大學大氣系碩士班甲組《大氣物理》

本題主要在考察氣團（air parcel）的基本概念、大氣熱力學第一定律的應用，以及不同不穩定度條件下的氣團垂直運動。

(a) 氣團的定義與假設

• 氣團定義：氣團是一個假設性的、獨立的、球形的小體積空氣，它與周圍環境有明顯的邊界，但這些邊界是絕熱的，並且沒有質量交換。它在垂直方向上移動時，可以被視為一個獨立的系統。
• 假設：
  1. 絕熱過程 (Adiabatic Process)：氣團在運動過程中，不與外界交換熱量。這是最核心的假設，確保了其溫度變化僅由絕熱膨脹或壓縮引起。
  2. 無質量交換 (No Mass Exchange)：氣團的邊界是絕熱的，同時也阻止了空氣分子進出，即氣團的質量保持不變。
  3. 靜力平衡 (Hydrostatic Equilibrium)：雖然氣團在運動，但它所處的大氣在宏觀上通常被認為是符合靜力平衡的，即向上的壓力梯度力與向下的重力大致平衡，這使得我們能討論氣團的垂直運動。
  4. 均質性 (Homogeneity)：在討論氣團本身的物理性質時，假設其內部是均質的（例如密度、溫度、濕度等在氣團內部均勻分佈）。
  5. 可壓縮性 (Compressibility)：氣團的體積會隨著壓力變化而改變。

【答案】 氣團定義：一個獨立、絕熱、無質量交換的小體積空氣。假設：絕熱過程、無質量交換、靜力平衡、均質性、可壓縮性。

(b) 氣團附近的輻射加熱實例
氣團附近的輻射加熱（diabatic heating）是指與輻射過程相關的能量交換，它會改變氣團的溫度，但不是通過絕熱膨脹或壓縮。儘管氣團假設是絕熱的，但在實際大氣中，輻射是能量的重要來源和損失途徑。這裡我們討論的是「影響」氣團的輻射過程，而不是氣團本身「進行」的絕熱過程。

• 繪製氣團：在近地面（約 1-2 公里以下）的氣團，可以畫一個圓形或方形代表，並標示出其周圍的環境。
• 輻射加熱實例：
  1. 太陽短波輻射吸收 (Solar Shortwave Radiation Absorption)：地面吸收了太陽輻射後升溫，然後將熱量以長波輻射或感熱、潛熱的形式傳遞給近地面的氣團。如果氣團中有吸收短波輻射的成分（如水氣、臭氧，雖然在低層影響較小），也會直接加熱。更常見的是，地面加熱空氣。
  2. 地面長波輻射加熱 (Terrestrial Longwave Radiation)：地面本身在白天吸收太陽輻射後溫度升高，夜間則輻射長波能量。如果氣團的長波輻射吸收率大於其長波輻射發射率，則會被加熱。同時，地面發出的長波輻射也會加熱上方的空氣。
  3. 雲層的長波輻射加熱/冷卻 (Cloud Longwave Radiation)：如果氣團下方有雲，雲底發出的長波輻射會加熱氣團；如果氣團上方有雲，雲頂發出的長波輻射會冷卻氣團。這裡討論的是「加熱」，所以可以考慮雲底輻射加熱，或者氣團吸收了來自大氣中其他組分（如 CO2, H2O）的長波輻射。
  4. 潛熱釋放 (Latent Heat Release)：當水蒸氣凝結成液態水或冰時，會釋放潛熱，這會加熱氣團。雖然嚴格來說這屬於相變過程，但它是一個顯著的「非絕熱」加熱來源。題目要求的是「diabatic heating」，潛熱釋放是一個非常重要的非絕熱加熱過程。

[答案] 繪製氣團圖。輻射加熱實例：太陽短波輻射吸收、地面長波輻射加熱、潛熱釋放（凝結）。

(c) 潛熱溫度的推導
潛熱溫度（Potential Temperature, $\theta$）定義為一個氣團在絕熱壓縮或膨脹至標準參考壓力 $p_0$（通常取 1000 hPa 或 100 kPa）時所具有的溫度。它是一個保守量，不受絕熱過程中的壓力或體積變化影響，只隨熵的變化而變化。

從大氣熱力學第一定律開始：
$dU = \delta Q - \delta W$
其中 $dU$ 是內能變化，$\delta Q$ 是熱量變化，$\delta W$ 是功。
對於一個理想氣體，內能只與溫度有關：$dU = m c_v dT$，其中 $m$ 是質量，$c_v$ 是定容比熱。
功 $\delta W$ 可以表示為 $p dV$，其中 $p$ 是壓力，$V$ 是體積。
所以，熱力學第一定律為：
$m c_v dT = \delta Q - p dV$
考慮單位質量 (m=1)，則：
$c_v dT = \delta Q - p dV$
對於絕熱過程，$\delta Q = 0$。因此：
$c_v dT = - p dV$
我們知道理想氣體狀態方程式：$pV = R_d T$ (對於乾空氣)。
我們可以將其改寫為 $p = R_d T / V$。
代入上式：
$c_v dT = - \frac{R_d T}{V} dV$
將 $dT$ 和 $dV$ 移到等號兩邊：
$\frac{c_v}{T} dT = - \frac{R_d}{V} dV$
兩邊積分：
$\int \frac{c_v}{T} dT = - \int \frac{R_d}{V} dV$
$c_v \ln T = - R_d \ln V + C$
其中 $C$ 是積分常數。
$c_v \ln T + R_d \ln V = C$
$\ln T^{c_v} + \ln V^{R_d} = C$
$\ln (T^{c_v} V^{R_d}) = C$
$T^{c_v} V^{R_d} = e^C = \text{constant}$
這個關係適用於絕熱過程。
我們知道 $R_d = c_p - c_v$ (邁耶公式)。
$T^{c_v} V^{c_p - c_v} = \text{constant}$
為了方便引入壓力，我們使用 $pV = R_d T$。
$V = R_d T / p$。代入上式：
$T^{c_v} \left( \frac{R_d T}{p} \right)^{c_p - c_v} = \text{constant}$
$T^{c_v} \frac{R_d^{c_p - c_v} T^{c_p - c_v}}{p^{c_p - c_v}} = \text{constant}$
$T^{c_v + c_p - c_v} \frac{R_d^{c_p - c_v}}{p^{c_p - c_v}} = \text{constant}$
$T^{c_p} \frac{R_d^{c_p - c_v}}{p^{c_p - c_v}} = \text{constant}$
$\frac{T^{c_p}}{p^{c_p - c_v}} = \text{constant}$
$T^{c_p / (c_p - c_v)} / p^{1} = \text{constant}$
$\left( \frac{T}{p^{(c_p - c_v)/c_p}} \right)^{c_p} = \text{constant}$
$\frac{T}{p^{(c_p - c_v)/c_p}} = \text{constant}$
令 $\kappa = c_v / c_p$。則 $c_p - c_v = c_p (1 - \kappa)$。
$\frac{c_p - c_v}{c_p} = 1 - \kappa$
所以：
$\frac{T}{p^{(1-\kappa)}} = \text{constant}$
或者寫成：
$T p^{-(1-\kappa)} = \text{constant}$
$T p^{\kappa-1} = \text{constant}$
這個常數就是潛熱溫度 $\theta$ 的基礎。
潛熱溫度 $\theta$ 定義為將氣團絕熱地變到參考壓力 $p_0$ 時的溫度 $T$。
根據絕熱過程的常數關係：
$\frac{T}{p^{\kappa-1}} = \frac{\theta}{p_0^{\kappa-1}}$
因此，潛熱溫度的表達式為：
$\theta = T \left( \frac{p_0}{p} \right)^{\kappa-1}$
其中 $\kappa-1 = (c_v - c_p) / c_p = -R_d / c_p$。
所以，
$\theta = T \left( \frac{p_0}{p} \right)^{-R_d/c_p} = T \left( \frac{p}{p_0} \right)^{R_d/c_p}$
這個公式表示，在絕熱過程中，氣團的潛熱溫度 $\theta$ 是守恆的。

步驟解釋：

1. 熱力學第一定律：描述了內能、熱量和功之間的關係。
2. 絕熱過程假設：設定 $\delta Q = 0$，表示系統與外界無熱交換。

本題主要考察學生對海洋暖化現象（El Niño）期間，長波輻射異常（LW anomaly）與大氣溫度變化趨勢的理解。

(a) 箭頭所指區域的長波輻射異常
圖中箭頭所指的區域位於赤道太平洋中東部，這是 El Niño 事件期間海溫偏高的典型區域。圖例顯示了長波輻射異常 (OLRA) 的數值範圍，從 -70 到 70。箭頭區域的顏色對應圖例中的數值。觀察圖中的顏色，箭頭區域的顏色大致落在圖例的 -30 到 -10 之間。

• OLRA (Outgoing Longwave Radiation Anomaly)：指在特定時期（這裡為 DJF，冬季）觀測到的向外長波輻射與長期平均值之間的差異。
• 箭頭區域：位於赤道太平洋中東部，此區域在 El Niño 時期海面溫度（SST）顯著偏高。
• 長波輻射與溫度關係：物體溫度越高，發出的長波輻射越強。然而，這裡討論的是「異常值」。
• 異常值判讀：圖例中，負值表示觀測到的長波輻射低於平均值，正值表示高於平均值。箭頭所指的區域顏色偏向圖例的負值端。

因此，箭頭所指的區域具有負的長波輻射異常。

【答案】 負的長波輻射異常。

(b) 箭頭所指區域的溫度變化趨勢

• 長波輻射異常與溫度趨勢：
  • 負的長波輻射異常（觀測值 < 平均值）：這通常意味著該區域的雲量偏多，或者雲層較厚。雲層（特別是低層厚雲）會反射太陽短波輻射，同時也會阻擋地表向外發出的長波輻射，但其自身也會發出長波輻射。然而，如果考慮到整個系統（包括地表和低層大氣）的能量收支，負的長波輻射異常（即向外輻射減少）通常與大氣變暖或能量滯留有關。
  • El Niño 背景：箭頭區域是 El Niño 時期海溫異常偏高的核心區域。偏高的海溫導致更多水氣蒸發，進而可能產生更多對流和雲。
  • 雲的輻射效應：雲對長波輻射有保溫作用。如果負異常是由於雲層增多，那麼雲層會將一部分地表輻射反射回地表，並吸收一部分地表輻射，同時雲頂也會輻射能量到太空。然而，對流層中部的雲層增多，通常會導致該區域的淨輻射能量收支增加，或能量被困住，從而引起暖化。

本題考察學生對黑體輻射四個基本定律的理解。黑體輻射是研究物體與電磁波相互作用的基礎，在氣象學中，行星、雲、地表等都可以近似視為黑體或灰體來研究其輻射特性。

黑體（Black Body）是指能夠完全吸收所有入射的電磁輻射，並且在任何溫度下都能發出熱輻射的理想物體。黑體輻射的關鍵在於其輻射的強度和頻譜分佈僅僅取決於其溫度。

以下是黑體輻射的四個基本定律及其關鍵概念：

1. 普朗克定律 (Planck's Law)

   • 內容：普朗克定律給出了黑體在特定溫度 $T$ 下，單位面積、單位立體角、單位頻率（或波長）範圍內發出的輻射亮度（或輻射強度）$B_\nu(T)$（或 $B_\lambda(T)$）與頻率 $\nu$（或波長 $\lambda$）和溫度 $T$ 的關係。
   • 關鍵概念：
     • 量子化：普朗克提出能量是量子化的，即能量以不連續的「能量子」形式發射和吸收。
     • 頻譜分佈：普朗克定律描述了黑體輻射的連續光譜，其形狀由溫度決定。在低頻（長波長）區域，輻射強度趨於零；在高頻（短波長）區域，輻射強度也趨於零，在某個特定波長處達到最大值。
     • 數學表達式 (頻率域)：
       $B_\nu(T) = \frac{2h\nu^3}{c^2} \frac{1}{e^{h\nu/k_B T} - 1}$
       其中 $h$ 是普朗克常數，$c$ 是光速，$k_B$ 是玻爾茲曼常數，$\nu$ 是頻率，$T$ 是絕對溫度。
     • 數學表達式 (波長域)：
       $B_\lambda(T) = \frac{2hc^2}{\lambda^5} \frac{1}{e^{hc/\lambda k_B T} - 1}$
       其中 $\lambda$ 是波長。

2. 斯特藩-玻爾茲曼定律 (Stefan-Boltzmann Law)

   • 內容：斯特藩-玻爾茲曼定律給出了黑體在所有波長上，單位面積發出的總輻射功率（或總輻射亮度）$E_b(T)$ 與其絕對溫度 $T$ 的關係。
   • 關鍵概念：
     • 總輻射功率：該定律是普朗克定律對所有頻率（或波長）進行積分的結果。
     • 溫度依賴性：總輻射功率與溫度的四次方成正比。
     • 數學表達式：
       $E_b(T) = \int_0^\infty B_\nu(T) d\nu = \sigma T^4$
       其中 $\sigma$ 是斯特藩-玻爾茲曼常數 ($\sigma \approx 5.67 \times 10^{-8} \, \text{W m}^{-2}\text{K}^{-4}$)。
     • 應用：用於計算恆星、行星表面等物體的總輻射能量。

本題考察液態水滴在雲中的成長機制，以及氣膠濃度對雨滴形成的影響。

(a) 液態水滴成長速率的變化
水滴在雲中成長主要有兩種機制：凝結成長（Condensational Growth）和碰撞成長（Collisional Growth）。

• 凝結成長：

  • 機制：水蒸氣分子在水滴表面凝結，使水滴體積增加。其成長速率主要與水滴表面的水氣過飽和度、溫度梯度、水滴表面的曲率效應和鹽析效應（對於含鹽水滴）以及水滴表面的擴散過程有關。
  • 速率變化：當水滴剛開始形成時，它非常小，表面積相對較大，且周圍的環境可能處於較高的水氣過飽和狀態。此時，水蒸氣分子可以較快地向水滴表面擴散並凝結，使得水滴尺寸迅速增大。
  • 為何減慢：隨著水滴尺寸的增大，其表面積與體積之比 (Surface Area / Volume) 逐漸減小。這意味著單位體積的水滴能夠「吸引」的水蒸氣分子相對減少。同時，較大的水滴會導致周圍空氣中的水氣壓力發生更大的變化（因其曲率效應和鹽析效應的影響相對減弱，或者說，小水滴的成長受這些因素的約束更明顯），且擴散阻力也會增加。因此，水蒸氣向水滴表面凝結的速率相對於水滴已有的體積而言，是逐漸減慢的。換句話說，要使一個大水滴的半徑增加 $\Delta r$，需要比使一個小水滴的半徑增加 $\Delta r$ 所需的水蒸氣量更多。或者說，在相同的時間內，大水滴的半徑增長量會比小水滴的要小。
  • 總結：凝結成長的速率隨著水滴變大而減慢，因為表面積/體積比減小，且擴散限制增強。

• 碰撞成長：

  • 機制：較大的水滴在雲中下落時，由於終端速度較大，會與較小的、下落速度較慢的水滴發生碰撞。如果碰撞後水滴能夠合併，則水滴的尺寸就會增大。
  • 速率變化：碰撞成長的效率（碰撞截面）與水滴尺寸的關係是關鍵。較大的水滴具有較大的終端速度，這使得它們能夠「掃過」更多的空氣體積，並與更多的較小水滴發生碰撞。
  • 為何加速：
    1. 碰撞截面：對於尺寸差異較大的水滴，大水滴的碰撞截面（有效捕獲範圍）不僅僅是其幾何截面，還受到氣動學的影響（如氣流繞過小水滴、小水滴被大水滴的尾流吸引等）。對於較大的水滴，其碰撞截面相對於其幾何截面來說，其增長效應可能更明顯。
    2. 終端速度：水滴的終端速度 $v_t$ 大致與其直徑 $D$ 的平方成正比（在雷諾數較低的範圍內）或與直徑成正比（在雷諾數較高的範圍內）。
       • 對於小水滴（Stokes 流，$Re \ll 1$）：$v_t \propto D^2$。
       • 對於大水滴（Newton 流，$Re \gg 1$）：$v_t \propto D^{1/2}$。
         由於終端速度隨尺寸增大而增大，大水滴在單位時間內能夠掃過的空氣體積更大，遇到更多的小水滴。
    3. 碰撞合併效率：雖然碰撞不一定導致合併，但對於大水滴，其動能較大，碰撞後合併的機率可能也相對較高。

本題主要考察學生對 Bergeron-Findeisen 過程的理解及其在中緯度大陸地區的重要性。

Wegener-Bergeron-Findeisen (BF) 過程

• 核心概念：BF 過程是一種在含有過冷水滴和冰晶的雲中發生的重要降水形成機制。其關鍵在於，在相同的溫度下，飽和水氣壓關於冰（$e_{si}$）低於飽和水氣壓關於過冷水（$e_{sw}$）。
• 過程描述：
  1. 過冷水滴與冰晶共存：在中緯度地區的雲，尤其是在高空部分，溫度常常低於 0°C，但雲中可能仍然存在未結冰的液態水滴（過冷水滴）。同時，雲中也存在冰晶。
  2. 水氣壓差：由於 $e_{si} < e_{sw}$（在相同溫度下），冰晶周圍的飽和水氣壓低於過冷水滴周圍的飽和水氣壓。
  3. 水氣轉移：如果雲中同時存在過冷水滴和冰晶，那麼空氣相對於冰晶是過飽和的（相對於過冷水滴則可能接近飽和或稍有過飽和）。這導致水氣分子從過冷水滴表面（高水氣壓）向冰晶表面（低水氣壓）擴散和沉積。
  4. 冰晶成長：水氣不斷地在冰晶表面凝華（或稱為昇華的逆過程），使得冰晶迅速成長。
  5. 水滴減小：同時，由於水氣從過冷水滴蒸發，過冷水滴會逐漸減小甚至消失。
  6. 降水形成：成長起來的冰晶（例如雪花）由於質量增加，其終端速度會大於雲滴，開始下落。在下落過程中，它們可能在較暖的空氣中融化形成雨滴，或者在低溫環境中以雪的形式降落。

重要性在中緯度大陸地區

本題考察冰雹成長過程中，乾生長（Dry Growth）與濕生長（Wet Growth）的區別及其決定因素。這兩個過程是理解冰雹大小和結構的關鍵。

冰雹的乾生長與濕生長

冰雹（Hailstone）是在強對流雲（積雨雲）中，通過不斷與過冷水滴碰撞、吸附和凍結而成長的固體冰塊。在成長過程中，冰雹表面與過冷水滴碰撞後，凍結的方式會影響其後續的成長。

1. 乾生長 (Dry Growth)

   • 過程：當冰雹以較慢的速度（通常是較小的尺寸或較弱的上升氣流）穿過過冷水滴雲時，它與過冷水滴碰撞。由於凍結速率較快，碰撞的過冷水滴會立即凍結在其表面，並且大部分的水滴凍結時釋放的潛熱（凍結潛熱 $L_f$）能夠迅速散失到周圍的空氣中，不會導致冰雹表面溫度顯著升高。
   • 表面狀態：冰雹表面保持相對乾燥、冰冷（溫度低於 0°C，但遠低於冰點），且具有明顯的層狀結構（凍結的過冷水滴形成不透明的白色冰層）。
   • 特徵：成長速率較慢，冰雹密度較低（約 $0.2-0.5 \, \text{g cm}^{-3}$），內部結構多為不透明白色冰。

2. 濕生長 (Wet Growth)

   • 過程：當冰雹以較快的速度（通常是較大的尺寸或強烈的上升氣流）穿過過冷水滴雲時，它與過冷水滴碰撞。由於碰撞速率高，或者周圍空氣溫度相對較高，碰撞的過冷水滴凍結時釋放的潛熱無法及時散失。這會導致冰雹表面溫度升高到 0°C 附近，甚至略高於 0°C。
   • 表面狀態：冰雹表面被一層液態水膜覆蓋，因為碰撞的過冷水滴在表面融化或未完全凍結。水滴可以在這個液態水膜上進一步成長，或者被包裹進冰雹內部。
   • 特徵：成長速率較快，冰雹密度較高（約 $0.8-0.9 \, \text{g cm}^{-3}$），內部結構多為透明或半透明的冰層。

決定因素

決定冰雹經歷乾生長還是濕生長過程的主要因素是：冰雹表面凍結潛熱的散失速率。這個散失速率又取決於以下幾個關鍵因素：

1. 冰雹的尺寸 (Hailstone Size)：
   • 較小的冰雹：表面積與體積之比大，熱量容易散失，傾向於乾生長。