112 年 國立臺灣大學大氣系碩士班甲組《大氣物理》

本題主要在考察學生對大氣中幾種重要溫度參數的物理意義、典型大氣垂直結構下的變化範圍，以及氣塊上升過程中的變化行為。

核心觀念：

• 溫度 (Temperature, $T$)： 物體內部分子運動的平均動能的宏觀表現。在大氣中，溫度是描述空氣冷暖程度的物理量。
• 位溫 (Potential Temperature, $\theta$)： 指將一個氣塊絕熱地壓縮或膨脹至標準氣壓（通常為 1000 hPa 或 100 kPa）時所具有的溫度。它是一個保守量，不受絕熱過程中的氣壓變化影響，能反映氣塊的熱力學狀態。
• 相當位溫 (Equivalent Potential Temperature, $\theta_e$)： 指將一個氣塊中的水氣絕熱地凝結並釋放出所有潛熱後，再絕熱地壓縮至標準氣壓 (1000 hPa) 時所具有的溫度。它考慮了水氣凝結釋放的潛熱，因此比位溫更能反映氣塊的總熱力含量，也是一個保守量。
• 飽合相當位溫 (Saturated Equivalent Potential Temperature, $\theta_{se}$)： 指將一個氣塊中的水氣絕熱地凝結並釋放出所有潛熱後，再絕熱地壓縮至標準氣壓 (1000 hPa) 時所具有的溫度。與 $\theta_e$ 的區別在於，$\theta_{se}$ 是針對已經達到飽和狀態的氣塊而言，它代表了氣塊在飽和狀態下的總熱力含量。

解題過程：

(a) 溫度 (Temperature)

• 物理意義： 空氣的冷暖程度，反映分子平均動能。
• 典型大氣垂直結構的變化範圍： 在對流層，溫度隨高度升高而降低（標準直減率約為 $6.5 \, ^\circ\text{C/km}$）。從地表約 $20 \, ^\circ\text{C}$ 降至對流層頂約 $-50 \, ^\circ\text{C}$。在平流層，溫度隨高度升高而升高。
• 氣塊上升時的變化： 氣塊在未飽和狀態下，絕熱下沉或上升時，其溫度變化遵循乾絕熱直減率（約 $9.8 \, ^\circ\text{C/km}$）。氣塊上升時溫度降低。

(b) 位溫 (Potential Temperature)

• 物理意義： 將氣塊絕熱壓縮至 1000 hPa 時的溫度。是一個保守量，用於追蹤氣團。
• 典型大氣垂直結構的變化範圍： 在對流層，位溫隨高度升高而升高（稱為位溫遞增結構）。通常在地表約 $300 \, \text{K}$，對流層頂約 $330 \, \text{K}$。
• 氣塊上升時的變化： 氣塊上升時，壓力降低，體積膨脹，溫度隨之降低，但位溫保持不變（絕熱過程）。

(c) 相當位溫 (Equivalent Potential Temperature)

• 物理意義： 將氣塊中水氣絕熱凝結釋放潛熱後，再絕熱壓縮至 1000 hPa 時的溫度。考慮了潛熱效應，比位溫更能反映氣塊的總熱力含量。
• 典型大氣垂直結構的變化範圍： 在對流層，相當位溫也隨高度升高而升高，但通常比位溫的遞增率更大，尤其是在暖濕的低層。在地表約 $300 \, \text{K}$，對流層頂可能高達 $350 \, \text{K}$ 以上。
• 氣塊上升時的變化：
  • 未飽和狀態： 氣塊上升時，溫度降低，但位溫不變。相當位溫也近似不變，因為沒有水氣凝結。
  • 飽和狀態： 氣塊上升時，溫度降低，但由於水氣凝結釋放潛熱，其溫度下降速率會比乾絕熱直減率慢（濕絕熱直減率）。相當位溫會略微升高，因為潛熱的釋放增加了氣塊的總熱力含量，相當於在達到相同壓力時，溫度會比單純絕熱膨脹略高。

(d) 飽合相當位溫 (Saturated Equivalent Potential Temperature)

• 物理意義： 針對一個已經達到飽和的氣塊，將其絕熱地壓縮至 1000 hPa 時的溫度。它代表了氣塊在飽和狀態下的總熱力含量。
• 典型大氣垂直結構的變化範圍： 在對流層，飽合相當位溫也隨高度升高而升高，其值通常略高於相當位溫。
• 氣塊上升時的變化：
  • 未飽和狀態： 氣塊上升時，溫度降低，相當位溫近似不變。

本題在探討冰雪覆蓋對地球輻射平衡的影響，屬於氣候系統中的一個重要回饋機制。

核心觀念：

• 回饋機制 (Feedback Mechanism)： 指系統的輸出對其自身輸入產生影響，進而改變系統響應的過程。
• 正回饋 (Positive Feedback)： 放大初始變化，使系統朝向更極端的狀態發展。
• 負回饋 (Negative Feedback)： 抑制初始變化，使系統趨向穩定狀態。
• 長波輻射 (Longwave Radiation)： 主要由地球表面和低層大氣發出的熱輻射，波長較長。
• 短波輻射 (Shortwave Radiation)： 主要來自太陽的輻射，波長較短。
• 反照率 (Albedo)： 物體表面反射太陽輻射的能力，通常以百分比或小數表示。

解題過程：

冰、雪回饋是正或負回饋？
冰和雪的表面具有較高的反照率。當地球表面溫度升高時：

1. 冰雪融化，裸露出的地表（如土壤、水體、植被）的反照率通常比冰雪低。
2. 較低的反照率意味著地表能夠吸收更多的太陽短波輻射。
3. 吸收更多的輻射會進一步加熱地表，導致更多的冰雪融化。
   這個過程形成了一個循環，即溫度升高 → 冰雪融化 → 反照率降低 → 吸收更多太陽輻射 → 溫度進一步升高。這是一個放大初始變化的過程，因此，冰雪回饋是一個正回饋。

本題探討水氣回饋機制，這是氣候系統中另一個重要的回饋過程，與溫度變化密切相關。

核心觀念：

• 水氣 (Water Vapor)： 大氣中的氣態水。
• 飽和水氣壓 (Saturation Vapor Pressure)： 在特定溫度下，單位體積空氣所能容納的最大水氣量。克勞修斯-克拉佩龍方程（Clausius-Clapeyron equation）描述了飽和水氣壓隨溫度的指數關係。
• 水氣回饋 (Water Vapor Feedback)： 指氣溫變化引起大氣中水氣含量的變化，進而影響大氣的輻射特性，並對氣溫變化產生進一步影響。
• 長波輻射 (Longwave Radiation)： 地球表面和低層大氣發出的熱輻射，水氣是主要的溫室氣體，強烈吸收和發射長波輻射。
• 短波輻射 (Shortwave Radiation)： 太陽輻射。水氣對短波輻射的吸收效應相對較小。

解題過程：

水氣回饋是正或負回饋？
當地球表面溫度升高時：

1. 由於飽和水氣壓隨溫度呈指數關係增加（克勞修斯-克拉佩龍方程），大氣能夠容納更多的水氣。
2. 如果大氣中的水氣含量隨之增加，則大氣中的水氣（一種強效溫室氣體）會吸收更多的地球長波輻射。
3. 吸收更多的長波輻射會進一步加熱大氣，導致地表溫度進一步升高。
   這個過程放大（增強）了初始的溫度變化，因此，水氣回饋是一個正回饋。

本題要求說明三種不同霧的形成熱力學原理，並結合水的飽和蒸汽壓曲線來解釋。

核心觀念：

• 霧 (Fog)： 懸浮在近地面空氣中的微小水滴或冰晶。
• 飽和蒸汽壓 (Saturation Vapor Pressure, $e_s$)： 在特定溫度下，空氣所能容納的最大水氣壓。水的飽和蒸汽壓隨溫度升高而顯著增加，此關係可由克勞修斯-克拉佩龍方程描述。
• 實際蒸汽壓 (Actual Vapor Pressure, $e$)： 空氣中實際含有水氣的壓力。
• 相對濕度 (Relative Humidity, RH)： $RH = (e / e_s) \times 100\%$。當相對濕度達到 100% 時，空氣達到飽和。
• 露點溫度 (Dew Point Temperature, $T_d$)： 使空氣達到飽和狀態時的溫度，此時實際蒸汽壓等於飽和蒸汽壓 ($e = e_s(T_d)$)。
• 熱力學原理： 霧的形成本質上是空氣冷卻至露點溫度或以下，導致水氣達到飽和，進而發生凝結。

解題過程：

水的飽和蒸汽壓曲線 (Saturation Vapor Pressure Curve)
這是一條表示飽和水氣壓 ($e_s$) 與溫度 ($T$) 之間關係的曲線。通常繪製成 $e_s$ 為縱軸， $T$ 為橫軸。此曲線的特點是斜率隨溫度升高而增大（越來越陡峭），表示溫度越高，空氣能容納的水氣越多。

• 實際蒸汽壓 ($e$)： 代表了空氣中水氣的含量。在沒有水氣增減的情況下，實際蒸汽壓 $e$ 是一個近似保守量（除非有水氣的加入或移出）。
• 露點溫度 ($T_d$)： 對於給定的實際蒸汽壓 $e$，露點溫度 $T_d$ 是曲線上的溫度值，使得 $e_s(T_d) = e$。
• 相對濕度 ($RH$)： 在給定溫度 $T$ 下，若實際蒸汽壓為 $e$，則 $RH = e / e_s(T) \times 100\%$。

三種霧的形成熱力學原理：

1. 輻射霧 (Radiation Fog)
   • 形成條件： 通常在晴朗、無風或微風的夜晚，陸地表面（特別是草地、濕地）因強烈輻射冷卻而降溫。
   • 熱力學原理：
     • 夜間，地面輻射散熱，導致近地面空氣層溫度快速下降。
     • 空氣中的實際水氣含量（實際蒸汽壓 $e$）保持相對穩定（因為沒有水氣的加入或明顯移出）。
     • 隨著空氣溫度 $T$ 下降，飽和蒸汽壓 $e_s(T)$ 也隨之下降。
     • 當空氣溫度 $T$ 下降到與露點溫度 $T_d$ 相近或相等時，相對濕度 $RH$ 接近 100%。
     • 如果空氣溫度繼續下降至露點以下，空氣達到飽和，水氣開始在微小的凝結核上凝結成微小水滴，形成輻射霧。
   • 相圖解釋： 曲線上的某一點 $(T_0, e)$ 代表初始狀態。夜間輻射冷卻使溫度沿著垂直線（$e$ 不變）向下移動到 $(T_1, e)$，其中 $T_1 = T_d$。如果溫度繼續下降到 $T_2 < T_d$，則 $e > e_s(T_2)$，空氣飽和並凝結。

本題在探討液態水粒子（雲滴、雨滴）在空氣中下降時的終端速度與粒徑的關係，以及為何這種關係會隨著粒徑的增大而發生變化。

核心觀念：

• 終端速度 (Terminal Velocity, $V_t$)： 物體在流體（如空氣）中下落時，當重力與空氣阻力達到平衡時的恆定速度。
• 重力 (Gravitational Force, $F_g$)： $F_g = mg$，其中 $m$ 為粒子質量， $g$ 為重力加速度。
• 空氣阻力 (Drag Force, $F_d$)： 流體對運動物體產生的阻力。其形式取決於雷諾數 (Reynolds number, Re)，而雷諾數又與物體的速度、尺寸和流體性質有關。
• 史托克斯定律 (Stokes' Law)： 當物體在流體中運動且雷諾數很小時（通常 Re < 1），阻力與速度和粒徑成正比。適用於非常小的粒子，如雲滴。
• 雷諾數 (Reynolds number, Re)： $Re = (\rho v D) / \mu$，其中 $\rho$ 為流體密度， $v$ 為速度， $D$ 為物體直徑， $\mu$ 為流體動力黏滯係數。
• 大氣粒子動力學： 描述粒子在空氣中運動的物理學。

解題過程：

1. 史托克斯定律與雲滴 (Stokes' Law and Cloud Droplets)

• 雲滴的粒徑非常小（通常約 $1-20 \, \mu\text{m}$）。
• 對於小粒子，其運動的雷諾數很低（Re << 1）。
• 在這種低雷諾數條件下，空氣阻力 $F_d$ 服從史托克斯定律：$F_d = 3\pi \mu D v$，其中 $\mu$ 是空氣動力黏滯係數，$D$ 是粒子直徑，$v$ 是速度。
• 當雲滴達到終端速度 $V_t$ 時，重力 $F_g$ 等於空氣阻力 $F_d$：
  $m g = 3\pi \mu D V_t$
• 雲滴的質量 $m$ 可以表示為其體積乘以密度 $\rho_w$（水的密度）：$m = (\pi D^3 / 6) \rho_w$。
• 代入上式：$(\pi D^3 / 6) \rho_w g = 3\pi \mu D V_t$
• 整理得到終端速度 $V_t$：
  $V_t = (\rho_w g D^2) / (18 \mu)$
• 因此，根據史托克斯定律，雲滴的終端速度 $V_t$ 與其直徑的平方 $D^2$ 成正比 ($V_t \propto D^2$)。

2. 小雨滴 (Diameter < 1 mm) 的終端速度

• 小雨滴的粒徑比雲滴大（直徑約 $0.1 \, \text{mm}$ 至 $1 \, \text{mm}$），雷諾數會增加，但仍然相對較小。
• 當雷諾數增加時，空氣阻力不再僅僅遵循史托克斯定律，而是會包含一個與速度和直徑的更高次方相關的項。
• 更精確的阻力公式通常表示為：$F_d = \frac{1}{2} \rho_{\text{air}} C_d A v^2$，其中 $\rho_{\text{air}}$ 是空氣密度，$C_d$ 是阻力係數，$A$ 是粒子截面積，$v$ 是速度。
• 對於小雨滴，其雷諾數在約 $1 < Re < 1000$ 的範圍內，阻力係數 $C_d$ 仍然隨 Re 變化，但不再是簡單的與 $1/Re$ 成反比。
• 一個常用的經驗公式是 $C_d \approx \frac{24}{Re} (1 + \frac{3}{8} Re)$，這相當於史托克斯定律加上了一個修正項。
• 當我們將此阻力公式與重力平衡時，可以推導出終端速度。即便如此，由於 $C_d$ 的變化，終端速度與直徑的關係會比 $D^2$ 弱。

本題要求解釋雷達回波因子與雨滴粒徑的關係，並說明如何利用此關係估算降雨量。

核心觀念：

• 雷達回波因子 (Radar Reflectivity, Z)： 雷達系統接收到的來自目標（如雨滴、雪花）的後向散射功率的度量。它與目標的數量、大小和介電常數有關。
• 米氏散射理論 (Mie Scattering Theory)： 描述當散射粒子尺寸與電磁波波長可比擬時的散射行為。對於氣象雷達，雨滴尺寸通常與雷達波長可比。
• 粒子粒徑分佈 (Particle Size Distribution, PSD)： 空氣中不同粒徑粒子數量的分佈。
• 降雨強度 (Rainfall Intensity, R)： 单位时间内單位面積上的降雨量，通常以 mm/hr 表示。
• Z-R 關係 (Z-R Relationship)： 雷達回波因子 Z 與降雨強度 R 之間的經驗關係式。

解題過程：

1. 雷達回波因子 (Z) 與雨滴粒徑 (D) 的關係

雷達回波因子 $Z$ 定義為單位體積內所有粒子後向散射功率的總和。對於非導體球體（如水滴）在米氏散射理論的近似下（當粒子尺寸遠小於雷達波長時，可近似為瑞利散射），後向散射截面（$\sigma_b$）與粒徑的六次方成正比：
$\sigma_b \propto D^6$

雷達回波因子 $Z$ 定義為：
$Z = \sum_{i=1}^{N} \sigma_{b,i} = \sum_{i=1}^{N} C \cdot D_i^6$
其中 $N$ 是單位體積內的粒子總數， $C$ 是與雷達波長、水的介電常數等因素有關的常數。

如果我們考慮單位體積內不同粒徑的粒子，並假設它們的數量分佈為 $n(D)$ (即單位體積內，粒徑在 $D$ 到 $D+dD$ 之間的粒子數為 $n(D)dD$)，則雷達回波因子可以表示為積分形式：
$Z = \int_{0}^{\infty} n(D) \sigma_b(D) dD$

在瑞利散射近似下 ($\sigma_b \propto D^6$)，我們將常數 $C$ 提出：
$Z = C \int_{0}^{\infty} n(D) D^6 dD$

因此，雷達回波因子 $Z$ 與單位體積內所有粒子粒徑的六次方總和成正比。這意味著，即使少量的大粒子（因為 $D^6$ 的貢獻非常顯著）也能對 $Z$ 值產生很大的影響，其貢獻遠大於大量的小粒子。

總結： 雷達回波因子 $Z$ 與雨滴粒徑的六次方成正比，因為粒子散射的後向散射截面與粒徑的六次方成正比。

2. 如何利用雷達回波因子 (Z) 估算降雨量 (R)

降雨強度 $R$（單位：mm/hr）與雷達回波因子 $Z$ 之間存在著經驗的關係式，稱為 Z-R 關係。這個關係式通常表示為：
$Z = a R^b$

本題探討在雲中，氣塊上升過程中過飽和度隨高度的變化，以及上升速度對最高過飽和度的影響。

核心觀念：

• 過飽和度 (Supersaturation)： 空氣中實際水氣壓與同溫度下飽和水氣壓之差的百分比，或更常用的是指相對濕度超過 100% 的部分。在本題中，橫軸直接標示為 Supersaturation (%)，代表相對濕度超過 100% 的程度。
• 雲滴形成 (Cloud Droplet Formation)： 在超過 100% 的相對濕度（過飽和狀態）下，水氣會在凝結核上凝結形成雲滴。
• 熱力學過程： 氣塊上升導致溫度降低，進而影響飽和水氣壓。
• 動力學過程： 氣塊的上升速度影響水氣凝結與蒸發的速率平衡。
• 水氣平衡： 在雲中，水氣的變化主要由蒸發和凝結決定。

解題過程：

圖表說明：
圖中顯示，對於兩種不同的上升速度（2.0 m/s 和 0.5 m/s），過飽和度隨距雲底高度的變化曲線。

• 縱軸：距雲底高度 (Height above cloud base, m)。
• 橫軸：過飽和度 (Supersaturation, %)。
• 實線：上升速度 $V = 2.0 \, \text{m/s}$。
• 虛線：上升速度 $V = 0.5 \, \text{m/s}$。

1. 說明飽和度隨高度先增後減的原因

氣塊在雲中上升時，會經歷一系列物理過程，導致過飽和度發生變化：

• 上升階段（高度增加）：

  1. 溫度下降： 氣塊上升，壓力降低，發生絕熱膨脹，溫度隨之下降。
  2. 飽和水氣壓下降： 由於溫度下降，同溫下的飽和水氣壓 $e_s(T)$ 也隨之下降。
  3. 水氣來源（凝結）： 氣塊上升過程中，如果實際水氣壓 $e$ 保持不變或變化不大，則溫度下降導致 $e_s$ 下降，相對濕度 $RH = e/e_s$ 會增加。當 $e_s$ 下降的速度快於 $e$ 下降的速度時，相對濕度會超過 100%，即出現過飽和。
  4. 雲滴形成與成長： 在過飽和狀態下，水氣在凝結核上凝結，形成新的雲滴或使現有雲滴長大。這個過程消耗了空氣中的水氣，使得實際水氣壓 $e$ 開始下降。

• 飽和度先增後減的機制：

  • 初期（上升初期）： 當氣塊開始上升時，溫度下降是主要的影響因素，導致 $e_s$ 明顯下降。此時，如果實際水氣壓 $e$ 的下降速度較慢（或尚未開始顯著下降），則相對濕度會快速增加，導致過飽和度上升。
  • 中期（達到最大值）： 隨著氣塊繼續上升，溫度持續下降，但同時，水氣凝結過程變得活躍，從空氣中消耗水氣，導致實際水氣壓 $e$ 開始顯著下降。過飽和度達到一個峰值。
  • 後期（下降階段）： 當水氣凝結消耗水氣的速度足夠快，以至於實際水氣壓 $e$ 下降的速度超過了飽和水氣壓 $e_s$ 下降的速度時，相對濕度會開始下降。這意味著過飽和度開始降低。最終，如果氣塊繼續上升並與周圍環境混合，或者水氣被消耗殆盡，過飽和度可能會接近於零。

圖中觀察：
兩條曲線都顯示過飽和度先上升，達到一個最大值，然後再下降。這印證了上述的「先增後減」的機制。

2. 上升速度影響最高過飽和度的機制

上升速度 $V$ 影響著氣塊在雲中經歷上述過程的時間尺度和速率。

• 較快的上升速度 ($V = 2.0 \, \text{m/s}$，實線)：
  1. 更快的溫度下降： 氣塊在單位時間內上升的高度更大，因此溫度下降得更快（假設直減率恆定）。