109 年 國立臺灣大學大氣系碩士班甲組《大氣物理》

此題考查輻射傳輸中的吸收過程。輻射的吸收與介質的吸收係數有關，而吸收係數會受到介質的物理性質和輻射頻率的影響。

輻射傳輸方程中的吸收項 $k_r$ 通常代表吸收係數，它描述了輻射在介質中傳播時被吸收的程度。這個係數會受到多種因素的影響。在給定的方程 $dl_r = -k_r \rho l_r ds$ 中，$dl_r$ 是輻射強度在傳播距離 $ds$ 上的變化，$l_r$ 是輻射強度，$\rho$ 是介質密度。

此題考查行星的能量平衡概念，特別是計算行星的有效溫度。

行星的有效溫度 $T_e$ 是假設行星表面均勻且處於輻射平衡狀態下所計算出的溫度。這個模型將行星視為一個黑體，吸收來自太陽的輻射，同時向太空輻射能量。

給定的方程是 $T_e = [S(1-\bar{\alpha})/4\sigma]^{1/4}$。

• S: 在這個方程中，S 代表到達行星的太陽輻射的總能量通量密度，通常稱為太陽常數（Solar Constant），但更精確地說，它代表了在行星軌道處，垂直於輻射方向的單位面積上接收到的太陽輻射功率。其單位通常是 W/m²。

此題考查大氣物理中長波輻射與短波輻射的區分。

在地球大氣科學中，通常將太陽輻射（到達地球的輻射）稱為短波輻射，而將地球表面及大氣向外輻射的能量稱為長波輻射。這兩者之間的區分主要基於它們的波長範圍。

• 短波輻射：主要來自太陽，其輻射光譜峰值約在 0.5 微米（μm）處，大部分能量集中在 0.15 至 4.0 微米的範圍內。

此題考查水氣（水蒸氣）在大氣中的輻射吸收特性。

水氣 (H₂O) 是大氣中一種重要的溫室氣體，它對電磁輻射的吸收能力非常顯著，尤其是在特定的波長範圍內。

• 長波輻射吸收：水氣對紅外線區域的輻射具有非常強的吸收能力。這部分輻射主要來自地球表面發出的熱輻射，波長大約在 5 微米到 25 微米之間。水氣的吸收帶（absorption bands）在此範圍內非常密集，是造成溫室效應的主要原因之一。

此題考查臭氧 (O₃) 在大氣中的輻射吸收特性。

臭氧在大氣中的輻射吸收特性對於地球的能量平衡和溫度結構至關重要。

• 短波輻射吸收：臭氧對太陽輻射（短波輻射）的吸收能力非常強，尤其是在紫外線（UV）波段。臭氧層主要存在於平流層，其主要功能是吸收來自太陽的有害紫外線（UV-B 和 UV-C）。這種吸收會將紫外線能量轉化為熱能，導致平流層的溫度隨高度升高。

此題考查行星的能量平衡概念，但與題號 2 的簡單模型不同，此處引入了更多的物理參數。此能量平衡方程描述的是行星表面（或某一層大氣）的能量收支。

方程形式為：$Q(1-\bar{\alpha}) + \epsilon \sigma T_s^4 - \sigma T_e^4 = 0$

這個方程可以理解為：

• 吸收的太陽輻射：$Q(1-\bar{\alpha})$
  • $Q$ 是到達行星的太陽總輻射通量。
  • $(1-\bar{\alpha})$ 是行星（或該層）的吸收率，$\bar{\alpha}$ 是平均反照率（反射率）。
• 向外輻射的能量：$\epsilon \sigma T_s^4 - \sigma T_e^4$
  • $\epsilon \sigma T_s^4$ 是該表面（或該層）向外輻射的能量。$\epsilon$ 是該表面的發射率，$\sigma$ 是史蒂芬-波茲曼常數， $T_s$ 是該表面的溫度。
  • $\sigma T_e^4$ 是該表面接收到的來自大氣（或太空）的輻射能量。在這裡，$T_e$ 似乎被用來代表接收到的輻射所對應的「等效溫度」。

然而，這個方程的寫法與常見的行星表面或大氣能量平衡方程略有不同。通常，行星表面的能量平衡方程是：
吸收的太陽輻射 = 向外淨輻射
$S_{in}(1-\bar{\alpha})/4 = \sigma T_s^4 - F_{down}$
其中 $S_{in}$ 是太陽常數，$F_{down}$ 是大氣向下長波輻射。

如果我們假設這個方程是描述 行星表面 的能量平衡，並且 $T_e$ 代表的是從大氣層接收到的向下長波輻射的「等效溫度」，那麼方程可以改寫為：
$Q(1-\bar{\alpha}) + \epsilon \sigma T_{down}^4 - \epsilon \sigma T_s^4 = 0$

此題考查雲物理中雲滴形成過程的兩個重要概念：活化障礙和核化障礙。這兩個障礙是導致雲滴形成效率非理想化的主要原因。

1. 活化障礙 (Activation Barrier)

• 定義：活化障礙是指，在過飽和的水蒸氣環境中，水分子自發地凝結成非常微小的液態小水滴（稱為亞穩態小滴或小簇）時，需要克服的能量壁壘。這個能量壁壘源於表面張力效應。
• 原理：根據開爾文方程 (Kelvin equation)，對於一個曲率為 $r$ 的小液滴，其周圍的水蒸氣達到飽和所需的相對濕度 $S$ 為：
  $S = \frac{p_v}{p_{sv}(r)} = \exp\left(\frac{2\gamma M}{r \rho_l R T}\right)$
  其中，$p_v$ 是水蒸氣分壓，$p_{sv}(r)$ 是曲率為 $r$ 的液滴表面的飽和蒸氣壓，$\gamma$ 是水的表面張力， $M$ 是水的摩爾質量，$\rho_l$ 是液態水的密度，$R$ 是理想氣體常數，$T$ 是絕對溫度。
  這個公式表明，小液滴的飽和蒸氣壓比平坦表面（$r \to \infty$）的飽和蒸氣壓要高。因此，要維持一個非常小的液滴不蒸發，需要更高的相對濕度（即更高的過飽和度）。
• 影響：在較低的過飽和度下，水分子聚合形成的小水滴非常不穩定，容易重新蒸發。只有當水滴長大到一個臨界半徑（critical radius）以上時，它才會變得穩定並繼續增長。形成這個臨界半徑的小滴所需的能量稱為活化能。因此，克服活化障礙是雲滴形成的初始步驟，需要達到足夠的過飽和度才能啟動。

2. 核化障礙 (Nucleation Barrier)

此題考查冰晶在雲中的成長機制，主要分為兩種模式：主要成長習性（Primary Growth Habit）和次要成長習性（Secondary Growth Habit）。

1. 主要成長習性 (Primary Growth Habit)

• 定義：主要成長習性是指冰晶在形成初期，根據其周圍環境的溫度和過飽和度，由水蒸氣直接沉積（水汽凝華）而形成的基礎形態。這是冰晶生長最直接、最基本的過程。
• 形成原因與控制因子：
  • 溫度 (Temperature)：這是影響冰晶主要成長習性的最關鍵因素。不同的溫度範圍有利於形成不同的晶體形態。
    • -1°C 至 -3°C：形成扁平的六角形板狀晶（Plate）。
    • -3°C 至 -8°C：形成針狀晶（Prism/Column）。
    • -8°C 至 -12°C：再次形成扁平的六角形板狀晶（Plate）。
    • -12°C 至 -16°C：形成複雜的星狀晶（Dendrite）或空間結構的晶體。
    • -16°C 至 -22°C：再次形成針狀晶（Prism/Column）。
    • 低於 -22°C：再次形成板狀晶（Plate）。
  • 過飽和度 (Supersaturation)：過飽和度影響水蒸氣向冰晶表面的沉積速率。
    • 高過飽和度：傾向於形成更複雜、分支更多的結構，例如星狀晶（Dendrite），因為在結晶的尖端或邊緣，水蒸氣通量更高，生長更快。
    • 低過飽和度：傾向於形成較簡單、平滑的結構，例如板狀或針狀。
  • 氣流和晶體取向：冰晶在氣流中的翻滾和取向會影響其各個表面的水蒸氣供應，進而影響生長。
• 典型形態：六角形板、針、星狀晶（雪花）、柱狀體、立方體等。

此題考查雲物理中雨滴的成長機制，特別是通過碰撞增大的過程。雨滴的成長主要有兩個途徑：水蒸氣凝華（對較小的雲滴而言）和碰撞增長（對較大的雲滴和雨滴而言）。這裡要求的是單一雨滴碰撞成長方程。

雨滴通過碰撞成長的速率，可以通過以下方程來描述：
$\frac{dR}{dt} = \frac{1}{2} \int_0^\infty N(r) E(R, r) v(R, r) \pi (R+r)^2 dr$
其中：

• $R$ 是正在成長的較大雨滴的半徑。
• $t$ 是時間。
• $\frac{dR}{dt}$ 是該雨滴半徑隨時間的增長率。
• $N(r)$ 是半徑為 $r$ 的較小粒子（雲滴或較小雨滴）的數密度（單位體積內的粒子數）。
• $E(R, r)$ 是碰撞效率 (Collection Efficiency)。它表示當一個半徑為 $R$ 的大粒子與一個半徑為 $r$ 的小粒子碰撞的相對概率。它考慮了氣體動力學效應（如流體阻力、範德華力、靜電作用等）以及重力（落差）的影響。
• $v(R, r)$ 是半徑為 $R$ 的大粒子與半徑為 $r$ 的小粒子之間的相對終端速度差。通常，大粒子（雨滴）的終端速度遠大於小粒子（雲滴）。
• $\pi (R+r)^2$ 是兩個粒子碰撞的幾何截面積。
• 積分 $\int_0^\infty ... dr$ 是對所有可能尺寸 $r$ 的小粒子進行積分，以得到大粒子 $R$ 在單位時間內從所有小粒子那裡獲得的水量。
• 前面乘以 $\frac{1}{2}$ 是為了避免重複計算，因為碰撞是雙向的。

各項的物理意義：

此題考查大氣中凝結尾（Contrails）的形成機制，特別是持續性凝結尾和消散性凝結尾的區別。凝結尾是由飛機發動機排放的廢氣在高空中與周圍空氣混合後形成的。

飛機發動機排放的廢氣主要成分是水蒸氣、二氧化碳，以及少量的硫酸鹽、碳化物和氮氧化物等。在高空中，溫度極低（通常低於 -40°C），大氣壓力較低。

1. 持續性凝結尾 (Persistent Contrails)

• 形成機制：
  1. 排放：飛機發動機在高空中排放出含有大量水蒸氣和熱量的廢氣。
  2. 混合與冷卻：熱的、富含水蒸氣的廢氣與極冷的周圍空氣混合。這個混合過程會導致廢氣溫度迅速下降。
  3. 飽和與過飽和：由於排放的水蒸氣量很大，即使混合後溫度有所升高，局部區域的水蒸氣分壓可能仍然很高。當混合後的溫度低於周圍空氣的露點溫度時，水蒸氣開始凝結。
  4. 冰晶形成：在高溫（低於 -40°C）下，凝結過程會直接形成微小的冰晶，而不是液態水滴。這些冰晶就是我們看到的凝結尾。
  5. 持續存在：持續性凝結尾之所以能長時間存在，是因為它們形成在 相對濕度高 (High Relative Humidity, RH > 100%) 的高空環境中。在這個環境裡，冰晶不僅能形成，還能從周圍空氣中吸取額外水氣（因為周圍空氣相對於冰晶處於過飽和狀態），甚至從周圍的冰晶升華後再凝結到其他冰晶上。這使得凝結尾中的冰晶能夠緩慢增長，並在幾個小時內保持可見。
• 判斷條件：形成於大氣相對濕度高於冰晶飽和濕度（$RH_{ice} > 100\%$）的區域。

此題考查雲凝結核 (CCN) 濃度變化對雲微物理過程的影響。當 CCN 濃度增加時，相同體積的空氣中可供水蒸氣凝結的粒子數增多，這會導致：

1. 雲滴數量增加：更多的 CCN 被激活，形成更多的雲滴。
2. 雲滴尺寸減小：由於總的水氣量是有限的，分配到每個雲滴上的水氣就減少了，導致平均雲滴尺寸變小。

接下來分析這對三個過程的影響：

a. 雨滴搜集雲滴成長 (Raindrop Collection of Cloud Droplets)

• 基本原理：雨滴通過與周圍的雲滴發生碰撞並吸收它們來成長。這個過程稱為碰撞成長 (Collision-Coalescence)。
• CCN 濃度增加的影響：
  • 雲滴尺寸變小：雨滴與較小的雲滴碰撞的效率通常較低。雖然雨滴的終端速度較高，能夠追趕雲滴，但如果雲滴尺寸太小，流體動力學效應（如空氣阻力、範德華力等）會降低碰撞的有效性。
  • 雲滴數量變多：雖然雲滴數量增加，但由於平均尺寸變小，雨滴「搜集」這些小雲滴的過程會變得更為困難和緩慢。
  • 結果：雨滴通過碰撞搜集小尺寸雲滴的效率降低，這會延緩雨滴的形成和成長。在某些情況下，如果雲滴尺寸過小，雨滴可能無法有效成長到足夠大的尺寸而未能從雲中落下，導致降水效率降低，甚至形成“毛毛雨”或“霧”的現象。
• 結論：CCN 濃度增加導致雲滴尺寸減小，會 降低 雨滴搜集雲滴的成長效率。

b. 白吉龍-芬代生過程 (Bergeron-Findeisen Process)

• 基本原理：白吉龍-芬代生過程是溫帶雲中降水形成的主要機制。它發生在冰相或混合相雲中，溫度低於 0°C。在此溫度下，水蒸氣對過冷水的飽和蒸氣壓 ($e_{sw}$) 小於對冰的飽和蒸氣壓 ($e_{si}$)，即 $e_{sw} < e_{si}$。如果雲中同時存在過冷水滴和冰晶，水蒸氣會優先從過冷水滴蒸發，並沉積到冰晶上，導致過冷水滴蒸發、冰晶增長。
• CCN 濃度增加的影響：
  • 雲滴尺寸變小，數量增加：如前所述。
  • 冰晶的形成：CCN 濃度增加通常會導致雲滴尺寸減小，但同時也會增加雲滴的數量。這意味著在相同的總含水量下，雲中存在更多的、較小的水滴。
  • 對白吉龍-芬代生過程的間接影響：
    • 過冷水含量：雲滴尺寸減小、數量增加，可能會影響雲的總含水量和液態水含量 (Liquid Water Content, LWC)。如果 LWC 保持不變，則更多的、較小的雲滴意味著更多的表面積，這可能加速水氣從液態向氣態的轉移（蒸發）。