109 年 國立臺灣大學地質科學系碩士班應用地質組《地球物理學》

本題主要在檢測考生對板塊構造學說基本概念的理解，以及應用於台灣地區板塊邊界特徵的知識。

板塊運動學說 (Plate Tectonics Theory)

板塊運動學說是一套整合性的地球科學理論，用以解釋地球表面大範圍的地質現象，如地震、火山活動、造山運動、海溝形成等。其核心概念為：

1. 地球岩石圈的劃分：地球最外層的剛性部分，稱為岩石圈 (lithosphere)，並非一個連續的整體，而是被劃分為數個大小不一的板塊 (plates)。這些板塊漂浮在較軟、具有可塑性的軟流圈 (asthenosphere) 之上。
2. 板塊的運動：這些岩石圈板塊並非靜止不動，而是在軟流圈上以每年幾公分的速率緩慢移動。
3. 板塊邊界：板塊之間的相互作用主要發生在板塊的邊界。根據板塊運動方向的不同，板塊邊界可分為三種類型：
   • 離散型邊界 (Divergent Boundary)：兩個板塊相互分離。地函物質上湧，冷卻形成新的海洋地殼，例如大洋中脊 (mid-ocean ridges)。
   • 匯聚型邊界 (Convergent Boundary)：兩個板塊相互碰撞。根據板塊的密度差異，會發生隱沒作用 (subduction)，或形成褶皺山脈。
   • 轉形型邊界 (Transform Boundary)：兩個板塊相互平行錯動，地殼既不生成也不毀滅，例如聖安德列斯斷層。

本題旨在評量考生對地球內部結構的基本認識，以及了解地球物理探測方法如何幫助我們得知地底深處的資訊。

地球內部三個主要分層的介面

地球內部大致可分為地殼 (crust)、地幔 (mantle) 和地核 (core) 三個主要部分。這些部分又可進一步細分，但若要指稱「三個主要分層的介面」，通常指的是以下幾個關鍵界面：

1. 地殼與地幔的介面：莫氏不連續面 (Mohorovičić Discontinuity, 簡稱 Moho)

   • 位置：位於地殼底部，地幔頂部。
   • 特性：這是地殼與地幔之間密度、地震波速度（尤其是 P 波和 S 波）發生顯著變化的界面。地殼的平均密度約為 $2.7-3.0 \text{ g/cm}^3$，而地幔的密度較高，約為 $3.3-4.4 \text{ g/cm}^3$。P 波速度在地殼約為 $5-7 \text{ km/s}$，在莫氏不連續面之下則急劇增加到約 $7.8-8.2 \text{ km/s}$。
   • 深度：在陸地上較厚，約 30-70 公里；在海洋下較薄，約 5-10 公里。

2. 上部地幔與下部地幔的介面：過渡帶頂部 (Top of the Transition Zone)

   • 位置：位於約 410 公里深度。
   • 特性：在此深度，地幔的礦物結構發生相變。例如，橄欖石 (olivine) 轉變為高密度相的 β-橄欖石 (wadsleyite)。這導致地震波速度（尤其是 P 波）在此處出現一個明顯的增加。
   • 深度：約 410 公里。

3. 下部地幔與外核的介面：古騰堡不連續面 (Gutenberg Discontinuity)

   • 位置：位於下部地幔底部，外核頂部。
   • 特性：這是另一個非常顯著的界面。在此界面，固態的地幔（密度約 $5.7 \text{ g/cm}^3$）與液態的外核（密度約 $9.9-12.2 \text{ g/cm}^3$）接觸。最關鍵的變化是，P 波速度從約 $13.6 \text{ km/s}$ 急劇下降到約 $8.1 \text{ km/s}$，並且 S 波（剪切波）在外核中無法傳播，這證明了外核是液態的。
   • 深度：約 2900 公里。

（註：有時也會提及 660 公里深度的相變界面，作為過渡帶與下部地幔的界線，那是一個 P 波速度再次減緩的界面；以及內核與外核的介面，即雷曼不連續面 (Lehmann Discontinuity)，約 5150 公里，但前述三者是更常被提及的主要分層界面。）

利用地球物理方法發現這些介面

我們無法直接鑽探到這些深度，因此主要依靠間接的地球物理探測方法，其中最重要的方法是地震學 (Seismology)。

（1）補償深度（Compensation depth）

核心觀念

補償深度是指在重力異常與地殼均衡問題中，假設某一深度以下各處所承受的總質量或壓力相同，因此地形高低差異所造成的質量盈虧，會在該深度被補償。

以等壓面概念表示，補償深度 $D_c$ 以下，各地單位面積柱體的總質量相等：

$$\int_{-D_c}^{0}\rho(z)\,dz=\text{常數}$$

其中 $\rho(z)$ 為密度，$D_c$ 為補償深度。實際上，補償深度並非必然是單一明確界面，而是描述地殼與上部地函達到近似靜力平衡的深度尺度。

常見的地殼均衡模型包括：

• Airy 模型：地形高處由較厚的低密度地殼根柱支撐，地形低處則由較薄地殼或較高密度物質支撐。
• Pratt 模型：地形高低主要由不同地區的地殼密度差異造成，補償深度大致相同。

若地形負載在補償深度已完全補償，則長波長重力異常會接近零；若未完全補償，則會產生可觀測的自由空間重力異常或布格重力異常。

解題方法

判斷補償深度時，採用「單位面積柱體質量相等」的切入點。以山脈為例，地表高程增加所造成的正質量，必須由地下低密度地殼根柱所造成的負質量抵銷。

若山脈高出基準面 $h$，山脈密度為 $\rho_m$，地函密度為 $\rho_a$，低密度地殼密度為 $\rho_c$，Airy 模型下根柱厚度 $t$ 滿足：

$$\rho_m h+\rho_c t=\rho_a t$$

因此：

$$t=\frac{\rho_m}{\rho_a-\rho_c}h$$

這表示地形越高，地下低密度地殼根柱通常越厚。當所有地區在某一深度的總質量相等時，該深度即為補償深度。

與重力異常的關係

• 已補償地形：地表高地的正質量與地下根柱的負質量大致抵銷，長波長重力異常小。
• 未補償地形：仍存在剩餘質量，會產生正或負的重力異常。
• 地形負載較淺時：主要造成短波長異常。
• 補償深度較深時：通常對應較長波長的重力訊號。

山脈地區常見接近零或負的布格重力異常，正是山脈地下低密度根柱造成質量不足的重要證據。

解題技巧

看到「compensation depth」應立即聯想到：

1. 地殼均衡；
2. 等壓面或等質量柱；
3. 地形質量盈虧在深部被抵銷；
4. 長波長重力異常與地殼厚度的關係。

補償深度不是「重力異常等於零的地表位置」，而是「不同地區柱體質量達到補償的深度」。

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（2）地球自由振盪（Free oscillation of the Earth）

核心觀念

地球自由振盪是指地球受到巨大地震等擾動後，在外力停止作用下，整個地球依照自身結構與彈性特性所產生的整體振動。

地球可視為具有彈性、密度與重力作用的球形振盪系統。其振動滿足地球內部的彈性波動方程：

$$\rho \frac{\partial^2 \mathbf{u}}{\partial t^2} = \nabla\cdot\boldsymbol{\sigma} +\rho\mathbf{g}$$

其中 $\mathbf{u}$ 為位移、$\rho$ 為密度、$\boldsymbol{\sigma}$ 為應力張量，$\mathbf{g}$ 為重力加速度。

在邊界條件限制下，地球只能以某些特定的自然頻率振動，這些振動型態稱為正常模態（normal modes）。

解題方法

將地球自由振盪分為兩大類：

1. 球形模態（Spheroidal modes）

球形模態包含徑向位移與水平位移，會造成地球表面的上下起伏以及體積變化。它可由地震儀觀測到，並與地球的徑向結構、密度分布及重力場有關。

常以：

$${}_nS_l$$

表示，其中：

• $n$：徑向階數；
• $l$：角階數；
• $S$：球形模態。

例如 ${}_0S_2$ 是著名的地球「橄欖球模態」。

2. 扭轉模態（Toroidal modes）

扭轉模態主要是水平切向位移，不產生徑向位移，故不造成明顯的體積改變，也不涉及主要的重力位能擾動。

表示方式為：

$${}_nT_l$$

其中 $T$ 代表扭轉模態。扭轉模態主要由剪切彈性控制，因此可用來研究地球內部的剪切剛性。

每一模態具有特定角頻率 $\omega$、週期 $T$ 與衰減時間：

$$T=\frac{2\pi}{\omega}$$

實際振盪振幅會隨時間衰減，可寫成：

$$A(t)=A_0e^{-t/\tau}\cos(\omega t+\phi)$$

其中 $\tau$ 為衰減時間，與地球內部的耗散及品質因子 $Q$ 有關。

物理意義與應用

大型地震可激發週期由數分鐘至數小時的地球自由振盪。透過量測不同模態的頻率，可反推出：

• 地球內部密度分布；
• 地函與地核的彈性性質；
• 地核半徑；
• 內核與外核的結構；
• 地球內部的非彈性耗散。

自由振盪是一種全球尺度的訊號，不同於只在震源與接收站之間傳播的單一路徑地震波。

解題技巧

記憶方式如下：

• $S$：Spheroidal，包含上下運動與徑向位移；
• $T$：Toroidal，像繞球面切向扭轉，沒有徑向位移；
• 週期與地球尺度有關，通常遠長於一般地震初達波；
• 大地震是主要激發來源。

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（3）地震各向異性（Seismic anisotropy）

核心觀念

地震各向異性是指地震波速度會隨傳播方向或粒子振動方向而改變。若介質為各向同性，波速只與材料性質有關，與方向無關；若為各向異性，則必須考慮彈性介質的方向性。

各向同性介質中，P 波與 S 波速度可寫為：

$$V_P=\sqrt{\frac{K+\frac{4}{3}\mu}{\rho}}$$ $$V_S=\sqrt{\frac{\mu}{\rho}}$$

其中 $K$ 為體積模數、$\mu$ 為剪切模數、$\rho$ 為密度。

各向異性介質中，應力與應變的關係為：

$$\sigma_{ij}=C_{ijkl}\epsilon_{kl}$$

$C_{ijkl}$ 是四階彈性係數張量。相較於各向同性介質只需少數彈性參數，各向異性介質的彈性係數會依方向改變。

形成原因

地球內部的各向異性主要來自：

1. 礦物晶體定向排列
   地函橄欖石在剪切流動中會產生晶格優選方向，使地震波沿某些方向傳得較快。

2. 裂隙與孔隙排列
   裂隙面具有方向性，使波速與波的極化方向受到影響。

3. 沉積層理與薄層構造
   層狀介質在尺度小於地震波長時，可表現出等效各向異性。

4. 地函流與板塊運動
   礦物定向排列可記錄古老或現代的地函流方向。

解題方法

考題若要求解釋地震各向異性，應依序說明：

• 定義：波速依方向或極化而異；
• 成因：晶體定向、裂隙、層理或地函流；
• 觀測：波速差、波形分裂、方向性延遲；
• 地球物理意義：推測地下構造與流動方向。

最具代表性的觀測是 S 波分裂（shear-wave splitting）。在各向異性介質中，一個剪切波可分裂成兩個互相正交極化的波：

• 快波：沿快速方向傳播；
• 慢波：沿垂直方向傳播。

核心觀念
本題檢測「地震自相似」的概念——即不同規模的地震在斷層破裂過程中呈現相同的形狀與物理比例，所有源參數（斷層尺寸、位移、應力降、彈性勢能等）皆可透過簡單的尺度尺規律相互轉換。

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(a) 「earthquake self‑similarity」是什麼？

地震自相似指 當斷層破裂的幾何尺度（長度 $L$、寬度 $W$）與破裂位移 $D$ 同時按固定比例放大或縮小時，斷層應力降 $\Delta\sigma$、震源矩 $M_0$、釋放的彈性能量 $E$ 等物理量也會呈現相同的比例關係。換句話說，無論是小規模的微震還是大規模的大地震，它們的破裂過程在相對尺度上是「形狀相同、比例相同」的。

常見的自相似尺度關係：

• 斷層破裂面積 $A \sim L^2$（假設破裂寬度與長度成正比）
• 破裂位移 $D \propto L$（位移與斷層長度成線性比例）
• 震源矩 $M_0 = \mu A D \;\Rightarrow\; M_0 \propto L^3$（$\mu$ 為剪切模量）
• 應力降 $\Delta\sigma = \dfrac{\mu D}{L} \approx \text{常數}$

其中，應力降保持不變（常數 $\Delta\sigma$）是自相似的核心假設。若 $\Delta\sigma$ 為常數，則 $D \propto L$，進一步導致 $M_0 \propto L^3$，即 矩-面積關係 $M_0 \propto A^{3/2}$。

【答案】
地震自相似是指不同規模地震的破裂幾何與物理參數在尺度上保持恆定比例，尤其是斷層面積、位移和應力降之間的線性/平方關係，使得震源矩與斷層尺寸遵循 $M_0 \propto L^3$（或 $M_0 \propto A^{3/2}$）的尺度律。

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(b) 「earthquake self‑similarity」的一般基礎是什麼？

自相似的基礎來源於 兩大支柱：

本題主要在於評估考生對地球內部相變界面如何影響隱沒板塊動力學的理解。圖中顯示了平均地幔溫深線 (Average mantle geotherm) 和冷卻的隱沒板塊溫深線 (Cold slab geotherm)，以及 410 km 和 660 km 的相變壓力溫度條件。

相變界面對隱沒板塊的影響

隱沒板塊在下降過程中會經歷溫度和壓力的變化。當隱沒板塊通過 410 公里和 660 公里的相變界面時，會受到這些界面物理性質變化的影響，主要體現在其密度和下沉動力學上。

1. 410 公里界面 (Transition Zone I, TZ1)：

   • 物理過程：在約 410 公里的深度，地幔的主要礦物橄欖石 (olivine, $\alpha$-ol) 發生相變，轉變為密度更高的結構——斜方晶橄欖石 (wadsleyite, $\beta$-olivine)。這個相變的特徵是其 Clausius-Clapeyron 斜率為負，意味著壓力增加時，相變發生的溫度會降低。
   • 對冷卻板塊的影響：
     • 密度增加：由於相變導致礦物密度增加，隱沒板塊（本身溫度遠低於周圍地幔）通過此界面時，其密度會進一步增加。
     • 浮力減小，下沉加速：密度增加意味著板塊的負浮力 (negative buoyancy) 增強。這會使其更傾向於下沉，從而加速其下降速度。
     • 速度變化：地震波速度會在 410 公里處出現一個明顯的增加，這對地震學探測有指示意義。

2. 660 公里界面 (Transition Zone II, TZ2)：

   • 物理過程：在約 660 公里的深度，發生了另一個重要的相變，即斜方晶橄欖石 (wadsleyite, $\beta$-olivine) 轉變為石榴石結構的礦物（如鈣鈦礦結構的

本題考察考生對表面波頻散分析在岩石圈結構研究中應用的理解。

表面波 (Surface Waves)

表面波是指地震波在地球表面或近地表傳播時產生的一類波。最常見的表面波有瑞利波 (Rayleigh waves) 和陸夫波 (Love waves)。瑞利波是一種複雜的運動，包含質點的橢圓形振盪，同時有垂直和水平方向的位移；陸夫波則是一種純粹的水平剪切波，質點的運動方向垂直於波的傳播方向。

頻散特性 (Dispersion Characteristics)

表面波的關鍵特徵是它們具有「頻散性」。這意味著不同頻率（或波長）的表面波在同一介質中傳播時，速度不同。

• 長週期（低頻率）的表面波：它們的波長較長，能夠感知更深層的地球結構。由於它們的能量滲透到較深的區域，所以傳播速度主要受深部介質的影響。
• 短週期（高頻率）的表面波：它們的波長較短，主要受近地表結構的影響。它們的能量滲透深度較淺，所以傳播速度主要取決於淺部介質的性質。

解析岩石圈速度構造的步驟

地震學家利用表面波的頻散特性來解析岩石圈的速度構造，通常遵循以下步驟：

1. 收集地震記錄：

   • 選擇記錄到清晰表面波的地震事件。
   • 使用地震儀網絡收集這些事件的記錄。

2. 識別和分離表面波：

   • 在地震圖上識別出到達時間較晚、振幅較大、週期較長的表面波（瑞利波和陸夫波）。
   • 利用濾波技術，將表面波與體波（P波、S波）和其他干擾分離開。

3. 測量相速度 (Phase Velocity)：

   • 對於來自同一地震、但由不同地震台站記錄到的表面波，由於它們傳播的路徑不同，到達時間也會有差異。
   • 通過比較同一地震記錄在不同台站到達的表面波波形（尤其是特定週期的波峰或波谷）的時間差，可以計算出表面波在特定週期的相速度 ($c$)。
   • 相速度的計算公式通常涉及台站間的距離 ($\Delta x$) 和到達時間差 ($\Delta t$)：$c = \Delta x / \Delta t$。

本題為開放性題目，旨在評量考生的研究興趣、對特定地球物理議題的掌握程度，以及提出研究計畫的能力。考生需從列舉的議題（或自行選擇相關議題）中挑選一項，並闡述其研究目標與方法。以下提供一個範例，假設考生選擇「地震學層析成像 (Seismic Tomography)」作為研究議題。

研究議題：地震學層析成像 (Seismic Tomography)

研究目標 (Research Objectives)

1. 高解析度地幔結構成像：

   • 利用全球範圍內豐富的地震數據，以更高的解析度成像地球內部，特別是地幔的溫度和成分結構。
   • 識別並描繪地幔對流的結構，包括地幔柱 (mantle plumes) 的起源和傳播路徑，以及俯衝板塊的深部結構。
   • 探討地幔轉換帶 (transition zone) 和下部地幔的細微結構，例如是否存在不連續界面或異質性區域。

2. 板塊構造與地幔動力學的關聯：

   • 研究俯衝板塊如何影響其下方的地幔結構，並探討板塊與地幔對流之間的相互作用。
   • 利用成像結果，探究地球內部熱量輸送的機制，以及地幔對流如何驅動板塊運動。
   • 釐清地表地質現象（如火山活動、地震帶）與深部結構之間的動力學聯繫。

3. 地殼構造與地震活動的關係：

   • 針對特定地區（例如台灣），利用區域性的密集地震台網數據，高精度成像地殼和上部地幔的結構。
   • 研究複雜斷層系統、地殼厚度變化、以及岩石圈地幔的溫度和成分對地震活動（如地震的空間分佈、發震機制）的影響。
   • 結合大地測量學數據，探討地殼變形與深部結構之間的耦合關係。

研究方法 (Research Methods)

1. 數據收集與處理：

   • 地震數據：收集全球或區域性的地震目錄（震源位置、時間、震級）以及波形數據（來自地面或海底地震儀）。
   • 數據篩選與品質控制：對收集到的數據進行嚴格篩選，確保數據的準確性和可靠性。
   • 地震波到達時間測量：利用自動化或手動方法，精確測量 P 波、S 波等地震波到達不同地震台站的時間。

2. 層析成像算法 (Tomographic Algorithms)：