111 年 國立臺灣大學地質科學系碩士班應用地質組《地球物理學》

核心觀念

本題考查三板塊三聯點的速度向量關係。對於海嶺而言：

• 「半擴張速率」是單側板塊遠離海嶺的速率。
• 兩側板塊的相對速度為半擴張速率的兩倍。
• 板塊相對運動方向必須垂直於海嶺走向。
• 三板塊速度必須滿足向量閉合條件。

由圖可判讀：

• $AB$ 海嶺為南北走向，因此板塊 $B$ 相對板塊 $A$ 向東運動。
• $AC$ 海嶺為東西走向，因此板塊 $A$ 相對板塊 $C$ 向北運動。
• $BC$ 海嶺的相對運動方向為右上—左下，$B$ 相對 $C$ 向右上，半擴張速率為 $4\ \text{cm/yr}$。
• $AB$ 與 $BC$ 的夾角為 $120^\circ$，故 $BC$ 的法向量與東向夾角為 $60^\circ$。

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解題方法

設：

• $s_{AB}$ 為 $AB$ 海嶺的半擴張速率；
• $s_{AC}$ 為 $AC$ 海嶺的半擴張速率。

$BC$ 海嶺兩側的完整相對速度為

$$V_{BC}=2(4)=8\ \text{cm/yr}.$$

將此速度分解為東向與北向分量：

$$V_{BC,x}=8\cos 60^\circ=4\ \text{cm/yr},$$ $$V_{BC,y}=8\sin 60^\circ=4\sqrt{3}\ \text{cm/yr}.$$

由速度向量閉合：

$$\vec V_{BC}=\vec V_{BA}+\vec V_{AC}.$$

其中：

• $\vec V_{BA}$ 為 $B$ 相對 $A$ 的東向速度，大小為 $2s_{AB}$；
• $\vec V_{AC}$ 為 $A$ 相對 $C$ 的北向速度，大小為 $2s_{AC}$。

因此，

$$2s_{AB}=4,$$ $$2s_{AC}=4\sqrt{3}.$$

所以：

$$s_{AB}=2\ \text{cm/yr},$$ $$s_{AC}=2\sqrt{3}\ \text{cm/yr} \approx 3.46\ \text{cm/yr}.$$

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(a) 答案

• $AB$ 海嶺半擴張速率：

$$\boxed{s_{AB}=2\ \text{cm/yr}}$$

方向為：

• $A$ 向西遠離 $AB$；

• $B$ 向東遠離 $AB$。

• $AC$ 海嶺半擴張速率：

核心觀念

本題考查地震震源的**地震矩張量（moment tensor）**及其與斷層幾何、滑移方向之間的關係。

地震矩張量以 $3\times 3$ 的對稱矩陣表示震源在三個方向上的等效力偶：

$$\mathbf{M} = \begin{bmatrix} M_{xx} & M_{xy} & M_{xz}\\ M_{yx} & M_{yy} & M_{yz}\\ M_{zx} & M_{zy} & M_{zz} \end{bmatrix}, \qquad M_{ij}=M_{ji}.$$

對於剪切斷層，若：

• $\mathbf{s}$：斷層滑移方向單位向量；
• $\mathbf{n}$：斷層面法向量；
• $M_0$：標量地震矩，通常為

$$M_0=\mu A D,$$

其中 $\mu$ 為剪切模數、$A$ 為破裂面積、$D$ 為平均滑移量；

則雙偶震源的地震矩張量為

$$M_{ij}=M_0(s_i n_j+s_j n_i),$$

或寫成矩陣形式：

$$\mathbf{M}=M_0(\mathbf{s}\otimes\mathbf{n} +\mathbf{n}\otimes\mathbf{s}).$$

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(a) 地震矩張量如何表示一般震源機制

1. 等效震源表示

地震矩張量將複雜的斷層破裂，等效表示為震源附近的多組力偶。矩陣中的各分量代表不同方向組合的力偶：

• $M_{xx},M_{yy},M_{zz}$：同方向正應力型力偶；
• $M_{xy},M_{xz},M_{yz}$：不同方向之間的剪切型力偶。

由於地震源通常不具有淨合力與淨力矩，地震矩張量可取為對稱張量，因此只需要六個獨立分量：

$$M_{xx},\ M_{yy},\ M_{zz},\ M_{xy},\ M_{xz},\ M_{yz}.$$

地震波的振幅與輻射方向，可由 $\mathbf{M}$ 投影到波的傳播方向求得。例如，P 波遠場振幅與下式有關：

$$A_P\propto \gamma_i M_{ij}\gamma_j,$$

其中 $\boldsymbol{\gamma}$ 為地震波傳播方向單位向量。故由不同方向的地震波振幅，可以反推出震源的矩張量與斷層機制。

2. 一般矩張量的分解

一般震源可分解為：

$$\mathbf{M} = \mathbf{M}_{\text{iso}} + \mathbf{M}_{\text{dev}},$$

其中等向部分為：

$$\mathbf{M}_{\text{iso}} = \frac{1}{3}\operatorname{tr}(\mathbf{M})\mathbf{I},$$

偏差部分為：

$$\mathbf{M}_{\text{dev}} = \mathbf{M} - \frac{1}{3}\operatorname{tr}(\mathbf{M})\mathbf{I}.$$

其物理意義如下：

• 等向部分（isotropic component）：體積膨脹或收縮，例如爆炸或空腔塌陷；
• 偏差部分（deviatoric component）：剪切破裂與非等向變形；
• 雙偶部分（double-couple, DC）：純粹剪切斷層滑移，是一般構造性地震的主要震源型態。

純雙偶震源滿足：

$$\operatorname{tr}(\mathbf{M})=0, \qquad \det(\mathbf{M})=0,$$

其三個特徵值比例為：

$$+M_0:0:-M_0.$$

因此，地震矩張量同時提供：

1. 震源規模，即 $M_0$；
2. 斷層面方向；
3. 滑移方向；
4. 震源類型，例如剪切、爆炸或塌陷。

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(b) E-W 走向右移走滑斷層的矩張量

1. 建立座標系與向量

採用右手座標系：

此題為觀念題，涵蓋了地震學中的多個重要現象，需要解釋這些現象的物理成因。

核心觀念：

• 地震波傳播：地震波在地球內部遇到不同介質時會發生反射、折射、散射和轉換。
• 地球結構：地球內部存在不同的圈層，如地殼、地幔、地核，它們的物性（密度、彈性模量）不同，導致地震波速度的變化。
• 介質各向異性：某些介質的物理性質在不同方向上是不同的，這會影響地震波的傳播速度和偏振。

詳解：
(a) SKS splitting：
現象： 當地震波（特別是 S 波）穿過地幔頂部或地核邊界時，如果遇到具有各向異性 (anisotropy) 的介質，一個 S 波會分裂成兩個偏振方向不同的 S 波，它們的傳播速度也不同，導致在地震儀上接收到兩個 S 波到達的時間差。SKS 波是由 S 波進入外核後轉換成 P 波 (S to K)，再在外核中傳播，然後在核幔邊界轉換回 S 波 (K to S)，最後到達地表。SKS splitting 指的是 SKS 波在穿過某些介質時發生的分裂現象。
物理成因： 主要原因是介質的各向異性。例如，地幔頂部的olivine 礦物在壓力下會呈現優先取向，導致其對地震波傳播的速度產生方向依賴性。外核中的液態鐵也可能存在流動引起的各向異性。當 S 波遇到這種各向異性的介質時，它會沿著兩個主要的傳播方向（通常與介質的優選方向平行或垂直）分裂成兩個偏振不同的 S 波（一個是快波，一個是慢波），它們的傳播速度不同，造成時間差。

(b) Seismic shadow zone (地震波影區)：
現象： 地震波（特別是 P 波和 S 波）在地球內部傳播時，由於地球的曲率以及地球內部介質的變化，在某些區域無法直接接收到地震波。
物理成因：

• P 波影區： P 波（縱波）在穿過地核邊界時，由於密度和彈性模量的劇烈變化，會發生折射。P 波從固體（地幔）進入液體（外核）時，其速度減小，根據斯涅爾定律 (Snell's Law)，P 波會發生明顯的折射，使得大部分 P 波無法直接到達地表，形成一個「影區」，大約在震源在地表的對蹠點前後 $104^\circ$ 到 $140^\circ$ 的範圍內。
• S 波影區： S 波（橫波）無法在液體介質中傳播。當 S 波遇到液態的外核時，它會停止傳播。因此，在地球的另一側，除了非常靠近地表的區域外，都無法直接接收到 S 波，形成一個比 P 波影區更大的 S 波影區，大約在震源在地表的對蹠點前後 $104^\circ$ 以上的範圍。

(c) Subterranean rumbling (earthquake sound) (地下隆隆聲/地震聲)：
現象： 在某些地震發生時，人們會聽到類似於火車經過、雷鳴或隆隆聲的聲音。
物理成因： 地震聲是由地震波，特別是高頻的 P 波（或地表波）傳播到地表，並與空氣相互作用產生的。

1. 空氣耦合： 地震波引起地面的振動，這種振動可以通過空氣耦合（聲波）傳播到聽者耳中。通常，較短波長的 P 波（頻率較高，約 20-200 Hz）更容易與空氣耦合並被人耳聽到。
2. 斷層滑動聲： 斷層快速滑動時產生的摩擦和破裂聲，也可能通過空氣傳播。

此題主要考查地球磁場的成因、維持機制以及地磁場極性倒轉的證據。

核心觀念：

• 地球發電機理論 (Dynamo Theory)：解釋地球磁場的產生機制，認為是地球外核中導電流體的運動所致。
• 維持地球磁場的條件：需要導電流體、足夠的能量來源以及科氏力。
• 地磁極性倒轉：地球磁場的南北極會週期性地發生交換。
• 地質記錄：岩石中的磁性記錄可以保存過去的磁場方向。

詳解：
(a) 維持一個自持性地球磁場的三個主要因素：
地球發電機理論認為，地球磁場是由地球外核中流動的導電流體（主要是液態鐵鎳合金）產生的。要維持這種發電機效應，需要以下三個主要因素：

1. 導電流體 (Electrically Conducting Fluid)： 地球的外核主要是液態的鐵鎳合金，具有良好的導電性。這種導電流體在運動時，能夠產生和維持電流，進而產生磁場。
2. 足夠的能量來源 (Sufficient Energy Source)： 驅動外核流體運動的能量來源至關重要。主要來源包括：
   • 熱量驅動 (Thermal Convection)： 地核的熱量（來自放射性衰變和地球形成初期的殘餘熱）驅動地核物質的對流運動。熱量從地核底部傳遞到地核頂部，形成對流。
   • 化學成分驅動 (Compositional Convection)： 在地球形成過程中，較重的元素（如鐵）沉降形成固態內核，而較輕的元素（如硫、氧）則被排擠到外核中，導致外核頂部的化學成分不均勻。這種化學成分的濃度梯度也會驅動對流。
3. 科氏力 (Coriolis Force)： 地球的自轉產生科氏力，它會作用在流動的導電流體上，使流體的運動產生渦旋和螺旋狀的結構，這種結構有利於維持和增強磁場的產生。科氏力將簡單的對流轉變為更複雜的、能夠產生自持磁場的發電機效應。

此題考查地幔的熱結構及其動力學意義，特別是潛在溫度和絕熱遞減率的概念，以及地溫梯度。

核心觀念：

• 地幔對流：地幔的熱結構是驅動地幔對流的關鍵。
• 潛在溫度 (Potential Temperature)：一個重要的熱力學參數，用於比較不同溫度下的地幔物質，忽略了壓力引起的絕熱膨脹效應。
• 絕熱過程 (Adiabatic Process)：在熱力學中，指沒有熱量交換的過程。在地球物理學中，指物質在上升或下降過程中，由於壓力變化而引起的溫度變化。
• 地溫梯度 (Geotherm)：溫度隨深度的變化曲線，反映了地球內部的熱量傳遞和溫度分佈。

詳解：
(a) 地幔潛在溫度 (Mantle Potential Temperature) 和絕熱遞減率 (Adiabat)：

• 潛在溫度 (Potential Temperature, $T_p$)： 潛在溫度是地幔熱結構的一個重要參數，它定義為將一個處於地幔某深度（壓力 $P$）的、溫度為 $T$ 的地幔物質，通過絕熱過程（即不與周圍環境交換熱量）上升到一個標準參考壓力 $P_{ref}$（通常取為 1 大氣壓或 0 GPa）時，其達到的溫度。換句話說，潛在溫度是忽略了壓力變化對溫度影響後，用於比較不同深度地幔物質真實熱焓的參數。
  數學上，潛在溫度 $T_p$ 可以表示為：
  $T_p = T \left( \frac{P_{ref}}{P} \right)^{\frac{R}{C_p}}$
  其中 $T$ 是實際溫度，$P$ 是實際壓力，$P_{ref}$ 是參考壓力，$R$ 是氣體常數（或等效的體積膨脹係數），$C_p$ 是定壓熱容。
  在地球科學中，潛在溫度是一個非常有用的概念，因為它能直接反映地幔的熱含量。例如，地幔柱 (mantle plume) 的潛在溫度通常比圍岩高，這意味著地幔柱具有更高的熱含量，能夠上升並在地表形成火山活動。

• 絕熱遞減率 (Adiabat)： 絕熱遞減率是指在絕熱過程中，物質溫度隨壓力降低而變化的速率。在地幔中，當地幔物質上升時，其所承受的壓力減小，根據絕熱過程的原理，它會膨脹並冷卻。同樣，當物質下降時，壓力增加，它會被壓縮並升溫。
  絕熱過程的溫度變化可以用以下關係描述：
  $\frac{dT}{dP} = \frac{\alpha T}{\rho C_p}$
  其中 $T$ 是溫度，$P$ 是壓力，$\alpha$ 是體膨脹係數，$\rho$ 是密度，$C_p$ 是定壓熱容。
  在地幔中，壓力隨深度增加而增加，因此絕熱過程導致溫度隨深度增加而升高（上升的物質冷卻，下降的物質升溫）。這個溫度隨壓力變化的曲線就是絕熱遞減曲線 (adiabat)。
  絕熱遞減率的數值在地幔中相對較小，通常約為 $0.3 \sim 1.3 \text{ K/km}$，這取決於地幔的成分和壓力。

(b) 地幔的溫度隨深度變化（地溫梯度 Geotherm）及其控制機制：

• 地溫梯度 (Geotherm)： 地溫梯度是指地球內部溫度隨深度的變化曲線。它反映了地球內部的熱量傳遞方式和溫度分佈。地球內部的熱量來源主要有兩部分：
  1. 原始熱量： 地球形成過程中殘留的熱量。
  2. 放射性衰變熱： 地幔和地殼中放射性元素（如 U, Th, K）衰變產生的熱量。
     熱量主要通過傳導和對流的方式從地核向地表傳遞。
• 地溫梯度的繪製和推導：
  地溫梯度通常通過地表測量（如鑽井溫度測量）和地球物理模型推導出來。
  1. 傳導主導區 (Conductive Regime)： 在地殼和地幔頂部（或對流較弱的區域），熱量傳遞主要通過傳導。

此題涵蓋了天體物理和地球物理中的重力學、轉動慣量和重力測量中的改正概念。

核心觀念：

• 高斯定律 (Gauss's Law) / 牛頓萬有引力定律：計算均勻球體和球殼的重力加速度。
• 轉動慣量 (Moment of Inertia)：物體繞軸轉動的慣性度量，與物體的質量分佈有關。
• 地球發電機理論：與地磁場和地球內部結構有關。
• 重力測量改正：消除影響測量數據的各種因素，以獲得真實的重力異常。

詳解：
(a) 計算和繪製行星的重力加速度：

行星 A：均勻密度球體
行星 A 是一個半徑為 $a$、密度為 $\rho$ 的均勻實心球體。
根據高斯定律或牛頓萬有引力定律，在距離中心 $r$ 處的重力加速度 $g(r)$ 為：

• 當 $r < a$ (行星內部)：
  在行星內部，我們只考慮半徑為 $r$、密度為 $\rho$ 的球體產生的重力。
  質量 $M(r) = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$。
  根據牛頓萬有引力定律，$g(r) = \frac{GM(r)}{r^2} = \frac{G (\rho \frac{4}{3}\pi r^3)}{r^2} = \frac{4}{3}\pi G \rho r$。
  重力加速度與距離 $r$ 成正比。
• 當 $r \ge a$ (行星外部)：
  在行星外部，所有質量可以視為集中在球心。
  總質量 $M_A = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi a^3$。
  $g(r) = \frac{GM_A}{r^2} = \frac{G (\rho \frac{4}{3}\pi a^3)}{r^2}$。
  重力加速度與 $1/r^2$ 成反比。

行星 B：帶有球殼的空心球體
行星 B 是一個半徑為 $a$、外殼厚度為 $b$ ($b<<a$)、密度為 $\rho$ 的球體。
這意味著行星 B 的質量分佈在外殼部分，從半徑 $a-b$ 到 $a$。

• 當 $r < a-b$ (空心內部)：
  根據高斯定律，均勻密度的球殼對其內部的任何點產生的合重力為零。因此，在空心區域內，$g(r) = 0$。

• 當 $a-b \le r < a$ (外殼內部)：
  在這一區域，我們需要計算由外殼產生的重力。根據高斯定律，對於一個均勻密度的球殼，在球殼內部（但不在空心部分），其產生的重力加速度僅取決於其內側的質量。然而，更精確的計算是考慮由從 $a-b$ 到 $a$ 範圍內的所有質量積分。
  另一種更簡潔的思路是：考慮在半徑 $r$ 處的重力。這個重力是由半徑 $a$ 的實心球體減去半徑 $a-b$ 的實心球體所產生的。
  質量 $M_B = (\rho \cdot \frac{4}{3}\pi a^3) - (\rho \cdot \frac{4}{3}\pi (a-b)^3)$。
  由於 $b<<a$，我們可以近似計算。
  考慮一個半徑為 $r$ ($a-b \le r < a$) 的球體，其質量分佈為密度 $\rho$。
  我們可以將其視為一個半徑為 $a$ 的實心球體減去一個半徑為 $a-b$ 的實心球體。
  在半徑 $r$ 處（其中 $a-b \le r < a$），重力加速度由其內部所有質量產生。
  內部質量 $M(r) = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 - \rho \cdot \frac{4}{3}\pi (a-b)^3$。
  $g(r) = \frac{G M(r)}{r^2} = \frac{G}{r^2} \left[ \rho \frac{4}{3}\pi r^3 - \rho \frac{4}{3}\pi (a-b)^3 \right]$
  $g(r) = \frac{4}{3}\pi G \rho \left[ r - \frac{(a-b)^3}{r^2} \right]$。
  由於 $b<<a$，我們可以近似 $(a-b)^3 \approx a^3 - 3a^2b$。
  $g(r) \approx \frac{4}{3}\pi G \rho \left[ r - \frac{a^3 - 3a^2b}{r^2} \right]$。
  然而，更簡便的方法是考慮總質量。
  總質量 $M_B = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi [a^3 - (a-b)^3]$。
  由於 $b<<a$， $M_B \approx \rho \cdot \frac{4}{3}\pi (a^3 - (a^3 - 3a^2b)) = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi (3a^2b) = 4\pi a^2 b \rho$。
  在外殼內部 ($a-b \le r < a$)，重力加速度不是簡單地與 $r$ 或 $1/r^2$ 成正比。
  更精確的計算：
  對於球殼，在球殼內部，$r$ 處的重力加速度由半徑 $r$ 以內的質量積分決定。
  $M(r) = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 - \rho \cdot \frac{4}{3}\pi (a-b)^3$ (這是錯誤的，因為 $M(r)$ 應該是半徑 $r$ 以內所有質量的總和，對於球殼，質量分佈在 $a-b$ 到 $a$ 之間)。
  正確計算：
  在 $r$ 處 ($a-b \le r < a$)，其內部的質量是：
  $M_{inside}(r) = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi (a-b)^3$ (這是位於半徑 $a-b$ 以內的質量，但這部分質量產生的重力在 $r$ 處是向內的，且其影響被抵消)。
  考慮質量分佈在 $a-b$ 到 $a$ 的球殼。
  根據高斯定律，對於一個均勻密度的球殼，在球殼內部，其產生的重力加速度為零。
  但是，這裡的行星 B 是空心的，其質量分佈在外殼。
  正確的應用高斯定律：
  對於行星 B，當 $r < a-b$ 時，$g(r) = 0$。
  當 $a-b \le r < a$ 時，考慮半徑為 $r$ 的閉合曲面。此曲面內的質量是密度 $\rho$ 的球殼（從 $a-b$ 到 $a$）。
  但高斯定律適用於積分曲面內的質量。
  對於半徑為 $r$ 的球體，其內部的質量為 $\rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$。
  在行星 B 的情況下，當 $a-b \le r < a$ 時，球殼的質量分佈在 $a-b$ 到 $a$ 之間。
  我們需要計算半徑 $r$ 的球體內所包含的質量。
  這部分質量是：
  $M_{shell\_inside}(r) = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 - \rho \cdot \frac{4}{3}\pi (a-b)^3$。
  這部分的質量會產生向內的重力。
  $g(r) = \frac{G M_{shell\_inside}(r)}{r^2} = \frac{G}{r^2} \left[ \rho \frac{4}{3}\pi r^3 - \rho \frac{4}{3}\pi (a-b)^3 \right]$
  $g(r) = \frac{4}{3}\pi G \rho \left[ r - \frac{(a-b)^3}{r^2} \right]$。
  由於 $b<<a$， $(a-b)^3 \approx a^3 - 3a^2b$。
  $g(r) \approx \frac{4}{3}\pi G \rho \left[ r - \frac{a^3 - 3a^2b}{r^2} \right]$。

  另一種更簡便的近似：
  由於 $b<<a$，行星 B 的質量分佈非常接近一個半徑為 $a$ 的實心球體，但其質量集中在最外層。
  總質量 $M_B \approx \rho \cdot 4\pi a^2 b$。
  在行星外部 ($r \ge a$)：
  $g(r) = \frac{GM_B}{r^2} = \frac{G (4\pi a^2 b \rho)}{r^2}$。
  在外殼內部 ($a-b \le r < a$)：
  考慮一個半徑為 $r$ 的球面。其內部的質量是從 $a-b$ 到 $r$ 的球殼。
  $M_{inside}(r) = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 - \rho \cdot \frac{4}{3}\pi (a-b)^3$。
  $g(r) = \frac{G M_{inside}(r)}{r^2} = \frac{G}{r^2} \left[ \rho \frac{4}{3}\pi r^3 - \rho \frac{4}{3}\pi (a-b)^3 \right]$
  $g(r) = \frac{4}{3}\pi G \rho \left[ r - \frac{(a-b)^3}{r^2} \right]$。
  由於 $b<<a$， $(a-b)^3 \approx a^3 - 3a^2b$。
  $g(r) \approx \frac{4}{3}\pi G \rho \left[ r - \frac{a^3 - 3a^2b}{r^2} \right]$。