114 年 國立臺灣大學地質科學系及海洋研究所聯合招生《地球物理學》

本題要求解釋五個地球物理學的專業術語。

(1) Seismogenic zone (震源區)：
震源區是指地球上特定區域，該區域內發生的地震（特別是較淺層地震）具有顯著的空間集中性。更精確地說，它是一個三維的體積，其中包含地震的震源（hypocenters）。這些區域通常與地殼或上部地幔的構造活動有關，例如板塊邊界、斷層帶等。震源區的大小和深度可以反映該區域的構造應力狀態和活動性。

(2) Bouguer anomaly (布格異常)：
布格異常是重力勘探中用於描述地表重力異常的一種方法。它代表了實際觀測到的重力值與理論上預期的重力值之間的差異，考慮了地形和地表質量（稱為「布格改正」）的影響。計算公式通常為：
$\Delta g_B = \Delta g_{obs} - \Delta g_{station} - \Delta g_{terrain} + \Delta g_{Bouguer\_plate}$
其中 $\Delta g_{obs}$ 是觀測重力值，$\Delta g_{station}$ 是緯度改正，$\Delta g_{terrain}$ 是地形改正，$\Delta g_{Bouguer\_plate}$ 是布格板改正（假設在地表和測站之間有一無限延伸的薄板，厚度等於測站海拔高度，密度為標準密度）。布格異常主要反映了地下密度結構的不均勻性，特別是與大型地質構造（如山脈、盆地、火山口）或密度差異大的岩體（如花崗岩、玄武岩）相關。

(3) Polar wandering (極移)：
極移是指地球地理極點（或磁極）隨時間在地球表面移動的現象。這裡的「極」通常指「地理極」，即地球自轉軸與地表相交的兩點。地球的極點並非固定不動，而是會發生緩慢的移動。這與板塊構造運動（如大陸漂移）和地球內部質量重新分配（如冰川融化、地函對流）有關。因此，我們談論的「極移」實際上是指「表觀極移」（Apparent Polar Wander, APW），即在一個特定大陸的地殼岩石記錄中，觀察到的磁極位置隨時間的變化。由於大陸在移動，不同大陸的岩石記錄會呈現不同的表觀極移路徑，但所有大陸的真實極移路徑（如果存在）是相同的。

(4) Gutenberg-Richter relation (G-R law) (古騰堡-芮克特定律)：
古騰堡-芮克特定律是描述地震頻率與地震大小之間關係的經驗定律。它指出，在任何給定的區域和時間段內，較大地震的數量遠少於較小地震的數量。其數學表達式通常為：
$N(M) = 10^{a-bM}$
其中 $N(M)$ 是大於或等於規模 $M$ 的地震次數，$M$ 是地震規模（通常是芮氏規模 $M_L$ 或矩規模 $M_w$），$a$ 和 $b$ 是常數。

本題要求描述、比較 Airy 和 Pratt 提出的兩種均衡模型，並分析它們的假設及其對地形高差的解釋。

均衡 (Isostasy) 的概念是指地球的岩石圈（lithosphere）漂浮在較軟、可流動的軟流圈（asthenosphere）之上，就像冰山漂浮在水上一樣。為了維持這種漂浮狀態，地球上不同高程的地形（如山脈、高原）必須有相應的質量補償，以達到一種流體靜力學上的平衡。

1. Airy 的均衡模型 (Airy's Model of Isostasy)

• 描述/插圖: Airy 模型假設所有地形高差都是由「根部」(roots) 造成的。也就是說，高聳的山脈不僅在地表之上延伸很高，同時在地表之下也延伸很深，形成一個較寬的「山根」。相對地，平坦地區的岩石圈則較薄，沒有明顯的山根。這種模型就像是浮在水上的冰山，較大的冰山不僅水上部分高，水下部分也更深。
• 基本假設:
  • 均質密度: 認為地殼（或岩石圈）的密度是均勻的，即 $\rho_{crust}$ 是常數。
  • 變化的深度: 認為地殼的厚度（或深度）是變化的，高地形對應深的山根，低地形對應淺的地殼。
  • 均衡面: 存在一個固定的均衡面 (level of compensation)，在這個深度，所有垂直柱體的壓力是相等的。
• 對地形高差的解釋: 山脈的高度主要由其「山根」的深度決定。山脈越高，其山根就越深。地形的變化完全歸因於地殼厚度的變化。

2. Pratt 的均衡模型 (Pratt's Model of Isostasy)

• 描述/插圖: Pratt 模型假設所有地形的質量補償是通過改變其密度來實現的，而不是改變深度。也就是說，高聳的山脈是由密度較低的岩石構成的，而平坦地區則是由密度較高的岩石構成的。所有山脈的「山根」深度都相同，到達一個固定的均衡深度。這種模型就像是不同密度的木塊浮在水上，密度較小的木塊會漂浮得更高。
• 基本假設:
  • 變化的密度: 認為地殼的密度是變化的，即 $\rho_{crust}$ 是變數。
  • 均勻的深度: 認為地殼的厚度（或深度）是均勻的，所有地形都具有相同的「山根」深度，即達到相同的均衡深度。
  • 均衡面: 存在一個固定的均衡深度 (level of compensation)，在這個深度，所有垂直柱體的壓力是相等的。
• 對地形高差的解釋: 山脈的高度主要由其構成岩石的密度決定。密度越低的岩石，構成的山脈在地表之上就越高。地形的變化完全歸因於地殼密度的變化。

比較與分析:

本題要求解釋古地磁學如何為板塊構造學說提供證據，特別是與海底擴張和表觀極移的關係。

古地磁學（Paleomagnetism）是研究古代岩石磁性記錄的學科。當岩石（特別是火山岩或沉積岩）形成時，其中的磁性礦物（如磁鐵礦）會被地磁場磁化，並將當時地磁場的方向和強度「記錄」下來。透過分析這些古代岩石的磁性，我們可以重建過去地磁場的狀態，進而推斷地殼塊體的運動歷史。

1. 與海底擴張 (Seafloor Spreading) 的關聯

• 磁性條帶 (Magnetic Stripes): 在大洋中脊（mid-ocean ridges）兩側，海底沉積物和年輕的玄武岩顯示出規則的、對稱的磁性條帶。這些條帶是地磁場倒轉（magnetic polarity reversals）的記錄。
  • 當岩漿從中脊噴發冷卻形成新的海底地殼時，其中的磁性礦物會按照當時地磁場的方向磁化。
  • 地磁場會週期性地發生倒轉（正向磁化和反向磁化交替出現）。
  • 新形成的海底地殼不斷從中脊向兩側擴張，將這些磁性記錄帶離中脊。
  • 結果就是在中脊兩側形成了平行於中脊、對稱分佈的磁性條帶。
• 證據: 這種對稱的磁性條帶模式，在所有大洋盆地都得到證實。它的存在強烈支持了海底擴張的理論：新的地殼在地殼活動的中脊產生，並向兩側移動。磁性條帶的年代可以透過分析岩石的古地磁方向和地磁倒轉時間表來確定，進一步證實了海底擴張的速度是相對恆定的。

本題要求解釋地震波旅行時曲線 (travel-time curve) 中的「三疊現象」(triplication) 是由何種地震波速變化引起的，以及它如何產生，並反映了地球內部何種重要的結構。

1. 產生三疊現象的地震波速變化

三疊現象 (triplication) 出現在地震波旅行時曲線中，是指對於一個給定的地震震源和接收台站之間的距離，存在三個不同的到達時間。這種現象是由於地震波在地球內部傳播時，其速度結構隨深度發生了局部速度最小值而引起的。

具體來說，三疊現象是由於地震波在穿越一個速度隨深度先減小後增大的區域時產生的。當地震波從一個速度較高的介質進入一個速度較低的介質時，它的傳播路徑會發生彎曲（Snell's Law）。當速度進一步降低時，彎曲程度會加劇。然而，當速度開始回升時，彎曲程度又會減緩。

2. 三疊現象的產生過程 (How triplication arises)

想像一個地震波從震源出發，向地球內部傳播。

• 第一條路徑: 波直接沿著較短、速度較快的路徑到達接收台站。
• 第二條路徑: 波向更深的、速度較低（或變化率較小）的區域傳播，其路徑更長，但可能因為速度的變化而比直接路徑稍早或稍晚到達。
• 第三條路徑: 波向更深的、速度開始回升的區域傳播。由於速度的變化，這條路徑可能比前兩條路徑都長，但由於速度的增加，它可能在特定距離上與另外兩條路徑的到達時間接近，或者因為速度梯度效應，在某個距離範圍內，原本應該最快到達的路徑，由於速度降低而變得更慢，而速度增加的路徑反而變得相對較快，從而產生了三個不同的到達時間。

更精確的解釋是：
當地震波進入一個速度隨深度 $z$ 增加的梯度區域時，其路徑會彎曲，並且對於相同的水平距離 $x$，到達時間 $t$ 函數會是單調遞減的。
然而，當波進入一個區域，其速度 $v(z)$ 滿足 $\frac{\partial v}{\partial z} < 0$（速度隨深度減小），然後又進入一個區域 $\frac{\partial v}{\partial z} > 0$（速度隨深度增加），這個速度結構的「彎曲」（先減小後增大）會導致在某個特定的

本題要求解釋地震震源頻譜 (earthquake source spectrum) 中的「角頻率」(corner frequency)，以及它與地震規模的關係。

1. 震源頻譜與角頻率 (Source Spectrum and Corner Frequency)

地震震源頻譜描述了地震釋放的能量與頻率的關係。在一個簡化的模型（例如 Haskell 的裂縫擴展模型或 Brune 的圓盤破裂模型）中，地震的震源頻譜通常呈現出一個特定的形狀：

• 低頻部分 (Low-frequency plateau): 在低頻範圍內，地震的能量（或振幅）大致是一個常數，稱為零頻位移 (static displacement) 或低頻能量。
• 高頻部分 (High-frequency decay): 隨著頻率的增加，地震能量（或振幅）會快速衰減，通常與頻率的負二次方或更高次方成正比（例如 $f^{-2}$ 或 $f^{-3}$）。
• 角頻率 (Corner Frequency, $f_c$): 是低頻部分和高頻衰減部分的分界點。在這個頻率處，震源頻譜的斜率開始顯著下降。它代表了地震能量釋放的主要頻率範圍的上限。

2. 角頻率與地震規模的關係

角頻率 $f_c$ 與地震的「大小」或「規模」之間存在著密切的、反比的關係。更精確地說，地震越大，其角頻率就越低。

這種關係可以從幾個不同的震源模型中推導出來：

• Brune 模型 (1970):
  Brune 模型假設地震源是一個圓盤狀的破裂，其破裂過程是從一個中心點向外擴展。該模型預測，震源頻譜的角頻率 $f_c$ 與震源的幾個關鍵參數有關：
  $f_c \propto \frac{\Delta \sigma^{3/2}}{\Delta M_0^{1/2}}$
  其中 $\Delta \sigma$ 是地震的應力降 (stress drop)，$\Delta M_0$ 是地震的地震矩 (seismic moment)。
  地震矩 $\Delta M_0$ 是衡量地震規模的物理量，定義為：
  $M_0 = \mu A \bar{u}$

本題要求定義震源區 (seismogenic zone) 並解釋其在地震生成中的重要性。

1. 震源區的定義 (Definition of Seismogenic Zone)

震源區 (Seismogenic Zone) 是指地球上一個特定的三維空間區域，其中地震的震源 (hypocenters) 集中分佈。簡單來說，它是一個發生地震活動的「熱點」區域，其中包含了構成地震的斷層的運動。

更詳細地說，震源區通常具有以下特徵：

• 空間集中性: 地震的震源不是隨機分佈的，而是聚集在特定的地理位置和深度範圍內。
• 構造活動: 震源區通常與活躍的構造變形區域相吻合，例如板塊邊界（俯衝帶、碰撞帶、轉換斷層）、活躍的斷層系統、火山活動區等。
• 深度範圍: 震源區的深度範圍可以變化。淺層震源區通常位於地殼內，而一些板塊邊界（如俯衝帶）可以產生深達數百公里的深源地震，形成深源震源區。

2. 在地震生成中的重要性 (Significance in Earthquake Generation)

震源區在地震的生成過程中扮演著核心角色，其重要性體現在以下幾個方面：

• 應力累積與釋放的場所: 震源區是地殼或岩石圈中應力持續累積並最終以地震形式釋放的區域。板塊運動、構造應力是應力累積的根本原因，而震源區內的斷層就是應力釋放的載體。

核心觀念

本題考查各向同性彈性介質中的體波速度。P 波速度由體積模數 $K$、剪切模數 $\mu$ 與密度 $\rho$ 決定；S 波速度只由剪切模數與密度決定：

$$V_P=\sqrt{\frac{K+\frac{4}{3}\mu}{\rho}}$$ $$V_S=\sqrt{\frac{\mu}{\rho}}$$

其中：

• $K$：體積模數，反映材料抵抗體積壓縮的能力。
• $\mu$：剪切模數，反映材料抵抗剪切變形的能力。
• $\rho$：密度。
• $\lambda$：Lamé 第一參數，與 $K$、$\mu$ 的關係為

$$K=\lambda+\frac{2}{3}\mu$$

水的 $\mu=0$，因此無法傳遞 S 波；固體橄欖石具有非零剪切模數，能同時傳遞 P 波與 S 波。

解題方法

題目給定橄欖石的資料：

$$K=129\ \text{GPa}$$ $$\mu=82\ \text{GPa}$$ $$\rho=3.2\ \text{g/cm}^3$$

先將單位換成 SI 制：

$$K=129\times 10^9\ \text{Pa}$$ $$\mu=82\times 10^9\ \text{Pa}$$ $$\rho=3.2\ \text{g/cm}^3 =3.2\times 10^3\ \text{kg/m}^3 =3200\ \text{kg/m}^3$$

1. P 波速度

代入公式：

$$V_P = \sqrt{ \frac{129\times10^9+\frac{4}{3}(82\times10^9)} {3200} }$$

先計算彈性模數組合：

$$129+\frac{4}{3}(82) = 129+109.333 = 238.333\ \text{GPa}$$

因此：

$$V_P = \sqrt{ \frac{238.333\times10^9}{3200} }$$ $$V_P = \sqrt{74.479\times10^6} \approx 8.63\times10^3\ \text{m/s}$$

所以：

$$\boxed{V_P\approx 8.63\ \text{km/s}}$$

2. S 波速度

代入公式：

$$V_S = \sqrt{ \frac{82\times10^9}{3200} }$$