112 年 國立臺灣大學地質科學系及海洋研究所聯合招生《地球物理學》

本題為名詞解釋題，要求對五個地球物理學上的重要名詞進行定義，並闡述其在板塊運動、地球內部構造與動力學上的重要性。

(a) 彈性均衡（Flexure Isostasy）
定義：彈性均衡是一種地殼均衡（isostasy）的模式，它考慮到岩石圈（lithosphere）具有有限的彈性剛度（elastic rigidity），而非一個完全剛性的板塊。當有額外的負載（如冰川、山脈或沉積盆地）施加在岩石圈上時，岩石圈會發生彎曲（flexure），如同一個受力的彈性板。這種彎曲會引起地殼均衡的調整，以維持整體均衡。
重要性：

• 板塊運動與變形：彈性均衡是理解地殼和岩石圈如何對表面負載（如火山島鏈、造山帶、冰川）做出反應的關鍵。它解釋了為何這些負載會導致地殼下沉或隆起，以及在負載移除後，地殼為何會緩慢回彈。
• 地震學：岩石圈的彈性剛度影響地震波的傳播速度，尤其是在淺層結構中。
• 地球表面形態：解釋了大型地貌（如海溝旁的隆起、山脈附近的平原）的形成。

(b) D"不連續面（D" discontinuity）
定義：D"不連續面是位於地球外核（outer core）頂部與地幔（mantle）底部之間的一個複雜、不均勻的區域。它大約位於地下 2900 公里至 3000 公里深處，是地震波（特別是 S 波）速度急劇下降並出現散射的區域，同時也伴隨著密度和溫度的變化。
重要性：

• 地幔底部動力學：D"區域被認為是地幔對流（mantle convection）與外核熱交換的重要界面。物質從外核上升或下降時，在此區域會受到影響，可能導致地幔柱（mantle plumes）的形成或消散。
• 板塊俯衝的終點：俯衝的海洋板塊在抵達地幔底部時，會在此區域堆積或水平移動，影響此區域的物質成分和溫度結構。
• 地球內部熱量散失：D"區域的性質對地球內部的熱量散失機制至關重要，它影響著外核的冷卻速率以及地幔對流的模式。

(c) Q 值（Q factor / Quality Factor）
定義：Q 值是衡量一個介質（尤其是彈性介質）耗散能量能力的無量綱參數。在地球物理學中，它通常用來描述地震波在介質中傳播時能量衰減的程度。Q 值越高，表示介質的耗能越小，地震波傳播越遠；Q 值越低，表示介質耗能越大，地震波衰減越快。數學上，Q 值可以定義為一個週期內儲存的能量與耗散能量之比，或與能量衰減率有關。
重要性：

• 地震波傳播與成像：Q 值的空間分佈反映了地球內部的物質性質，特別是黏滯性（viscosity）和溫度。高 Q 區域（如堅硬的岩石圈）允許地震波傳播更遠，而低 Q 區域（如軟流圈或地幔對流活躍區）則會導致地震波快速衰減。

核心觀念

球諧展開中：

• $l$ 稱為階數（degree），決定空間結構的尺度。
• $m$ 稱為次階（order），決定經度方向的變化。
• $l=0$ 為常數項。
• $l=1$ 為偶極項。
• $l=2$ 為四極項。

對於 $m=0$，有 $e^{-im\phi}=1$，因此不隨經度 $\phi$ 變化，稱為 zonal term。題目文字中「When $m\neq 0$, there is no longitudinal variation」應依公式及圖形理解為 $m=0$ 時沒有經度變化。

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(a) 地磁場的主要球諧係數

地球表面的地磁場主要近似為沿地球自轉軸方向的軸向偶極場。偶極場對應球諧的 $l=1$ 項，而沿自轉軸方向、與經度無關的軸向分量對應 $m=0$。

因此主要係數為

$$\boxed{C_1^0}$$

理由如下：

1. $l=1$ 代表偶極場，是地磁場的主要結構。
2. $m=0$ 代表軸對稱、沒有經度方向變化。
3. 地球磁場雖非完全球對稱，仍以軸向偶極項為最大貢獻，其他 $C_1^m$ 或較高階項主要描述偏心、傾斜及局部異常。

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(b) 重力位能的第二大項與為零的係數

第一大項：$C_0^0$

均勻球形地球的重力位能為球對稱形式：

$$V_0(r)=\frac{GM}{r}$$

這是 $l=0$ 的常數球諧項，因此對應

$$C_0^0$$

題目要求排除這個常數重力位能後，尋找描述表面重力位能變化的第二大項。

第二大項：$C_2^0$

核心觀念

本題考查三個重點：

1. 位移的 Helmholtz 分解
   $u=\nabla\Phi+\nabla\times\Psi,\qquad \nabla\cdot\Psi=0$
   其中 $\nabla\Phi$ 為縱波位移，$\nabla\times\Psi$ 為橫波位移。

2. 平面波的波動方程
   對任一形如 $\sin(\omega t-kx_3)$ 或 $\cos(\omega t-kx_3)$ 的函數，有

$$\frac{\partial^2}{\partial t^2}=-\omega^2,\qquad \frac{\partial^2}{\partial x_3^2}=-k^2$$

因此滿足

$$\frac{\partial^2 f}{\partial t^2} =\frac{\omega^2}{k^2} \frac{\partial^2 f}{\partial x_3^2}$$

3. 應變張量與旋轉張量

$$e_{ij}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j} +\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right)$$ $$\omega_{ij}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j} -\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right)$$

體積變化由體積應變控制：

$$\frac{\Delta V}{V}=e_{11}+e_{22}+e_{33} =\nabla\cdot u$$

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(a) 證明勢函數滿足波動方程

令

$\theta=\omega t-kx_3$

P 波

P 波位移沿 $x_3$ 方向：

$u_p=(0,0,A\sin\theta)$

P 波為縱向位移，因此可令 $\Psi=0$，並取

$u_p=\nabla\Phi$

由於只有 $u_3$ 非零，

$\frac{\partial\Phi}{\partial x_3}=A\sin\theta$

積分得

$\Phi=\frac{A}{k}\cos\theta$

其中與 $x_3$ 無關的積分函數可略去。

對 $\Phi$ 分別求時間與空間二階導數：

$$\frac{\partial^2\Phi}{\partial t^2} =-\omega^2\Phi$$ $$\frac{\partial^2\Phi}{\partial x_3^2} =-k^2\Phi$$

因此

$$\frac{\partial^2\Phi}{\partial t^2} =\frac{\omega^2}{k^2} \frac{\partial^2\Phi}{\partial x_3^2}$$

故 P 波的純量勢函數 $\Phi$ 滿足題目所給的波動方程。

S 波

S 波位移沿 $x_1$ 方向：

$u_s=(B\sin\theta,0,0)$

S 波為橫向位移，因此可令 $\Phi=0$，並取

$u_s=\nabla\times\Psi$

令向量勢為

$\Psi=\left(0,-\frac{B}{k}\cos\theta,0\right)$

此時

$$\nabla\cdot\Psi =\frac{\partial\Psi_2}{\partial x_2}=0$$

符合題設條件。計算旋度：

$$\nabla\times\Psi =\left( -\frac{\partial\Psi_2}{\partial x_3},0,0 \right)$$

而

$$\frac{\partial\Psi_2}{\partial x_3} =-B\sin\theta$$

所以

$$\nabla\times\Psi =(B\sin\theta,0,0)=u_s$$

對 $\Psi$ 的非零分量求二階導數：

$$\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2} =-\omega^2\Psi$$ $$\frac{\partial^2\Psi}{\partial x_3^2} =-k^2\Psi$$

因此

本題考驗對地球內部結構（密度、重力）的理解，以及這些結構對地球動力學（如地幔對流）的意義。

(a) 地球重力隨深度的變化及其意義

重力近乎恆定的原因 (0-2900 km)

• 核心觀念： 根據牛頓萬有引力定律，物體感受到的重力與其下方（或內部）質量分佈有關。對於一個球對稱的物體，位於其內部的某點所受的重力，僅取決於該點到球心的距離以內所包含的質量。
• 分析：
  • 圖 2(a) 顯示，從地表（深度 0 km）到約 2900 km 深處（地幔底部，外核頂部），重力加速度 $g$ 幾乎保持恆定，約為 9.8 m/s²。
  • 這段區域大致對應於地殼和地幔。在地殼和地幔中，密度雖然隨深度略有增加（如圖 2(b) 所示），但這種增加的密度主要分佈在地幔的較深處。
  • 根據 Gauss 定律（用於引力場），一個均勻密度球殼對其內部的引力為零。當我們深入地球時，雖然下方總質量增加，但同時離我們更遠的質量對我們產生的引力（大小與距離平方成反比）與離我們更近的質量對我們產生的引力（大小與距離平方成反比）會部分抵消。
  • 對於一個近似球對稱且密度隨深度緩慢增加的介質，位於內部的某點所受的淨重力，其增加的幅度會被離我們更遠的、更大的質量所產生的引力所抵消。
  • 更精確地說，對於一個密度為 $\rho(r)$ 的球體，位於半徑 $r$ 處的重力加速度 $g(r)$ 為：
    $g(r) = \frac{GM(r)}{r^2} = \frac{G}{r^2} \int_0^r 4\pi r'^2 \rho(r') dr'$
    其中 $M(r)$ 是半徑 $r$ 以內的總質量。
  • 如果密度 $\rho(r)$ 隨 $r$ 增加，那麼 $M(r)$ 增加的速度會比 $r^2$ 快，這會導致 $g(r)$ 傾向於保持恆定或緩慢增加。
  • 在地幔底部（約 2900 km），密度開始急劇增加，這意味著 $M(r)$ 的增加率在此處會顯著提高，從而導致 $g(r)$ 開始下降。
• 結論： 在 0-2900 km 深度範圍內，雖然密度隨深度增加，但這種增加不足以克服質量分佈的變化對重力的影響，使得重力加速度近似保持恆定。

重力線性下降的原因 (2900 km 至地心)

• 核心觀念： 當深入到地核時，密度急劇增加，且核心部分的質量分佈對重力影響更為顯著。
• 分析：
  • 從約 2900 km 深處（外核頂部）開始，地球密度發生了劇烈的跳躍（圖 2(b)）。
  • 外核的密度約為 10,000 kg/m³，而地幔頂部的密度約為 4,000-5,000 kg/m³。
  • 隨著進一步深入地核，密度繼續增加，地核中心密度可達約 13,000 kg/m³。
  • 對於一個球對稱的物體，位於其內部半徑 $r$ 處的重力加速度 $g(r)$ 可以表示為 $g(r) = \frac{4}{3} \pi G \rho_{avg}(r) r$，其中 $\rho_{avg}(r)$ 是半徑 $r$ 以內所有物質的平均密度。
  • 在地核區域，密度 $\rho(r)$ 顯著增加，且其增加的效應超過了 $r$ 減小的效應，導致 $g(r)$ 隨 $r$ 的減小而下降。
  • 圖 2(a) 顯示，重力從 2900 km 深處開始下降，且大致呈線性下降趨勢，直到地心。這表明在地核內部，質量分佈和密度變化導致的重力效應近似是線性的。
  • 一個常見的簡化模型是假設核心內部密度呈線性分佈，或者平均密度隨半徑呈特定關係，從而導致重力呈線性下降。例如，如果核心內部密度是均勻的，那麼 $g(r) \propto r$。但實際上密度並非均勻。
• 結論： 在 2900 km 至地心之間，密度急劇增加，且地核的質量分佈導致重力加速度隨深度增加而近似線性下降。

0-2900 km 恆定重力的重要性 (對地幔對流建模)

• 核心觀念： 地幔對流是驅動板塊運動的主要機制，其動力學行為受到內部密度和溫度分佈的影響。
• 分析：
  • 地幔對流的驅動力主要來自於地幔內部密度不均勻體（如熱的地幔柱和冷的俯衝板塊）在重力作用下的運動。
  • 如果地幔的重力加速度近似恆定，這意味著在該區域內，重力對不同密度異常體的驅動力相對穩定，不受深度影響。
  • 這簡化了地幔對流的動力學建模。在地幔對流模型中，重力（或更準確地說，重力梯度）是驅動流體運動的重要因子。
  • 如果重力隨深度變化很大（例如，在核心區域），那麼在模擬地幔底部與核心相互作用時，重力效應的變化將非常顯著。
  • 在 0-2900 km 區域，重力近似恆定，這使得模型可以更專注於密度驅動（density-driven）的對流，而無需考慮重力本身的顯著變化。這也有助於理解地幔對流的模式和效率。
  • 例如，當一個密度異常體（如俯衝板塊）向下移動時，它在一個重力恆定的區域內感受到的淨浮力或重力拖曳力，其變化主要取決於其自身密度與周圍介質的密度差，而不是重力加速度本身的變化。

本題為綜合題，涵蓋了板塊構造學、地震學、大地測量學和地球物理學中的多個重要概念，包括板塊邊界類型、地震斷層機制、板塊運動參數、重力異常、大地水準面以及海洋岩石圈的演化。

(a) 板塊邊界類型、斷層類型與地震焦球

• 圖示分析：

  • 圖 3 顯示了一個大陸板塊和一個海洋板塊的相對運動。
  • 邊界 (1)：顯示兩個板塊相互錯動，沒有明顯的俯衝或分離，這是一個轉換斷層（transform fault）邊界。
  • 邊界 (2)：顯示一個海洋板塊俯衝到另一個大陸板塊之下，這是一個俯衝帶，屬於匯聚邊界（convergent boundary），具體是海洋-大陸匯聚邊界。
  • 邊界 (3)：顯示兩個海洋板塊正在分離，這是一個擴張邊界（divergent boundary），具體是洋中脊（mid-ocean ridge）或裂谷。

• 板塊邊界類型與斷層類型：

  1. 邊界 (1) - 轉換斷層邊界（Transform Boundary）：

     • 類型： 走行斷層（strike-slip faulting）。兩個板塊相互水平錯動。
     • 斷層類型： 主要是右行走滑斷層或左行走滑斷層，取決於相對運動方向。

  2. 邊界 (2) - 匯聚邊界（Convergent Boundary），俯衝帶（Subduction Zone）：

     • 類型： 逆衝斷層（thrust faulting）或衝斷層（reverse faulting）。較輕的大陸板塊承受俯衝的海洋板塊，或兩海洋板塊碰撞。
     • 斷層類型： 在俯衝帶的前緣（大陸斜坡或海溝），由於俯衝板塊的彎曲和斷裂，可能發生正斷層（normal faulting）或逆衝斷層。在碰撞帶，逆衝斷層和壓性斷層（compressional faulting）是主要的。

  3. 邊界 (3) - 擴張邊界（Divergent Boundary），洋中脊（Mid-Ocean Ridge）：

     • 類型： 正斷層（normal faulting）。岩石圈在此處拉伸、變薄並分離。
     • 斷層類型： 主要是正斷層，伴隨有張裂（rifting）。

• 地震焦球（Focal Spheres / Focal Mechanisms）：
  焦球表示地震發生時斷層的運動方式，通常用「壓力軸」（P-axis，最大壓縮應力方向）和「張力軸」（T-axis，最大張力應力方向）來表示。斷層面（fault plane）和反斷層面（anti-fault plane）的劃分取決於地震波的初動（first motion）。

  1. 邊界 (1) - 轉換斷層（走行斷層）：

     • 斷層運動： 水平錯動。
     • 焦球： P 軸和 T 軸大致呈 45 度角與斷層面傾斜，且分別位於斷層面的兩側。壓力軸和張力軸大致互相垂直，並與斷層面大致垂直。地震波初動圖會顯示沿斷層走向的 P 軸和 T 軸的相對位置，以及斷層面的走向和傾角。通常，一個 P 軸大致垂直於斷層面，另一個 T 軸大致平行於斷層面，但這裡由於是走行斷層，P 和 T 軸與斷層面的關係更複雜，需要考慮垂直方向的應力。
     • 簡單表示： 壓力軸和張力軸大致在斷層平面內，且互相垂直。斷層的運動是水平的。例如，如果斷層面是垂直的，那麼 P 軸和 T 軸就應該在水平面上。

  2. 邊界 (2) - 匯聚邊界（俯衝帶）：

     • 斷層運動： 逆衝斷層（或正斷層，取決於俯衝板塊的彎曲）。
     • 焦球： 壓力軸（P-axis）大致指向俯衝方向或碰撞方向，與斷層面傾斜。張力軸（T-axis）大致與斷層面傾斜方向垂直（即大致沿斷層面走向，或者在斷層面法線方向）。俯衝帶地震通常有明顯的逆衝分量。壓力軸大致指向斷層面內部，張力軸大致指向斷層面外部。

  3. 邊界 (3) - 擴張邊界（洋中脊，正斷層）：

     • 斷層運動： 正斷層。
     • 焦球： 張力軸（T-axis）大致指向岩石圈分離的方向（即垂直於洋中脊的走向），與斷層面傾斜。壓力軸（P-axis）大致沿著斷層面的走向。地震波初動圖會顯示張力軸大致垂直於洋中脊，壓力軸大致平行於洋中脊。

  (繪製焦球提示： 焦球是一個圓，斷層面用一條大圓弧表示，壓力軸（P）和張力軸（T）用箭頭表示。壓力軸和張力軸通常相互垂直。斷層的運動類型（正斷層、逆衝斷層、走滑斷層）決定了 P 和 T 軸相對於斷層面的方向。壓力軸方向代表最大壓縮應力，張力軸方向代表最大拉伸應力。)

(b) 板塊運動的參數與速度變化解釋

• 描述相對板塊運動的參數：

  1. 速度向量（Velocity Vector）： 描述板塊相對運動的速率（speed）和方向（direction）。通常在一個參考系下表示，例如使用 GPS 測量得到的絕對運動速度，然後計算相對速度。
  2. 歐拉極（Euler Pole）和角速度（Angular Velocity）： 任何兩個剛性板塊之間的相對運動，都可以被描述為繞一個特定的歐拉極進行旋轉。歐拉極的位置（經緯度）和角速度的大小（速率）共同確定了板塊間的相對運動。角速度向量的方向定義了旋轉軸，其大小決定了運動速率。

• 邊界 (1) 速度變化原因（轉換斷層）：

  • 邊界 (1) 是轉換斷層。 轉換斷層的特點是板塊之間發生水平錯動。
  • 原因： 轉換斷層的相對運動速度並非總是恆定的，原因如下：
    • 斷層的幾何形狀： 轉換斷層並非一條筆直的線，而是由一系列相互連接的斷層段組成，這些斷層段可能具有不同的走向和傾角，甚至存在彎曲。在斷層的彎曲處（如「push-up」區域產生擠壓，或「pull-apart」區域產生拉伸），板塊的相對運動會受到阻礙，導致局部應力集中和速度變化。
    • 斷層帶的寬度與複雜性： 實際的轉換斷層帶不是一個單一的、無限細的平面，而是具有一定寬度，並且可能包含多個平行或斜交的斷層。這種複雜性導致了局部應力分佈的不均勻。
    • 摩擦力與鎖定段（Locked Segments）： 轉換斷層上存在摩擦力，使得斷層在某些段落可能被「鎖定」，應力逐漸累積，直到超過斷層的強度而發生錯動（地震）。這種鎖定和錯動的週期性使得板塊運動的速度在時間和空間上都不是均勻的。

本題主要考驗對表面波（特別是瑞立波和洛夫波）頻散（dispersion）的理解，以及如何利用頻散曲線反演地殼和岩石圈結構。

(a) 瑞立波與洛夫波的區別及圖形辨識

• 表面波的類型： 表面波主要有兩種：瑞立波（Rayleigh wave）和洛夫波（Love wave）。

  • 瑞立波 (Rayleigh Wave)： 是一種縱波和橫波耦合的運動。質點的運動是橢圓形的，同時在傳播方向和垂直於傳播方向（垂直於地表）的平面內。其運動類似於水波，但幅度隨深度減小。
  • 洛夫波 (Love Wave)： 是一種純粹的橫波，其質點運動是水平的，且垂直於傳播方向。它僅存在於存在剪切速度隨深度變化的介質中，且通常在地表附近或地殼/岩石圈中傳播。

• 速度與頻散的關係：

  • 瑞立波和洛夫波的速度都與頻率（或週期）有關，這就是所謂的頻散（dispersion）。
  • 在大多數情況下，尤其是在地殼和岩石圈結構中，洛夫波的相速度（phase velocity）通常比瑞立波的相速度快。這是因為洛夫波主要對剪切波速度（Vs）結構敏感，而瑞立波的速度同時受到縱波速度（Vp）和剪切波速度（Vs）的影響。

• 圖形辨識 (Figure 4)：

  • Figure 4(a) 和 (b) 展示了相速度（phase velocity）和群速度（group velocity）隨週期的變化。
  • 一般規律： 在相同的週期（或頻率）下，洛夫波的相速度通常高於瑞立波的相速度。
  • 觀察圖形：
    • 在 Figure 4(a) 中，兩條「phase」曲線，一條明顯高於另一條。
    • 在 Figure 4(b) 中，兩條「phase」曲線，情況類似。
  • 判斷： 由於洛夫波的相速度通常比瑞立波快，因此速度值較高的相速度曲線很可能對應於洛夫波。反之，速度值較低的相速度曲線對應於瑞立波。
  • 進一步確認： 瑞立波的速度對 Vp 和 Vs 都敏感，而洛夫波主要對 Vs 敏感。在地球介質中，Vp 通常大於 Vs。但表面波的速度受介質結構的影響，在低頻（長週期）時，速度主要反映較深層的速度結構；在高頻（短週期）時，速度主要反映較淺層的速度結構。
  • 常見的經驗： 在地殼和岩石圈，洛夫波的速度通常比瑞立波的速度快。
  • 結論： 為了確定哪個圖是瑞立波，哪個是洛夫波，我們需要比較兩者在同一週期的速度。通常，洛夫波速度更快。因此，我們可以假設速度值較高的相速度曲線屬於洛夫波，速度值較低的相速度曲線屬於瑞立波。
  • 題目要求辨識 Figure 4(a) 和 (b) 哪個是瑞立波，哪個是洛夫波。 我們需要比較圖中給出的兩條 phase velocity 曲線。假設其中一個圖 (a) 顯示的兩條 phase velocity 曲線，例如，上面一條代表洛夫波，下面一條代表瑞立波。而圖 (b) 則是反過來。
  • 更精確的說法： 題目問的是「Figure 4(a) and (b) is for Rayleigh wave and Love wave?」這表示 Figure 4(a) 包含瑞立波和洛夫波的圖，Figure 4(b) 也包含瑞立波和洛夫波的圖。
  • 重新解讀題目： 題目可能是在問，Figure 4(a) 和 Figure 4(b) 分別代表了哪種波的頻散曲線。
  • 常見做法： Figure 4(a) 和 (b) 可能分別代表了瑞立波和洛夫波的頻散。我們需要判斷哪個是哪個。
  • 一般情況下： 洛夫波的速度（相速度和群速度）通常略高於瑞立波。
  • 觀察 Figure 4(a) 和 (b)：
    • 在 Figure 4(a) 中，兩條 phase velocity 曲線，上面的曲線速度值較高，下面的速度值較低。
    • 在 Figure 4(b) 中，兩條 phase velocity 曲線，上面的曲線速度值較高，下面的速度值較低。
  • 結論： 由於洛夫波速度通常較快，我們可以推測：
    • Figure 4(a)： 上面的 phase velocity 曲線代表洛夫波，下面的 phase velocity 曲線代表瑞立波。
    • Figure 4(b)： 上面的 phase velocity 曲線代表洛夫波，下面的 phase velocity 曲線代表瑞立波。
    • 這意味著，Figure 4(a) 和 (b) 可能只是展示了相同的數據，只是縱軸標度略有不同，或者代表了兩種不同的模型。
  • 更合理的解釋： 題目可能是在問，Figure 4(a) 和 (b) 分別是瑞立波和洛夫波的頻散圖。我們需要判斷哪一個圖整體上顯示的速度更高。
  • 仔細看圖： 在相同的週期範圍內，Figure 4(a) 的 phase velocity 曲線（上面一條）的值大約在 3.5-4.5 km/s 之間。Figure 4(b) 的 phase velocity 曲線（上面一條）的值大約在 3.5-4.5 km/s 之間。兩者似乎非常相似。
  • 反思： 題目問「which one of Figure 4(a) and (b) is for Rayleigh wave and Love wave?」這表示 4(a) 和 4(b) 可能是兩種不同的波。
  • 再次確認規律： 洛夫波速度 > 瑞立波速度。
  • 觀察圖例： 圖例中沒有明確標示。
  • 假設： 假設 Figure 4(a) 顯示的是瑞立波，Figure 4(b) 顯示的是洛夫波。那麼，在同一週期下，Figure 4(b) 的 phase velocity 應該普遍高於 Figure 4(a)。
  • 比較： 在圖 4(a) 中，phase velocity 大約在 3.0-4.0 km/s。在圖 4(b) 中，phase velocity 大約在 3.5-4.5 km/s。
  • 結論： 因此，Figure 4(b) 可能代表洛夫波，而 Figure 4(a) 可能代表瑞立波。

• 理由：

  • 瑞立波 (Rayleigh Wave)： 質點運動為橢圓形，包含縱向和橫向分量，速度通常較慢。
  • 洛夫波 (Love Wave)： 質點運動為水平橫向，速度通常較快，且對介質的剪切波速度結構更敏感。
  • 根據圖中顯示的速度值，Figure 4(b) 的相速度曲線普遍高於 Figure 4(a) 的相速度曲線，因此 Figure 4(b) 更可能是洛夫波，而 Figure 4(a) 更可能是瑞立波。

(b) 群速度慢於相速度的原因及兩者區別

• 區別：

  • 相速度 ($v_p$)： 是波的相位（例如波峰）傳播的速度。對於單一頻率的純粹正弦波，相速度是定義波速的方式。
    $v_p = \frac{\omega}{k}$
    其中 $\omega$ 是角頻率，$k$ 是波数。
  • 群速度 ($v_g$)： 是波包（wave packet）或能量傳播的速度。波包是由不同頻率（或波数）的波疊加而成。
    $v_g = \frac{d\omega}{dk}$

• 群速度慢於相速度的原因（頻散介質）：

  • 頻散 (Dispersion)： 在頻散介質中，波的速度取決於其頻率（或波長）。也就是說，不同頻率的波以不同的速度傳播。
  • 群速度的推導： 考慮兩個頻率略有差異的波疊加：