108 年 國立臺灣大學地質科學系碩士班應用地質組《地球物理學》

此題主要在探討板塊構造學說的基本概念，包含板塊運動的描述、支持板塊剛性體的證據，以及火山活動與板塊運動的關聯。

(a) 板塊邊界的相對運動向量可以透過兩個運動學參數來定量描述：

1. 旋轉軸 (Axis of Rotation)：這是板塊相對運動的虛擬旋轉軸。所有相對於彼此運動的點，其運動方向都指向同一條通過地球中心的軸線。
2. 旋轉角速度 (Angular Velocity)：這是板塊繞著旋轉軸旋轉的速度，通常以度／百萬年 (degrees per million years) 為單位。

這兩個參數的組合（即歐拉定理 Euler's Theorem）可以完全描述兩個剛體在球面上的相對運動。任意一點的相對運動速度向量可以透過其位置向量與角速度向量的叉乘（cross product）來計算。

(b) 板塊視為剛性體（Rigid Body）的假設，主要是因為在大多數地球物理觀測中，板塊內部區域的變形相對較小，而大部分的運動集中在板塊邊界。支持此假設的地球物理觀察證據至少有以下兩點：

1. 地震學證據 (Seismological Evidence)：大多數地震（尤其是大地震）的震源都集中在相對狹窄的板塊邊界區域。板塊內部發生的地震相對較少且規模較小，顯示板塊內部應力累積與釋放的程度較低，變形較小。如果板塊內部有顯著變形，則應有更多地震發生。
2. 大地測量學證據 (Geodetic Evidence)：現代大地測量技術，如 GPS (Global Positioning System)，可以精確測量地表點的位移。

此題主要探討地震波傳播理論及其在地學研究中的應用，特別是利用地震波的走時與傳播特性來推斷地球內部結構。

(a) 震波走時的triplication現象 (Triplication of Seismic Travel Times)：
Triplication現象是指在特定的震央距範圍內，同一種地震波（例如P波或S波）到達不同地震站的時間會出現三個不同的值。這意味著，對於相同的震央距，地震波會沿著三條不同路徑傳播，並且到達時間也不同。
這種現象的發生是因為地球內部存在速度遞減層（velocity inversion layer）。當地震波進入一個速度減慢的區域時，其傳播的路徑會彎曲，而且在特定條件下，會出現「彎回」的現象，使得地震波能夠以不同的角度再次進入高速區域。
具體來說，當地震波從一個較高速的介質進入一個較低速的介質時，會發生折射。如果速度的下降足夠劇烈，地震波的路徑會彎曲得非常厲害，以至於在某個震央距範圍內，會存在三個不同的入射角（或說出射角），這三個不同的入射角對應著三條不同的傳播路徑，進而導致了三個不同的到達時間。
Triplication現象通常發生在：

1. 地殼與上部地幔之間的莫氏不連續面 (Mohorovičić discontinuity)：在地殼與上部地幔之間的速度變化，在較近的震央距（約 20-30 度）就可能觀察到 P 波走時的 duplication（兩條路徑），但 triplication 較少見，因為速度變化相對平緩。
2. 軟流圈 (Asthenosphere) 的頂部：軟流圈是上部地幔中一個相對低速的區域。當地震波從堅硬的岩石圈（lithosphere）進入較軟的軟流圈時，速度會下降。在特定的震央距範圍內（例如約 10-20 度），P 波的走時會出現 triplication。
3. 地幔轉換帶 (Transition Zone)：地球內部深度約 410 km 和 660 km 處存在兩個重要的速度不連續面，是由橄欖石 (olivine) 等礦物在高壓下發生的相變（phase transition）所引起的。在這些轉換帶的頂部或底部，也可能產生速度結構的局部減速，進而導致 triplication 現象。

此題主要探討如何利用地震波的時域波形 (waveform) 和頻域特徵 (spectral characteristics) 來區分不同震源機制，特別是核爆、火山地震和淺層斷層構造地震。

分辨這三種震源訊號的關鍵在於它們的震源機制、能量釋放方式以及在地殼中的傳播特性差異。

1. 核爆 (Nuclear Explosion)

• 波形特徵 (Waveform Characteristics)：
  • P波與S波的能量比 (P-wave to S-wave energy ratio)：核爆是一種體積變化（volumetric source）的震源，其能量主要以 P波（縱波）的形式釋放，而 S波（橫波）的能量相對較少。因此，在地震記錄上，P波的振幅通常遠大於 S波的振幅。
  • 走時 (Arrival Times)：P波和S波的走時相對清晰且規則，無明顯的 P-S 分離延遲。
  • 波形清晰度：波形通常較為清晰，週期較規則。
• 頻譜特徵 (Spectral Characteristics)：
  • 高頻成分 (High-frequency content)：核爆通常在較高的頻率範圍內能量較為集中，顯示出較強的高頻成分。
  • 频谱形状 (Spectral shape)：頻譜通常呈現出一個相對平滑的峰值，然後向高頻衰減。

2. 火山地震 (Volcanic Earthquakes)

• 波形特徵 (Waveform Characteristics)：
  • 訊號類型多樣 (Diverse signal types)：火山地震的訊號非常多樣，包括：
    • 長週期事件 (Long-period events, LP)：這些事件具有較長的週期（0.5-2 秒），振幅較小，波形通常比較緩慢和單調。它們被認為與岩漿在火山通道中的振動或流動有關。
    • 火山震動 (Volcanic Tremor)：這是連續性的、低頻率（通常 < 2 Hz）的振動，持續時間較長，波形沒有明顯的 P 波或 S 波。它被認為與岩漿流動或壓力波動有關。
    • 其他事件 (e.g., hybrid events)：介於 LP 事件和短週期事件之間的訊號。
  • P波與S波的關係：在某些火山地震中，P波和S波的走時可能不清晰，或者 P波和 S波的振幅比例與構造地震不同。
• 頻譜特徵 (Spectral Characteristics)：
  • 低頻成分 (Low-frequency content)：火山地震，特別是 LP 事件和火山震動，通常在較低的頻率範圍內（通常 < 5 Hz）能量較為集中。
  • 频谱形状 (Spectral shape)：頻譜可能顯示出一個或多個寬闊的峰值，或者呈現出一個相對平坦的低頻段。

3. 淺層斷層構造地震 (Shallow Tectonic Earthquakes)

• 波形特徵 (Waveform Characteristics)：
  • P波與S波的清晰分離 (Clear P and S wave arrivals)：P波和S波的到達時間有明顯的延遲，且振幅差異相對較大（S波振幅通常大於 P波，但取決於震源機制和傳播路徑）。
  • 波形複雜性 (Waveform complexity)：波形可能包含多個波列（wave groups），反映了斷層破裂的複雜過程。
  • 震源機制 (Source Mechanism)：通常為錯動型（faulting type），如正斷層、逆斷層或走滑斷層。
• 頻譜特徵 (Spectral Characteristics)：
  • 頻率範圍廣泛 (Wide frequency range)：淺層構造地震的頻譜通常涵蓋較寬的頻率範圍，從低頻到高頻都有能量。

此題探討 2011 年日本東北外海規模 9.0 的大地震如何影響地球的自轉速度，進而縮短了日長。

核心觀念：角動量守恆 (Conservation of Angular Momentum)

地球的自轉速度是由其總角動量決定的。角動量 ($L$) 的計算方式為：
$L = I \omega$
其中，$I$ 是地球的轉動慣量 (moment of inertia)，$\omega$ 是地球的角速度 (angular velocity)。

根據角動量守恆定律，在沒有外力矩作用的情況下，地球的總角動量保持不變。當地球內部的質量分佈發生變化時，為了維持角動量守恆，其轉動慣量 ($I$) 和角速度 ($\omega$) 必須相互調整。

地震對地球轉動慣量的影響：
一個巨大的地震，特別是像東北外海大地震這樣涉及地殼大範圍抬升和沉降的事件，會導致地球質量的重新分佈。

• 質量重新分佈：在這次地震中，太平洋板塊在日本東部強烈向下俯衝，導致日本本州島東側的地殼發生了顯著的水平位移（向東移動）和垂直位移（抬升和沉降）。這種質量從一個區域移動到另一個區域，相當於地球內部的質量發生了重新分佈。
• 轉動慣量變化：地球的轉動慣量與質量的分佈有關。當質量向遠離自轉軸的方向移動時，轉動慣量會增加；

此題主要探討重力異常 (gravity anomaly) 的概念，特別是自由空氣重力異常 (free-air gravity anomaly) 和大地水準面異常 (geoid anomaly)，並討論其在西太平洋俯衝帶的觀測特徵及其成因。

(a) 自由空氣重力異常 (Free-Air Gravity Anomaly, FAA) 和大地水準面異常 (Geoid Anomaly)

• 自由空氣重力異常 (Free-Air Gravity Anomaly, FAA)：

  • 定義：FAA 是指在測站觀測到的重力值，經過改正後，扣除一個理論重力值後得到的差值。這個改正包含了將觀測值「移動」到平均海平面，並考慮了測站海拔高度和觀測點下方地層密度對重力的影響。
  • 改正內容：
    1. 正常重力 (Normal Gravity)：根據一個標準的參考橢球體 (reference ellipsoid) 和重力公式，計算出在不同緯度下的理論重力值。
    2. 測站高改正 (Free-Air Correction)：將觀測點的重力值，依據其離平均海平面的高度，按照自由空氣中的重力梯度（約 $0.3086 \, \text{mGal/m}$）進行改正，使其「移到」平均海平面。
  • 意義：FAA 主要反映了測站下方地殼和上部地幔物質密度的不均勻性。大的正 FAA 通常意味著下方物質密度較高（如地殼均衡的隆起區），而大的負 FAA 則意味著下方物質密度較低（如地殼均衡的凹陷區或密度較低的物質）。

• 大地水準面異常 (Geoid Anomaly)：

  • 定義：大地水準面 (Geoid) 是指一個與平均海平面重合的、假定只受地球引力與地球自轉離心力作用而達到重力平衡的封閉曲面。大地水準面異常，也稱為大地水準面偏差 (Geoid Undulation)，是指大地水準面與參考橢球體之間的垂直距離。
  • 計算：大地水準面可以透過積分所有局部重力異常來計算。
  • 意義：大地水準面異常直接反映了地球內部質量分佈的不均勻性。質量分佈異常會導致局部重力場的變化，進而影響大地水準面的形狀。正的大地水準面異常表示該處的大地水準面高於參考橢球體，通常與下方質量過剩（密度較高）或地函上湧有關；負異常則表示大地水準面低於參考橢球體，通常與下方質量虧損（密度較低）或地函下沉有關。

(b) 西太平洋俯衝帶的自由空氣重力異常特徵及其成因 (6%)

• 觀測特徵：

  • 海溝處的負異常 (Negative anomalies at trenches)：在深海海溝（如馬里亞納海溝）附近，Observations of the free-air gravity anomaly profiles across the Western Pacific subduction zone show a belt of large negative anomalies along the deep-sea trenches。這意味著海溝下方存在密度較低的物質。
  • 海溝向海嘯側的正異常 (Positive anomalies on the seaward side)：而在海溝的「海嘯側」（即俯衝板塊的下方，面向海洋的一側），則顯示出正異常。

• 成因解釋：

  • 海溝處的負異常：
    1. 海溝地形 (Trench Topography)：海溝本身是一個非常深的凹陷，意味著上方海水柱的質量非常大。這會導致局部重力值較低，經過標準改正後，形成負的自由空氣異常。

核心觀念

本題考查一維、穩態導熱地溫曲線（geotherm）。

穩態條件為 $\partial T/\partial t=0$，且熱擴散率滿足

$$\kappa=\frac{k}{\rho c_p}.$$

因此原方程式可化為

$$0=\frac{A}{\rho c_p}+\frac{k}{\rho c_p}\frac{d^2T}{dz^2},$$

即

$$k\frac{d^2T}{dz^2}+A=0.$$

題目中的地表熱流單位應解讀為 $70\times10^{-3}\ \mathrm{W\,m^{-2}}$，因為熱流密度的正確單位是 $\mathrm{W\,m^{-2}}$。

---

(a) 地溫曲線 $T(z)$

取 $z$ 為向下的深度，地表為 $z=0$，並令地表溫度

$$T(0)=0^\circ\mathrm{C}.$$

由

$$\frac{d^2T}{dz^2}=-\frac{A}{k}$$

積分一次：

$$\frac{dT}{dz}=-\frac{A}{k}z+C_1.$$

以地表熱流密度 $q_s$ 作為邊界條件。因為 $z$ 軸向下，向下的溫度梯度所對應的向上熱流為

$$q_s=k\left.\frac{dT}{dz}\right|_{z=0},$$

故

$$C_1=\frac{q_s}{k}.$$

再積分一次：

$$T(z)=-\frac{A}{2k}z^2+\frac{q_s}{k}z+C_2.$$

由 $T(0)=0$ 得 $C_2=0$，所以地溫曲線為

$$\boxed{ T(z)=\frac{q_s}{k}z-\frac{A}{2k}z^2 }$$

其中

$$q_s=70\times10^{-3}\ \mathrm{W\,m^{-2}}, \qquad A=2\times10^{-8}\ \mathrm{W\,m^{-3}}, \qquad k=4\ \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}.$$

代入數值：

$$T(z)= \frac{0.070}{4}z -\frac{2\times10^{-8}}{2(4)}z^2.$$

因此

$$\boxed{ T(z)=0.0175z-2.5\times10^{-9}z^2 }$$

其中 $z$ 必須以公尺代入，$T$ 的單位為攝氏度；溫差以 K 表示時數值相同。

若以公里為單位，令 $z_{\rm km}$ 表示深度（km），則

$$\boxed{ T(z_{\rm km}) = 17.5z_{\rm km} -0.0025z_{\rm km}^2 \quad{}^\circ\mathrm{C} }$$

此曲線向下彎曲，原因是均勻內熱源使熱流隨深度增加而逐漸減少：

$$q(z)=q_s-Az.$$

---

(b) 與玄武岩及橄欖岩固相線比較

由圖 1 可見，玄武岩固相線約位於 $1100$–$1600^\circ\mathrm{C}$ 的範圍；橄欖岩固相線則約由 $1800^\circ\mathrm{C}$ 起，並隨深度增加而上升。

本題地溫曲線在淺部的溫度梯度約為