本題主要測試水文學基礎概念，包含水庫模式、基流分離及集水區平均雨量計算方法。

(a) 馬斯金更法 (Muskingum method) 的假設條件：
馬斯金更法是一種常用的河川流量預報模式，其核心概念是假設河川某斷面之蓄水量變化等於該斷面之入流量與出流量之差。具體假設如下：

1. 蓄水量與流量之線性關係：假設河段的蓄水量 $S$ 與該斷面的平均流量 $Q$ 之間呈線性關係，即 $S = K Q + C$。更常用的形式是將蓄水量與入流 $I$ 和出流 $Q$ 連結，即 $S = K [x I + (1-x) Q]$，其中 $K$ 為蓄留時間常數， $x$ 為流量加權係數。
2. 定常參數：假設參數 $K$ 和 $x$ 在所考慮的時間範圍內為常數，不隨時間變化。
3. 無地下水補給或損失：假設在所考慮的河段內，沒有顯著的地下水補給或損失，即所有流量變化僅由上游的入流與下游的出流造成。
4. 均勻分布：假設河段內的入流與出流是均勻分布的，或者說，可以透過加權平均來代表整個河段的狀況。

(b) 水平池面水庫演算法 (level-pool reservoir) 的假設條件：
水平池面水庫演算法是用於模擬水庫調節功能的模式，其基本假設如下：

1. 水平池面：假設水庫的水面在任何時候都是水平的，即水庫內的水位變化只與總蓄水量有關，而與水庫的長度或寬度無關。這也意味著水庫的容積 $V$ 與水位 $h$ 之間存在一個單一的函數關係，$V = A(h)h$，其中 $A(h)$ 是在水位 $h$ 時的水平水面面積。
2. 無滲漏或蒸發：在某些簡化模型中，可能假設水庫沒有滲漏損失或蒸發損失，或者這些損失可以被合併計入其他出流項。
3. 出流與水位的關係：假設水庫的出流（如洩洪、放水等）僅由當前的水庫水位決定，即 $Q_{out} = f(h)$。
4. 入流與出流的質量平衡：水庫的蓄水量變化等於淨入流量（入流量減去出流量），即 $\frac{dV}{dt} = Q_{in} - Q_{out}$。

(c) 常用之基流分離 (baseflow separation) 的方法概念：
基流是指地下水流滲入河道，是降雨事件之間也持續存在的河川流量成分。基流分離的目的是將總流量分解為基流和地表徑流。常用的方法概念包括：

1. 固定底床滲漏法 (Fixed Base Method)：此方法假設基流是緩慢、持續地滲入河道，並且在沒有降雨事件時，基流會逐漸衰減。常見的作法是繪製總流量歷線，在降雨事件之間，以平滑曲線連接低流量點，該曲線即代表基流。
2. 指數衰減法 (Recession Curve Analysis)：此方法基於基流衰減的指數特性，即在沒有補給的情況下，基流的衰減速率與當前的基流量成正比。常數 $K$ 或 $C$ 可以從基流衰減曲線中估計。公式常為 $Q_t = Q_0 e^{-at}$ 或 $Q_t = Q_0 (1+at)^{-1}$。

核心觀念

本題考查：

1. 單位歷線法的線性比例原理。
2. 疊加原理：不同時段有效降雨所產生的逕流歷線可以相加。
3. 固定損失法：
   $P_e=\max(P-I_a,0)$
   其中 $P_e$ 為有效降雨，$I_a$ 為固定損失。
4. 基流與直接逕流歷線相加：
   $Q_{\text{total}}=Q_{\text{direct}}+Q_b$

題目給的是「2 小時單位歷線」，因此需將降雨以連續 2 小時為一組整理。

以下採水文學常用定義：單位歷線代表 1 cm（10 mm）有效降雨 所造成的直接逕流歷線。

設單位歷線為 $U(t)$：

$t$（hr）	0	1	2	3	4	5	6
$U(t)$（cms）	0	100	250	200	100	50	0

每 $1$ mm 有效降雨所對應的流量倍率為：

$\frac{1}{10}$

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解題方法

因為單位歷線的有效降雨歷時為 2 小時，所以將每連續 2 小時的有效降雨量合併，再分別乘上單位歷線並依時間平移，最後相加。

若 2 小時有效降雨量為 $R_e$ mm，則其直接逕流歷線為：

$Q(t)=\frac{R_e}{10}U(t)$

本題基流量固定為：

$Q_b=5\text{ cms}$

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（a）降雨無損失

有效降雨

因為降雨無損失，所以全部降雨均為有效降雨：

時段	降雨量（mm）	有效降雨量（mm）
第 1 小時	2	2
第 2 小時	5	5
第 3 小時	5	5
第 4 小時	3	3

依 2 小時為一組：

$R_{e,1}=2+5=7\text{ mm}$

$R_{e,2}=5+3=8\text{ mm}$

因此第一個 2 小時降雨區塊的倍率為：

$\frac{7}{10}=0.7$

第二個 2 小時降雨區塊的倍率為：

$\frac{8}{10}=0.8$

第二個降雨區塊相對於第一個區塊延遲 2 小時。

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直接逕流歷線

直接逕流為：

$Q_d(t)=0.7U(t)+0.8U(t-2)$

其中 $U(t-2)$ 表示單位歷線向右平移 2 小時。

$t$（hr）	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
$0.7U(t)$	0	70	175	140	70	35	0	0	0
$0.8U(t-2)$	0	0	0	80	200	160	80	40	0
$Q_d(t)$（cms）	0	70	175	220	270	195	80	40	0

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加入基流

$Q(t)=Q_d(t)+5$

$t$（hr）	0	1	2	3	4	5	6	7	8
直接逕流（cms）	0	70	175	220	270	195	80	40	0
基流（cms）	5	5	5	5	5	5	5	5	5

核心觀念

本題考查：

• 侷限含水層抽水造成的洩降。
• 不透水邊界的「鏡像井法（method of images）」。
• Cooper–Jacob 直線法計算儲水係數 $S$ 與流通係數 $T$。
• Cooper–Jacob 法的適用條件。

以下採抽水量 $Q=0.04\ \mathrm{m^3/s}$ 計算。

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(a) 不透水邊界修正

解題方法

不透水邊界須滿足邊界法向流量為零：

$$\frac{\partial h}{\partial n}=0$$

因此可在不透水邊界另一側設置一口「鏡像抽水井」，其位置為真實抽水井對邊界的鏡射位置，且鏡像井抽水量與真實抽水井相同。

此方法稱為鏡像井法，並依地下水流動的疊加原理，將真實抽水井與鏡像井造成的洩降相加。

本題幾何關係

抽水井至不透水邊界：

$$X_w=1000\ \mathrm{m}$$

觀測井距抽水井：

$$r_1=d=800\ \mathrm{m}$$

觀測井至鏡像井距離：

$$r_2=2X_w-d$$ $$r_2=2(1000)-800=1200\ \mathrm{m}$$

因此，觀測井的總洩降為兩口等量抽水井洩降之和。

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(b) 計算 $S$ 與 $T$

1. 觀測洩降

原水頭：

$$h_0=107\ \mathrm{m}$$

12 小時後：

$$s_{12}=107-104.70=2.30\ \mathrm{m}$$

24 小時後：

$$s_{24}=107-103.05=3.95\ \mathrm{m}$$

因此：

$$\Delta s=3.95-2.30=1.65\ \mathrm{m}$$

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2. 計算流通係數 $T$

對真實井與鏡像井分別使用 Cooper–Jacob 式：

$$s=A\log_{10}\left(\frac{2.25Tt}{r^2S}\right)$$

其中：

$$A=\frac{2.30Q}{4\pi T}$$

兩口井的洩降相加後，時間變化斜率為：

$$\Delta s = 2A\log_{10}\left(\frac{t_2}{t_1}\right)$$

所以：

$$T= \frac{2.30Q}{4\pi} \cdot \frac{2\log_{10}(t_2/t_1)}{\Delta s}$$

代入：

$$t_2/t_1=24/12=2$$ $$T= \frac{2.30(0.04)}{4\pi} \cdot \frac{2\log_{10}2}{1.65}$$ $$\boxed{T\approx 6.68\times10^{-4}\ \mathrm{m^2/s}}$$

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3. 計算儲水係數 $S$

兩口井的總洩降可寫為：

$$s = 2A\log_{10} \left( \frac{2.25Tt}{Sr_1r_2} \right)$$

先計算：

核心觀念

本題考查 Green-Ampt 入滲模型。假設土壤上方形成積水後，濕潤鋒面以深度 $L$ 向下推進，濕潤區為飽和狀態。累積入滲量為

$$F=\Delta\theta L$$

其中，入滲能力為

$$f(t)=K\left(1+\frac{\psi\Delta\theta}{F(t)}\right)$$

累積入滲量與時間的關係為

$$F(t)=Kt+\psi\Delta\theta \ln\left(1+\frac{F(t)}{\psi\Delta\theta}\right)$$

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（a）各參數意義

• $L$：濕潤鋒面向下移動的深度。
• $\psi$：濕潤鋒面處的土壤吸力水頭。
• $K$：土壤的水力傳導係數；濕潤區近似為飽和狀態，因此採用飽和水力傳導係數。
• $\eta$：土壤孔隙率，亦可視為飽和體積含水量 $\theta_s$。
• $\theta_i$：降雨開始前土壤的初始體積含水量。
• $\Delta\theta$：濕潤鋒面通過前後的含水量差，即土壤缺水量：

$$\Delta\theta=\eta-\theta_i$$

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（b）積水時間

設降雨強度為 $i$，且 $i>K$。

在尚未積水前，供水量等於降雨量，因此

$$F_p=it_p$$

積水開始的條件為降雨強度等於入滲能力：

$$i=K\left(1+\frac{\psi\Delta\theta}{F_p}\right)$$

整理得積水開始時的累積入滲量：

$$F_p=\frac{K\psi\Delta\theta}{i-K}$$

代入 $F_p=it_p$，可得積水時間：

$$\boxed{ t_p=\frac{K\psi\Delta\theta}{i(i-K)} }$$

若 $i\leq K$，降雨強度不超過土壤入滲能力，則不會發生積水。

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（c）開始入滲後二小時的入滲能力與累積入滲量

已知

$$i=5\ \text{cm/h},\qquad \psi=16.7\ \text{cm}$$ $$K=0.65\ \text{cm/h},\qquad \Delta\theta=0.340$$

先計算：