109 年 國立臺灣大學地質科學系碩士班應用地質組《水文學（A）》

本題為概念性問答題，主要在於測試考生對水文學中幾個基本且重要的觀念的理解程度，包含設計暴雨、設計流量、機率密度函數參數估計以及入滲計算方法。

(1) 設計暴雨 (Design Storm) 的方法：
設計暴雨是指在進行水文分析、水利設施設計（如橋梁、排水系統、水庫溢洪道等）時，所預設的、足以代表某特定頻率或重現期洪水事件的降雨強度與歷時。

兩種方法：
a. 歷史暴雨法 (Historical Storm Method)：

• 方法：選取歷史上觀測到的、具有代表性的最大降雨事件，並將其強度、歷時、空間分布等特徵作為設計暴雨的基礎。
• 優勢：基於實際觀測資料，較為真實地反映了特定地區可能發生的極端降雨情況。
• 限制：歷史資料可能不完整或無法涵蓋所有極端情況；難以保證歷史上的最大值就是未來可能發生的最大值；對於長期規劃或氣候變遷下的設計，歷史資料的代表性可能不足。

b. તીવ્રતા-歷時-頻率 (Intensity-Duration-Frequency, IDF) 曲線法：

• 方法：利用地區歷史降雨資料，建立降雨強度與歷時、重現期的關係曲線（IDF 曲線）。根據設計的重現期和所需模擬的歷時，從 IDF 曲線查出對應的降雨強度，進而合成設計暴雨的雨量過程。常用的合成方法有 SCS 方法（SCS Storm Method）或極值理論（如 Gumbel 分布）推算。
• 優勢：能夠根據所需的重現期來設計暴雨，具有較強的預設性；適用於資料較少或需要標準化設計的場合。
• 限制：IDF 曲線本身是基於統計推算的，存在不確定性；合成的雨量過程（如 SCS 曲線）可能與實際的空間分布和降雨過程有所差異；需要足夠的歷史降雨資料來建立準確的 IDF 曲線。

(2) 設計流量 (Design Flow) 的方法：
設計流量是指在進行水利工程設計時，所假設的、足以代表某特定頻率或重現期洪水事件的河流流量。

兩種方法：
a. 歷史洪水流量法 (Historical Flood Flow Method)：

• 方法：選取歷史上觀測到的最大洪水流量資料，根據統計分析（如極值分析）選定某個重現期的流量作為設計流量。
• 優勢：基於實際觀測資料，較為真實。
• 限制：歷史資料可能不完整或未能涵蓋最極端情況；適用性受限於觀測時段長度。

b. 降雨-逕流模型法 (Rainfall-Runoff Model Method)：

• 方法：首先確定設計暴雨（如前述方法），然後利用水文模型（如 SCS 模型、Tank 模型、Horton 模型等）模擬該設計暴雨在集水區產生的逕流過程，計算出設計流量。
• 優勢：能夠結合降雨和集水區特性來模擬洪水過程，更具物理基礎；可以模擬不同重現期的洪水。
• 限制：模型的準確性依賴於模型的參數化和輸入資料的品質；模型的選擇和應用需要專業知識。

(3) 機率密度函數 (PDF) 參數的方法：
在水文學中，常使用機率分布來描述極端事件（如洪水、降雨）的發生機率。機率密度函數 (PDF) 是描述這些機率分布的數學函數，其參數需要從觀測資料中估計。

核心觀念

本題綜合考查：

1. 基流分離與直接逕流歷線。
2. 直接逕流體積與有效降雨深度之換算。
3. 單位歷線法。
4. Thiessen polygon 空間平均降雨。
5. Horner 降雨強度公式。
6. 有效降雨與單位歷線之摺合。

集水區為邊長 $10\ \text{km}$ 的正方形，因此：

$$A=10\times 10=100\ \text{km}^2 =1.0\times 10^8\ \text{m}^2$$

表中 $a,b,c$ 顯示採用的 Horner 公式為：

$$P=\frac{a}{(t+b)^c}$$

其中 $P$ 為降雨強度，單位為 $\text{mm/hr}$；$t$ 為分鐘。題目文字中的公式若未列出次方 $c$，則表中的 $c$ 將無法使用。

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解題方法

（1）直接逕流量與有效降雨深度

流量歷線起始及結束流量皆為 $10\ \text{m}^3/\text{s}$，故採用恒定基流：

$$Q_b=10\ \text{m}^3/\text{s}$$

直接逕流量為：

$$Q_d=Q-Q_b$$

時間（hr）	$Q$（m³/s）	$Q_d$（m³/s）
0	10	0
1	36	26
2	110	100
3	186	176
4	183	173
5	100	90
6	30	20
7	10	0
8	10	0

以梯形法計算直接逕流歷線下的面積：

$$\begin{aligned} \int Q_d\,dt &=\frac{0+26}{2}(1) +\frac{26+100}{2}(1) +\frac{100+176}{2}(1)\\ &\quad+\frac{176+173}{2}(1) +\frac{173+90}{2}(1) +\frac{90+20}{2}(1)\\ &\quad+\frac{20+0}{2}(1) \end{aligned}$$ $$=585\ \text{m}^3\cdot\text{s}$$

因每一時間間隔為 $1$ 小時：

$$V_d=585\times3600 =2.106\times10^6\ \text{m}^3$$

有效降雨深度為：

$$P_e=\frac{V_d}{A} =\frac{2.106\times10^6}{1.0\times10^8} =0.02106\ \text{m}$$

因此：

$$\boxed{P_e=2.106\ \text{cm}}$$

順帶可得本場降雨總量：

$$P=1.2+1.4+1.3=3.9\ \text{cm}$$

本場降雨的有效降雨率為：

$$r_e=\frac{2.106}{3.9}=0.54$$

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（2）1 小時、1 公分有效降雨單位歷線

單位歷線定義為「$1$ 公分有效降雨所造成的直接逕流歷線」。

因此，將直接逕流歷線各流量除以有效降雨深度 $2.106\ \text{cm}$：

$$U(t)=\frac{Q_d(t)}{2.106}$$

時間（hr）	$Q_d$（m³/s）	1 cm 單位歷線 $U$（m³/s）
0	0	0
1	26	12.35
2	100	47.48
3	176	83.57
4	173	82.15
5	90	42.74
6	20	9.50
7	0	0
8	0	0

故 1 小時延時、1 公分有效降雨單位歷線為：

$$\boxed{ U(t)= (0,\ 12.35,\ 47.48,\ 83.57,\ 82.15,\ 42.74,\ 9.50,\ 0,\ 0) }$$

單位為 $\text{m}^3/\text{s}$。

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（3）3 小時設計暴雨

甲、Thiessen 權重

將三個雨量站依距離平分線切割集水區，得到各站 Thiessen 面積約為：

雨量站	Thiessen 面積（km²）	權重
Gauge 1	48.94	0.4894
Gauge 2	26.17	0.2617
Gauge 3	24.90	0.2490
合計	100.00	1.0000

乙、各站 Horner 降雨強度

取 $t=60,120,180$ 分鐘。

以 Gauge 1 為例：

$$P_1(1\text{ hr}) =\frac{832.24}{(60+14.81)^{0.61}} =59.92\ \text{mm/hr}$$

計算結果如下：

核心觀念

Muskingum 法將河道蓄水量 $S$ 表示為入流量 $I$ 與出流量 $Q$ 的線性組合：

$$S=K\left[XI+(1-X)Q\right]$$

其中：

• $K$：蓄水時間常數，單位為時間；
• $X$：權重因子，通常介於 $0$ 與 $0.5$ 之間；
• $XI+(1-X)Q$：代表河段蓄水量的加權流量。

河段基本連續方程式為：

$$\frac{dS}{dt}=I-Q$$

將蓄水關係式代入連續方程式，即可建立 Muskingum 洪水演算公式。

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（1）Muskingum 洪水演算法關係式推導

由蓄水量關係式：

$$S=K\left[XI+(1-X)Q\right]$$

對時間微分：

$$\frac{dS}{dt} = K\left[ X\frac{dI}{dt}+(1-X)\frac{dQ}{dt} \right]$$

另一方面，依連續方程式：

$$\frac{dS}{dt}=I-Q$$

因此：

$$K\left[ X\frac{dI}{dt}+(1-X)\frac{dQ}{dt} \right] =I-Q$$

以有限時間間距 $\Delta t$ 進行離散化，並採用梯形積分，可得：

$$S_2-S_0 = \frac{\Delta t}{2} \left[ (I_0-Q_0)+2(I_1-Q_1)+(I_2-Q_2) \right]$$

蓄水量亦可寫成：

$$S_j=K\left[XI_j+(1-X)Q_j\right] \qquad (j=0,1,2)$$

故：

$$K\left\{ X(I_2-I_0)+(1-X)(Q_2-Q_0) \right\} = \frac{\Delta t}{2} \left[ (I_0-Q_0)+2(I_1-Q_1)+(I_2-Q_2) \right]$$

這就是以 Muskingum 法進行洪水演算的基本離散關係。

整理為標準演算形式：

$$S_{t+\Delta t} = S_t+\frac{\Delta t}{2} \left[ (I_t-Q_t)+(I_{t+\Delta t}-Q_{t+\Delta t}) \right]$$

又因為：

$$S_t=K[XI_t+(1-X)Q_t]$$

以及：

$$S_{t+\Delta t} = K[XI_{t+\Delta t}+(1-X)Q_{t+\Delta t}]$$

可得：

$$Q_{t+\Delta t} = C_0I_{t+\Delta t} +C_1I_t +C_2Q_t$$

其中：

$$C_0= \frac{\Delta t/2+KX} {K(1-X)+\Delta t/2}$$ $$C_1= \frac{\Delta t/2-KX} {K(1-X)+\Delta t/2}$$ $$C_2= \frac{K(1-X)-\Delta t/2} {K(1-X)+\Delta t/2}$$

且：

$$C_0+C_1+C_2=1$$

題目所給的微分形式：

$$K=\frac{\partial t}{\partial\left(\ln \frac{I}{Q}\right)}$$

表示蓄水時間常數 $K$ 可由洪水歷線上時間 $t$ 與流量比值 $I/Q$ 的關係求得。題目中的 $\lambda$ 未另行定義，因此實際計算 $K$ 與 $X$ 時，應直接使用 Muskingum 蓄水關係式與連續方程式。

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核心觀念

Horton 入滲公式為

$$f(t)=f_c+(f_o-f_c)e^{-kt}$$

其中：

• $f_o$：初始入滲能力；
• $f_c$：最終入滲能力；
• $k$：衰減常數；
• $f(t)$：$t$ 時刻的入滲能力。

Horton 曲線必須滿足

$$f_o>f_c,\qquad \frac{df}{dt}=-k(f_o-f_c)e^{-kt}<0$$

因此，入滲能力應隨時間單調遞減。

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（1）估算 Horton 公式參數

表 1 資料為：

$t$（hr）	1	2	3	4
$P$（cm/hr）	2.0	4.2	3.0	1.8

若將 $P$ 視為入滲能力 $f(t)$，則資料在 $t=1$ 至 $t=2$ 小時由 $2.0$ 增加至 $4.2$ cm/hr，違反 Horton 曲線必須單調遞減的條件：

$$P(2)>P(1)$$

因此，這四筆資料不可能由同一組精確的 $(f_o,f_c,k)$ 完全符合：

$$P(t)=f_c+(f_o-f_c)e^{-kt}$$

此外，題目沒有指定估算方式，例如：

• 非線性最小平方法；
• 取初始值與穩定值估算；
• 忽略異常資料後回歸；
• 或以某三筆資料解三元方程式。

不同估算方法會得到不同參數，故表 1 資料不足以決定唯一的 Horton 參數。正式作答時，應先指出表中數值或欄位很可能有誤植。

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（2）積水時間與累積入滲量

表 2 的欄位標示為 $f$，代表入滲能力：

$t$（hr）	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
$f$（cm/hr）	4.50	2.48	1.45	0.93	0.67	0.54	0.47	0.44	0.42	0.41	0.40

積水時間 $t_p$

積水時間的判定條件為：

$$i(t_p)=f(t_p)$$

其中 $i(t)$ 為降雨強度，$f(t)$ 為入滲能力。若

$$i(t)>f(t)$$

便會開始積水。

核心觀念

本題考查「均勻補注下之地下水流」的一維 Dupuit 近似：

• 地下水層厚度為 $h(x)$。
• 水力傳導係數為 $K$。
• 單位寬度流量為 $q(x)$。
• 均勻補注量為 $W$，因此連續方程為

$$\frac{dq}{dx}=W$$

• 依達西定律，地下水流向取 $x$ 軸正向時：

$$q=-Kh\frac{dh}{dx} =-\frac{K}{2}\frac{d h^2}{dx}$$

圖中左、右兩端水頭分別為

$$h(0)=h_0,\qquad h(L)=h_L$$

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（1）地下水面與單寬流量之關係

由連續方程：

$$\frac{dq}{dx}=W$$

積分得

$$q(x)=q_1+Wx$$

其中 $q_1=q(0)$ 為左端流量。

又由達西定律：

$$q=-\frac{K}{2}\frac{d h^2}{dx}$$

因此

$$\frac{d h^2}{dx} =-\frac{2}{K}(q_1+Wx)$$

由 $x=0$ 積分至任意位置 $x$：

$$h^2(x) =h_0^2-\frac{2q_1}{K}x-\frac{W}{K}x^2$$

代入右端邊界條件 $h(L)=h_L$：

$$h_L^2 =h_0^2-\frac{2q_1}{K}L-\frac{W}{K}L^2$$

解得

$$q_1=\frac{K(h_0^2-h_L^2)}{2L}-\frac{WL}{2}$$

代回後，地下水面方程為

$$\boxed{ h^2(x) =h_0^2-\frac{h_0^2-h_L^2}{L}x +\frac{W}{K}x(L-x) }$$

單位寬度流量則為

$$\boxed{ q(x)=q_1+Wx }$$

亦可寫成

$$\boxed{ q(x) =\frac{K(h_0^2-h_L^2)}{2L} +W\left(x-\frac{L}{2}\right) }$$

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（2）計算 $q_1$、$q_2$

已知

$$W=5\ \text{mm/day}=0.005\ \text{m/day}$$ $$K=5\ \text{m/day},\qquad L=800\ \text{m}$$ $$h_0=15\ \text{m},\qquad h_L=12\ \text{m}$$

先計算兩端水頭平方差：

$$h_0^2-h_L^2=15^2-12^2=225-144=81$$

左端流量：

$$q_1 =\frac{5(81)}{2(800)} -\frac{(0.005)(800)}{2}$$ $$q_1=0.253125-2 =-1.746875\ \text{m}^2/\text{day}$$

由 $q_2=q_1+WL$：

本題為概念性問答題，主要在於測試考生對水文學中幾個基本且重要的觀念的理解程度，包含設計暴雨、設計流量、機率密度函數參數估計以及入滲計算方法。

(1) 設計暴雨 (Design Storm) 的方法：
設計暴雨是指在進行水文分析、水利設施設計（如橋梁、排水系統、水庫溢洪道等）時，所預設的、足以代表某特定頻率或重現期洪水事件的降雨強度與歷時。

兩種方法：
a. 歷史暴雨法 (Historical Storm Method)：

• 方法：選取歷史上觀測到的、具有代表性的最大降雨事件，並將其強度、歷時、空間分布等特徵作為設計暴雨的基礎。
• 優勢：基於實際觀測資料，較為真實地反映了特定地區可能發生的極端降雨情況。
• 限制：歷史資料可能不完整或無法涵蓋所有極端情況；難以保證歷史上的最大值就是未來可能發生的最大值；對於長期規劃或氣候變遷下的設計，歷史資料的代表性可能不足。

b. તીવ્રતા-歷時-頻率 (Intensity-Duration-Frequency, IDF) 曲線法：

• 方法：利用地區歷史降雨資料，建立降雨強度與歷時、重現期的關係曲線（IDF 曲線）。根據設計的重現期和所需模擬的歷時，從 IDF 曲線查出對應的降雨強度，進而合成設計暴雨的雨量過程。常用的合成方法有 SCS 方法（SCS Storm Method）或極值理論（如 Gumbel 分布）推算。
• 優勢：能夠根據所需的重現期來設計暴雨，具有較強的預設性；適用於資料較少或需要標準化設計的場合。
• 限制：IDF 曲線本身是基於統計推算的，存在不確定性；合成的雨量過程（如 SCS 曲線）可能與實際的空間分布和降雨過程有所差異；需要足夠的歷史降雨資料來建立準確的 IDF 曲線。

(2) 設計流量 (Design Flow) 的方法：
設計流量是指在進行水利工程設計時，所假設的、足以代表某特定頻率或重現期洪水事件的河流流量。

兩種方法：
a. 歷史洪水流量法 (Historical Flood Flow Method)：

• 方法：選取歷史上觀測到的最大洪水流量資料，根據統計分析（如極值分析）選定某個重現期的流量作為設計流量。
• 優勢：基於實際觀測資料，較為真實。
• 限制：歷史資料可能不完整或未能涵蓋最極端情況；適用性受限於觀測時段長度。

b. 降雨-逕流模型法 (Rainfall-Runoff Model Method)：

• 方法：首先確定設計暴雨（如前述方法），然後利用水文模型（如 SCS 模型、Tank 模型、Horton 模型等）模擬該設計暴雨在集水區產生的逕流過程，計算出設計流量。
• 優勢：能夠結合降雨和集水區特性來模擬洪水過程，更具物理基礎；可以模擬不同重現期的洪水。
• 限制：模型的準確性依賴於模型的參數化和輸入資料的品質；模型的選擇和應用需要專業知識。

(3) 機率密度函數 (PDF) 參數的方法：
在水文學中，常使用機率分布來描述極端事件（如洪水、降雨）的發生機率。機率密度函數 (PDF) 是描述這些機率分布的數學函數，其參數需要從觀測資料中估計。

核心觀念

本題整合四個水文學重點：

1. 由流量歷線分離基流，計算直接逕流體積。
2. 由集水區面積換算有效降雨深度。
3. 以直接逕流歷線除以有效降雨深度，建立單位歷線。
4. 以徐昇氏法計算集水區平均降雨，再以單位歷線與設計暴雨進行摺合。

集水區為邊長 $10\ \text{km}$ 的正方形，因此：

$$A=10\times 10=100\ \text{km}^2=1.0\times10^8\ \text{m}^2$$

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（1）直接逕流量與有效降雨深度

1. 分離基流

流量歷線在暴雨前後皆為 $10\ \text{m}^3/\text{s}$，故取基流：

$$Q_b=10\ \text{m}^3/\text{s}$$

直接逕流量為：

$$Q_d=Q-Q_b$$

時間（hr）	0	1	2	3	4	5	6	7	8
$Q$（m³/s）	10	36	110	186	183	100	30	10	10
$Q_d$（m³/s）	0	26	100	176	173	90	20	0	0

2. 計算直接逕流體積

以梯形法積分，時間間距為 $1\ \text{hr}=3600\ \text{s}$：

$$V_d = 3600\left[ \frac{0+26}{2} +\frac{26+100}{2} +\frac{100+176}{2} +\frac{176+173}{2} +\frac{173+90}{2} +\frac{90+20}{2} +\frac{20+0}{2} \right]$$ $$V_d = 3600(585) = 2.106\times10^6\ \text{m}^3$$

因此，直接逕流量為：

$$\boxed{V_d=2.106\times10^6\ \text{m}^3}$$

3. 計算有效降雨深度

$$P_e=\frac{V_d}{A} = \frac{2.106\times10^6}{1.0\times10^8} = 0.02106\ \text{m}$$ $$\boxed{P_e=21.06\ \text{mm}=2.106\ \text{cm}}$$

補充而言，總降雨深度為：

$$P=1.2+1.4+1.3=3.9\ \text{cm}$$

因此事件平均損失深度為：

$$P_L=3.9-2.106=1.794\ \text{cm}$$

若採整場暴雨固定損失假設，平均每小時有效降雨深度為：

$$P_{e,h}=\frac{2.106}{3}=0.702\ \text{cm/hr}$$

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（2）1 小時延時、1 公分有效降雨單位歷線

嚴格而言，單一場三小時暴雨資料無法唯一反推出完全獨立的 1 小時單位歷線；本題依考試常用的離散近似，將直接逕流歷線以總有效降雨深度 $2.106\ \text{cm}$ 歸一化。

單位歷線公式為：

$$U(t)=\frac{Q_d(t)}{P_e} = \frac{Q_d(t)}{2.106}$$

計算結果如下：

時間（hr）	$Q_d$（m³/s）	1 cm 單位歷線 $U$（m³/s）
0	0	0
1	26	12.35
2	100	47.48
3	176	83.57
4	173	82.15
5	90	42.74
6	20	9.50
7	0	0
8	0	0

故 1 小時時間間距之單位歷線為：

$$\boxed{ U= (0,\ 12.35,\ 47.48,\ 83.57,\ 82.15,\ 42.74,\ 9.50,\ 0,\ 0) }$$

單位為 $\text{m}^3/\text{s}$，其意義為每 $1\ \text{cm}$ 有效降雨所造成的流量歷線。

快速驗算

單位歷線體積應相當於集水區 $1\ \text{cm}$ 降雨：

$$V_U=A(0.01)=1.0\times10^6\ \text{m}^3$$

而原直接逕流體積除以 $2.106$：

$$\frac{2.106\times10^6}{2.106} = 1.0\times10^6\ \text{m}^3$$

符合單位歷線定義。

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（3）集水區 3 小時設計暴雨

1. 徐昇氏權重

將三個雨量站的垂直平分線與集水區邊界相交，可得各站控制面積約為：

雨量站	控制面積（km²）	徐昇氏權重
Gauge 1	48.94	0.489
Gauge 2	26.17	0.262
Gauge 3	24.89	0.249
合計	100.00	1.000

因此：

$$\boxed{ w_1=0.489,\qquad w_2=0.262,\qquad w_3=0.249 }$$

2. Horner 公式

表中列有 $a,b,c$ 三個參數，因此採標準 Horner 公式：

$$P(t)=\frac{a}{(t+b)^c}$$

其中 $P$ 為平均降雨強度，單位為 $\text{mm/hr}$；$t$ 以分鐘計。

各站降雨強度如下：