112 年 國立臺灣大學大氣系碩士班甲組《天氣動力(一)》

核心觀念

本題考查兩個基本平衡關係：

1. 地轉平衡：水平氣壓梯度力與科氏力平衡。
2. 靜力平衡：垂直方向氣壓梯度力與重力平衡。

將靜力平衡式代入地轉風公式，再對垂直座標微分，即可得到 thermal wind equation（熱成風方程）。此處的「熱成風」不是另一種獨立的風，而是不同高度地轉風的向量差。

以下採用壓力座標 $(x,y,p)$，並假設：

• 大尺度運動滿足地轉平衡；
• 大氣滿足靜力平衡；
• 氣體可視為理想氣體；
• $f$ 在研究區域內近似為常數。

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解題方法與推導

1. 地轉風關係

在壓力座標中，水平地轉平衡可寫成

$$f\boldsymbol{k}\times \boldsymbol{V}_g=-\nabla_p\Phi$$

其中：

• $\boldsymbol{V}_g=(u_g,v_g)$：地轉風；
• $f$：科氏參數；
• $\boldsymbol{k}$：鉛直向上的單位向量；
• $\Phi=gz$：位勢；
• $\nabla_p$：固定壓力面上的水平梯度。

展開成分量式：

$$u_g=-\frac{1}{f}\frac{\partial \Phi}{\partial y}\bigg|_p$$ $$v_g=\frac{1}{f}\frac{\partial \Phi}{\partial x}\bigg|_p$$

2. 靜力平衡關係

壓力座標中的靜力平衡式為

$$\frac{\partial \Phi}{\partial p}=-\alpha$$

其中 $\alpha$ 是比容。由理想氣體定律，

$$\alpha=\frac{RT}{p}$$

因此，

$$\frac{\partial \Phi}{\partial p}=-\frac{RT}{p}$$

3. 對地轉風作壓力微分

對 $u_g$ 對壓力微分：

$$\frac{\partial u_g}{\partial p} = -\frac{1}{f} \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial\Phi}{\partial p} \right)$$

代入靜力平衡式：

$$\frac{\partial u_g}{\partial p} = -\frac{1}{f} \frac{\partial}{\partial y} \left( -\frac{RT}{p} \right)$$

在固定 $p$ 下，$R$ 與 $p$ 為常數，所以

$$\frac{\partial u_g}{\partial p} = \frac{R}{fp}\frac{\partial T}{\partial y}$$

同理，對 $v_g$ 對壓力微分：

$$\frac{\partial v_g}{\partial p} = \frac{1}{f} \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial\Phi}{\partial p} \right)$$

因此，

$$\frac{\partial v_g}{\partial p} = -\frac{R}{fp}\frac{\partial T}{\partial x}$$

合併成向量形式：

$$\boxed{ \frac{\partial \boldsymbol{V}_g}{\partial p} = \frac{R}{fp} \left( \frac{\partial T}{\partial y}, -\frac{\partial T}{\partial x} \right) }$$

利用

$$\nabla_p T = \left( \frac{\partial T}{\partial x}, \frac{\partial T}{\partial y} \right)$$

以及

$$\nabla_p T\times\boldsymbol{k} = \left( \frac{\partial T}{\partial y}, -\frac{\partial T}{\partial x} \right)$$

可得壓力座標形式：

$$\boxed{ \frac{\partial \boldsymbol{V}_g}{\partial p} = \frac{R}{fp} \nabla_p T\times\boldsymbol{k} }$$

更常用的對數壓力形式為：

$$\boxed{ \frac{\partial \boldsymbol{V}_g}{\partial\ln p} = \frac{R}{f} \nabla_p T\times\boldsymbol{k} }$$

因為

$$\frac{\partial}{\partial\ln p} = p\frac{\partial}{\partial p}$$

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層間積分形式

若下層壓力為 $p_1$，上層壓力為 $p_2$，則積分後得到

$$\boldsymbol{V}_g(p_2)-\boldsymbol{V}_g(p_1) = \frac{R}{f} \int_{\ln p_1}^{\ln p_2} \nabla_p T\times\boldsymbol{k}\,d\ln p$$

若該層內水平溫度梯度可視為近似常數，則

$$\boxed{ \boldsymbol{V}_g(p_2)-\boldsymbol{V}_g(p_1) = \frac{R}{f} \nabla_p T\times\boldsymbol{k} \ln\left(\frac{p_2}{p_1}\right) }$$

其中上層壓力較小，因此通常 $p_2<p_1$。

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高度座標形式

由靜力平衡與理想氣體定律，

$$\frac{\partial p}{\partial z}=-\rho g$$

且

$$\rho=\frac{p}{RT}$$

所以

此題要求推導連續性方程並解釋其物理含義。連續性方程是質量守恆在流體力學中的體現，對於分析流體運動至關重要。

推導過程：

我們考慮一個固定大小的控制體積 $\Delta V$。根據質量守恆定律，進入控制體積的質量率減去離開控制體積的質量率，必須等於控制體積內質量隨時間的變化率。

設控制體積為 $\Delta V = \Delta x \Delta y \Delta z$。
控制體積內的質量為 $m = \rho \Delta V = \rho \Delta x \Delta y \Delta z$。
質量隨時間的變化率為 $\frac{\partial m}{\partial t} = \frac{\partial (\rho \Delta x \Delta y \Delta z)}{\partial t}$。

考慮流體的速度向量為 $\mathbf{v} = (u, v, w)$，其中 $u, v, w$ 分別是 $x, y, z$ 方向的速度分量。

質量流入與流出：
考慮 $x$ 方向的質量流：
在 $x$ 面（左側）的質量流入率（假設速度 $u$ 指向右）：
$Q_{in, x} = (\rho u) \Delta y \Delta z$
在 $x+\Delta x$ 面（右側）的質量流出率：
$Q_{out, x} = (\rho (u + \frac{\partial u}{\partial x} \Delta x)) \Delta y \Delta z$
$x$ 方向的淨質量變化率（流入減流出）：
$Q_{net, x} = Q_{in, x} - Q_{out, x} = \rho u \Delta y \Delta z - (\rho u + \frac{\partial (\rho u)}{\partial x} \Delta x) \Delta y \Delta z = -\frac{\partial (\rho u)}{\partial x} \Delta x \Delta y \Delta z$

同理，考慮 $y$ 方向的質量流：
$Q_{net, y} = -\frac{\partial (\rho v)}{\partial y} \Delta x \Delta y \Delta z$

考慮 $z$ 方向的質量流：
$Q_{net, z} = -\frac{\partial (\rho w)}{\partial z} \Delta x \Delta y \Delta z$

總的淨質量變化率：
將三個方向的淨質量變化率相加：
$Q_{net, total} = Q_{net, x} + Q_{net, y} + Q_{net, z}$
$Q_{net, total} = -\left( \frac{\partial (\rho u)}{\partial x} + \frac{\partial (\rho v)}{\partial y} + \frac{\partial (\rho w)}{\partial z} \right) \Delta x \Delta y \Delta z$

根據質量守恆，這個總淨質量變化率必須等於控制體積內質量隨時間的變化率：
$Q_{net, total} = \frac{\partial (\rho \Delta x \Delta y \Delta z)}{\partial t}$
$-\left( \frac{\partial (\rho u)}{\partial x} + \frac{\partial (\rho v)}{\partial y} + \frac{\partial (\rho w)}{\partial z} \right) \Delta x \Delta y \Delta z = \frac{\partial \rho}{\partial t} \Delta x \Delta y \Delta z$

除以 $\Delta x \Delta y \Delta z$，得到連續性方程（質量守恆形式）：
$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial (\rho u)}{\partial x} + \frac{\partial (\rho v)}{\partial y} + \frac{\partial (\rho w)}{\partial z} = 0$
這也可以寫成向量形式：
$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0$

此題要求推導環流定理（Kelvin's circulation theorem）並解釋其物理意義。環流定理是流體力學中描述無黏性、無渦的流體中環量如何隨時間變化的重要定理。

定理陳述：
在一個無黏性、無渦的流體中，如果流體內的力只有壓力梯度力，那麼環量（circulation）的變化率為零，即環量是一個守恆量。

推導過程：

我們從流體力學的動量方程（Navier-Stokes 方程，但忽略黏滯力）出發：
$\rho \left( \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v} \right) = -\nabla p + \rho \mathbf{g}$
其中 $\rho$ 是密度，$\mathbf{v}$ 是速度向量，$t$ 是時間，$p$ 是壓力，$\mathbf{g}$ 是重力加速度。

考慮一個封閉的曲線 $C$，它隨流體一起運動。曲線 $C$ 所圍繞的區域稱為流體粒子。
環量（Circulation）定義為沿著封閉曲線 $C$ 的速度向量 $\mathbf{v}$ 的線積分：
$\Gamma = \oint_C \mathbf{v} \cdot d\mathbf{s}$
其中 $d\mathbf{s}$ 是曲線 $C$ 上的微小線段向量。

我們需要計算環量隨時間的變化率 $\frac{d\Gamma}{dt}$。
$\frac{d\Gamma}{dt} = \frac{d}{dt} \oint_C \mathbf{v} \cdot d\mathbf{s}$
由於曲線 $C$ 隨流體一起運動，我們需要考慮積分路徑隨時間的變化。這可以使用 Material Derivative（隨體導數）的思想來處理。
$\frac{d\Gamma}{dt} = \oint_C \frac{d\mathbf{v}}{dt} \cdot d\mathbf{s} + \oint_C \mathbf{v} \cdot \frac{d(d\mathbf{s})}{dt}$
這裡 $\frac{d\mathbf{v}}{dt}$ 是速度向量的隨體導數，它等於動量方程中的 $\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v}$。
而 $\frac{d(d\mathbf{s})}{dt}$ 表示曲線微段向量隨時間的變化率。由於 $d\mathbf{s}$ 是曲線 $C$ 上的微小向量，且曲線 $C$ 隨流體運動，可以認為 $d\mathbf{s}$ 上的速度是 $\mathbf{v}$。因此，曲線上的點移動時，該點上的速度向量 $\mathbf{v}$ 發生變化，且曲線本身也在變形。
一個更嚴謹的處理方式是利用 Kelvin's Theorem 的推導。

Kelvin's Circulation Theorem 推導：

從動量方程：
$\frac{d\mathbf{v}}{dt} = -\frac{1}{\rho} \nabla p + \mathbf{g}$
我們對環量 $\Gamma$ 求時間導數：
$\frac{d\Gamma}{dt} = \frac{d}{dt} \oint_C \mathbf{v} \cdot d\mathbf{s}$
使用 Stokes' theorem，環量也可以表示為曲面 $S$ 上的渦度 $\boldsymbol{\omega} = \nabla \times \mathbf{v}$ 的面積分：
$\Gamma = \oint_C \mathbf{v} \cdot d\mathbf{s} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{v}) \cdot d\mathbf{A} = \iint_S \boldsymbol{\omega} \cdot d\mathbf{A}$
其中 $S$ 是由曲線 $C$ 圍成的任何曲面，$d\mathbf{A}$ 是曲面上的面積微向量。

現在我們對這個面積分求時間導數：
$\frac{d\Gamma}{dt} = \frac{d}{dt} \iint_S \boldsymbol{\omega} \cdot d\mathbf{A}$
同樣，由於曲面 $S$ 隨流體運動，我們需要使用隨體導數。
$\frac{d\Gamma}{dt} = \iint_S \frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt} \cdot d\mathbf{A} + \oint_C \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v} \cdot d\mathbf{s}$
其中 $\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt} = \frac{\partial \boldsymbol{\omega}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla) \boldsymbol{\omega}$ 是渦度向量的隨體導數。

接下來，我們需要計算渦度向量的隨體導數 $\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}$。
從 $\boldsymbol{\omega} = \nabla \times \mathbf{v}$，我們有：
$\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt} = \frac{d}{dt} (\nabla \times \mathbf{v})$
這一步的推導比較複雜，涉及向量恆等式。
考慮渦度輸運方程：
$\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt} = (\boldsymbol{\omega} \cdot \nabla) \mathbf{v} - \boldsymbol{\omega} (\nabla \cdot \mathbf{v}) + \frac{1}{\rho^2} (\nabla p \times \nabla \rho) + \nu \nabla^2 \boldsymbol{\omega}$
其中 $\nu$ 是運動黏滯係數。

對於無黏性流體 ($\nu = 0$)，且沒有密度梯度與壓力梯度乘積的叉乘項（例如，對於聲學波或等密度面上的運動，或者對於單相均勻流體），則渦度輸運方程簡化為：
$\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt} = (\boldsymbol{\omega} \cdot \nabla) \mathbf{v} - \boldsymbol{\omega} (\nabla \cdot \mathbf{v})$

定理的關鍵假設：

1. 無黏性流體： 忽略黏滯力。
2. 力僅由壓力梯度和重力引起： 且重力可以保守化（即 $\mathbf{g} = -\nabla \Phi$，其中 $\Phi$ 是重力勢）。
3. 流體粒子（即曲線 $C$）是封閉的： 質量不會從曲線內部流失或進入。
4. 初始條件： 如果流體一開始是無渦的（即 $\boldsymbol{\omega} = 0$），那麼它將永遠是無渦的。

簡化推導（針對特定情況，如無散流體）：

如果流體是無散的，即 $\nabla \cdot \mathbf{v} = 0$（例如，不可壓縮流體），則渦度輸運方程進一步簡化為：
$\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt} = (\boldsymbol{\omega} \cdot \nabla) \mathbf{v}$
如果初始時流體是無渦的，則 $\boldsymbol{\omega} = 0$ 處處成立，則 $\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt} = 0$，意味著渦度始終為零。

考慮壓力梯度和重力：
動量方程：
$\frac{d\mathbf{v}}{dt} = -\frac{1}{\rho} \nabla p + \mathbf{g}$
我們對 $\mathbf{v}$ 進行 curl 操作：
$\nabla \times \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \nabla \times \left( -\frac{1}{\rho} \nabla p + \mathbf{g} \right)$
$\nabla \times \frac{d\mathbf{v}}{dt} = -\nabla \times \left( \frac{1}{\rho} \nabla p \right) + \nabla \times \mathbf{g}$
利用向量恆等式 $\nabla \times (\phi \nabla \psi) = (\nabla \phi) \times (\nabla \psi)$，其中 $\phi = 1/\rho$ 且 $\psi = p$。
$-\nabla \times \left( \frac{1}{\rho} \nabla p \right) = -(\nabla \frac{1}{\rho}) \times (\nabla p) = -(\frac{\partial (1/\rho)}{\partial x}, \frac{\partial (1/\rho)}{\partial y}, \frac{\partial (1/\rho)}{\partial z}) \times (\frac{\partial p}{\partial x}, \frac{\partial p}{\partial y}, \frac{\partial p}{\partial z})$
這個叉乘項 $\nabla (1/\rho) \times \nabla p$ 稱為密度-壓力梯度項。如果這個項為零（例如，當密度僅是壓力的函數，即 $\rho = \rho(p)$，這在單相流體中通常成立，因為壓力決定了密度；或者當密度梯度與壓力梯度平行時），那麼這個項為零。
另外，如果重力是保守的 ($\mathbf{g} = -\nabla \Phi$)，則 $\nabla \times \mathbf{g} = 0$。
在這些條件下，方程變為：
$\nabla \times \frac{d\mathbf{v}}{dt} = 0$
這意味著，如果初始的環量為零，則它將始終為零。

更嚴謹的推導（使用隨體導數和 Stokes 定理）：
$\frac{d\Gamma}{dt} = \frac{d}{dt} \oint_C \mathbf{v} \cdot d\mathbf{s}$
考慮在時間 $dt$ 之後，曲線 $C$ 變為 $C'$，速度向量變為 $\mathbf{v} + d\mathbf{v}$。
$\Gamma(t+dt) = \oint_{C'} (\mathbf{v} + d\mathbf{v}) \cdot (d\mathbf{s} + d(d\mathbf{s}))$
$\Gamma(t+dt) \approx \oint_{C'} \mathbf{v} \cdot d\mathbf{s} + \oint_{C'} d\mathbf{v} \cdot d\mathbf{s} + \oint_{C'} \mathbf{v} \cdot d(d\mathbf{s})$
其中 $\oint_{C'} \mathbf{v} \cdot d\mathbf{s}$ 是新曲線上的速度積分。
使用 Stokes 定理，$\Gamma = \iint_S \boldsymbol{\omega} \cdot d\mathbf{A}$。
$\frac{d\Gamma}{dt} = \iint_S \frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt} \cdot d\mathbf{A} + \oint_C \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v} \cdot d\mathbf{s}$
如果我們假設 $\nabla \times (\frac{1}{\rho} \nabla p) = 0$ (例如，當 $\rho$ 是 $p$ 的函數時，$\nabla (1/\rho) \times \nabla p = 0$) 且 $\nabla \times \mathbf{g} = 0$，則渦度輸運方程為 $\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt} = (\boldsymbol{\omega} \cdot \nabla) \mathbf{v} - \boldsymbol{\omega} (\nabla \cdot \mathbf{v})$。
考慮 $\frac{d\Gamma}{dt}$ 的推導：
$\frac{d\Gamma}{dt} = \frac{d}{dt} \iint_S \boldsymbol{\omega} \cdot d\mathbf{A}$
$\frac{d\Gamma}{dt} = \iint_S \left( \frac{\partial \boldsymbol{\omega}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla) \boldsymbol{\omega} \right) \cdot d\mathbf{A} + \oint_C \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v} \cdot d\mathbf{s}$
如果我們使用渦度輸運方程 $\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt} = (\boldsymbol{\omega} \cdot \nabla) \mathbf{v} - \boldsymbol{\omega} (\nabla \cdot \mathbf{v})$，並代入 $\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}$ 的表達式，會發現 $\frac{d\Gamma}{dt} = 0$ 的條件比較複雜。

Kelvin's Theorem 的標準表述：
對於一個無黏性、無渦的流體，如果作用在流體上的力是保守力（如壓力梯度力和重力），並且密度 $\rho$ 僅是壓力的函數 ($\rho = \rho(p)$)，那麼任何隨流體運動的封閉曲線的環量是守恆的。

證明（在 $\rho = \rho(p)$ 的條件下）：
動量方程：
$\rho \frac{d\mathbf{v}}{dt} = -\nabla p + \rho \mathbf{g}$
$\frac{d\mathbf{v}}{dt} = -\frac{1}{\rho} \nabla p + \mathbf{g}$
取旋度（curl）：
$\nabla \times \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \nabla \times \left(-\frac{1}{\rho} \nabla p + \mathbf{g}\right)$

Ekman pumping（艾克曼抽吸）是海洋學和氣象學中一個重要的概念，描述了由於 Ekman 層內的摩擦渦度效應，導致水體或空氣質量在垂直方向上的移動。

物理含義：

Ekman pumping 的核心在於 Ekman 層內的渦度平衡。Ekman 層是指在地轉平衡被摩擦效應破壞的薄邊界層（在地表或海底）。在地表的 Ekman 層，風應力是主要的驅動力，科氏力、壓力梯度力（如果存在）和摩擦力也起作用。

1. Ekman 螺旋 (Ekman Spiral)： 當一個水平風（或地轉風）作用在一個黏性流體（如海洋或大氣邊界層）的頂部時，由於科氏力和黏性力的作用，流體會產生一個速度剖面。在北半球，風應力會驅動表層水體（或空氣）向右偏，而隨後的每一層水體（或空氣）都會比其上方一層向右偏得更多，且速度減小。這樣就形成了一個螺旋狀的速度剖面，稱為 Ekman 螺旋。

2. Ekman 流 (Ekman Transport)： 由於 Ekman 螺旋的結構，在 Ekman 層內，淨的水體（或空氣）質量輸送方向與風應力（或風）方向垂直。在北半球，這個淨輸送方向（稱為 Ekman 輸送）相對於風應力向右偏 90 度。在南半球，則向左偏 90 度。

3. Ekman Pumping 的機制：

   • 水平輻合/輻散： 如果 Ekman 輸送導致水體（或空氣）在某個區域匯聚（輻合），那麼為了維持質量守恆，水體（或空氣）必須向上運動，即產生向上抽吸 (pumping up)。
   • 水平輻散/輻合： 如果 Ekman 輸送導致水體（或空氣）在某個區域發散（輻散），那麼為了維持質量守恆，水體（或空氣）必須向下運動，即產生向下抽吸 (pumping down)。

   數學表達：
   Ekman pumping 的強度通常由垂直速度 $w_e$ 表示，它與 Ekman 層頂部的水平速度散度有關。
   在海洋中，考慮風應力 $\boldsymbol{\tau}_w$。Ekman 輸送的速度向量 $\mathbf{v}_{Ekman}$ 與風應力近似垂直（在北半球右偏 90 度）。
   如果水平風（或風應力）在某區域存在輻合 ($\nabla_h \cdot \mathbf{v}_{Ekman} < 0$)，則 Ekman pumping 向上。
   如果水平風（或風應力）在某區域存在輻散 ($\nabla_h \cdot \mathbf{v}_{Ekman} > 0$)，則 Ekman pumping 向下。

準地轉 (Quasi-geostrophic, QG) 近似是一種在天氣動力學和氣象學中廣泛使用的簡化模型，用於描述大尺度、中緯度、非絕熱過程相對較弱的大氣運動。它在保持大氣動力學核心特徵的同時，顯著簡化了原始方程組。

優點 (Advantages)：

1. 簡化了原始方程組： 原始的原始方程組（primitive equations）包含五個非線性偏微分方程，求解複雜。準地轉近似將其簡化為兩個主要的（或經過組合的）非線性偏微分方程，通常是準地轉渦度方程 (QG vorticity equation) 和準地轉বিশুদ্ধ (QG thermodynamic equation)。這大大降低了數值模擬和理論分析的計算複雜度。

2. 揭示了大尺度動力學關鍵過程： 儘管進行了簡化，準地轉系統仍然能夠捕捉到大尺度天氣系統（如氣旋和反氣旋）的演變中最重要的動力學過程，包括：

   • 渦度平流 (Vorticity Advection)： 渦度方程直接描述了渦度的輸送，這是氣旋發展的關鍵。
   • **熱力平流 (Thermodynamic Advection)：**বিশুদ্ধ方程描述了溫度和濕度的平流，這與天氣系統的發展（如鋒區的形成和發展）密切相關。
   • 地轉失衡與非地轉風： 準地轉理論允許存在與地轉風略有偏差的非地轉風（ageostrophic wind），這是引起渦度變化和天氣系統發展的關鍵。
   • 垂直運動與天氣現象： 通過耦合準地轉渦度方程和বিশুদ্ধ方程，可以推導出垂直速度，從而解釋雲和降水的形成。

3. 便於理論分析和概念發展： 簡化的方程組使得對大氣波動（如 Rossby 波）、斜壓不穩定性 (baroclinic instability) 等基本概念進行深入的理論分析和理解成為可能。許多早期關於大氣波動和天氣系統形成的重要理論都是在準地轉框架下發展的。

4. 良好的數值模擬基礎： 準地轉模型是許多數值天氣預報模型的基礎，儘管現代模型已經發展到更複雜的非靜力、非地轉框架，但準地轉概念仍然是理解和構建這些模型的基石。

限制 (Limitations)：

1. 適用尺度限制： 準地轉近似的有效性依賴於幾個假設，其中最重要的是運動的尺度必須足夠大，以至於科氏力相對於運動速度和尺度是重要的。它不適用於小尺度天氣現象，如雷暴、龍捲風，因為在這些尺度上，慣性力遠大於科氏力，地轉平衡假設失效。

2. 中緯度假設： 準地轉近似的推導通常基於中緯度地區（例如，科氏參數 $f$ 隨緯度變化，$\beta$ 平面近似）。

這一題主要考驗學生對大氣穩定度的基本觀念，包含逆溫的定義、逆溫時的穩定度、不同類型逆溫的圖示，以及條件性不穩定的判別。

(a) 「逆溫」的定義

逆溫 (Temperature Inversion) 是指在垂直方向上，氣溫隨高度增加而增加的現象。正常情況下，對流層的氣溫隨高度增加而遞減（稱為遞減率）。當某一層大氣的溫度隨高度增加而增加時，就稱為逆溫。

【答案】
逆溫是指大氣中某一層次的溫度隨高度增加而增加的現象。

(b) 逆溫現象時的垂直對流

當探空曲線出現逆溫現象時，垂直對流不易發生。

原因說明：
逆溫層形成了一個「溫度結構上的蓋子」。根據浮力原理，溫度較高的空氣密度較小，而溫度較低的空氣密度較大。

1. 浮力效應： 在逆溫層中，下方的空氣溫度較低（密度較大），上方的空氣溫度較高（密度較小）。若要讓下方的暖空氣（密度較小）上升，它必須克服上方較冷（密度較大）的空氣所造成的阻力。
2. 穩定結構： 這種溫度隨高度遞增的結構，使得較暖、較輕的空氣被困在上方，較冷、較重的空氣被壓在下方，形成一個非常穩定的結構。任何想要向上運動的氣塊，如果其溫度低於周圍環境，它會因為密度較大而下沉；即使它溫度略高於周圍，但如果它要穿過逆溫層，它會遇到溫度更高的環境，其浮力優勢會迅速減小甚至消失，導致它難以持續上升。
3. 對流抑制： 因此，逆溫層會強烈抑制垂直對流的發展。對流運動是通過氣塊的浮力驅動的，而逆溫層的穩定結構阻礙了氣塊的垂直運動。

[答案]
逆溫現象時，由於溫度隨高度遞增，形成穩定的結構，較暖、密度小的空氣位於上方，較冷、密度大的空氣位於下方，強烈抑制了氣塊的垂直運動，因此垂直對流不易發生。

(c) 兩種常見逆溫現象的垂直溫度曲線與露點溫度曲線

天氣分析上常見的逆溫現象有兩種：

1. 輻射逆溫 (Radiation Inversion)： 通常發生在晴朗、無風的夜晚，地面輻射冷卻效應導致近地面層空氣迅速降溫，而上層空氣溫度變化不大，從而形成逆溫。
2. 地形逆溫 (Inversion due to Topography)，或稱山谷逆溫 (Valley Inversion)： 通常發生在山谷地區。冷空氣比熱空氣密度大，會在夜間沿著山坡向下流動，聚集在山谷底部，使得山谷底部空氣冷，而山坡中部或上部的空氣相對較暖，形成逆溫。

圖示說明：

我們需要繪製溫度曲線 (T) 和露點溫度曲線 (Td)。

• 逆溫層： 在逆溫層區域，溫度曲線 T 隨高度增加而上升。
• 露點溫度： 露點溫度隨高度遞減。
• 穩定性判斷：
  • 如果 Td 曲線在 T 曲線的上方，表示空氣是過飽和的，可能會凝結成雲。
  • 如果 T 曲線在 Td 曲線之上，表示空氣是未飽和的。
  • 如果 T 和 Td 曲線在某高度相交，表示該高度空氣達到飽和，可能形成雲。

1. 輻射逆溫 (Radiation Inversion)：

• 特徵： 逆溫層通常較薄，主要集中在近地面幾十到幾百公尺。上層是正常的遞減率或接近絕熱遞減率。
• 溫度曲線 (T)： 在地面附近，溫度隨高度快速下降，然後在某高度（逆溫層頂部）達到最低點，之後隨高度增加而上升（形成逆溫），再往上可能恢復正常的遞減率。
• 露點曲線 (Td)： 露點溫度一般隨高度遞減。由於輻射冷卻主要影響近地面層，因此露點溫度通常在逆溫層底部附近最高，然後迅速下降。在逆溫層內，T 曲線始終在 Td 曲線之上，表示空氣未飽和，通常不會有雲。

繪圖：
（請想像一個圖，X 軸為溫度，Y 軸為高度）

• 在地面 (z=0) 處，T 和 Td 的值。
• 隨著高度 z 增加，T 曲線先下降，然後在逆溫層底部達到最低點。
• 在逆溫層內，T 曲線隨 z 增加而上升。

此題主要考驗對再分析資料 (Reanalysis Data)、大氣數值模式 (Numerical Weather Prediction Models) 和資料同化 (Data Assimilation) 等概念的理解，以及如何運用再分析資料進行天氣個案分析。

「再分析資料」、「大氣數值模式」及「資料同化」之間的關係：

1. 大氣數值模式 (Numerical Weather Prediction Models)：

   • 數值模式是基於大氣物理定律（如流體動力學、熱力學、輻射傳輸等）的一組數學方程，透過電腦進行求解，以預報未來大氣狀態（溫度、風、濕度、壓力等）的系統。
   • 數值模式需要一個準確的初始狀態（initial condition）才能進行預報。

2. 資料同化 (Data Assimilation)：

   • 數值模式的初始狀態並非直接來自觀測，因為觀測點稀疏且存在誤差。資料同化是一種技術，它將來自各種觀測（如地面站、探空氣球、衛星、雷達等）的數據，與數值模式的預報結果結合起來，以產生一個最優的、最接近真實大氣狀態的初始分析場 (analysis field)。
   • 資料同化技術的目的是：
     • 融合不同來源、不同時空解析度的觀測資料。
     • 修正模式預報中的誤差。
     • 產生一個在時間和空間上連續且物理上一致的大氣狀態場。

3. 再分析資料 (Reanalysis Data)：

   • 再分析資料是利用固定不變的歷史數據集（涵蓋數十年）和單一、一致的資料同化系統及數值模式，對過去的大氣狀態進行「重新分析」所生成的高度連續、完整且空間解析度較高的歷史大氣資料集。
   • 簡單來說，再分析資料就是一種「歷史天氣預報的後處理」，但它利用了當時所有可用的觀測資料和一套固定的模式與同化方法。

三者關係總結：

• 大氣數值模式是產生預報的工具。
• 資料同化是利用觀測資料改進數值模式初始場的技術。
• 再分析資料是利用一套固定的數值模式和資料同化系統，對過去一段長時間的觀測資料進行「後向預報」並融合的結果，生成一份連續、完整的歷史大氣狀態資料集。
• 可以說，再分析資料是資料同化技術應用於歷史觀測資料，並結合一套數值模式的結果。它提供了一個準確且一致的歷史大氣「初始狀態」的集合，供後續分析使用。

使用再分析資料分析歷史天氣個案的優點與缺點：

優點 (Advantages)：

1. 時空連續性與完整性： 再分析資料提供了一個在時間和空間上都非常連續且完整的歷史大氣狀態場（如溫度、風、濕度、壓力、勢高等），解析度通常比原始觀測資料高得多。這對於分析天氣系統的演變過程、追踪天氣系統的移動路徑、以及進行大尺度環流分析非常有幫助。
2. 一致性： 由於再分析過程使用了同一套資料同化系統和數值模式，因此不同時間點的資料具有高度的一致性，減少了因不同儀器、不同觀測方法或不同分析方法造成的系統性偏差。這對於研究氣候變化或長期天氣趨勢非常重要。
3. 包含模式預報資訊： 再分析資料不僅包含觀測資訊，也融合了數值模式的預報資訊。這意味著它在某些區域（如海洋、極地、高空）或某些變量（如風、勢能場）上，其準確性可能優於僅依賴稀疏觀測的分析。

此題要求說明在一個平均均勻的陸地、弱綜觀尺度環境下，大氣邊界層 (Atmospheric Boundary Layer, ABL) 的位溫 (Potential Temperature, $\theta$) 和混合比 (Mixing Ratio, $r$) 剖面可能出現的日夜變化，並解釋其原因。

背景知識：

• 大氣邊界層 (ABL)： 是大氣的最底層，直接受到地面影響，其特徵（如溫度、濕度、風）隨高度快速變化，並在一天內有顯著的日變化。ABL 的厚度和結構主要由地表通量（感熱、潛熱）和湍流混合決定。
• 位溫 ($\theta$)： 位溫是描述空氣乾絕熱變化的指標。在相同壓力下，位溫越高表示空氣越暖。其變化與感熱通量有關。
• 混合比 ($r$)： 表示單位質量乾空氣中所含的水蒸氣質量。其變化主要與水氣的水平平流和垂直輸送（包括蒸發、凝結、降水）有關。
• 弱綜觀尺度環境： 表示沒有強大的天氣系統（如鋒面、低壓槽）影響，大氣處於相對穩定或均勻的狀態，主要由局地熱力效應驅動。
• 日夜變化： 主要由太陽輻射加熱和地面向外輻射冷卻引起。

日變化：

1. 白天 (Daytime)：

• 地面受太陽輻射加熱： 陸地表面吸收太陽輻射，溫度升高。
• 感熱通量增加： 地表加熱近地面空氣，產生向上的感熱通量，使近地面空氣溫度升高。
• 湍流混合增強： 由於地面加熱和強烈的湍流混合，ABL 變厚。
• 位溫剖面：
  * 近地面層： 位溫隨高度遞減，且遞減率可能較大（白天暖空氣在底部，冷空氣在上方）。這形成了一個不穩定或對流不穩定 (convective instability) 的結構。
  * ABL 頂部： 可能存在一個溫度逆溫層（或稱混合層頂部），即位溫隨高度急劇增加，這是由白天混合層的發展和上方穩定空氣的限制造成的。
• 混合比剖面：
  * 近地面層： 由於蒸發和地表加熱，近地面層的水氣含量可能較高，混合比隨高度遞減（但遞減率可能不大）。
  * ABL 頂部： 混合比可能在 ABL 頂部附近急劇下降，因為上層空氣通常較乾燥。
• 總結白天： 白天 ABL 呈現一個混合層結構，近地面溫度高，位溫隨高度下降，水氣含量也隨高度下降。

2. 夜晚 (Nighttime)：

• 地面向外輻射冷卻： 陸地表面在沒有太陽輻射的情況下，會向外輻射熱量，導致地面溫度快速下降。
• 感熱通量減弱或變為負值： 近地面空氣失去熱量，溫度降低。
• 湍流混合減弱： 由於地面冷卻和缺乏太陽輻射加熱，湍流混合顯著減弱。
• ABL 變薄或分層： ABL 變薄，可能形成一個或多個穩定的層。
• 位溫剖面：
  * 近地面層： 形成輻射逆溫 (Radiation Inversion)。地面及近地面空氣溫度最低，隨高度增加溫度迅速升高，形成一個非常穩定的結構。位溫隨高度急劇增加。
  * ABL 頂部： 如果白天形成的混合層結構殘留，可能在逆溫層上方還存在一個較弱的穩定層。
• 混合比剖面：
  * 近地面層： 由於地面冷卻，水氣可能凝結（露珠、霜），或由於空氣運動減弱，水氣含量相對集中在近地面。混合比隨高度遞減。
  * 逆溫層內： 混合比通常隨高度遞減，且遞減率較小。

核心觀念

本題考查「潛在不穩定（potential instability）」及其與地形抬升、對流觸發的關係。

大氣穩定度可由位溫 $\theta$ 或相當位溫 $\theta_e$ 的垂直分布判斷：

• $\dfrac{\partial \theta}{\partial z}>0$：一般靜力穩定。
• $\dfrac{\partial \theta}{\partial z}=0$：中性。
• $\dfrac{\partial \theta}{\partial z}<0$：一般靜力不穩定。
• $\dfrac{\partial \theta_e}{\partial z}<0$：潛在不穩定。

相當位溫可近似表示為

$$\theta_e \approx \theta \exp\left(\frac{L_v q}{c_p T}\right),$$

其中 $\theta$ 為位溫、$L_v$ 為凝結潛熱、$q$ 為水氣含量、$c_p$ 為定壓比熱。$\theta_e$ 同時反映空氣的熱力狀態與水氣含量。

潛在不穩定並不表示空氣目前已經會自發對流，而是表示：氣層經過整體抬升、達到飽和並發生凝結後，可能轉變為對流不穩定。

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解題方法：由氣層整體抬升判斷

設一厚氣層原本未飽和，且低層空氣較暖、較潮濕。此時雖然氣層可能尚未出現立即的對流，但若其相當位溫隨高度降低：

$$\frac{\partial \theta_e}{\partial z}<0,$$

即代表較低層的空氣具有較大的溫度與水氣能量。

當整個氣層被抬升時：

1. 未飽和階段

   氣塊先以乾絕熱遞減率冷卻：

   $\Gamma_d=\frac{g}{c_p}\approx 9.8\ \mathrm{K\,km^{-1}}.$

   抬升至抬升凝結高度（LCL）後，水氣開始凝結。

2. 凝結與潛熱釋放

   凝結會釋放潛熱，使抬升中的空氣冷卻速度減慢，之後大致依濕絕熱遞減率冷卻：

   $\Gamma_m \approx 4\sim 7\ \mathrm{K\,km^{-1}}.$

3. 低層先飽和，高層後飽和

   由於低層空氣通常較暖且含有較多水氣，低層先達到飽和並凝結。低層凝結釋放的潛熱較多，使低層相對變暖；高層在尚未飽和前，仍主要依乾絕熱方式冷卻。

   因此，原本由下而上遞減的 $\theta_e$ 分布，在整體抬升並飽和後，會形成更有利於對流的溫度結構。若抬升後環境溫度遞減率滿足