111 年 國立臺灣大學大氣系碩士班甲組《氣候學》

此題主要探討 Manabe 於 1960 年代開發的輻射對流平衡（Radiative Convective Equilibrium, RCE）模型，以及其在模擬全球暖化中的應用與限制。

核心觀念：輻射平衡、對流傳輸、溫室效應、水氣的增溫回饋。

(a) RCE 模型模擬穩態垂直溫度剖面的方法

Manabe 的輻射對流平衡模型是一個一維（垂直方向）的簡化氣候模型，旨在模擬大氣的垂直溫度結構。其核心思想是讓模型達到輻射平衡與對流平衡的穩態。

1. 輻射過程 (Radiative Process)：模型中包含了長波輻射（地球向外散熱）和短波輻射（太陽輻射吸收）的計算。對於長波輻射，模型需考慮水氣 (H₂O) 和二氧化碳 (CO₂) 等主要溫室氣體的輻射效應。短波輻射則通常假設其吸收率與高度有關。
2. 對流過程 (Convective Process)：當垂直溫度梯度超過某個臨界值（例如，濕絕熱遞減率）時，大氣會變得不穩定，引發對流運動（如積雲）。對流是將熱量從低層大氣傳遞到高層大氣的有效機制。
3. 穩態模擬：模型透過迭代計算，讓輻射過程產生的加熱或冷卻，與對流過程傳輸的熱量相互作用，直到垂直溫度廓線不再隨時間改變，達到「穩態」。在穩態下，每一高度的淨加熱率（輻射加熱減去輻射冷卻）會被對流過程所抵銷，使得溫度廓線趨於穩定。
4. 計算加熱趨勢 (Heating Tendency)：在達到穩態前，模型會計算每一時間步長下，輻射效應在各個高度層造成的淨溫度變化率（即加熱趨勢）。如果某一層溫度因輻射效應而升高，而此時的溫度梯度已經超過了對流不穩定的臨界條件，則會觸發對流，將熱量向上輸送，直到溫度梯度減小至穩定狀態。
5. 假設與參數化 (Assumptions and Parameterization)：
   • 垂直一維：忽略水平方向的熱量輸送。
   • 對流參數化：將複雜的對流過程（如積雲的形成、消散、能量交換）簡化為一個參數化方案，例如假設當溫度遞減率超過濕絕熱遞減率時，會立即發生對流，並將低層較暖濕的空氣傳遞到高層，直到達到某種穩定狀態（如濕絕熱廓線）。
   • 輻射傳輸計算：通常採用簡化的輻射傳輸方案，只考慮主要的溫室氣體，並假設其吸收率與溫度、壓力、水氣含量等有關。
   • 穩態假設：模型尋求的是一個長期穩定的溫度分佈，忽略了時間上的變異性。
6. 需預設的因子 (Factors to be Prescribed)：
   • 大氣成分：溫室氣體（如 CO₂、H₂O）的濃度。
   • 行星反照率 (Albedo)：地表和雲的反射率。
   • 太陽常數 (Solar Constant)。
   • 地表特性：地表反照率、地表溫度（或透過能量平衡計算）。
   • 大氣的物理性質：比熱、密度等。
   • 對流的穩定度判準：例如濕絕熱遞減率。

總之，RCE 模型透過模擬輻射收支與對流傳輸之間的平衡，來決定穩定的垂直溫度結構。

【答案】模型透過迭代計算，同時考慮輻射加熱/冷卻與對流傳輸，使大氣達到輻射與對流的平衡狀態。計算加熱趨勢以觸發參數化的對流過程，將熱量從低層傳遞到高層，直到溫度廓線達到穩定。主要假設包括垂直一維、簡化的輻射傳輸、參數化的對流以及穩態。需預設大氣成分（溫室氣體濃度）、太陽輻射、行星反照率、地表特性、大氣物理性質及對流穩定度判準。

(b) CO₂ 增加導致對流層溫度升高的機制

雖然 CO₂ 的增加會增強大氣的長波輻射淨冷卻效應（因為 CO₂ 會吸收並再輻射地球向外散熱的長波輻射，其中一部分會射向太空，但另一部分會射回地表，造成淨冷卻），但對流層溫度卻會升高，這正是全球暖化的基本機制。

1. 增強的溫室效應 (Enhanced Greenhouse Effect)：CO₂ 是一種重要的溫室氣體，它能吸收並再輻射大氣排放的長波輻射。增加 CO₂ 濃度會增強大氣對地表長波輻射的吸收和再輻射，導致更多的熱量被困在低層大氣中，從而使地表和對流層的溫度升高。
2. 輻射平衡的移動 (Shift in Radiative Balance)：
   • 淨輻射冷卻的改變：在穩態下，大氣頂端的淨輻射收支為零。當 CO₂ 增加時，對流層吸收的長波輻射增加（來自地表和低層大氣），同時對流層向外太空散發的長波輻射減少。雖然 CO₂ 本身在對流層的輻射效應（吸收和再輻射）會產生淨冷卻（因為 CO₂ 吸收的輻射比它向太空散發的要多），但這個淨冷卻效應的「強度」通常不如對流層吸收來自地表和低層大氣的長波輻射所造成的「加熱」來得顯著，或者說，CO₂ 增加了對長波輻射的吸收，使得地表和低層大氣的溫度必須升高，才能重新建立起輻射平衡。
   • 輻射平衡點的上移：更精確地說，CO₂ 濃度的增加會使大氣的有效輻射層（也就是大氣中輻射散失到太空的那個平均高度）升高。由於溫度隨高度升高而降低（在對流層），有效輻射層的升高意味著在一個較冷的、較高的大氣層進行輻射平衡，為了維持地表能量平衡，地表溫度必須升高。
3. 對流過程的調節 (Adjustment of Convection)：當對流層溫度升高時，地表溫度也會升高。為了維持垂直的能量平衡，對流過程會隨之調整。對流將低層的熱量和水氣傳遞到高層，這個過程本身也在重新分配熱量。

此題主要探討熱帶深對流環境的垂直結構、對流對大尺度環境的影響，以及全球暖化對對流過程的可能改變。

核心觀念：濕位能、乾位能、對流雲、潛熱釋放、大氣能量與水氣輸送、全球暖化下的對流變化。

(a) 熱帶深對流環境的垂直結構：濕靜力能量 (h)、飽和濕靜力能量 (h)、乾靜力能量 (s)*

靜力能量 (static energy) 是描述大氣垂直運動和能量的重要物理量。由於大氣中常發生相變（水氣凝結），濕靜力能量 (moist static energy, h) 和飽和濕靜力能量 (saturation moist static energy, h*) 是描述對流環境的關鍵。

• 乾靜力能量 (Dry Static Energy, s)：
  $s = c_p T + gz$
  其中 $c_p$ 是定壓比熱，$T$ 是溫度，$g$ 是重力加速度，$z$ 是高度。它代表乾空氣的熱焓加上位能。在沒有水氣相變和輻射效應的理想情況下，乾靜力能量在絕熱過程中守恆。

• 濕靜力能量 (Moist Static Energy, h)：
  $h = c_p T + gz + Lq$
  其中 $L$ 是水氣凝結潛熱，$q$ 是水氣比濕 (mixing ratio)。它包含了乾靜力能量和水氣的潛熱能。在濕絕熱過程中（即水氣凝結釋放潛熱，但沒有水氣蒸發或輻射），濕靜力能量 $h$ 是守恆的。

• *飽和濕靜力能量 (Saturation Moist Static Energy, h)**：
  $h^* = c_p T + gz + Lq_s$
  其中 $q_s$ 是飽和水氣比濕。它代表在給定溫度和高度下，若空氣達到飽和狀態時所擁有的濕靜力能量。

垂直結構分析：

1. 乾靜力能量 (s)：

   • 地表附近：溫度較高，但高度最低，因此 $s$ 較小。
   • 高層（平流層底部）：溫度隨高度升高而升高（平流層），且高度高，因此 $s$ 隨高度顯著增加。
   • 總體趨勢：從地表向上，經過對流層（溫度隨高度降低），再到平流層（溫度隨高度升高），乾靜力能量 $s$ 呈現先減小後增大的趨勢，但整體而言，高層（平流層底部）的 $s$ 值遠大於地表。
   • 定量值：地表附近約 $c_p \times 290 \, \text{K} + 0 \approx 1011 \, \text{J/kg} + 0 \approx 1011 \, \text{kJ/kg}$。平流層底部（約 15-17 km）溫度約 200 K，高度約 15 km，則 $s \approx 1.005 \times 10^3 \times 200 \, \text{J/kg} + 9.8 \times 15000 \, \text{J/kg} \approx 201 + 147 = 348 \, \text{kJ/kg}$。這是一個簡化的計算，實際上平流層底部溫度約 200K，高度約 17km，所以 $s \approx 1.005 \times 10^3 \times 200 + 9.8 \times 17000 \approx 201 + 166.6 = 367.6 \, \text{kJ/kg}$。
   • 圖示：溫度隨高度先降後升，所以 $s$ 隨高度先降後升。

2. *飽和濕靜力能量 (h)**：

   • 地表附近：溫度高，水氣飽和比濕 $q_s$ 很高，因此 $h^*$ 較高。
   • 高層：溫度降低，水氣飽和比濕 $q_s$ 顯著降低。即使高度增加，低 $T$ 和低 $q_s$ 的影響更大，使得 $h^*$ 隨高度顯著降低。
   • 總體趨勢：$h^*$ 隨高度顯著遞減。
   • 定量值：地表附近（300 K, 0 km, $q_s \approx 27 \, \text{g/kg}$）：$h^* \approx 1.005 \times 10^3 \times 300 + 9.8 \times 0 + 2.5 \times 10^6 \times 0.027 \approx 301.5 + 67500 \approx 67.8 \, \text{kJ/kg}$。這計算有誤， $Lq_s$ 應為 $L \times q_s$。
   • 正確計算：地表（300K, 0km, $q_s \approx 27 \, \text{g/kg} = 0.027$）：$h^* \approx 1.005 \times 10^3 \times 300 \, \text{J/kg} + 2.5 \times 10^6 \, \text{J/kg} \times 0.027 \approx 301500 + 67500 \approx 369 \, \text{kJ/kg}$。
   • 高層（對流層頂，200K, 10km, $q_s \approx 0.1 \, \text{g/kg} = 0.0001$）：$h^* \approx 1.005 \times 10^3 \times 200 \, \text{J/kg} + 9.8 \times 10000 \, \text{J/kg} + 2.5 \times 10^6 \, \text{J/kg} \times 0.0001 \approx 201000 + 98000 + 250 \approx 300 \, \text{kJ/kg}$。
   • 實際趨勢：$h^*$ 隨高度約從 370 kJ/kg 降低到 300 kJ/kg。
   • 圖示：$h^*$ 隨高度遞減。

3. 濕靜力能量 (h)：

   • 地表附近：未飽和的空氣，$q < q_s$，所以 $h < h^*$。
   • 熱帶深對流環境：熱帶對流層底部通常暖濕，濕靜力能量 $h$ 較高。
   • 對流的影響：當空氣被抬升並達到飽和時，會釋放潛熱，使溫度升高，這會增加 $h$。然而，在濕絕熱過程中，$h$ 是守恆的。
   • 對流雲內：上升運動過程中，空氣冷卻達到飽和，水氣凝結釋放潛熱，使溫度比乾絕熱過程高，因此濕靜力能量 $h$ 守恆，但其值會高於周圍環境的乾靜力能量 $s$。
   • 熱帶深對流：在熱帶，由於地表溫度和濕度高，對流層底部的 $h$ 值很高。隨著上升，如果空氣保持濕絕熱，h 守恆。
   • 與 $h^*$ 的關係：在對流層中，通常 $h > h^*$ 是不可能的。實際情況是，由於水氣凝結，對流雲中的空氣溫度比周圍未飽和空氣的乾絕熱溫度高，但比飽和空氣的濕絕熱溫度低（或相等）。
   • 穩態下的熱帶：對流層底部 $h$ 值較高，約 370 kJ/kg。隨著上升，如果沒有水氣凝結，h 守恆。如果水氣凝結，h 守恆，但溫度比乾絕熱過程高。
   • 從地表到平流層底部：
     • 對流層：$h$ 隨高度大致保持恆定（濕絕熱過程），或略有增加（如果考慮潛熱釋放導致溫度升高）。通常 $h$ 的值在 300-370 kJ/kg 之間。
     • 平流層：對流結束後，空氣下沉或混合，$h$ 的值會隨 $s$ 值的增加而增加。
   • 圖示：對流層中，h 趨於平行於 $s$ 的趨勢，但數值較高。平流層底部，h 隨 s 增加。

總結垂直結構：

• s：從地表到對流層頂，s 先減小後增大。平流層底部 s 較高。
• h*：從地表到平流層底部，h* 隨高度顯著減小。
• h：在對流層中，h 隨高度近似恆定（濕絕熱過程），數值較高。在平流層中，h 隨 s 增加。

定量關係：

• 地表附近：$T \approx 300 \, \text{K}$, $z=0$, $s \approx 300 \, \text{kJ/kg}$, $h^* \approx 370 \, \text{kJ/kg}$。

核心觀念

本題考查地球氣候系統的「頂層大氣能量收支」與「經向能量輸送」：

1. TOA 淨向下輻射為

$$N(\phi)=S_{\downarrow}(\phi)-S_{\uparrow}(\phi)-OLR(\phi)$$

其中 $N(\phi)>0$ 表示該緯度帶淨吸收能量，$N(\phi)<0$ 表示淨放出能量。

2. 在穩態下，某緯度以南累積的淨輻射收支，必須由大氣與海洋向北輸送出去。因此，南半球低緯度及北半球低緯度的能量盈餘，會形成向北的經向能量輸送。

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(a) TOA 淨向下通量與經向能量輸送的關係

取向下輻射為正，穩態下由南極至緯度 $\phi$ 之間的淨輻射收支，等於穿越緯度 $\phi$ 向北的能量輸送：

$$\boxed{ F(\phi)=2\pi a^2\int_{-\pi/2}^{\phi}N(\phi')\cos\phi'\,d\phi' }$$

其中：

• $F(\phi)$：緯度 $\phi$ 的北向大氣與海洋總能量輸送，單位為 W；
• $a$：地球平均半徑；
• $N(\phi)$：TOA 淨向下輻射，單位為 W/m$^2$；
• $2\pi a^2\cos\phi\,d\phi$：緯度帶的面積。

微分形式為

$$\boxed{ \frac{dF}{d\phi}=2\pi a^2N(\phi)\cos\phi }$$

因此，若某緯度帶 $N>0$，往北累積的能量輸送增加；若 $N<0$，則表示該區域正在向外放熱，使北向輸送減少。

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(b) 計算 $30^\circ$N 的經向能量輸送

第一步：計算各緯度帶的淨向下輻射

依照

$$N=S_{\downarrow}-S_{\uparrow}-OLR$$

可得：

緯度帶	淨向下輻射 $N$（W/m$^2$）
$90^\circ$S\sim60^\circ$S$	$201.9-119.4-181.3=-98.8$
$60^\circ$S\sim$EQ	$361.8-96.6-249.0=16.2$
EQ$\sim30^\circ$N	$398.9-96.7-258.4=43.8$

其中南極高緯度為負值，代表該區域的向外長波及反射短波總量大於吸收的短波輻射。

第二步：計算各緯度帶面積權重

球面緯度帶面積為

$$A=2\pi a^2(\sin\phi_2-\sin\phi_1)$$

因此，從南極累積至 $30^\circ

此題主要探討角動量守恆在行星尺度運動中的應用、聖嬰現象對高空噴流的影響，以及羅斯比波的特性。

核心觀念：角動量守恆、科氏力、行星渦度、聖嬰現象、高空噴流、羅斯比波、臨界緯度。

(a) 角動量守恆計算緯向速度

一個在行星尺度上運動的氣塊，如果忽略摩擦力，其絕對渦度守恆（或角動量守恆）。角動量守恆是更容易理解和應用的概念。

絕對角動量 (Absolute Angular Momentum, AAM) $M$ 對於一個質量為 $m$ 的質點，相對於地球自轉軸，可以表示為：
$M = m \cdot r \cdot v_\lambda + m \cdot \Omega \cdot r^2 \cdot \cos\phi$
其中：

• $m$ 是氣塊質量
• $r$ 是氣塊到地軸的垂直距離，$r = R \cos\phi$ ($R$ 是地球半徑，$\phi$ 是緯度)
• $v_\lambda$ 是氣塊相對於地球表面的緯向速度 (zonal velocity)
• $\Omega$ 是地球自轉角速度 ($\approx 7.29 \times 10^{-5} \, \text{rad/s}$)
• $\phi$ 是緯度

在角動量守恆的假設下，氣塊從一個緯度 $\phi_1$ 移動到另一個緯度 $\phi_2$ 時，其絕對角動量保持不變。
$M_1 = M_2$
$m \cdot r_1 \cdot v_{\lambda 1} + m \cdot \Omega \cdot r_1^2 \cdot \cos\phi_1 = m \cdot r_2 \cdot v_{\lambda 2} + m \cdot \Omega \cdot r_2^2 \cdot \cos\phi_2$
可以消去 $m$。
$r_1 v_{\lambda 1} + \Omega r_1^2 \cos\phi_1 = r_2 v_{\lambda 2} + \Omega r_2^2 \cos\phi_2$

將 $r = R \cos\phi$ 代入：
$(R \cos\phi_1) v_{\lambda 1} + \Omega (R \cos\phi_1)^2 \cos\phi_1 = (R \cos\phi_2) v_{\lambda 2} + \Omega (R \cos\phi_2)^2 \cos\phi_2$
$R \cos\phi_1 v_{\lambda 1} + \Omega R^2 \cos^3\phi_1 = R \cos\phi_2 v_{\lambda 2} + \Omega R^2 \cos^3\phi_2$

題目給定：

• 初始位置：7°N ($\phi_1 = 7^\circ$)
• 初始狀態：相對於地表靜止，即 $v_{\lambda 1} = 0$。
• 最終位置：30°N ($\phi_2 = 30^\circ$)
• 要求：計算最終的緯向速度 $v_{\lambda 2}$。

代入公式：
$R \cos(7^\circ) \cdot 0 + \Omega R^2 \cos^3(7^\circ) = R \cos(30^\circ) v_{\lambda 2} + \Omega R^2 \cos^3(30^\circ)$
$\Omega R^2 \cos^3(7^\circ) = R \cos(30^\circ) v_{\lambda 2} + \Omega R^2 \cos^3(30^\circ)$

我們可以將 $R$ 消去，得到：
$\Omega R \cos^3(7^\circ) = \cos(30^\circ) v_{\lambda 2} + \Omega R \cos^3(30^\circ)$
$v_{\lambda 2} = \frac{\Omega R (\cos^3(7^\circ) - \cos^3(30^\circ))}{\cos(30^\circ)}$

這裡需要地球半徑 $R$ 和地球自轉角速度 $\Omega$ 的值。
$R \approx 6.36 \times 10^6 \, \text{m}$
$\Omega \approx 7.29 \times 10^{-5} \, \text{rad/s}$

計算角度值：
$\cos(7^\circ) \approx 0.9925$
$\cos(30^\circ) = \sqrt{3}/2 \approx 0.8660$

$\cos^3(7^\circ) \approx (0.9925)^3 \approx 0.9776$
$\cos^3(30^\circ) \approx (0.8660)^3 \approx 0.6495$

代入計算 $v_{\lambda 2}$：
$v_{\lambda 2} = \frac{(7.29 \times 10^{-5} \, \text{rad/s}) \times (6.36 \times 10^6 \, \text{m}) \times (0.9776 - 0.6495)}{0.8660}$
$v_{\lambda 2} = \frac{(4.64 \times 10^2 \, \text{m/s}) \times (0.3281)}{0.8660}$
$v_{\lambda 2} = \frac{152.3 \, \text{m/s}}{0.8660} \approx 175.9 \, \text{m/s}$

這個速度非常快，接近音速。這是一個理想化的計算，實際情況會受到摩擦力和其他物理過程的影響。在氣候學和氣象學中，這個計算通常用來解釋為何從低緯度移動到高緯度的空氣會獲得一個相對地表向東的動量（因為地表在較高緯度移動得慢）。

另一種推導（利用絕對渦度守恆）：
絕對渦度 $\zeta_{abs} = f + \zeta$ ($f$ 是科氏參數，$f = 2\Omega \sin\phi$)。
垂直方向的絕對渦度守恆：$\frac{d}{dt}(\zeta + f) = 0$。
或者，考慮單位質量氣塊的絕對角動量守恆：
$\frac{d}{dt} (r v_\lambda + \Omega r^2 \cos\phi) = 0$
將 $r = R \cos\phi$ 代入：
$\frac{d}{dt} (R \cos\phi v_\lambda + \Omega R^2 \cos^3\phi) = 0$
這意味著 $R \cos\phi v_\lambda + \Omega R^2 \cos^3\phi$ 在移動過程中保持恆定。
$R \cos\phi_1 v_{\lambda 1} + \Omega R^2 \cos^3\phi_1 = R \cos\phi_2 v_{\lambda 2} + \Omega R^2 \cos^3\phi_2$
這與上面的公式一致。

代入值：
$\phi_1 = 7^\circ$, $v_{\lambda 1} = 0$
$\phi_2 = 30^\circ$, $v_{\lambda 2} = ?$
$R = 6.36 \times 10^6 \, \text{m}$, $\Omega = 7.29 \times 10^{-5} \, \text{rad/s}$

$0 + \Omega R^2 \cos^3(7^\circ) = R \cos(30^\circ) v_{\lambda 2} + \Omega R^2 \cos^3(30^\circ)$
$v_{\lambda 2} = \frac{\Omega R^2 (\cos^3(7^\circ) - \cos^3(30^\circ))}{R \cos(30^\circ)} = \frac{\Omega R (\cos^3(7^\circ) - \cos^3(30^\circ))}{\cos(30^\circ)}$

核心觀念

本題分為兩部分：

1. Bucket model：以簡化的土壤水分儲存槽表示陸面水分收支，並將蒸發散、逕流與大氣模式連結。
2. 水汽停留時間：以大氣中水汽總量除以全球平均降水或蒸發通量，估算水分子平均留在大氣中的時間。

水汽停留時間定義為

$$\tau_v=\frac{M_v}{P}$$

其中：

• $\tau_v$：水汽停留時間；
• $M_v$：全球大氣水汽總量；
• $P$：全球平均降水質量通量。穩態下全球蒸發量與降水量相等，因此也可使用全球蒸發通量。

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（a）Bucket model 的概念與發展原因

1. 模型概念

Bucket model 將土壤視為一個具有有限容量的「水桶」，以土壤含水量表示桶內的水量：

• 降水 $P$：進入水桶；
• 蒸發散 $E$：由土壤與植被向大氣輸出水分；
• 逕流 $R$：水桶裝滿後，多餘水分流出；
• 土壤水分儲存量 $S$：桶內目前的水量；
• 最大土壤蓄水量 $S_{\max}$：水桶容量。

基本水分收支方程為

$$\frac{dS}{dt}=P-E-R$$

並且滿足

$$0\leq S\leq S_{\max}$$

當降水使 $S$ 超過 $S_{\max}$ 時，多出的水量轉化為逕流；當土壤水分不足時，蒸發散受到限制。可用概念式表示為

$$E=f(S)\,E_p$$

其中 $E_p$ 為由能量供應與大氣狀態決定的潛在蒸發散，$f(S)$ 為土壤濕度限制因子，且通常有

$$0\leq f(S)\leq 1$$

土壤越乾，$f(S)$ 越小，實際蒸發散越低。

2. 與能量循環的關係

陸面水分蒸發需要消耗能量，因此蒸發散會影響地表能量分配。地表可用能量大致分配為

$$R_n=H+\lambda E+G$$

其中：

• $R_n$：地表淨輻射；
• $H$：感熱通量；
• $\lambda E$：潛熱通量；
• $G$：土壤熱通量；
• $\lambda$：汽化潛熱。

因此，Bucket model 雖然主要描述水分收支，仍能透過蒸發散與潛熱通量影響地表溫度、感熱通量及大氣邊界層。

3. Manabe 在 1960 年代發展此模型的原因

早期氣候模式的主要問題是：

• 當時的電腦計算能力有限；
• 全球氣候模式的水平解析度較粗；
• 陸面觀測資料不足；
• 無法直接解析土壤、植被與地下水等複雜過程。

若氣候模式只處理大氣與海洋，陸面就無法合理提供蒸發、逕流及地表能量通量。Manabe 因此使用 Bucket model，以少量變數描述陸面水分狀態，讓氣候模式能夠具備基本的陸氣交互作用。

其重要價值在於：

1. 提供土壤水分的記憶效應；
2. 估算蒸發散與逕流；
3. 將降水、土壤水分與大氣水汽連結；
4. 以低計算成本改善全球氣候模擬。

4. 為何需要更複雜的陸面模式

Bucket model 將整個土壤與陸面過程高度簡化，無法充分表現下列現象：

• 不同土壤質地造成的入滲、蓄水與排水差異；
• 植被根系深度與葉面積的差異；
• 植物氣孔對水分與二氧化碳的調節；
• 冠層截留與穿透降水；
• 地表逕流、壤中流與地下水流；
• 積雪、融雪、凍土與土壤凍結；
• 土壤多層結構及垂直水分傳輸；
• 土地利用變化、灌溉與都市化；
• 地表能量平衡與水分傳輸的耦合；
• 不同地表類型的空間異質性。

因此，現代陸面模式通常將土壤分成多層，並明確描述植被、積雪、地下水、入滲、逕流及能量收支，以提升對區域水文循環與氣候變遷的模擬能力。

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（b）水汽停留時間的計算

1. 解題方法

根據定義，

$$\tau_v=\frac{M_v}{P}$$

需要估算：

1. 全球大氣水汽總量 $M_v$；
2. 全球降水質量通量 $P$。

2. 合理假設

採用全球平均近似：

• 地球表面積：

$$A=5.1\times10^{14}\ \mathrm{m^2}$$

• 全球平均可降水水量約為 $25\ \mathrm{kg\,m^{-2}}$；
• 全球平均年降水量約為 $1\ \mathrm{m\,yr^{-1}}$；
• 水的密度取 $1000\ \mathrm{kg\,m^{-3}}$。

3. 計算大氣水汽總量

全球大氣水汽總量為

$$M_v = 25\ \mathrm{kg\,m^{-2}} \times 5.1\times10^{14}\ \mathrm{m^2}$$

因此

$$M_v\approx1.28\times10^{16}\ \mathrm{kg}$$

4. 計算全球年降水量

全球年降水體積為