108 年 國立中央大學營建管理研究所《工程經濟與統計》

本題考驗二項分配的機率計算。

核心觀念：
二項分配 (Binomial Distribution) 的機率質量函數 (Probability Mass Function, PMF) 為：
$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$
其中：
$n$ 為獨立試驗的次數（樣本數）。
$k$ 為成功（在此為不良品）的次數。
$p$ 為單次試驗成功的機率（不良率）。
$1-p$ 為單次試驗失敗的機率。
$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ 為組合數。

題目資訊：
樣本數 $n=5$
不良率 $p=0.10$

(a) 樣本中有1個不良品的機率為何?
這相當於求 $P(X=1)$。
$k=1$
$P(X=1) = \binom{5}{1} (0.10)^1 (1-0.10)^{5-1}$
$P(X=1) = \binom{5}{1} (0.10)^1 (0.90)^4$
$\binom{5}{1} = \frac{5!}{1!(5-1)!} = \frac{5!}{1!4!} = 5$
$P(X=1) = 5 \times 0.10 \times (0.90)^4$
$P(X=1) = 0.5 \times 0.6561$
$P(X=1) = 0.32805$

本題考驗對相關係數 (correlation coefficient, $r$) 的基本性質與解釋的理解。

核心觀念：
相關係數 $r$ 是衡量兩個變數之間線性相關強度的統計量。

1. $r$ 的取值範圍是 $[-1, 1]$。
2. $r=1$ 表示完全正相關。
3. $r=-1$ 表示完全負相關。
4. $r=0$ 表示沒有線性相關。
5. $r$ 的絕對值 $|r|$ 越大，表示線性相關越強。
6. 相關係數僅衡量線性關係，不代表因果關係。
7. 相關係數的單位與原始變數無關。

逐一檢視各敘述：

1. 台灣營造業從業人員的性別與收入之間有很高的相關係數。

   • 錯誤原因： 變數「性別」通常是類別變數 (categorical variable)，例如男性/女性。相關係數 $r$ 主要用於衡量兩個連續變數 (continuous variable) 之間的線性關係。雖然可以透過編碼（例如：男性=0, 女性=1）來計算 $r$（這時稱為點二列相關係數, point-biserial correlation），但「性別」與「收入」之間是否存在「很高的」線性相關，需要數據支持，且性別本身不是一個連續尺度，直接說「很高的相關係數」可能不恰當，更重要的是，性別與收入之間的關係可能受到許多其他因素影響，不一定是單純的線性關係，且「高」的定義也模糊。然而，若將性別視為一個二元變數，其與收入的相關係數的絕對值不可能超過1。此敘述本身是否錯誤，取決於實際計算結果。但從概念上，性別與收入的關係通常不是用「線性相關係數」來最恰當描述的。不過，題目要求找出「錯誤」之處，相較於其他選項，此處的錯誤性相對較不明顯，需要更嚴謹的判斷。

2. 公共工程業主對某家營造廠的評價與私人工程業主對該營造廠的評價之間的相關係數為1.08。

   • 錯誤原因： 這是最明顯的錯誤。相關係數 $r$ 的取值範圍嚴格限定在 $[-1, 1]$ 之間。任何超過這個範圍的值，例如 1.08，都是不可能的。因此，這個敘述是錯誤的。

3. 建設公司高階主管的年齡與收入之相關係數為0.52歲。

   • 錯誤原因： 相關係數 $r$ 是一個無單位的值，用來衡量兩個變數之間的線性相關強度。它本身沒有單位，更不可能帶有「歲」這個單位。說「相關係數為0.52歲」是將相關係數的數值與其中一個變數（年齡）的單位混淆了，這是錯誤的。

本題考驗如何從次數分配表計算平均數（期望值）以及繪製直方圖。

核心觀念：

1. 加權平均數 (Weighted Mean) / 群組平均數 (Grouped Mean)：對於分組數據，我們通常使用組中點 (midpoint) 作為該組所有數據的代表，然後計算加權平均數。公式為：
   $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i f_i}{\sum_{i=1}^{n} f_i}$
   其中 $x_i$ 是第 $i$ 組的組中點，$f_i$ 是第 $i$ 組的次數（頻率），$\sum f_i$ 是總次數（樣本數）。
2. 直方圖 (Histogram)：用於顯示連續數據的頻率分佈。橫軸表示數據的範圍（組），縱軸表示該組的頻率（次數）。直方圖的長條是互相緊鄰的，表示數據是連續的。

題目資訊：
次數分配表（單位：分貝）：

組中點 ($x_i$)	次數 ($f_i$)
148	2
139	3
130	8
121	11
112	27
103	35
94	43
85	33
76	20
67	12
58	6
4.9	4
40	2

請注意： 表格中的「4.9」非常可能是筆誤，根據其他組中點的規律（例如 148, 139, 130... 遞減 9），以及 40 這個數值，它應該是 49。如果以 4.9 計算，會導致結果非常奇怪。我們假設「4.9」應為「49」。

修正後的表格：

組中點 ($x_i$)	次數 ($f_i$)
148	2
139	3
130	8
121	11
112	27
103	35
94	43
85	33
76	20
67	12
58	6
49	4
40	2

(1) 請根據該表計算平均數。

首先，計算 $\sum f_i$ (總樣本數)：
$\sum f_i = 2+3+8+11+27+35+43+33+20+12+6+4+2 = 206$

接著，計算 $x_i f_i$ 並加總：
$148 \times 2 = 296$
$139 \times 3 = 417$
$130 \times 8 = 1040$
$121 \times 11 = 1331$
$112 \times 27 = 3024$
$103 \times 35 = 3605$
$94 \times 43 = 4042$
$85 \times 33 = 2805$
$76 \times 20 = 1520$
$67 \times 12 = 804$
$58 \times 6 = 348$
$49 \times 4 = 196$
$40 \times 2 = 80$

本題考驗對統計假設檢定中「顯著性水準」概念的理解及其在工程上的應用。

核心觀念：
顯著性水準 (Significance Level)：
在統計假設檢定中，顯著性水準（通常用希臘字母 $\alpha$ 表示）是指當虛無假設 (Null Hypothesis, $H_0$) 為真時，我們拒絕虛無假設的機率。換句話說，它是第一類錯誤 (Type I error) 的最大容許機率。

• 第一類錯誤：當虛無假設實際上為真時，卻錯誤地拒絕了它。
• 第二類錯誤：當虛無假設實際上為偽時，卻錯誤地接受了它。

顯著性水準 $\alpha$ 的值由研究者在進行檢定前自行設定，常見的值有 0.05 (5%)、0.01 (1%) 或 0.10 (10%)。$\alpha$ 值越小，表示我們對於拒絕虛無假設（即認為觀察到的結果是真實差異而非隨機變異）的要求越高，越不容易犯第一類錯誤，但相對地，犯第二類錯誤的機率可能會增加。

工程上的應用舉例：

在工程領域，我們經常需要基於樣本數據來做出決策，判斷某種設計、材料、方法或系統是否符合預期標準。假設檢定提供了一個量化的決策框架。

例子：橋樑承載能力檢測

• 情境： 一座老舊橋樑需要進行承載能力檢測，以確定其是否仍能安全地承載預設的最大交通負荷。

• 虛無假設 ($H_0$)： 橋樑的實際平均承載能力 $\mu$ 大於或等於規定值 $C$ (例如，規定值為 100 噸)。($H_0: \mu \ge C$)

• 對立假設 ($H_1$)： 橋樑的實際平均承載能力 $\mu$ 小於規定值 $C$。($H_1: \mu < C$)

• 檢定目的： 我們希望根據對橋樑進行實際承載測試得到的樣本數據，來判斷是否應該拒絕 $H_0$（即判斷橋樑承載能力不足，需要封閉或加固）。

• 顯著性水準 ($\alpha$) 的應用：

  • 我們需要設定一個顯著性水準 $\alpha$。假設我們設定 $\alpha = 0.05$。

核心觀念

本題考查公司的最低可接受報酬率（Minimum Attractive Rate of Return, MARR）如何由資金成本決定，核心是加權平均資金成本（Weighted Average Cost of Capital, WACC）。

公司資金來源包括：

• 股東權益資金：投資人要求報酬率為 $12\%$。
• 借款資金：前 $8$ 百萬元利率為 $8\%$，超過部分利率增加 $8$ 個百分點，因此為 $16\%$。
• 公司自有現金：雖然不需支付利息，但使用自有資金仍有機會成本，應以股東要求報酬率 $12\%$ 衡量。

題目要求的是「稅前 MARR」，因此計算資金成本時不扣除 $17\%$ 的所得稅效果。

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解題方法

一、目前尚未承接任何工程案

公司目前總資產為 $10$ 百萬元，且完全沒有負債，因此目前資本結構為：

$E=10\text{ 百萬元}, \qquad D=0$

全部資金均為股東權益。由於投資人要求的報酬率為 $12\%$，目前公司的稅前資金成本為：

$\text{MARR}_{\text{目前}}=12\%$

此時不使用借款，因此短期借款利率不影響目前的 MARR。

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二、判斷最可能承接哪些工程案

公司目前有 $2$ 百萬元現金可用於即將進行的工程案。各案報酬率及合約價格如下：

工程案	報酬率	合約價格
A	$8\%$	$16$ 百萬元
B	$10\%$	$8$ 百萬元
C	$14\%$	$8$ 百萬元
D	$16\%$	$4$ 百萬元
E	$20\%$	$2$ 百萬元

以目前 MARR $12\%$ 判斷，報酬率高於 MARR 的工程案為 C、D、E：

$C:\ 14\%,\qquad D:\ 16\%,\qquad E:\ 20\%$

因此最合理的承接組合為 C、D、E，所需資金為：

$8+4+2=14\text{ 百萬元}$

公司自有現金為 $2$ 百萬元，因此需借款：

$14-2=12\text{ 百萬元}$

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三、計算承接後的稅前 MARR

承接 C、D、E 後，公司的資金來源可視為：

• 股東權益：$10$ 百萬元
• 借款：$12$ 百萬元
• 總資金：$22$ 百萬元

借款 $12$ 百萬元的利息成本為：

$8(8\%)+4(16\%)$

因此借款總利息成本為：

$0.64+0.64=1.28\text{ 百萬元}$

本題考驗如何根據 MARR 和各項目的預期報酬率與投資額，繪製投資方案的收益曲線 (Investment Curve) 和資本成本曲線 (Capital Cost Curve)，並在圖上進行比較，以支持決策。

核心觀念：

1. 投資項目的排序 (Ranking of Investment Projects)：通常是根據項目的預期報酬率 (Internal Rate of Return, IRR) 或其他回報指標進行排序。在本題中，直接給出了各項目的報酬率。
2. 累積投資額 (Cumulative Investment Amount)：將所有潛在項目按某種順序（通常是按報酬率由高到低）排列後，計算累積的投資總額。
3. MARR (Minimum Attractive Rate of Return)：這是公司可接受的最低報酬率，代表了資本的機會成本。在圖上，它通常是一條水平線（如果 MARR 是固定的）。
4. 圖表繪製 (Graphical Representation)：
   • 橫軸 (X-axis)：年報酬率 (Annual Rate of Return)。
   • 縱軸 (Y-axis)：累積投資金額 (Cumulative Investment Amount)。
   • 投資項目曲線 (Investment Opportunity Curve, IOC)：展示了公司有哪些投資機會，以及這些機會的報酬率。通常是將項目按 IRR 從高到低排序，然後繪製累積投資額與 IRR 的關係圖。
   • 資本成本曲線 (Capital Cost Curve)：代表了公司獲得資金的成本。在最簡化的情況下，如果 MARR 是固定的，這條曲線是一條水平線。如果資本成本是階梯狀的（例如，不同利率的貸款），則會是階梯狀的。

題目資訊：

• MARR (from part a) = 12% (稅前)
• 5 個潛在項目 (A~E)：
  • 項目 A: 報酬率 8%, 投資額 $16M
  • 項目 B: 報酬率 10%, 投資額 $8M
  • 項目 C: 報酬率 14%, 投資額 $8M
  • 項目 D: 報酬率 16%, 投資額 $4M
  • 項目 E: 報酬率 20%, 投資額 $2M

繪製步驟：

1. 排序項目： 按照報酬率由高到低進行排序。

   • 項目 E: IRR = 20%, 投資額 = $2M
   • 項目 D: IRR = 16%, 投資額 = $4M
   • 項目 C: IRR = 14%, 投資額 = $8M
   • 項目 B: IRR = 10%, 投資額 = $8M
   • 項目 A: IRR = 8%, 投資額 = $16M

2. 計算累積投資額：

   • 項目 E: 累積投資 = $2M
   • 項目 D: 累積投資 = $2M +$4M = $6M
   • 項目 C: 累積投資 = $6M +$8M = $14M
   • 項目 B: 累積投資 = $14M +$8M = $22M
   • 項目 A: 累積投資 = $22M +$16M = $38M

3. 確定圖表要素：

   • 橫軸：年報酬率 (Annual Rate of Return, IRR)。範圍可以從 0% 到最高的 20% 或稍高。
   • 縱軸：累積投資金額 (Cumulative Investment Amount, $M NTD)。範圍可以從 0 到總投資額$38M 或稍高。
   • 資本成本曲線 (Corporate Cost of Capital Curve)：根據 part (a) 的結果，MARR = 12%。這條曲線是一條水平線，表示公司為獲取資金所支付的邊際成本是 12%（在不考慮融資結構變化或額外風險溢價的情況下）。這條線將在報酬率軸上標示為 12%。

4. 繪製投資項目曲線 (Investment Opportunity Curve, IOC)：

   • 這條曲線展示了不同累積投資額下，可以獲得的最高報酬率。

   • 點 (2M, 20%)：代表投資 $2M 可以獲得 20% 的報酬率。

   • 點 (6M, 16%)：代表投資 $6M (2M+4M) 可以獲得的最高報酬率是 16%（即項目 D 的報酬率）。

   • 點 (14M, 14%)：代表投資 $14M (6M+8M) 可以獲得的最高報酬率是 14%（即項目 C 的報酬率）。

   • 點 (22M, 10%)：代表投資 $22M (14M+8M) 可以獲得的最高報酬率是 10%（即項目 B 的報酬率）。

   • 點 (38M, 8%)：代表投資 $38M (22M+16M) 可以獲得的最高報酬率是 8%（即項目 A 的報酬率）。

   • 繪製方法： 在圖上標示這些點。然後，將這些點連接起來。由於項目是離散的，通常是畫成階梯狀的圖形。

     • 從 Y 軸 0 開始，畫一條水平線到 X 軸 20% 的位置（代表項目 E 的投資額

本題考驗如何利用前一小題繪製的圖表，結合 MARR 和各項目的報酬率，來判斷哪些投資項目應該被接受，以最大化公司利潤。

核心觀念：
在進行投資決策時，公司應該選擇那些預期報酬率 (IRR) 高於其資本成本 (MARR) 的項目。當有多個項目時，並且它們之間存在資金約束（即資金有限，不能同時進行所有項目），則應優先選擇 IRR 最高且高於 MARR 的項目，直到資金用完或所有剩餘項目的 IRR 低於 MARR。

決策規則：

1. IRR vs. MARR： 只有當項目的 IRR 大於或等於 MARR 時，該項目才可能被接受。
2. 資金約束與排序： 如果資金有限，應優先接受 IRR 最高且大於 MARR 的項目。這意味著我們應該按照 IRR 由高到低的順序來考慮項目。
3. 最大化利潤： 接受所有 IRR 大於 MARR 的項目，直到下一個最高 IRR 的項目其 IRR 低於 MARR，或者公司沒有足夠的資金來進行該項目。

題目資訊（從 part b 整理）：

• MARR = 12%
• 排序後的項目 (IRR 由高到低)：
  • 項目 E: IRR = 20%, 投資額 = $2M
  • 項目 D: IRR = 16%, 投資額 = $4M
  • 項目 C: IRR = 14%, 投資額 = $8M
  • 項目 B: IRR = 10%, 投資額 = $8M
  • 項目 A: IRR = 8%, 投資額 = $16M

決策過程：

1. 檢查項目 E：

   • IRR = 20%
   • MARR = 12%
   • IRR (20%) > MARR (12%)
   • 結論： 項目 E 應該被接受。
   • 累積投資額 = $2M。

2. 檢查項目 D：

   • IRR = 16%
   • MARR = 12%
   • IRR (16%) > MARR (12%)
   • 結論： 項目 D 應該被接受。
   • 累積投資額 = $2M (E) +$4M (D) = $6M。

3. 檢查項目 C：

   • IRR = 14%
   • MARR = 12%
   • IRR (14%) > MARR (12%)
   • 結論： 項目 C 應該被接受。
   • 累積投資額 = $6M +$8M (C) = $14M。

4. 檢查項目 B：

   • IRR = 10%
   • MARR = 12%
   • IRR (10%) < MARR (12%)
   • 結論： 項目 B 不應該被接受，因為其報酬率低於公司的最低要求。

5. 檢查項目 A：

   • IRR = 8%
   • MARR = 12%
   • IRR (8%) < MARR (12%)