114 年 國立中央大學企業管理學系碩士班丙組《微積分》

本題考驗極限的計算，特別是處理含有根號的表達式。當直接代入 $h=0$ 時，會得到 $\frac{0}{0}$ 的不定型，因此需要進行代數上的處理。

解題步驟：

1. 觀察到分母是 $\sqrt{2+h}-\sqrt{2}$，當 $h \to 0$ 時，分母趨近於 $\sqrt{2}-\sqrt{2}=0$。分子也趨近於 $3 \times 0 = 0$。因此，我們遇到的是 $\frac{0}{0}$ 的不定型。
2. 處理根號分母的不定型，常用的方法是乘以分母的共軛式。分母的共軛式是 $\sqrt{2+h}+\sqrt{2}$。
3. 將原式乘以 $\frac{\sqrt{2+h}+\sqrt{2}}{\sqrt{2+h}+\sqrt{2}}$：

本題考驗函數定義域的求解。定義域是指使函數有意義的所有實數 $x$ 的集合。對於給定的函數，需要考慮兩個限制條件：

1. 分母不能為零。
2. 根號內的表達式必須大於或等於零。

解題步驟：

1. 函數為 $f(x) = \frac{\sin^2(x)}{\sqrt{x^2-4}}$。
2. 首先，考慮分母 $\sqrt{x^2-4}$。為了使函數有意義，分母必須是非零的。
3. 同時，根號內的表達式 $x^2-4$ 必須大於或等於零，即 $x^2-4 \ge 0$。
4. 將不等式 $x^2-4 \ge 0$ 分解為 $(x-2)(x+2) \ge 0$。

本題考驗求函數在特定點的切線方程式。切線方程式的通用形式為 $y - y_0 = m(x - x_0)$，其中 $(x_0, y_0)$ 是切點，而 $m$ 是切點的斜率，即函數在該點的導數值。

解題步驟：

1. 確定切點的 $x$ 座標：題目已給定 $x_0 = \pi$。
2. 計算切點的 $y$ 座標 $y_0$：將 $x_0 = \pi$ 代入函數 $f(x) = e^x \sin(x)$。
   $y_0 = f(\pi) = e^\pi \sin(\pi)$。
   由於 $\sin(\pi) = 0$，所以 $y_0 = e^\pi \times 0 = 0$。
   切點為 $(\pi, 0)$。
3. 計算函數的導數 $f'(x)$：使用乘法定則 $(uv)' = u'v + uv'$。
   令 $u = e^x$，$v = \sin(x)$。
   則 $u' = e^x$，$v' = \cos(x)$。

本題考驗積分的換元積分法（u-substitution）。觀察被積函數的形式 $g(f(x))f'(x)$，其中 $f'(x)$ 是 $f(x)$ 的導數，這提示我們可以使用 $u = f(x)$ 來進行換元。

解題步驟：

1. 設 $u = f(x)$。
2. 則微分 $du = f'(x)dx$。
3. 同時，需要改變積分的上下限。
   當 $x=a$ 時，根據題目給定，$u = f(a) = 2$。
   當 $x=b$ 時，根據題目給定，$u = f(b) = 3$。
4. 將原積分中的 $g(f(x))f'(x)dx$ 轉換為關於 $u$ 的積分。
   $g(f(x))$ 變成 $g(u)$。
   $f'(x)dx$ 變成 $du$。
5. 積分的上下限從 $a, b$ 變為 $2, 3$。

本題考驗數值積分方法，特別是梯形法則（Trapezoidal Rule）。梯形法則是用一系列梯形來近似曲線下面積的一種方法。

梯形法則的公式為：
$\int_a^b f(x) dx \approx \frac{\Delta x}{2} [f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + \dots + 2f(x_{n-1}) + f(x_n)]$
其中 $\Delta x = \frac{b-a}{n}$，且 $x_i = a + i\Delta x$。

解題步驟：

1. 確定積分區間和函數：積分區間是 $[a, b] = [0, 2]$，函數是 $f(x) = x^2$。
2. 確定分割數 $n$：題目給定 $n = 4$。
3. 計算 $\Delta x$：
   $\Delta x = \frac{b-a}{n} = \frac{2-0}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
4. 確定分割點 $x_i$：
   $x_0 = a = 0$
   $x_1 = a + \Delta x = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
   $x_2 = a + 2\Delta x = 0 + 2(\frac{1}{2}) = 1$
   $x_3 = a + 3\Delta x = 0 + 3(\frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$
   $x_4 = a + 4\Delta x = 0 + 4(\frac{1}{2}) = 2$
5. 計算各點的函數值 $f(x_i) = x_i^2$：
   $f(x_0) = f(0) = 0^2 = 0$
   $f(x_1) = f(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

本題考驗利用積分計算旋轉體體積的方法，特別是當曲線由分段函數定義時。我們將使用圓盤法（Disk Method）來計算體積。圓盤法的公式為 $V = \int_a^b \pi [f(x)]^2 dx$。

由於函數 $f(x)$ 是分段定義的，我們需要將積分拆分成兩個部分：一個是從 $x=0$ 到 $x=1$，另一個是從 $x=1$ 到 $x=10$。

解題步驟：

1. 確定積分區間和函數：積分區間是 $[0, 10]$。函數 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上為 $\sqrt{4x}$，在 $(1, 10)$ 上為 $2$。
2. 圓盤法公式：$V = \int_a^b \pi [f(x)]^2 dx$。
3. 將積分拆分成兩部分：
   $V = \int_0^{10} \pi [f(x)]^2 dx = \int_0^1 \pi [f(x)]^2 dx + \int_1^{10} \pi [f(x)]^2 dx$
4. 計算第一部分積分（$0 \le x \le 1$）：
   在此區間，$f(x) = \sqrt{4x}$。
   $V_1 = \int_0^1 \pi (\sqrt{4x})^2 dx$
   $V_1 = \int_0^1 \pi (4x) dx$

核心觀念

本題考查二重積分的積分次序交換，以及特殊函數 $\operatorname{erfi}(x)$ 的表示法。

積分區域由

$$0\le y\le 2,\qquad 0\le x\le y$$

所決定。原式先對 $x$ 積分，但 $e^{x^2}$ 沒有初等函數形式的反導函數，因此改變積分次序較為方便。

根據 Fubini 定理，在積分函數連續的情況下，可以交換積分次序：

$$\int\int_R f(x,y)\,dA = \int\int_R f(x,y)\,dA.$$

解題方法

原積分為

$$I=\int_0^2\int_0^y e^{x^2}\,dx\,dy.$$

積分區域 $R$ 為

$$0\le x\le y\le 2.$$

改以 $x$ 為外層變數時：

• $x$ 的範圍為 $0\le x\le 2$；
• 固定 $x$ 後，$y$ 從 $x$ 到 $2$。

因此

$$I=\int_0^2\int_x^2 e^{x^2}\,dy\,dx.$$

因為 $e^{x^2}$ 與 $y$ 無關，先對 $y$ 積分：

$$\begin{aligned} I &=\int_0^2 e^{x^2}\left(\int_x^2dy\right)dx\\ &=\int_0^2(2-x)e^{x^2}\,dx\\ &=2\int_0^2e^{x^2}\,dx-\int_0^2xe^{x^2}\,dx. \end{aligned}$$

第二項可直接代換。令 $u=x^2$，則 $du=2x\,dx$：

本題考驗多元函數的極值問題，即尋找函數的局部最大值、最小值以及鞍點。這通常通過計算一階偏導數並令它們為零來尋找臨界點，然後使用二階偏導數測試（Hessian Matrix）來分類這些臨界點。

解題步驟：

1. 計算一階偏導數：
   $\frac{\partial f}{\partial x} = 2x - 2y - 3$
   $\frac{\partial f}{\partial y} = -2x + 4y + 3$
2. 尋找臨界點：
   令一階偏導數為零，建立方程組：
   (1) $2x - 2y - 3 = 0$
   (2) $-2x + 4y + 3 = 0$
   將方程 (1) 和 (2) 相加：
   $(2x - 2y - 3) + (-2x + 4y + 3) = 0 + 0$
   $2y = 0 \implies y = 0$
   將 $y=0$ 代入方程 (1)：
   $2x - 2(0) - 3 = 0$
   $2x - 3 = 0 \implies x = \frac{3}{2}$
   所以，唯一的臨界點是 $(\frac{3}{2}, 0)$。
3. 計算二階偏導數：
   $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(2x - 2y - 3) = 2$
   $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}(-2x + 4y + 3) = 4$
   $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2x - 2y - 3) = -2$
   （注意：$\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(-2x + 4y + 3) = -2$，二階混合偏導數相等，符合預期。）
4. 計算 Hessian Matrix 的行列式 $D$：
   $D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$
   $D = (2)(4) - (-2)^2 = 8 - 4 = 4$
5. 進行二階偏導數測試：
   在臨界點 $(\frac{3}{2}, 0)$ 處，我們有：
   $D = 4 > 0$
   $f_{xx} = 2 > 0$
   由於 $D > 0$ 且 $f_{xx} > 0$，該臨界點是一個局部最小值。
6. 計算最小值：

核心觀念

本題考查以幾何級數展開函數，再將展開中心改寫成指定的 $x=2$。基本公式為

$$\frac{1}{1-r}=\sum_{n=0}^{\infty}r^n,\qquad |r|<1.$$

級數的收斂區間須另外檢查兩個端點，不能只由收斂半徑直接判定。

解題方法

令 $u=x-2$，則 $x=2+u$。將函數改寫成幾何級數的形式：

$$f(x)=\frac{1}{1-x} =\frac{1}{1-(2+u)} =-\frac{1}{1+u} =-\frac{1}{1-(-u)}.$$

套用幾何級數公式：

$$f(x)=-\sum_{n=0}^{\infty}(-u)^n =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}u^n =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}(x-2)^n.$$

因此，以 $x=2$ 為中心的 Taylor 級數為

核心觀念

本題考查用一階導數判斷函數的遞增、遞減與極值，用二階導數判斷凹向及反曲點，再配合截距與漸近線描繪函數圖形。面積則須計算曲線與 $x$ 軸之間的幾何面積；函數在 $x=0$ 變號，因此要分段積分或利用對稱性。

解題方法

原卷圖中給定的函數為 $f(x)=\dfrac{x}{1+x^2}$，題目要求以微積分描繪圖形，並求圖形、$x$ 軸及直線 $x=-1$、$x=1$ 所圍成的面積；題目沒有提供預先繪製的函數圖。

先求一階導數：

$$f'(x) =\frac{(1+x^2)-2x^2}{(1+x^2)^2} =\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}.$$

因為分母恆正，$f'(x)$ 的正負由 $1-x^2$ 決定。臨界點為 $x=\pm1$：

• $x<-1$ 時，$f'(x)<0$，函數遞減。
• $-1<x<1$ 時，$f'(x)>0$，函數遞增。
• $x>1$ 時，$f'(x)<0$，函數遞減。

因此，$x=-1$ 為極小點，$f(-1)=-\dfrac12$；$x=1$ 為極大點，$f(1)=\dfrac12$。此外，$f(0)=0$，所以圖形通過原點。又因

$$f(-x)=-f(x),$$

函數是奇函數，圖形以原點為中心對稱。當 $x\to\pm\infty$ 時，$f(x)\to0$，故水平漸近線為 $y=0$。

為了補足圖形的凹向資訊，求二階導數：

$$f''(x)=\frac{2x(x^2-3)}{(1+x^2)^3}.$$

二階導數為零的位置是 $x=-\sqrt3,\,0,\,\sqrt3$。對應函數值為

$$f(-\sqrt3)=-\frac{\sqrt3}{4},\qquad f(0)=0,\qquad f(\sqrt3)=\frac{\sqrt3}{4}.$$

依 $f''(x)$ 的正負判斷，圖形在 $(-\infty,-\sqrt3)$ 與 $(0,\sqrt3)$ 向下凹，在 $(-\sqrt3,0)$ 與

核心觀念

本題考查正項級數的收斂判斷，適合使用積分判別法：若函數 $f(x)$ 在 $x\geq 3$ 上連續、正且遞減，則級數 $\sum_{n=3}^{\infty} f(n)$ 與廣義積分 $\int_3^\infty f(x)\,dx$ 同時收斂或同時發散。

解題方法

令

$$f(x)=\frac{1}{x(\ln x)^2}.$$

當 $x\geq 3$ 時，$f(x)$ 連續且為正。其導數為

$$f'(x)=-\frac{\ln x+2}{x^2(\ln x)^3}<0,$$

所以 $f(x)$ 遞減，符合積分判別法的條件。

計算廣義積分：

$$\int_3^\infty \frac{1}{x(\ln x)^2}\,dx.$$