114 年 國立中央大學工業管理研究所碩士班《統計學》

核心觀念

本題屬於數理統計學中的多維隨機變數變換法（Multivariate Transformation Method）與聯合機率密度函數（Joint Probability Density Function）求法。核心觀念包含：

1. 反函數映射（Inverse Transformation）：將新變數 $(X, Y, Z)$ 反解出原始變數 $(V_1, V_2, V_3)$。
2. 雅可比行列式（Jacobian Determinant）：計算變數變換的偏微分矩陣行列式 $J = \det \left[ \frac{\partial(v_1, v_2, v_3)}{\partial(x, y, z)} \right]$。若矩陣為三角矩陣，其行列式值即為主對角線元素相乘。
3. 支撐集（Support）之邊界對應：由原始均勻分配的範圍 $0 < V_i < 1$（$i=1,2,3$），嚴謹推導新變數空間的定義域（不等式邊界）。
4. 多維隨機變數變換公式：
   $f_{X,Y,Z}(x, y, z) = f_{V_1, V_2, V_3}(v_1(x,y,z), v_2(x,y,z), v_3(x,y,z)) \cdot |J|$

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解題方法

(a) 求變換之 Jacobian 行列式

步驟一：由變數變換反解 $(V_1, V_2, V_3)$
給定變換關係：
$X = V_1$
$Y = \frac{V_1}{V_2^{1/(n-1)}}$
$Z = \frac{V_2}{V_3^{1/(n-2)}}$

由上述聯立方程式反解 $V_1, V_2, V_3$ 為 $X, Y, Z$ 的函數：

1. 由第一個式子直接得：
   $V_1 = X$
2. 將 $V_1 = X$ 代入第二個式子：
   $Y = \frac{X}{V_2^{1/(n-1)}} \implies V_2^{1/(n-1)} = \frac{X}{Y} \implies V_2 = \left(\frac{X}{Y}\right)^{n-1} = X^{n-1} Y^{-(n-1)}$
3. 將 $V_2 = \left(\frac{X}{Y}\right)^{n-1}$ 代入第三個式子：
   $Z = \frac{V_2}{V_3^{1/(n-2)}} \implies V_3^{1/(n-2)} = \frac{V_2}{Z} = \frac{1}{Z}\left(\frac{X}{Y}\right)^{n-1} \implies V_3 = \left[ \frac{1}{Z}\left(\frac{X}{Y}\right)^{n-1} \right]^{n-2} = X^{(n-1)(n-2)} Y^{-(n-1)(n-2)} Z^{-(n-2)}$

步驟二：建立 Jacobian 矩陣並計算行列式
機率密度變換所採用的 Jacobian 定義為 $J = \det \left[ \frac{\partial(v_1, v_2, v_3)}{\partial(x, y, z)} \right]$：

$$J = \left| \begin{matrix} \frac{\partial v_1}{\partial x} & \frac{\partial v_1}{\partial y} & \frac{\partial v_1}{\partial z} \\ \frac{\partial v_2}{\partial x} & \frac{\partial v_2}{\partial y} & \frac{\partial v_2}{\partial z} \\ \frac{\partial v_3}{\partial x} & \frac{\partial v_3}{\partial y} & \frac{\partial v_3}{\partial z} \end{matrix} \right|$$

各項偏導函數如下：

• 第一列：$\frac{\partial v_1}{\partial x} = 1$，$\frac{\partial v_1}{\partial y} = 0$，$\frac{\partial v_1}{\partial z} = 0$
• 第二列：$\frac{\partial v_2}{\partial x} = (n-1)X^{n-2}Y^{-(n-1)}$，$\frac{\partial v_2}{\partial y} = -(n-1)X^{n-1}Y^{-n}$，$\frac{\partial v_2}{\partial z} = 0$
• 第三列：
  $\frac{\partial v_3}{\partial x} = (n-1)(n-2)X^{(n-1)(n-2)-1}Y^{-(n-1)(n-2)}Z^{-(n-2)}$
  $\frac{\partial v_3}{\partial y} = -(n-1)(n-2)X^{(n-1)(n-2)}Y^{-(n-1)(n-2)-1}Z^{-(n-2)}$
  $\frac{\partial v_3}{\partial z} = -(n-2)X^{(n-1)(n-2)}Y^{-(n-1)(n-2)}Z^{-(n-1)}$

由於該 Jacobian 矩陣為下三角矩陣（Lower Triangular Matrix），其行列式等於主對角線元素之乘積：
$J = \left( \frac{\partial v_1}{\partial x} \right) \left( \frac{\partial v_2}{\partial y} \right) \left( \frac{\partial v_3}{\partial z} \right)$

核心觀念

設 $u_1,\ldots,u_n$ 為來自 $U(0,1)$ 的獨立樣本。單一觀測值的機率密度函數為

$$f(u)= \begin{cases} 1, & 0<u<1,\\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$$

本題主要使用：

1. 獨立樣本的聯合密度為各邊際密度之乘積。
2. $n$ 個樣本的順序統計量聯合密度公式。
3. 最大值的分布函數可由
   $P(u_{(n)}\leq x)=P(u_1\leq x,\ldots,u_n\leq x)$ 求得。
4. 取部分順序統計量的聯合密度時，需將未保留的樣本值積分掉。

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解題方法

（a）$u_{(1)},u_{(2)},\ldots,u_{(n)}$ 的聯合 pdf

原始樣本的聯合密度為

$$f(u_1,\ldots,u_n)=\prod_{i=1}^n f(u_i)=1, \qquad 0<u_i<1.$$

對於任意一組互不相同的樣本值，共有 $n!$ 種排列方式會產生相同的順序統計量。因此，順序統計量的聯合密度為原始聯合密度乘上 $n!$：

$$f_{u_{(1)},\ldots,u_{(n)}}(x_1,\ldots,x_n) = n!,$$

其支持集必須符合順序條件

$$0<x_1<x_2<\cdots<x_n<1.$$

因此，

$$f_{u_{(1)},\ldots,u_{(n)}}(x_1,\ldots,x_n) = \begin{cases} n!, & 0<x_1<x_2<\cdots<x_n<1,\\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$$

快速驗算：

$$\int_0^1\int_0^{x_n}\cdots\int_0^{x_2} n!\,dx_1\cdots dx_n=1,$$

因為上述積分區域是單位立方體中 $1/n!$ 的部分。

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（b）$u_{(n)}$ 的 pdf

$u_{(n)}$ 是樣本最大值。先求其分布函數：

$$F_{u_{(n)}}(x) = P(u_{(n)}\leq x).$$

事件 $u_{(n)}\leq x$ 表示所有觀測值都不超過 $x$，因此由獨立性，

$$F_{u_{(n)}}(x) = P(u_1\leq x,\ldots,u_n\leq x) = \prod_{i=1}^nP(u_i\leq x).$$

當 $0<x<1$ 時，$P(u_i\leq x)=x$，故

$$F_{u_{(n)}}(x)=x^n.$$

微分得到 pdf：

$$f_{u_{(n)}}(x) = \frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}.$$

因此，

$$f_{u_{(n)}}(x) = \begin{cases} nx^{n-1}, & 0<x<1,\\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$$

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（c）$u_{(n)}$ 與 $u_{(n-1)}$ 的聯合 pdf

令

$$x=u_{(n)},\qquad y=u_{(n-1)}.$$

其中 $x$ 為最大值，$y$ 為次大值，因此支持集為

$$0<y<x<1.$$

固定 $y$ 與 $x$ 的小區間 $dy$、$dx$：

• 有 $n$ 種方式選出哪一個觀測值落在 $dx$ 中，成為最大值；
• 剩下 $n-1$ 個觀測值中，有 $n-1$ 種方式選出哪一個落在 $dy$ 中，成為次大值；
• 其餘 $n-2$ 個觀測值必須小於 $y$，每個機率為 $y$。

由於 $U(0,1)$ 的密度為 $1$，

$$P\bigl(y<u_{(n-1)}<y+dy,\ x<u_{(n)}<x+dx\bigr) \approx n(n-1)y^{n-2}\,dy\,dx.$$

因此，

$$f_{u_{(n)},u_{(n-1)}}(x,y) = n(n-1)y^{n-2}, \qquad 0<y<x<1.$$

完整寫法為

$$f_{u_{(n)},u_{(n-1)}}(x,y) = \begin{cases} n(n-1)y^{n-2}, & 0<y<x<1,\\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$$

也可由（a）積分掉前 $n-2$ 個順序統計量得到：

核心觀念

本題評量單一母體比例的假設檢定（Hypothesis Testing for a Single Population Proportion）。
關鍵觀念與公式包括：

1. 成功次數與樣本比例：若隨機樣本數為 $n$，其中具備特定屬性（評分為 4 或 5 分）的個數為 $X$，則樣本比例為：
   $\hat{p} = \frac{X}{n}$
2. 大樣本近似常態檢定統計量（$Z$ 檢定）：
   在虛無假設 $H_0: p \ge p_0$ 成立下，檢定統計量為：
   $Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1 - p_0)}{n}}}$
3. 小樣本二項檢定（Exact Binomial Test）之 $p$-value：
   當樣本數較小且 $X \sim \text{Binomial}(n, p_0)$ 時，左尾檢定的精確顯著機率（$p$-value）為：
   $p\text{-value} = P(X \le k \mid p = p_0) = \sum_{x=0}^{k} \binom{n}{x} p_0^x (1 - p_0)^{n-x}$

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解題方法

(a) 建立假設

電影製作公司宣稱「至少有 $60\%$ 的觀眾會評為 A 級」（$p \ge 0.60$）。影評公司作為檢定者，欲檢驗此宣稱是否屬實（即尋找證據推翻其誇大不實的宣稱）。
因此，對立假設 $H_1$ 設定為「未達 $60\%$」，虛無假設 $H_0$ 設定為「至少達 $60\%$」，形成左尾檢定（Left-tailed Test）：
$H_0: p \ge 0.60 \quad (\text{或 } p = 0.60)$
$H_1: p < 0.60$

(b) 計算檢定統計量數值

1. 樣本資料整理：
   樣本數 $n = 16$。
   評分原始數據為：
   $3, 5, 4, 3, 4, 5, 5, 4, 3, 2, 5, 4, 3, 2, 3, 5$
   滿足 Grade "A"（分數為 4 或 5 分）的觀測值如下：

   • 5 分：5 次
   • 4 分：4 次

   因此，屬於 Grade "A" 的人數為：
   $X = 5 + 4 = 9$
   樣本比例為：
   $\hat{p} = \frac{9}{16} = 0.5625$

2. 檢定統計量計算：

   • 方法一（商管所入學考標準大樣本常態近似公式）：
     標準誤（Standard Error）：
     $\sigma_0 = \sqrt{\frac{p_0(1 - p_0)}{n}} = \sqrt{\frac{0.60 \times 0.40}{16}} = \sqrt{\frac{0.24}{16}} = \sqrt{0.015} \approx 0.12247$
     代入 $Z$ 統計量：
     $Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1 - p_0)}{n}}} = \frac{0.5625 - 0.60}{\sqrt{0.015}} = \frac{-0.0375}{0.12247} \approx -0.3062$

核心觀念

本題考查：

• 一元線性迴歸模型與最小平方法。
• 迴歸係數、殘差平方和、決定係數 $R^2$。
• ANOVA 迴歸顯著性檢定。
• 類別變數的虛擬變數與交互作用項。

一元線性迴歸模型為

$$Y_i=\beta_0+\beta_1X_{1i}+\varepsilon_i, \qquad \varepsilon_i\overset{iid}{\sim}N(0,\sigma^2).$$

其中

$$\hat{\beta}_1=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}, \qquad \hat{\beta}_0=\bar{Y}-\hat{\beta}_1\bar{X},$$ $$S_{xx}=\sum X_i^2-\frac{(\sum X_i)^2}{n},$$ $$S_{xy}=\sum X_iY_i-\frac{(\sum X_i)(\sum Y_i)}{n},$$ $$S_{yy}=\sum Y_i^2-\frac{(\sum Y_i)^2}{n}.$$

決定係數為

$$R^2=\frac{SSR}{SST} =\frac{S_{xy}^2/S_{xx}}{S_{yy}}.$$

檢定 $X_1$ 是否顯著：

$$H_0:\beta_1=0, \qquad H_1:\beta_1\ne 0.$$

其統計量為

$$F=\frac{MSR}{MSE} =\frac{SSR/1}{SSE/(n-2)} \sim F_{1,n-2}.$$

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（a）加拿大資料的簡單線性迴歸

加拿大共有 $n=10$ 筆資料，表中加總為

$$\sum X_1=1717,\quad \sum Y=170,$$ $$\sum X_1^2=352279,\quad \sum Y^2=3576,\quad \sum X_1Y=23321.$$

因此

$$\bar X_1=\frac{1717}{10}=171.7, \qquad \bar Y=\frac{170}{10}=17.$$

計算離均差平方和與交叉乘積：

$$S_{xx} =352279-\frac{1717^2}{10} =57470.1,$$ $$S_{xy} =23321-\frac{(1717)(170)}{10} =-5868.$$

所以斜率估計值為

$$\hat{\beta}_1 =\frac{-5868}{57470.1} =-0.102105.$$

截距估計值為

$$\hat{\beta}_0 =17-(-0.102105)(171.7) =34.5315.$$

因此加拿大的估計迴歸方程式為

$$\boxed{\hat Y=34.5315-0.102105X_1}.$$

斜率為負，表示在加拿大樣本中，保險公司規模越大，創新採用速度 $Y$ 越低；$X_1$ 每增加一單位，預測的 $Y$ 平均下降約 $0.1021$。

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（b）加拿大資料的顯著性檢定與 $R^2$

加拿大資料的總變異為

$$SST=S_{yy} =3576-\frac{170^2}{10} =686.$$

迴歸平方和：

$$SSR=\frac{S_{xy}^2}{S_{xx}} =\frac{(-5868)^2}{57470.1} =599.154.$$

殘差平方和：

$$SSE=SST-SSR =686-599.154 =86.846.$$

因此 ANOVA 表如下：

變異來源	自由度	平方和 SS	均方 MS	$F$ 值
迴歸（$X_1$）	$1$	$599.154$	$599.154$	$55.192$
殘差	$8$	$86.846$	$10.856$
總和	$9$	$686.000$

其中

$$F=\frac{599.154}{10.856}=55.192.$$

在 $\alpha=0.05$ 下，

$$F_{0.95}(1,8)=5.318.$$

由於

$$55.192>5.318,$$

拒絕 $H_0$，表示加拿大資料中 $X_1$ 對 $Y$ 具有顯著線性影響。

決定係數為

$$R^2=\frac{599.154}{686} =0.8734.$$

因此

$$\boxed{R^2=0.8734}$$

表示加拿大樣本中，$Y$ 的變異約有 $87.34\%$ 可由公司規模 $X_1$ 的線性關係解釋。

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（c）合併四國共 40 筆資料的簡單線性迴歸

四國合計資料為

$$n=40,\quad \sum X_1=7315,\quad \sum Y=1360,$$ $$\sum X_1^2=1562267,\quad \sum Y^2=56518,\quad \sum X_1Y=233725.$$

平均數為

$$\bar X_1=\frac{7315}{40}=182.875, \qquad \bar Y=\frac{1360}{40}=34.$$

計算：

$$S_{xx} =1562267-\frac{7315^2}{40} =224536.375,$$ $$S_{xy} =233725-\frac{(7315)(1360)}{40} =-14985,$$ $$S_{yy} =56518-\frac{1360^2}{40} =10278.$$

斜率估計值：

$$\hat{\beta}_1 =\frac{-14985}{224536.375} =-0.066738.$$

截距估計值：

$$\hat{\beta}_0 =34-(-0.066738)(182.875) =46.2046.$$

故合併資料的估計迴歸方程式為

$$\boxed{\hat Y=46.2046-0.066738X_1}.$$

顯著性檢定

迴歸平方和：

$$SSR=\frac{(-14985)^2}{224536.375} =1000.062.$$

殘差平方和：

$$SSE=10278-1000.062 =9277.938.$$

均方殘差：

$$MSE=\frac{9277.938}{38}=244.156.$$

ANOVA 表如下：