111 年 國立中央大學企業管理學系碩士班乙組《統計學》

此題在考察 t 分布的特性。t 分布的曲線形狀會隨著自由度 (degrees of freedom, df) 的變化而改變。當自由度越高時，t 分布的曲線越接近標準常態分布 (z 分布)，其峰度越低，尾部越輕（即機率越集中在中心，尾部機率越小）。反之，當自由度越低時，t 分布的曲線峰度越高，尾部越厚（即機率越分散，尾部機率越大）。

此題在考察連續型隨機變數的機率。對於一個連續型隨機變數，其在某一個特定點的機率值恆為 0。

題目中提到，樣本是從一個常態分布的母體抽取，母體平均數為 $\mu=50$，標準差為 $\sigma=10$。樣本大小為 $n=30$。
我們關心的是樣本平均數 $\bar{X}$ 等於 50 的機率，即 $P(\bar{X} = 50)$。

此題在考察信賴區間與假設檢定的關係。90% 信賴區間表示我們有 90% 的信心母體參數落在該區間內。若檢定的虛無假設值（在此為 $H_0: \mu = 55,000$）落在信賴區間之外，則我們可以在對應的顯著水準下拒絕虛無假設。

題目給的 90% 信賴區間為 $54,816 \pm 314$，也就是區間為 $[54,816 - 314, 54,816 + 314] = [54,502, 55,130]$。

虛無假設為 $H_0: \mu = 55,000$。
我們將 $H_0$ 的值 55,000 與信賴區間比較：
$54,502 \le 55,000 \le 55,130$。
值 55,000 落在 90% 信賴區間內。

當虛無假設的值落在信賴區間內時，我們不能在對應的顯著水準下拒絕虛無假設。
90% 信賴區間對應的顯著水準為 $\alpha = 1 - 0.90 = 0.10$。
因此，在 $\alpha = 0.10$ 的水準下，我們不拒絕虛無假設。

此題在考察配對樣本的假設檢定。題目要求檢定「期末考成績是否優於期中考成績」。由於是同一個學生在期中考和期末考的成績，這是配對樣本，我們應該考慮分數的差值。

令 $X_M$ 為期中考分數，$X_F$ 為期末考分數。
我們想檢定的是期末考是否「優於」期中考，這意味著期末考分數的平均值應該大於期中考分數的平均值。
我們可以定義差值 $d = X_F - X_M$。
如果期末考優於期中考，則 $d$ 的平均值應該大於 0。

虛無假設 ($H_0$) 通常是「沒有差異」或「差異不大於某個值」，而對立假設 ($H_a$) 則是我們想要證實的。

在此情況下：
我們想證明的是「期末考優於期中考」，即 $E(X_F) > E(X_M)$，或者等價地 $E(X_F - X_M) > 0$。
所以，對立假設 ($H_a$) 應該是 $\mu_d > 0$。

虛無假設 ($H_0$) 則是與對立假設相反，且包含「相等」的情況。在此情況下，虛無假設是 $\mu_d \le 0$。
這裡的 $\mu_d$ 代表母體差值平均數 $E(X_F - X_M)$。

選項分析：
a. $H_0: \mu_d = 0$, $H_a: \mu_d \neq 0$; 這是雙尾檢定，不符合題目「優於」的單尾方向。
b. $H_0: \mu_d \le 0$, $H_a: \mu_d > 0$; 這符合我們對「期末考優於期中考」的檢定，且是單尾檢定。
c. $H_0: \mu_1 - \mu_2 \ge 0$, $H_a: \mu_1 - \mu_2 < 0$; 這裡 $\mu_1$ 和 $\mu_2$ 的定義不明，如果 $\mu_1$ 是期中考平均，$\mu_2$ 是期末考平均，那麼這個假設是檢定期中考優於期末考，方向錯誤。
d. $H_0: \mu_1 - \mu_2 \le 0$, $H_a: \mu_1 - \mu_2 > 0$; 如果 $\mu_1$ 是期末考平均，$\mu_2$ 是期中考平均，那麼這個假設是正確的。選項 b 使用 $\mu_d$ 來表示差值平均數，更為簡潔。在統計學中，當我們比較兩個平均數時，常常會定義一個差值 $\mu_d = \mu_1 - \mu_2$。如果題目將期中考分數視為第一個樣本 ($\mu_1$)，期末考分數視為第二個樣本 ($\mu_2$)，則「期末考優於期中考」意味著 $\mu_2 > \mu_1$，或 $\mu_2 - \mu_1 > 0$。

此題在考察 Type I 和 Type II 錯誤的定義。
Type I 錯誤 (Alpha error)：當虛無假設 ($H_0$) 為真時，卻拒絕了它。
Type II 錯誤 (Beta error)：當對立假設 ($H_a$) 為真時（即虛無假設 $H_0$ 為偽），卻未能拒絕它。

題目中已知：
母體平均數 $\mu = 88$。
樣本大小 $n=50$。
樣本平均數 $\bar{x} = 85$。
決策：拒絕虛無假設 $H_0: \mu \ge 90$。

核心觀念

1. 雙尾檢定（Two-tailed test）之 $p$-值定義：
   在虛無假設 $H_0$ 成立的條件下，檢定統計量出現「比樣本觀測值更極端（偏離程度更大）」的機率。對於對稱於 0 的標準常態分配 $Z \sim N(0, 1)$，雙尾檢定的極端事件定義在「兩側尾端」，因此 $p$-值為： $$p\text{-value} = P(|Z| \ge |z_{\text{calc}}|)$$
2. 對稱性與等價表示法：
   標準常態分配具有對稱性，即 $P(Z < -c) = P(Z > c)$，且連續型隨機變數在單點的機率為 0（是否包含等號機率值不變）。因此： $$p\text{-value} = P(|Z| > 2) = P(Z < -2) + P(Z > 2) = 2 \times P(Z > 2) = 2 \times P(Z < -2)$$

解題方法

1. 確認檢定型態與統計量：
   題目指明為雙尾檢定（two-tailed hypothesis test），計算所得之檢定統計量為 $z = -2.000$。
2. 列出雙尾 $p$-值式子：
   雙尾檢定的 $p$-值需同時考慮左右兩端的極端機率，因此需將觀測值取絕對值計算偏離程度，或將單尾尾端機率乘以 2： $$p\text{-value} = P(|Z| > |-2.000|) = P(|Z| > 2)$$
3. 利用對稱性轉換：
   由於標準常態分配以 0 為中心對稱，左尾面積等於右尾面積： $$P(Z < -2) = P(Z > 2)$$ 因此，雙尾 $p$-值亦可表示為： $$p\text{-value} = 2 \times P(Z > 2)$$

此題在考察假設檢定的決策規則，特別是當虛無假設包含「等於」和「大於」時。

虛無假設 ($H_0$) 為 $\mu \ge 15$。
對立假設 ($H_a$) 為 $\mu < 15$。

我們在什麼情況下會傾向於拒絕 $H_0$？
拒絕 $H_0$ 的條件是，我們觀察到的樣本統計量（在此是樣本平均數 $\bar{x}$）使得虛無假設為真的機率非常小。
對於 $H_a: \mu < 15$，我們預期樣本平均數 $\bar{x}$ 會顯著小於 15。

選項分析：
a. the sample mean is significantly greater than 15;
如果樣本平均數顯著大於 15，這支持了 $\mu > 15$ 的情況，與對立假設 $\mu < 15$ 相悖。因此，我們不會拒絕 $H_0$。

此題在考察 p-value 與顯著水準 $\alpha$ 的關係，以及如何根據它們來做決策。

p-value 的定義是：在虛無假設為真的前提下，觀測到當前樣本結果或比當前樣本結果更極端的結果的機率。
顯著水準 $\alpha$ 是我們預設的一個機率值，代表我們願意承擔的 Type I 錯誤的風險上限。

決策規則：

• 如果 p-value $\le \alpha$，則拒絕虛無假設 $H_0$。
• 如果 p-value $> \alpha$，則不拒絕虛無假設 $H_0$。

題目給定：
p-value = 0.046。

我們需要判斷在哪些顯著水準 $\alpha$ 下可以拒絕虛無假設。
根據決策規則，我們需要 p-value $\le \alpha$。

此題在考察雙尾檢定中，p-value 與顯著水準 $\alpha$ 的關係，以及如何做出拒絕虛無假設的決策。

在假設檢定中，我們拒絕虛無假設的條件是 p-value 小於或等於顯著水準 $\alpha$。
也就是：p-value $\le \alpha$。

題目要求判斷哪些情況下可以拒絕虛無假設。
選項分析：
a. p-value > $\alpha$: 在這種情況下，我們不拒絕虛無假設。

此題在考察顯著水準 (level of significance) 的性質。顯著水準通常用希臘字母 $\alpha$ 表示。

我們來逐一分析每個選項：
a. The larger the level of significance, the more likely you are to reject the null hypothesis;
這是正確的。因為拒絕虛無假設的條件是 p-value $\le \alpha$。如果 $\alpha$ 越大，則 p-value 越容易小於或等於 $\alpha$，從而越容易拒絕虛無假設。

b. The level of significance is the maximum risk we are willing to accept in making a Type I error;
這是正確的。

核心觀念

本題考查「母體比例的假設檢定」。樣本中有 $100$ 人，其中 $55$ 人支持候選人 A，因此樣本比例為

題目問在 $95\%$ 信賴水準下，是否能判定母體支持比例顯著高於 $50\%$。因此應檢定：

這是右尾單一母體比例檢定。

在虛無假設成立時，檢定統計量為

其中 $p_0=0.50$、$n=100$。

解題方法

由樣本資料：

計算標準誤：

因此檢定統計量為

本題為右尾檢定，顯著水準為

右尾檢定的臨界值為

拒絕域為

但實際計算所得

所以不拒絕虛無假設。樣本雖然顯示支持率為 $55\%$，但證據不足以在 $5\%$ 顯著水準下判定母體支持比例顯著高於 $50\%$。

亦可由 $p$ 值判斷：

因此同樣得到「不拒絕 $H_0$」的結論。

選項分析

a. is significantly smaller than 55%

錯誤。題目中的 $55\%$ 是樣本比例 $\hat p$，不是已知的母體比例。樣本比例本身不能直接作為母體比例的確定值；若要檢定母體比例是否小於 $55\%$，應設定

此題在考察 z 檢定的 p-value 計算與顯著水準的比較。

題目給定：
虛無假設：$H_0: \mu_1 = \mu_2$
對立假設：$H_a: \mu_1 \neq \mu_2$ (雙尾檢定)
z-test statistic: $z = 1.35$

首先，我們需要計算 p-value。由於這是雙尾檢定，p-value 為：
p-value $= P(|Z| \ge 1.35) = P(Z \le -1.35) + P(Z \ge 1.35)$。
查標準常態分布表：
$P(Z \le -1.35) = P(Z \ge 1.35)$。
當 $z = 1.35$ 時，標準常態分布表中查得的面積 (from mean to z) 約為 0.4115。
所以，$P(Z \ge 1.35) = 0.5 - 0.4115 = 0.0885$。
因此，p-value $= 2 \times 0.0885 = 0.1770$。

現在我們根據 p-value 和不同的顯著水準 $\alpha$ 來判斷結論。
決策規則：若 p-value $\le \alpha$，則拒絕 $H_0$ (認為有顯著差異)。若 p-value $> \alpha$，則不拒絕 $H_0$ (認為無顯著差異)。

選項分析：
a. 結論：有顯著差異，$\alpha = 10\% = 0.1$。 p-value = 0.0885 < 0.1。
這個選項中的 p-value (0.0885) 是單尾的機率，不是雙尾檢定的 p-value。雙尾 p-value 是 0.1770。

核心觀念

本題考察「兩個獨立母體平均數差異的檢定」所使用的抽樣分配。

當兩個母體的標準差未知，且由兩個獨立簡單隨機樣本估計變異程度時，不能直接使用標準常態分配，通常使用 $t$ 分配。

若採用兩獨立樣本的合併變異數 $t$ 檢定，假設兩母體變異數相等，則自由度為

其中：

• $n_1=14$
• $n_2=18$

解題方法

兩母體平均數差異的合併變異數 $t$ 統計量為

其中合併樣本變異數為

由於兩個樣本各自估計一個母體變異數，因此會消耗兩個自由度：

代入樣本數：

因此應使用自由度為 $30$ 的 $t$ 分配。

選項分析

a. Normal distribution

錯誤。

標準常態分配通常適用於母體標準差已知，或樣本數足夠大而可使用常態近似的情況。本題明確指出兩個母體的標準差未知，應以樣本標準差估計，因此使用 $t$ 分配。

核心觀念

本題考查母體比例 $p$ 的估計，以及在指定信心水準與誤差上限下的最低樣本數。

母體比例的信賴區間，其誤差範圍為

其中：

• $E$：允許的最大誤差；
• $z_{\alpha/2}$：信心水準所對應的標準常態臨界值；
• $p$：母體比例；
• $n$：樣本數。

當母體比例 $p$ 未知時，為了確保樣本數足以滿足誤差要求，採用使 $p(1-p)$ 最大的 $p=0.5$，因為

因此，樣本數公式為

解題方法

題目給定：

• 信心水準為 $98\%$；
• 最大誤差為 $0.05$；
• 母體比例未知，取 $p=0.5$。

$98\%$ 信心水準表示

故

標準常態臨界值為

代入樣本數公式：

計算得

此題在考察樣本平均數 ($\bar{X}$) 的性質，以及樣本大小對其分布和信賴區間的影響。

我們知道，若母體 X 服從 $N(\mu, \sigma^2)$，則樣本平均數 $\bar{X}$ 的分布為：
$\bar{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$
其中，$\bar{X}$ 的期望值 $E(\bar{X}) = \mu$ 且標準差 (standard deviation) 為 $SD(\bar{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。

我們來逐一分析各選項：
a. As the sample size increases, the standard deviation of $\bar{X}$ increases;
$\bar{X}$ 的標準差是 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。當樣本大小 $n$ 增加時，$\sqrt{n}$ 增加，所以 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ 會減少。
因此，$\bar{X}$ 的標準差是隨著樣本大小增加而「減小」的。此選項是錯誤的。

b. As the sample size increases, the expected value of the sample mean remains the same;

此題要求根據給定的樣本數據，計算母體平均數 $\mu$ 的 90% 信賴區間。
母體 X 服從常態分布，但母體標準差 $\sigma$ 未知。此時，我們應使用 t 分布來構建信賴區間。

首先，計算樣本平均數 ($\bar{x}$) 和樣本標準差 ($s$)。
樣本數據：213, 202, 183, 185, 197
樣本大小：$n=5$

1. 計算樣本平均數 $\bar{x}$：
   $\bar{x} = \frac{213 + 202 + 183 + 185 + 197}{5} = \frac{980}{5} = 196$

2. 計算樣本標準差 $s$：
   首先計算樣本變異數 $s^2$：
   $s^2 = \frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n-1}$
   $x_i - \bar{x}$:
   $213 - 196 = 17$
   $202 - 196 = 6$
   $183 - 196 = -13$
   $185 - 196 = -11$
   $197 - 196 = 1$

   $(x_i - \bar{x})^2$:
   $17^2 = 289$
   $6^2 = 36$
   $(-13)^2 = 169$
   $(-11)^2 = 121$
   $1^2 = 1$

   $\sum(x_i - \bar{x})^2 = 289 + 36 + 169 + 121 + 1 = 616$

   $s^2 = \frac{616}{5-1} = \frac{616}{4} = 154$

此題要求根據給定的樣本數據，對虛無假設 $H_0: \mu \le 205$ 進行 $\alpha = 0.05$ 的假設檢定。
母體 X 服從常態分布，且母體標準差 $\sigma$ 未知，因此我們使用 t 檢定。

首先，我們需要確定對立假設 ($H_a$)。
虛無假設是 $H_0: \mu \le 205$。
對立假設是 $H_a: \mu > 205$。
這是一個右尾檢定。

我們已經在 1(a) 部分計算出：
樣本數據：213, 202, 183, 185, 197
樣本大小：$n=5$
樣本平均數 $\bar{x} = 196$
樣本標準差 $s = \sqrt{154} \approx 12.41$

1. 計算檢定統計量 t：
   t 檢定的公式為：
   $t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}$
   其中 $\mu_0$ 是虛無假設中的邊界值，在此為 205。

   $t = \frac{196 - 205}{12.41/\sqrt{5}}$
   $t = \frac{-9}{12.41/2.236}$
   $t = \frac{-9}{5.550}$
   $t \approx -1.6216$

此題要求對女性 (females, f) 和男性 (males, m) 的平均膽固醇水平進行 t 檢定，檢定虛無假設 $H_0: \mu_f = \mu_m$。
這裡的女性樣本為 $X_1$ (年輕女性) 和 $X_3$ (年長女性)，男性的樣本為 $X_2$ (年輕男性) 和 $X_4$ (年長男性)。
由於題目要求檢定 $\mu_f = \mu_m$，我們需要合併所有女性的數據和所有男性的數據。

合併女性數據 ($X_1$ 和 $X_3$)：
$X_f$: 213, 202, 183, 185, 197 (來自 $X_1$)
193, 224, 201, 161, 178 (來自 $X_3$)
總共有 $n_f = 5 + 5 = 10$ 個女性樣本。

合併男性數據 ($X_2$ 和 $X_4$)：
$X_m$: 192, 189, 209, 227, 236 (來自 $X_2$)
253, 248, 278, 232, 267 (來自 $X_4$)
總共有 $n_m = 5 + 5 = 10$ 個男性樣本。

虛無假設 $H_0: \mu_f = \mu_m$。
對立假設 $H_a: \mu_f \neq \mu_m$ (雙尾檢定)。
顯著水準 $\alpha = 0.05$。

由於母體標準差未知，我們需要進行獨立兩樣本 t 檢定。
在進行 t 檢定前，我們通常需要判斷兩個母體變異數是否相等。如果相等，則使用合併變異數的 t 檢定；如果不相等，則使用 Welch's t 檢定。
在此題目中，題目假設 $X_i$ 服從 $N(\mu_i, \sigma^2)$，這意味著所有樣本都來自具有相同變異數 $\sigma^2$ 的母體。因此，我們假設母體變異數相等。

1. 計算女性樣本的平均數 ($\bar{x}_f$) 和樣本標準差 ($s_f$)：
   女性數據：213, 202, 183, 185, 197, 193, 224, 201, 161, 178
   $\bar{x}_f = \frac{213+202+183+185+197+193+224+201+161+178}{10} = \frac{1937}{10} = 193.7$

   為了計算 $s_f^2$，我們需要 $\sum(x_{f,i} - \bar{x}_f)^2$。
   這可以通過先計算 $X_1$ 的樣本變異數和 $X_3$ 的樣本變異數，然後合併。
   從 1(a) 我們知道 $X_1$ 的樣本數據 (213, 202, 183, 185, 197) 的 $\bar{x}_1 = 196$, $s_1^2 = 154$, $n_1=5$。
   $\sum_{i=1}^5 (x_{1,i} - \bar{x}_1)^2 = (n_1-1)s_1^2 = 4 \times 154 = 616$。

   計算 $X_3$ 的樣本數據 (193, 224, 201, 161, 178)：
   $\bar{x}_3 = \frac{193+224+201+161+178}{5} = \frac{957}{5} = 191.4$
   $x_3 - \bar{x}_3$:
   $193 - 191.4 = 1.6$
   $224 - 191.4 = 32.6$
   $201 - 191.4 = 9.6$
   $161 - 191.4 = -30.4$
   $178 - 191.4 = -13.4$
   $(x_3 - \bar{x}_3)^2$:
   $1.6^2 = 2.56$
   $32.6^2 = 1062.76$
   $9.6^2 = 92.16$
   $(-30.4)^2 = 924.16$
   $(-13.4)^2 = 179.56$
   $\sum_{i=1}^5 (x_{3,i} - \bar{x}_3)^2 = 2.56 + 1062.76 + 92.16 + 924.16 + 179.56 = 2261.2$
   $s_3^2 = \frac{2261.2}{5-1} = \frac{2261.2}{4} = 565.3$

   現在計算合併後的女性樣本變異數 $s_f^2$。
   由於兩個樣本來自同一母體變異數，我們可以合併樣本變異數。
   總平方和 $\sum_{i=1}^{10} (x_{f,i} - \bar{x}_f)^2$ 較難直接計算，因為 $\bar{x}_f$ 不是 $X_1$ 或 $X_3$ 的平均數。
   更簡單的方法是先計算所有女性數據的平均數和標準差。
   女性數據：213, 202, 183, 185, 197, 193, 224, 201, 161, 178
   $\bar{x}_f = 193.7$
   $\sum x_{f,i} = 1937$
   $\sum x_{f,i}^2 = 213^2 + 202^2 + 183^2 + 185^2 + 197^2 + 193^2 + 224^2 + 201^2 + 161^2 + 178^2$

核心觀念

本題考查單因子變異數分析（one-way ANOVA）的 $F$ 檢定，用來檢定四組母體平均數是否相同：

已知各組皆來自常態分配，且具有共同變異數 $\sigma^2$，符合單因子 ANOVA 的 $F$ 檢定條件。

基本分解為：

其中：

• $SS_B$：組間平方和，反映各組平均數彼此的差異。
• $SS_W$：組內平方和，反映同組觀測值的變異。
• $SS_T$：總平方和。

檢定統計量為：

其中：

本題有 $k=4$ 組，每組 $n_i=5$，總樣本數 $N=20$。

解題方法

先計算各組樣本平均數：

總平均數為：

1. 計算組間平方和

公式為：

因此：

組間自由度為：

所以：

2. 計算組內平方和

公式為：

此題要求進行雙因子變異數分析 (Two-way ANOVA)，以檢定 AGE (年齡) 和 GENDER (性別) 這兩個因子對膽固醇水平的主要效應 (main effects) 和交互效應 (interaction effect)。

首先，我們需要重新定義因子和樣本。
因子 AGE 有兩個水準：Under 50 ($A_1$) 和 Over 50 ($A_2$)。
因子 GENDER 有兩個水準：Female ($G_1$) 和 Male ($G_2$)。

對應的母體平均數為：
$\mu_{11}$: 年輕女性 (Under 50, Female) - 對應 $X_1$
$\mu_{12}$: 年輕男性 (Under 50, Male) - 對應 $X_2$
$\mu_{21}$: 年長女性 (Over 50, Female) - 對應 $X_3$
$\mu_{22}$: 年長男性 (Over 50, Male) - 對應 $X_4$

樣本數據及已計算的統計量：
$X_1$ (年輕女性): $n_1=5$, $\bar{x}_1 = 196$, $s_1^2 = 154$
$X_2$ (年輕男性): $n_2=5$, $\bar{x}_2 = 210.6$, $s_2^2 = 432.3$
$X_3$ (年長女性): $n_3=5$, $\bar{x}_3 = 191.4$, $s_3^2 = 565.3$
$X_4$ (年長男性): $n_4=5$, $\bar{x}_4 = 255.6$, $s_4^2 = 313.3$

總樣本數 $N = 20$。
總平均數 $\bar{x}_{grand} = 213.4$ (從 2(b) 計算)。

1. 計算各個平均數：

• Age 的主要效應 (Main Effect of AGE):
  我們需要計算兩個年齡層的平均膽固醇水平。
  年齡 Under 50 的平均值 (Age 1)：$\bar{x}_{A1} = \frac{\bar{x}_1 + \bar{x}_2}{2} = \frac{196 + 210.6}{2} = 203.3$
  年齡 Over 50 的平均值 (Age 2)：$\bar{x}_{A2} = \frac{\bar{x}_3 + \bar{x}_4}{2} = \frac{191.4 + 255.6}{2} = 223.5$

• Gender 的主要效應 (Main Effect of GENDER):
  我們需要計算兩個性別的平均膽固醇水平。
  女性的平均值 (Gender 1)：$\bar{x}_{G1} = \frac{\bar{x}_1 + \bar{x}_3}{2} = \frac{196 + 191.4}{2} = 193.7$ (這與 2(a) 計算的 $\bar{x}_f$ 相同)
  男性的平均值 (Gender 2)：$\bar{x}_{G2} = \frac{\bar{x}_2 + \bar{x}_4}{2} = \frac{210.6 + 255.6}{2} = 233.1$ (這與 2(a) 計算的 $\bar{x}_m$ 相同)

• 交互效應 (Interaction Effect):
  我們需要計算四個組合的平均值（已計算）：
  $\bar{x}_{11} = 196$ (年輕女性)
  $\bar{x}_{12} = 210.6$ (年輕男性)
  $\bar{x}_{21} = 191.4$ (年長女性)
  $\bar{x}_{22} = 255.6$ (年長男性)

2. 建立 2-way ANOVA 表：
ANOVA 表的結構包括：Source (來源), SS (平方和), df (自由度), MS (均方), F-statistic。
總共需要計算：Age 的主要效應、Gender 的主要效應、交互效應 (AGE * GENDER)、Within Groups (或 Error) 和 Total。

• Within Groups (Error) Sum of Squares (SSE)：
  SSE 是所有樣本變異數的加權平均。由於每個組的樣本大小相同 ($n_i=5$)，我們可以簡單地求和並除以組數，然後乘以 $n-1$。
  $s_p^2 = \frac{\sum (n_i-1)s_i^2}{N-k} = \frac{5869.6}{16} = 366.85$ (來自 2(b) 的 MSW)
  SSE = $(N-k) \times MSW = 16 \times 366.85 = 5869.6$

• Age 的主要效應 Sum of Squares (SSA)：
  SSA = $n \sum_{i=1}^{a} (\bar{x}_{A_i} - \bar{x}_{grand})^2$，其中 $n$ 是每組的樣本大小 (在此為 5)，$a$ 是 AGE 的水準數 (2)。
  SSA = $5 \times [(\bar{x}_{A1} - \bar{x}_{grand})^2 + (\bar{x}_{A2} - \bar{x}_{grand})^2]$
  SSA = $5 \times [(203.3 - 213.4)^2 + (223.5 - 213.4)^2]$
  SSA = $5 \times [(-10.1)^2 + (10.1)^2]$
  SSA = $5 \times [102.01 + 102.01] = 5 \times 204.02 = 1020.1$
  df for AGE = $a - 1 = 2 - 1 = 1$

• Gender 的主要效應 Sum of Squares (SSG)：
  SSG = $n \sum_{j=1}^{b} (\bar{x}_{G_j} - \bar{x}_{grand})^2$，其中 $n$ 是每組的樣本大小 (在此為 5)，$b$ 是 GENDER 的水準數 (2)。
  SSG = $5 \times [(\bar{x}_{G1} - \bar{x}_{grand})^2 + (\bar{x}_{G2} - \bar{x}_{grand})^2]$
  SSG = $5 \times [(193.7 - 213.4)^2 + (233.1 - 213.4)^2]$
  SSG = $5 \times [(-19.7)^2 + (19.7)^2]$
  SSG = $5 \times [388.09 + 388.09] = 5 \times 776.18 = 3880.9$
  df for GENDER = $b - 1 = 2 - 1 = 1$

• 交互效應 Sum of Squares (SSI)：
  SSI = SST - SSA - SSG - SSE (如果 SST 計算正確)
  或者，SSI = $\sum_{i,j} n_{ij} (\bar{x}_{ij} - \bar{x}_{A_i} - \bar{x}_{G_j} + \bar{x}_{grand})^2$，其中 $n_{ij}$ 是 cell 的樣本大小 (在此為 5)。

此題要求在 ANOVA 檢定出顯著差異後，進行事後比較 (post-hoc comparisons)，也就是成對的 t 檢定，以確定哪些平均數之間存在顯著差異。
我們需要對四個樣本平均數 ($\mu_1, \mu_2, \mu_3, \mu_4$) 進行所有可能的配對比較。

在 2(b) 的 ANOVA 分析中，我們拒絕了 $H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3 = \mu_4$，這意味著至少有一個平均數不同。
現在我們進行事後比較。由於樣本大小相等 ($n_i=5$)，我們可以進行多重比較。
事後比較需要使用修正的顯著水準，以控制整體 Type I 錯誤率。常見的方法是 Bonferroni 校正。
我們需要進行的配對比較有 $\binom{4}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$ 對。
例如，使用 Bonferroni 校正，新的顯著水準 $\alpha'$ 為 $\alpha / (\text{number of comparisons}) = 0.05 / 6 \approx 0.00833$。

我們將進行 6 對配對 t 檢定：

1. $\mu_1$ vs $\mu_2$
2. $\mu_1$ vs $\mu_3$
3. $\mu_1$ vs $\mu_4$
4. $\mu_2$ vs $\mu_3$
5. $\mu_2$ vs $\mu_4$
6. $\mu_3$ vs $\mu_4$

我們將使用合併變異數 $s_p^2 = 619.72$ (從 2(b) 計算)。
獨立兩樣本 t 檢定的公式為：
$t = \frac{\bar{x}_i - \bar{x}_j}{s_p \sqrt{\frac{1}{n_i} + \frac{1}{n_j}}}$
在此，$n_i = n_j = 5$，所以 $\sqrt{\frac{1}{n_i} + \frac{1}{n_j}} = \sqrt{\frac{1}{5} + \frac{1}{5}} = \sqrt{\frac{2}{5}} = \sqrt{0.4} \approx 0.6325$。
$s_p = \sqrt{619.72} \approx 24.894$。
分母 $s_p \sqrt{\frac{1}{n_i} + \frac{1}{n_j}} \approx 24.894 \times 0.6325 \approx 15.752$。
自由度 df = $n_1+n_2-2 = 5+5-2 = 8$。

計算各對的 t 統計量和 p-value：

1. $\mu_1$ vs $\mu_2$:
   $\bar{x}_1 = 196$, $\bar{x}_2 = 210.6$
   $t = \frac{196 - 210.6}{15.752} = \frac{-14.6}{15.752} \approx -0.927$
   df = 8。查 t 表，$t_{0.05/2, 8} = 2.306$。
   $|-0.927| < 2.306$，不拒絕 $H_0$。

2. $\mu_1$ vs $\mu_3$:
   $\bar{x}_1 = 196$, $\bar{x}_3 = 191.4$
   $t = \frac{196 - 191.4}{15.752} = \frac{4.6}{15.752} \approx 0.292$
   $|0.292| < 2.306$，不拒絕 $H_0$。

3. $\mu_1$ vs $\mu_4$:
   $\bar{x}_1 = 196$, $\bar{x}_4 = 255.6$
   $t = \frac{196 - 255.6}{15.752} = \frac{-59.6}{15.752} \approx -3.784$
   $|-3.784| > 2.306$，拒絕 $H_0$。
   結論：$\mu_1$ 和 $\mu_4$ 之間存在顯著差異。

4. $\mu_2$ vs $\mu_3$:
   $\bar{x}_2 = 210.6$, $\bar{x}_3 = 191.4$
   $t = \frac{210.6 - 191.4}{15.752} = \frac{19.2}{15.752} \approx 1.219$
   $|1.219| < 2.306$，不拒絕 $H_0$。

5. $\mu_2$ vs $\mu_4$:
   $\bar{x}_2 = 210.6$, $\bar{x}_4 = 255.6$