111 年 國立中央大學企業管理學系碩士班乙組《經濟學》

核心觀念

本題考查生產可能邊界（Production Possibilities Frontier, PPF）的定義、資源充分利用、機會成本，以及點在生產可能邊界內外的判斷。

• 生產可能邊界：在既定資源、技術與生產條件下，一國能夠生產的兩種商品組合之最大界線。
• 邊界上的點：資源已充分且有效率地利用。
• 邊界內的點：資源未充分利用，存在失業或閒置。
• 邊界外的點：在目前資源與技術下無法達成。
• 沿著 PPF 移動：若增加一種商品的生產，通常必須放棄另一種商品，因此產生機會成本。

解題方法

逐項判斷：

1. 檢查敘述是否符合 PPF 的正式定義。
2. 判斷沿著 PPF 移動時，兩種商品的生產是否呈現取捨關係。
3. 區分「由邊界內移向邊界」與「PPF 整體外移」。
4. 將題目給定的商品組合與表中的最大生產能力比較。
5. 判斷機會成本是否能由題目資訊直接推出。

選項分析

（1）正確

題述指出：

The production possibilities frontier is the boundary between the attainable and unattainable combinations of goods and services.

PPF 正是「可達成」與「不可達成」生產組合之間的界線。

• PPF 內部及邊界上的組合：在資源與技術條件下可達成。
• PPF 外部的組合：目前無法達成。

因此，本選項正確。

（2）正確

沿著 PPF 從一個點移動到另一個點，代表生產組合改變。若增加一種商品的生產，就必須將部分資源由另一種商品轉移過來，因此另一種商品的生產量會減少。

例如，由 A 點移至 B 點：

• 坦克由 1,000 單位減少至 700 單位；
• 飛機由 0 單位增加至 200 單位。

這種「增加一種商品、減少另一種商品」的取捨關係，正是機會成本的表現。因此，本選項正確。

（3）錯誤

核心觀念

本題考查四個觀念：

1. 互補品與需求變動。
2. 需求價格彈性的計算。
3. 銷售稅的租稅歸宿。
4. 負外部成本與無謂損失。
5. 私人邊際利益與社會邊際利益。

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解題方法

逐項判斷敘述是否符合經濟學定義：

• 互補品：一種商品價格上升，另一種商品的需求下降。
• 需求價格彈性：

$$E_d=\frac{\%\Delta Q_d}{\%\Delta P}$$

通常以絕對值表示。

• 銷售稅歸宿：比較課稅前後買方支付價格與賣方實收價格的變化。
• 負外部性：私人邊際成本低於社會邊際成本，市場產量會高於社會最適產量。
• 社會邊際利益：

$$SMB=PMB+外部邊際利益$$

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選項分析

（1）正確

披薩與可樂屬於互補品。消費者通常會搭配食用披薩與可樂。

當披薩價格上升時，披薩的需求量下降，連帶使可樂的需求下降。因此，可樂的需求曲線向左移動。

所以本敘述正確。

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（2）正確

價格上升 $5\%$，需求量下降 $30\%$，需求價格彈性之絕對值為：

$$|E_d|=\left|\frac{-30\%}{5\%}\right|=6$$

若採用帶有方向的定義，彈性為 $-6$；但經濟學中談論需求價格彈性時，通常以絕對值表示，因此稱為 $6$。

所以本敘述正確。

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（3）錯誤

銷售稅為每單位 $50$。若課稅後均衡價格上升 $50$，表示買方支付的價格增加 $50$。

設：

• 課稅前價格為 $P$
• 課稅後買方支付價格為 $P_b=P+50$
• 賣方實際收到的價格為 $P_s$

因為銷售稅為 $50$：

$$P_b-P_s=50$$

代入 $P_b=P+50$：

$$(P+50)-P_s=50$$

因此：

$$P_s=P$$

賣方實收價格沒有下降，買方承擔全部 $50$ 的稅負。故稅負是由買方完全承擔，而不是由賣方完全承擔。

所以本敘述錯誤。

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（4）錯誤

生產活動具有負外部成本時，生產者只考慮私人邊際成本，未將污染、噪音或環境損害等外部成本納入決策。

因此：

核心觀念

本題綜合考查完全競爭與獨占市場中的：

• 停業條件：$P$ 與最低平均變動成本 $\min AVC$ 的比較。
• 經濟利潤計算：$\pi=(P-ATC)Q$。
• 利潤極大化條件：$MR=MC$。
• 獨占相較於完全競爭的價格與產量。
• 雙占廠商偏離聯合利潤極大產量時，各廠商與產業總利潤的變化。

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解題方法

逐一判斷各敘述是否符合相關定義與利潤極大化條件：

1. 比較價格與最低$AVC$，判斷廠商是否應停業。
2. 利用完全競爭下$P=MR$，再計算$ATC$與經濟利潤。
3. 比較$MR$與$MC$，判斷增加產量是否能提高利潤。
4. 比較完全競爭與單一價格獨占的均衡價格。
5. 判斷偏離獨占產量後，聯合總利潤是否增加、減少或不變。

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選項分析

（1）錯誤

題目給定：

• 最低平均變動成本為$6$；
• 對應產量為$30$；
• 市場價格為$5$。

完全競爭廠商的短期停業條件為：

$$P<\min AVC$$

由於：

$$5<6$$

廠商生產任何正產量時，收入都不足以彌補變動成本，因此應選擇停業，產量為：

$$Q=0$$

而不是把產量減少至$30$以下。$30$是使平均變動成本最低的產量，並非價格低於最低$AVC$時仍應生產的目標產量。

因此本選項錯誤。

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（2）錯誤

完全競爭市場中：

$$P=MR=55$$

生產$500$台時：

$$AVC=30$$

固定成本為：

$$TFC=10{,}000$$

因此平均固定成本為：

$$AFC=\frac{TFC}{Q} =\frac{10{,}000}{500} =20$$

平均總成本為：

$$ATC=AVC+AFC=30+20=50$$

經濟利潤為：

$$\pi=(P-ATC)Q$$

代入數值：

$$\pi=(55-50)\times500 =5\times500 =2{,}500$$

因此經濟利潤是$2,500$，不是題目所說的$2,000$。

本選項錯誤。

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（3）正確

單一價格獨占廠商的利潤極大化條件為：

$$MR=MC$$

題目給定：

$$MR=18,\qquad MC=16$$

因此：

$$MR>MC$$

核心觀念

本題綜合考查：

• 勞動市場統計：勞動力、失業人口與失業率。
• 消費者物價指數（CPI）與品質調整。
• GDP 的計算範圍：市場交易與非市場生產。
• 總需求曲線向下傾斜的三種效果：實質財富效果、利率效果與匯率效果。

失業率公式為：

$$\text{失業率} = \frac{\text{失業人口}}{\text{勞動力}} \times 100\%$$

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選項分析

（1）正確

總人口為 $120$ 百萬人，其中：

• $8$ 百萬人未滿 16 歲；
• $7$ 百萬人被收容或機構化，不屬於平民非機構人口；
• 平民勞動力為 $100$ 百萬人。

已就業人口為 $80$ 百萬人，因此失業人口為：

$$\text{失業人口} = 100-80 = 20\text{ 百萬人}$$

失業率為：

$$\text{失業率} = \frac{20}{100}\times 100\% = 20\%$$

因此題目敘述的失業率正確。

補充而言，未滿 16 歲人口與機構化人口不列入平民非機構人口，但本選項已直接給出平民勞動力，因此計算失業率時只需使用勞動力與就業人口。

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（2）正確

汽車馬力增加而價格維持不變，代表消費者以相同的貨幣價格取得品質更高的汽車，購買力因此提高。

然而，傳統 CPI 是根據固定消費籃計算商品價格變動：

$$\text{CPI} = \frac{\text{當期固定籃商品成本}} {\text{基期固定籃商品成本}} \times 100$$

若汽車的標價沒有改變，CPI 所觀察到的價格並未上升或下降，因此 CPI 維持不變。

本選項同時指出：

• 汽車品質提高、相同價格可買到更高品質，購買力提高；
• 名目價格不變，因此 CPI 不變。

故本選項正確。

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（3）錯誤

GDP 衡量的是一定期間內，市場上生產的最終商品與勞務之市場價值。家庭成員自行在家進行修繕，並未發生市場交易，因此通常不列入 GDP。

核心觀念

本題綜合考查：

• 完全就業產出與生產要素
• 貨幣供給與貨幣乘數
• 貨幣數量方程式 $MV=PT$
• 工資變動對短期總供給的影響
• 生產函數、勞動需求與勞動供給均衡

題目問「不正確」的敘述，須逐一判斷。

選項分析

（1）錯誤

完全就業 GDP 是經濟在資源充分利用下的產出水準，會受到勞動力與自然資源等生產要素影響。

大量勞工移入會增加勞動供給，使生產能力提高，因此完全就業 GDP 應上升，而非下降。

發現大型礦藏會增加自然資源，同樣會提高生產能力，使完全就業 GDP 上升。

因此，選項中「移民會使完全就業 GDP 下降」錯誤；「礦藏會使其上升」正確。整體敘述錯誤。

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（2）正確

貨幣供給可表示為：

$$M=mB$$

其中 $B$ 為貨幣基數，$m$ 為貨幣乘數。若忽略超額準備，貨幣乘數為：

$$m=\frac{1+c}{c+rr}$$

其中：

• $c$：現金與存款比率
• $rr$：法定準備率

當聯準會降低法定準備率 $rr$ 時，分母下降，貨幣乘數上升。

若同時現金與存款比率 $c$ 也下降，則民眾持有較少現金、較多存款，銀行體系的存款創造能力提高，貨幣乘數進一步上升。

在貨幣基數 $B$ 固定下：

$$M=mB$$

由於 $m$ 上升，所以貨幣供給 $M$ 增加。因此此選項正確。

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（3）正確

貨幣數量方程式為：

$$MV=PT$$

其中：

• $M$：貨幣數量
• $V$：貨幣交易流通速度
• $P$：平均交易價格
• $T$：交易數量

題目指出 $V$ 不變，而 $M$ 加倍，因此：

$$M'V=2MV$$

由於 $V$ 固定，必須有：

$$P'T'=2PT$$

也就是平均交易價格乘以交易次數必須加倍。因此此選項正確。

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（4）錯誤

經濟原本處於完全就業實質 GDP 的均衡，政府將所有工人的工資加倍。

工資是廠商的重要生產成本。工資上升會使廠商在每一個價格水準下願意提供的產量減少，因此短期總供給曲線向左移，或稱總供給下降。

在總需求 $AD$ 不變下，新的均衡結果是：

• 實質 GDP 下降
• 物價水準上升

可表示為：

$$AS\downarrow \Rightarrow Y\downarrow,\quad P\uparrow$$

核心觀念

本題綜合考查貨幣需求、Solow 經濟成長模型、中央銀行獨立性，以及政府預算的自動穩定效果。判斷各選項時，應依序檢視：

• 利率與貨幣需求的關係。
• 儲蓄率對穩態產出與成長率的影響。
• 中央銀行獨立性的定義。
• 景氣衰退時稅收與政府支出的變化。
• 實質貨幣供給與利率的均衡計算。

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解題方法

題目問的是「不正確」的敘述，因此逐一判斷五個選項，最後選出錯誤者。

選項（1）

If a change in government regulations allows banks to start paying interest on checking accounts this will decrease the demand for money.

此敘述錯誤。

支票存款屬於貨幣的一部分。若銀行開始對支票存款支付利息，持有貨幣的機會成本下降，因為民眾將資金放在支票帳戶中也能獲得利息收入。

因此，民眾會更願意持有貨幣，貨幣需求增加，而不是減少：

$$\text{持有貨幣的機會成本下降} \Rightarrow M^d \text{ 增加}$$

故選項（1）不正確。

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選項（2）

Assume two economies are identical in every way except that one has a higher saving rate. According to the Solow growth model, in the steady state the country with the higher saving rate will have a higher level of total output and the same rate of growth of output per worker as/than the country with the lower saving rate.

此敘述正確。

Solow 模型的生產函數可表示為：

$$Y=F(K,L)$$

提高儲蓄率會提高投資，促使資本存量增加，最後使經濟達到較高的穩態資本量與穩態產出：

$$s \uparrow \Rightarrow k^* \uparrow \Rightarrow y^* \uparrow$$

因此，較高儲蓄率國家的穩態總產出水準較高。

然而，儲蓄率只會影響產出的「水準」，不會決定穩態時每人產出的長期成長率。在沒有技術進步的基本 Solow 模型中，穩態的每人產出成長率為零；若加入外生技術進步，兩國的技術進步率相同，因此每人產出的長期成長率也相同。

故選項（2）正確。

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選項（3）

Central-bank independence refers to the degree of separation between central-bank decision making and political influence.

此敘述正確。

中央銀行獨立性是指中央銀行在制定貨幣政策時，能夠多大程度上不受政府或政治因素干預。獨立性越高，中央銀行越能依據物價穩定、金融穩定與景氣狀況制定政策，而非為了選舉或政治目標任意擴張貨幣供給。

因此，選項所述的「中央銀行決策與政治影響之間的分離程度」正是中央銀行獨立性的核心定義。

故選項（3）正確。

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選項（4）

核心觀念

本題考查 IS–LM 模型下，貨幣政策規則對產出的穩定效果。

• IS 曲線表示商品市場均衡：

  $Y=8{,}000-2{,}000r$

• LM 曲線表示貨幣市場均衡：

  $Y=2{,}000r-2{,}000+2\frac{M}{P}+u$

由於價格水準固定為 $P=1$，因此：

$2\frac{M}{P}=2M$

自然產出為 $4{,}000$，政府的目標是使實際產出 $Y$ 儘量接近 $4{,}000$。

本題比較兩種政策：

1. 固定貨幣供給 $M=1{,}000$。
2. 每日調整貨幣供給，使利率固定為 $2\%$。

題目中的利率以方程式所使用的數值表示，因此「$2\%$」代入模型時使用 $r=2$。

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解題方法

在每一種政策規則下，分別將政策條件代入 IS、LM 曲線，求出均衡產出 $Y$，再與自然產出 $4{,}000$ 比較。

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規則 a：固定貨幣供給 $M=1{,}000$

將 $M=1{,}000$、$P=1$ 代入 LM 曲線：

$$Y=2{,}000r-2{,}000+2(1{,}000)+u$$

整理得：

$$Y=2{,}000r+u$$

IS 曲線為：

$$Y=8{,}000-2{,}000r$$

令 IS 與 LM 相等：

$$8{,}000-2{,}000r=2{,}000r+u$$ $$4{,}000r=8{,}000-u$$ $$r=2-\frac{u}{4{,}000}$$

將利率代回 IS 曲線：

$$Y=8{,}000-2{,}000\left(2-\frac{u}{4{,}000}\right)$$ $$Y=8{,}000-4{,}000+\frac{u}{2}$$

因此：

$$Y=4{,}000+\frac{u}{2}$$

當 $u=+200$

$$Y=4{,}000+\frac{200}{2}=4{,}100$$

當 $u=-200$

$$Y=4{,}000+\frac{-200}{2}=3{,}900$$

所以在規則 a 下，正向衝擊使產出上升 $100$，負向衝擊使產出下降 $100$。

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規則 b：固定利率為 $r=2$

將 $r=2$ 代入 IS 曲線：

$$Y=8{,}000-2{,}000(2)$$ $$Y=4{,}000$$

由於 IS 曲線不含衝擊項 $u$，只要利率固定為 $2$，不論 $u$ 為何，產出均為：

$$Y=4{,}000$$

政府可以透過調整貨幣供給，使 LM 曲線配合固定的利率與產出。

由 LM 曲線：

$$Y=2{,}000r-2{,}000+2M+u$$

代入 $Y=4{,}000$、$r=2$：

$$4{,}000=2{,}000(2)-2{,}000+2M+u$$ $$4{,}000=2{,}000+2M+u$$

核心觀念

本題考查個體經濟學中「消費者選擇理論」與「福祉變動衡量（補償變量 Compensating Variation, $CV$）」的核心概念：

1. Cobb-Douglas 效用函數性質：
   對於 $U(X_1, X_2) = X_1^\alpha X_2^\beta$（其中 $\alpha+\beta=1$），消費者花費在各財貨的支出占總所得的比例固定為指數比重，即 $P_1 X_1 = \alpha I$、$P_2 X_2 = \beta I$。
2. Hicks 所得補償（Compensating Variation, $CV$）：
   當財貨價格變動時，為使消費者的福祉維持在「原有效用（$U_0$）」水準，在「新價格體系」下所需增減的所得金額。此處價格下跌使得實質購買力增加，題目所求「維持原效用水準下可減少的所得」，即為新價格下的支出差額：
   $\Delta I = I_0 - E(P_1', P_2, U_0)$
   其中 $E(P_1', P_2, U_0)$ 為在新價格下達成原效用 $U_0$ 的最低支出函數（Expenditure Function）。

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解題方法與完整推導

第一步：求初始狀態下的最適消費量與原有效用水準（$U_0$）

給定初始條件：$P_1 = 4, P_2 = 2, I = 16$，效用函數為 $U = X_1^{0.5} X_2^{0.5}$。

利用 Cobb-Douglas 需求函數特性（指數均為 $0.5$，支出平分）：

• 財貨 1 的最適消費量：
  $X_1^* = \frac{0.5 \times I}{P_1} = \frac{0.5 \times 16}{4} = 2$
• 財貨 2 的最適消費量：
  $X_2^* = \frac{0.5 \times I}{P_2} = \frac{0.5 \times 16}{2} = 4$

將最適消費組合代入效用函數，得初始效用：
$U_0 = (2)^{0.5} \times (4)^{0.5} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

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第二步：求新價格下維持原效用 $U_0$ 所需的最低支出

當 $P_1$ 由 $4$ 降至 $P_1' = 2$，而 $P_2 = 2$ 不變時，若要維持效用 $U_0 = 2\sqrt{2}$，消費者面臨的支出極小化問題為：
$\min_{X_1, X_2} \quad 2X_1 + 2X_2 \quad \text{s.t.} \quad X_1^{0.5} X_2^{0.5} = 2\sqrt{2}$

核心觀念

本題的核心在於個體經濟學中的不確定性決策理論（Decision Making under Uncertainty），主要涉及以下觀念與定理：

1. 期望效用理論（Expected Utility Theory, EUT）：決策者對不確定性資產（彩券 $L$）的偏好排序，取決於各狀態報酬之馮紐曼－摩根斯坦（von Neumann-Morgenstern, VNM）效用期望值：
   $E[U(L)] = \sum_{i} p_i U(x_i)$
2. 單調性偏好（Monotonicity）：在財富越多越好的假設下，效用函數滿足嚴格遞增性，即 $U'(w) > 0$。因此 $U(800) > U(300) > U(100) > U(0)$。
3. 獨立性公理（Independence Axiom）與確定事件原則（Sure-Thing Principle）：若兩種彩券在某一特定狀態下產生完全相同的結果，則決策者對該兩種彩券的偏好排序，不受該共同狀態結果的影響。
4. 狀態空間分解法（State-Space Representation）：將不同彩券映射至同一組客觀自然狀態（States of Nature），透過消除公共結果來簡化跨情境的偏好推導。

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解題方法與完整推導

步驟一：分析情境一（Scenario 1）

情境一包含彩券 A 與彩券 B：

• Lottery A：以機率 $1.00$ 獲得 $800。
  $E[U(A)] = U(800)$
• Lottery B：以機率 $0.20$ 獲得 $300、機率 $0.75$ 獲得 $100、機率 $0.05$ 獲得 $0。
  $E[U(B)] = 0.20 U(300) + 0.75 U(100) + 0.05 U(0)$

由於 $U(w)$ 嚴格遞增，必有 $U(800) > U(300) > U(100) > U(0)$。因此：
$E[U(B)] = 0.20 U(300) + 0.75 U(100) + 0.05 U(0) < (0.20 + 0.75 + 0.05) U(800) = U(800) = E[U(A)]$
Lottery A 對 Lottery B 具有嚴格狀態優勢（Strict Statewise Dominance）。David 選擇 Lottery A 符合理性決策者的單調性偏好（$A \succ B$）。

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步驟二：建立「狀態空間分解」（State-Space Decomposition）

為了建立情境一與情境二之間的結構性關聯，定義三個互斥且周延的自然狀態 $S = \{s_1, s_2, s_3\}$，其發生機率分別為：

• $P(s_1) = 0.75$
• $P(s_2) = 0.20$
• $P(s_3) = 0.05$
  （滿足 $\sum_{i=1}^3 P(s_i) = 0.75 + 0.20 + 0.05 = 1.00$）

四種彩券在各狀態下的報酬分配如下表：

狀態（State）	機率 $P(s_i)$	Lottery A	Lottery B	Lottery C	Lottery D
$s_1$	$0.75$	$800	$100	$300	$800
$s_2$	$0.20$	$800	$300	$800	$100
$s_3$	$0.05$	$800	$0	$800	$800

驗證各彩券邊際機率分佈：

• Lottery A：全部狀態皆為 $800（機率 $0.75 + 0.20 + 0.05 = 1.00$）。
• Lottery B：$100（機率 $0.75$）、$300（機率 $0.20$）、$0（機率 $0.05$）。
• Lottery C：$300（機率 $0.75$）、$800（機率 $0.20 + 0.05 = 0.25$）。
• Lottery D：$100（機率 $0.20$）、$800（機率 $0.75 + 0.05 = 0.80$）。

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步驟三：比較情境二（Scenario 2）之期望效用

在情境二中，David 需在 Lottery C 與 Lottery D 之間進行選擇。計算兩者的期望效用：
$E[U(C)] = 0.75 U(300) + 0.20 U(800) + 0.05 U(800) = 0.25 U(800) + 0.75 U(300)$

此題關於非法藥物市場的經濟學分析，涉及供給、需求、價格、數量、外部性、稅收與管制政策的比較。

核心觀念：

1. 非法市場的供給與需求：管制措施對市場的影響。
2. 稅收對市場的影響：價格、數量、政府收入。
3. 政策效果比較：管制 (prohibition) vs. 稅收 (taxation)。

詳解：
(1) 非法藥物市場的供給、需求、價格與數量的影響：
當政府對非法藥物的銷售或購買行為施加懲罰 (penalty) 時，這相當於增加了交易的成本和風險。

• 供給 (Supply)： 懲罰主要影響供給方。對賣家施加懲罰會增加其生產和銷售的成本與風險。這會導致供給曲線向左移動 (供給減少)。
• 需求 (Demand)： 對買家施加懲罰會增加其購買的成本與風險。這會導致需求曲線向左移動 (需求減少)。
• 價格 (Price)： 由於供給和需求的雙重減少 (供給左移，需求左移)，市場上的價格將取決於供給和需求曲線移動的相對幅度。通常情況下，價格可能會上升或下降，但如果供給的減少幅度大於需求的減少幅度，價格會上升；反之，如果需求的減少幅度更大，價格會下降。然而，在非法市場中，價格的變動可能不如合法市場那麼直接，有時會出現「風險溢價」的情況。
• 數量 (Quantity)： 由於供給和需求的雙重減少，交易的數量必然會減少。

總結：施加懲罰會減少供給和需求，導致交易量減少。價格的變動方向取決於供給和需求曲線移動的相對程度，但通常情況下，非法市場的價格可能因風險溢價而變高。

(2) 藥物合法化並課稅如何減少購買量：
如果藥物被合法化並課稅，這意味著市場從非法轉為合法，並且引入了政府的稅收。

• 從非法到合法： 藥物合法化後，市場的運作將受到法律和稅收的約束，而不是純粹的懲罰。
• 課徵稅收： 對藥物課徵從量稅或從價稅，會增加藥品的生產成本和銷售價格。這會導致供給曲線向上或向左移動 (供給減少)，從而推高市場價格。
  • 增加的價格會減少消費者的需求量 (根據需求定律)。
  • 供給曲線的左移 (或上移) 也直接導致均衡數量的減少。
    因此，即使藥物合法化，透過課徵稅收，也能夠增加藥物的最終價格，從而減少消費者購買的數量。這與透過懲罰來減少非法交易量有異曲同工之妙，但機制不同。

(3) 哪個更有效：禁止 (prohibition) 還是稅收 (taxes)？
這個問題沒有絕對的答案，效果取決於具體情況和政策設計。

• 禁止 (Prohibition)：
  • 優點： 嚴格禁止可以從根本上杜絕藥物的生產和銷售，從而可能最大限度地減少使用。
  • 缺點：
    • 難以執行，容易產生地下黑市，導致犯罪率上升。

此題為跨期選擇 (Intertemporal Choice) 問題，測驗消費者如何在不同時期之間分配消費與儲蓄，以及利率變動對其決策的影響。

核心觀念：

1. 跨期預算限制式 (Intertemporal Budget Constraint)：消費者在兩個時期 (或多個時期) 的總消費現值不能超過其總所得現值。
2. 跨期消費決策：消費者如何在現在和未來之間權衡消費。
3. 實質利率 (Real Interest Rate)：代表跨期資源交換的相對價格，影響儲蓄和消費的機會成本。
4. 所得效果 (Income Effect) 與替代效果 (Substitution Effect)：分析利率變動對消費的影響。
5. 借款限制 (Borrowing Constraint)：消費者在某一時期的消費不能超過其所得。

詳解：
假設消費者在兩個時期 (第一期和第二期) 進行消費。
設 $C_1$、$C_2$ 為第一期和第二期的消費；$Y_1$、$Y_2$ 為第一期和第二期的所得；$r$ 為實質利率；$s$ 為儲蓄。

1. 跨期預算限制式與利率變動對消費的影響：

跨期預算限制式表示，現值總消費等於現值總所得。
若消費者儲蓄，$S = Y_1 - C_1$。
第二期的所得為 $Y_2 + S(1+r) = Y_2 + (Y_1 - C_1)(1+r)$。
所以，第二期的總消費為 $C_2 = Y_2 + (Y_1 - C_1)(1+r)$。
整理後可得跨期預算限制式：
$C_1 + \frac{C_2}{1+r} = Y_1 + \frac{Y_2}{1+r}$
左邊是總消費的現值，右邊是總所得的現值。

利率 $r$ 是跨期消費的相對價格。

• $1+r$ 是將未來消費折算到現在的折現因子。
• $r$ 是將未來所得折算到現在的折現因子。
• $r$ 也代表將現在儲蓄移到未來所獲得的回報率。

利率變動如何影響消費：
利率變動會影響消費者的跨期預算線的斜率和截距。
預算線的斜率為 $-(1+r)$。

• 實質利率上升 ($r \uparrow$)：
  • 對儲蓄者 (Saving)： 儲蓄的回報增加，未來消費相對現在消費變得更便宜。這會產生替代效果，鼓勵增加儲蓄，減少現期消費 $C_1$，增加未來消費 $C_2$。同時，利率上升會增加未來購買力，產生所得效果，可能增加或減少現期消費，但通常對未來消費是增加的。
  • 對借款者 (Borrowing)： 借款的成本增加，未來消費相對現在消費變得更昂貴。這會產生替代效果，鼓勵減少現期消費 $C_1$，減少未來消費 $C_2$。同時，利率上升會降低未來購買力，產生所得效果，可能增加或減少現期消費。
  • 總體影響： 利率上升通常會鼓勵儲蓄，從而可能減少現期總消費，並增加未來總消費。但整體消費量如何變動，取決於所得效果和替代效果的綜合作用。

2. 利率變動對消費的所得效果與替代效果分解：

當實質利率上升時，我們將其對消費的影響分解為替代效果和所得效果。

• 替代效果 (Substitution Effect)：
  當利率上升時，未來消費相對現在消費變得更便宜 (或者說，現在消費的機會成本增加了)。消費者會傾向於用未來的消費來替代現在的消費。因此，替代效果會導致現期消費 $C_1$ 減少，未來消費 $C_2$ 增加。

此題測驗蒙內爾-佛萊明模型 (Mundell-Fleming Model) 在小型開放經濟下的應用，特別是關於固定匯率與浮動匯率下的貨幣政策和財政政策效果，以及風險溢價變動的影響。

核心觀念：

1. 蒙內爾-佛萊明模型：在開放經濟體系中，IS-LM 模型與國際貿易、資本移動的結合。
2. 小型開放經濟：國內利率受世界利率影響，但國內政策對世界利率無影響。
3. 風險溢價 (Risk Premium)：投資者對持有該國資產的額外要求報酬，反映了該國資產的風險。
4. 浮動匯率 (Floating Exchange Rate)：匯率由市場供需決定，央行不干預。
5. IS 曲線與 LM 曲線在開放經濟下的變動。
6. 總合產出 (Aggregate Output) 與匯率 (Exchange Rate)。

詳解：
模型設定：

• IS 曲線：$Y = C(Y-T) + I(r) + G + NX(e)$。代表商品市場均衡。
  • $Y$: 總產出
  • $T$: 稅收
  • $r$: 國內利率
  • $G$: 政府支出
  • $NX(e)$: 淨出口，與匯率 $e$ (本國貨幣對外幣的匯率，例如每單位外幣值多少本國貨幣，或反之) 有關。假設 $e$ 是本國貨幣的貶值程度，則 $NX$ 隨 $e$ 上升而增加 (本國貨幣貶值，出口增加，進口減少)。
• LM 曲線：$M/P = L(r, Y)$。代表貨幣市場均衡。
  • $M/P$: 實質貨幣供給
  • $L$: 貨幣需求，取決於利率 $r$ 和產出 $Y$。
• 國內利率：$r = r^* + \theta$
  • $r^*$: 世界利率 (world interest rate)
  • $\theta$: 風險溢價 (risk premium)

題目情境：

• 小型開放經濟，浮動匯率。
• 政治動盪導致風險溢價 $\theta$ 上升。

(1) 風險溢價 $\theta$ 上升對總產出 (Y) 和匯率 (e) 的影響：

當風險溢價 $\theta$ 上升時，國內利率 $r = r^* + \theta$ 會上升。
這會如何影響 IS 和 LM 曲線，進而影響 Y 和 e？

• 對 LM 曲線的影響：
  LM 曲線描述的是貨幣市場均衡，即 $M/P = L(r, Y)$。
  如果 $r$ 上升，為了維持貨幣市場均衡，在其他條件不變的情況下，$Y$ 必須上升 (因為 $L$ 是 $Y$ 的正函數)。
  所以，LM 曲線會向右移動 (或向上移動，取決於圖的畫法)。
  若 LM 曲線表示 $Y$ 與 $r$ 的關係，則 $r$ 上升會使 $Y$ 上升。
  或者，若 LM 曲線表示 $r$ 與 $Y$ 的關係，則 $r$ 的上升會使得在相同 $Y$ 下，貨幣需求增加，需要更高的 $r$ 或更低的 $M/P$ 來平衡。
  在此模型中，利率 $r$ 是由世界利率和風險溢價決定的，所以 $r$ 被視為外生給定 (或由 $r^*$ 和 $\theta$ 決定)。
  LM 曲線的標準形式是 $Y$ 相對於 $r$ 的函數，表示貨幣市場均衡。
  $M/P = L(r, Y)$。
  如果 $r$ 上升，為了維持 $M/P$ 不變，Y 必須下降 (如果 $L$ 是 $Y$ 的正函數)。
  所以 LM 曲線是向上傾斜的 (Y 是橫軸，r 是縱軸)。
  當 $r$ 因 $\theta$ 上升而上升時，LM 曲線會向上移動。

• 對 IS 曲線的影響：
  IS 曲線描述商品市場均衡。
  $Y = C(Y-T) + I(r) + G + NX(e)$。
  當國內利率 $r$ 上升時：

  • 投資 $I(r)$ 會因為融資成本上升而減少。
  • 消費 $C(Y-T)$ 可能會因為利率上升而儲蓄增加，消費減少 (如果將儲蓄視為消費的延後)。
  • 淨出口 $NX(e)$ 也會受到影響。

  關鍵點：浮動匯率下的影響。
  在小型開放經濟且浮動匯率下，當國內利率 $r$ 上升時，會吸引國際資本流入，因為本國資產的回報更高。
  資本流入會導致對本國貨幣的需求增加，從而導致本國貨幣升值 (e 上升，如果 e 定義為本國貨幣相對外幣的價值)。
  本國貨幣升值會使出口變貴，進口變便宜，從而導致淨出口 $NX(e)$ 下降。
  $NX$ 下降會使 IS 曲線向左移動。

  綜合影響：

  1. 利率 $r$ 上升 (因 $\theta$ 上升)。
  2. LM 曲線由於 $r$ 的上升而向上移動。
  3. 資本流入導致本國貨幣升值 (e 上升)，NX 下降，IS 曲線向左移動。

  圖示分析：
  我們需要繪製 IS-LM 圖，但這裡的 LM 曲線形式比較特殊，它直接給出了 Y 與 r, M/P, u 的關係。
  LM: $Y = 2000r + 2000 + u$ (假設 M/P 固定，u 為衝擊)。
  IS: $Y = 8000 - 2000r$。
  這是一個標準的 IS-LM 模型。

  但是，題目要求繪製在「output on the horizontal axis and the exchange rate on the vertical axis」的圖。這意味著我們需要轉換到 BP-IS-LM 模型或類似框架。
  在蒙內爾-佛萊明模型中，對於浮動匯率：

  • 貨幣政策非常有效：LM 曲線外移 (貨幣供給增加) 會導致本國貨幣貶值，NX 增加，IS 曲線右移，Y 顯著增加。
  • 財政政策無效：IS 曲線右移 (G 增加) 會導致本國貨幣升值，NX 下降，IS 曲線左移回原點，Y 不變。

  現在的問題是風險溢價 $\theta$ 的變化。
  $r = r^* + \theta$。
  當 $\theta$ 上升， $r$ 上升。
  步驟 1：利率上升。
  LM 曲線 (Y-r 空間) 會向上移動 (因為 LM 關係是 $M/P = L(r, Y)$，若 r 提高，Y 必須降低來平衡，或反之。更標準的 LM 曲線是 $r$ 作為因變數，L(r,Y) 決定了 r 的值。然而，這裡 LM 給定 Y 作為因變數。 LM: $Y = 2000r + C'$。若 r 上升，Y 上升。所以 LM 曲線是向上傾斜的。)
  IS 曲線 (Y-r 空間) 的斜率是負的。
  當 $r$ 上升時，IS 曲線會向左移動，因為 NX 下降。

  圖示 (Y-r 空間)：
  假設初始均衡點為 $E_0$。

  1. $\theta$ 上升 $\implies r$ 上升。
  2. LM 曲線向上移動。
  3. IS 曲線向左移動 (因 NX 下降)。
  4. 新的均衡點 $E_1$ 會在更低的 Y 和更高的 r。

  這是 Y-r 空間的分析。但是題目要求的是 Y-e 空間的圖。
  這需要我們理解資本移動和匯率的影響。

  浮動匯率下的資本移動：
  當國內利率 $r$ 高於世界利率 $r^*$ (即使考慮了風險溢價，如果 $r^*+\theta$ 仍高於市場預期的均衡利率)，資本會流入。
  資本流入導致對本國貨幣的需求增加，匯率 $e$ (本國貨幣相對外幣的價值) 會上升 (本國貨幣升值)。
  本國貨幣升值會使出口變貴，進口變便宜，導致淨出口 $NX$ 下降。
  $NX$ 下降會使 IS 曲線向左移動。

  回到問題：
  政治動盪 $\implies \theta$ 上升 $\implies r = r^* + \theta$ 上升。

  1. 利率上升： 國內利率 $r$ 高於世界利率 $r^*$ (即使有風險，但如果 $r^*+\theta$ 仍然足夠吸引人)。
  2. 資本流入： 國內資產對外國投資者更具吸引力，資本流入。
  3. 匯率升值： 資本流入導致對本國貨幣的需求增加，匯率 $e$ (本國貨幣價值) 上升。
  4. NX 下降： 貨幣升值使出口減少，進口增加，淨出口 $NX$ 下降。
  5. IS 左移： $NX$ 下降導致 IS 曲線向左移動。
  6. 產出下降： IS 曲線左移，在 LM 曲線不變的情況下，均衡產出 $Y$ 下降，均衡利率 $r$ 下降 (因為 IS 左移，LM 向上移動，交點會向左下移動，r 會下降)。

  但是，題目要求說明「increase in the risk premium leads income to rise and the currency to depreciate」。
  這與我的標準分析是相反的。
  我的標準分析是：$\theta$ 上升 $\implies r$ 上升 $\implies$ 資本流入 $\implies e$ 升值 $\implies NX$ 下降 $\implies Y$ 下降。

  是否存在另一種解釋？
  也許題目中的 $\theta$ 上升，並非因為國內資產變得更具吸引力，而是因為政治動盪本身帶來了不確定性，使得國內資產的風險溢價上升。
  如果風險溢價 $\theta$ 上升，意味著投資者要求更高的報酬來彌補持有該國資產的額外風險。
  這可能導致：

  • 資本外流或資本流入減少： 儘管利率 $r = r^* + \theta$ 上升了，但由於風險 $\theta$ 的上升，持有該國資產的吸引力可能下降，甚至導致資本外流。
  • 匯率貶值： 如果資本外流，則對本國貨幣的需求下降，匯率 $e$ (本國貨幣價值) 下降 (貶值)。
  • NX 上升： 貨幣貶值使出口增加，進口減少，淨出口 $NX$ 上升。
  • IS 右移： $NX$ 上升導致 IS 曲線向右移動。
  • 產出上升： IS 曲線右移，在 LM 曲線不變的情況下，均衡產出 $Y$ 上升。

  這與題目要求的結果一致：income to rise and the currency to depreciate。

此題考驗 IS-LM 模型中，財政政策 (增稅) 在不同貨幣政策反應下的效果。

核心觀念：

1. IS-LM 模型：商品市場 (IS) 和貨幣市場 (LM) 的均衡。
2. 財政政策 (稅收)：影響 IS 曲線。
3. 貨幣政策 (貨幣供給)：影響 LM 曲線。
4. 不同貨幣政策規則下的財政政策效果。

詳解：
一般情況下，國會增加稅收 (T) 會導致可支配所得 (Y-T) 下降，進而減少消費 (C)，使 IS 曲線向左移動。
IS 曲線：$Y = C(Y-T) + I(r) + G + NX$。
當 T 增加時，C 下降 (假設 C 隨 Y-T 正向變動)，IS 曲線左移。

我們將分析在三種不同的貨幣政策反應下的情況。
假設初始均衡點為 $E_0$，對應的產出為 $Y_0$，利率為 $r_0$。

情況 (1)：Fed 保持貨幣供給 (M/P) 不變。

• 財政政策： 增稅 $\implies$ IS 曲線左移。
• 貨幣政策： M/P 不變 $\implies$ LM 曲線位置不變。
• 結果： IS 曲線左移，LM 曲線不變。新的均衡點 $E_1$ 會出現在更低的產出水平 ($Y_1 < Y_0$) 和更低的利率水平 ($r_1 < r_0$)。
  • 產出下降，因為 IS 左移。
  • 利率下降，因為 IS 左移導致貨幣需求下降，LM 曲線上的均衡點利率降低。

情況 (2)：Fed 欲將利率維持在恆定水準 (r)，通過減少貨幣供給。

• 財政政策： 增稅 $\implies$ IS 曲線左移。

此題考驗索羅成長模型 (Solow Growth Model) 的基本概念，包括生產函數、人均生產函數、資本深化、穩態分析以及儲蓄率、折舊率、技術進步率與消費的關係。

核心觀念：

1. 生產函數：總產出與資本、勞動的關係。
2. 人均生產函數：將總生產函數轉換為人均值，以便分析人均產出與人均資本的關係。
3. 穩態 (Steady State)：人均資本、人均產出、人均消費在時間上保持不變的狀態。
4. 資本深化 (Capital Deepening)：人均資本的增加。
5. 儲蓄率、折舊率、人口成長率、技術進步率對穩態的影響。

詳解：
生產函數：$Y = K^{1/2} L^{1/2}$。
其中 $Y$ 是總產出，$K$ 是總資本，$L$ 是總勞動。

(1) 計算人均生產函數 y=f(k)：
人均生產函數是將總生產函數除以勞動 $L$ 得到。
$y = Y/L$ (人均產出)
$k = K/L$ (人均資本)

將生產函數 $Y = K^{1/2} L^{1/2}$ 除以 $L$：
$Y/L = (K^{1/2} L^{1/2}) / L$
$y = K^{1/2} L^{1/2} L^{-1}$
$y = K^{1/2} L^{-1/2}$
$y = (K/L)^{1/2}$
$y = k^{1/2}$

所以，人均生產函數為 $y = f(k) = k^{1/2}$。

(2) 計算總產出 Y 和勞動生產率：
已知：$K = 900$ units, $L = 100$ units。
首先計算人均資本 $k$：
$k = K/L = 900 / 100 = 9$。

使用人均生產函數計算人均產出 $y$：
$y = k^{1/2} = 9^{1/2} = 3$。

計算總產出 $Y$：
$Y = y \times L = 3 \times 100 = 300$。
或者直接使用總生產函數：
$Y = K^{1/2} L^{1/2} = (900)^{1/2} (100)^{1/2} = 30 \times 10 = 300$。

勞動生產率 (Labor Productivity) 通常指人均產出 $y$。
勞動生產率 = $y = 3$。

(3) 計算穩態時所需的總儲蓄率：
在索羅模型中，穩態的條件是人均資本的變動量為零：
$\Delta k = sf(k) - (n+g+\delta)k = 0$
其中：

• $s$ 是儲蓄率。
• $f(k)$ 是人均生產函數。
• $n$ 是人口成長率 (這裡指勞動成長率)。
• $g$ 是技術進步率 (題目未給，通常假設為 0，除非另有說明)。