108 年 國立中央大學企業管理學系碩士班甲組《經濟學》

這題核心在測驗「 monopolistic competition（獨占性競爭）」的短期與長期均衡特性、利潤極大化條件 $MR=MC$、以及社會效率與產能過剩（excess capacity）的定義。考生必須釐清：獨占性競爭廠商在短期像獨占者一樣決策，但長期因自由進出導致經濟利潤為零；其無效率來源是 $P>MC$ 而非 $MC>P$；且「產能過剩」是指均衡產量少於平均總成本最低點的產量，而非多於該點。

以下逐項分析各敘述是否正確：

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(1) If a monopolistically competitive seller's marginal cost is $5, the firm will increase its output if its marginal revenue is more than$5.

此敘述正確。
任何追求利潤極大化的廠商（包含獨占性競爭），其決策法則皆為：當邊際收益大於邊際成本（$MR > MC$）時，增加一單位產量所帶來的額外收益高於額外成本，因此應擴大產出直到 $MR = MC$。
本題中 $MC = 5$，若 $MR > 5$，則確實應增加產量。
→ 此陳述符合利潤極大化原則，故為「正確」敘述，不符合題幹問的「not correct」。

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(2) A monopolistically competitive firm chooses its price and quantity just as a monopoly does. Those two types of forms both make positive profits in the short run.

此敘述部分正確但整體可視為正確（在考試語境下通常接受）。

• 前半句：獨占性競爭廠商在短期面對向下傾斜的需求曲線，因此定價與產量決策方式確實類似獨占者——皆依 $MR=MC$ 決定產量，再依需求曲線決定價格。✅
• 後半句：兩者「在短期都可能獲得正經濟利潤」。注意關鍵字是「both make positive profits」——這裡不是說「一定」，而是「可以」（can / may）。在短期，由於沒有立即進出，獨占與獨占性競爭廠商都有可能因需求旺盛而賺取正經濟利潤。雖然獨占性競爭長期會歸零，但短期確實可能為正。
  因此，在標準教科書（如 Mankiw）的表述中，此句被視為正確描述短期現象。
  → 故此陳述為「正確」，不符合題幹「not correct」之要求。

⚠️ 注意：若嚴格咬文嚼字，「both make positive profits」可能被誤解為「總是賺正利潤」，但根據上下文與常見考題邏輯，此處意指「短期有可能」，因此仍判為正確。

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(3) In the long run in monopolistic competition, firms earn a normal profit but not an economic profit.

此敘述正確。
獨占性市場結構的關鍵特徵是「自由進出」。當短期有經濟利潤時，新廠商進入，使原有廠商需求曲線左移，直到價格等於平均總成本（$P = ATC$），此時經濟利潤為零，僅獲正常利潤（normal profit）。

這題主要考驗學生對需求彈性、稅收歸宿、外部性、劣等財以及會計利潤與經濟利潤等基本經濟學觀念的理解與應用。解題關鍵在於逐一檢視每個敘述，並運用相關經濟學定義與計算公式來判斷其正確性。

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第 2 題詳解

本題要求判斷五個敘述中哪些是正確的。我們將逐一分析每個敘述。

(1) 價格彈性計算

敘述 (1) 提到，假設石油價格從 $0.75 下跌至$0.58，需求量從 23 加侖增加至 42 加侖。使用中點法計算價格彈性為 0.48。

• 核心觀念： 價格彈性衡量需求量對價格變動的敏感度。中點法（Midpoint Method）是一種計算彈性的方法，可以避免因價格變動方向不同而產生不同的彈性值。
• 計算過程：
  • 價格變動的百分比：
    $\frac{P_2 - P_1}{(P_1 + P_2)/2} = \frac{0.58 - 0.75}{(0.75 + 0.58)/2} = \frac{-0.17}{1.33/2} = \frac{-0.17}{0.665} \approx -0.2556$
  • 數量變動的百分比：
    $\frac{Q_2 - Q_1}{(Q_1 + Q_2)/2} = \frac{42 - 23}{(23 + 42)/2} = \frac{19}{65/2} = \frac{19}{32.5} \approx 0.5846$
  • 價格彈性 (Ed)：
    $E_d = \frac{\text{數量變動的百分比}}{\text{價格變動的百分比}} = \frac{0.5846}{-0.2556} \approx -2.287$
  • 價格彈性的絕對值為 $|-2.287| \approx 2.287$。
• 判斷： 計算結果約為 2.287，與敘述中提供的 0.48 不符。因此，敘述 (1) 是錯誤的。

(2) 稅收歸宿與彈性

敘述 (2) 指出，假設汽油的需求與供給都不是完全彈性或非彈性。若政府對汽油課徵 10% 的稅，汽油價格上漲幅度會小於 10%。

• 核心觀念： 稅收的負擔（歸宿）取決於需求和供給的相對價格彈性。彈性較小的一方負擔較大的稅額。
• 分析：
  • 當政府對某商品課稅時，稅收會由買賣雙方共同分擔。
  • 價格彈性越小的曲線越陡峭，代表該方對價格變動越不敏感，因此在稅收負擔上會承擔較多。
  • 若需求彈性小於供給彈性，則消費者（需求方）負擔較多稅。若供給彈性小於需求彈性，則生產者（供給方）負擔較多稅。
  • 在非完全彈性與非完全非彈性的情況下，稅收會導致價格上漲，但上漲的幅度（即消費者負擔的稅額）會小於稅率本身（10%），因為一部分稅負由生產者承擔（表現為生產者實際收到的價格下降）。
  • 例如，若需求彈性小於供給彈性，價格會上漲，但漲幅會小於 10%，因為供給方也承擔了一部分稅負。反之亦然。
• 判斷： 由於需求和供給都不是完全彈性或非彈性，稅收的負擔會由買賣雙方分攤。因此，消費者支付的價格上漲幅度（即稅收的消費者負擔部分）一定會小於稅率（10%）。敘述 (2) 是正確的。

(3) 外部成本計算

這題主要考驗對總體經濟學中幾個核心概念的理解，包括國內生產毛額 (GDP) 的計算、可支配所得的定義、政府財政赤字的衡量與融資方式，以及總體經濟學中「投資」的定義。

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完整解題過程：

首先，我們需要釐清題目提供的數據與各個經濟變數的定義。

給定數據：

• 政府購買 (Government purchases of goods and services, G) = $180
• 政府借款 (Government borrowing) = $90
• 政府移轉支付 (Government transfers to households) = $30
• 稅收 (Taxes, T) = $120
• 要素所得總額 (Wages, profit, interest, rent) = $790
• 消費支出 (Consumer spending, C) = $580
• 民間儲蓄 (Private savings, S) = $200
• 投資支出 (Investment spending, I) = $100
• 出口 (Exports, X) = $60
• 進口 (Imports, M) = $50
• 企業借款與發行股票 (Borrowing and stock issues by firms) = $100
• 外國借款與出售股票 (Foreign borrowing and sales of stock) = $120
• 外國貸款與購買股票 (Foreign lending and purchases of stock) = $110

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(1) The value of GDP is $850.

GDP 的計算有兩種主要方法：支出法和所得法。

• 支出法： GDP = C + I + G + (X - M)

  • C = $580 (消費支出)
  • I = $100 (投資支出)
  • G = $180 (政府購買)
  • X - M = $60 -$50 = $10 (淨出口)
  • GDP = $580 +$100 + $180 +$10 = $870

• 所得法： GDP = 要素所得總額 + 間接稅淨額 + 折舊 (題目未提供間接稅和折舊，但要素所得總額通常是 GDP 的主要組成部分)

  • 題目提供的「Wages, profit, interest, rent」為 $790。

由於支出法計算出的 GDP 為 $870，與敘述中的$850 不符，因此此敘述不正確。

【答案】(1) 敘述不正確。

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(2) The value of disposable income is $720.

可支配所得 (Disposable Income, YD) 是指家庭從總所得中扣除稅收後，再加上政府移轉支付後所剩餘的金額。在總體經濟模型中，可支配所得通常定義為：
YD = Y - T + TR
其中 Y 是總所得 (GDP)，T 是稅收，TR 是政府移轉支付。

然而，題目中並未直接給出 GDP 或國民所得 (Y)。我們需要從其他數據推導。
另一種計算可支配所得的方式是從消費支出和民間儲蓄來推導：
YD = C + S

• C = $580 (消費支出)
• S = $200 (民間儲蓄)
• YD = $580 +$200 = $780

或者，我們也可以嘗試從 GDP (我們計算為 $870) 來推導： YD = GDP - T + TR YD =$870 - $120 +$30 = $780

無論哪種方式，計算出的可支配所得都是 $780，與敘述中的$720 不符。因此，此敘述不正確。

【答案】(2) 敘述不正確。

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(3) The government needs to finance $210 in its spending. Then the government finances$120 of its spending with tax revenue and the other $90 through borrowing in financial markets.

政府的總支出包括政府購買 (G) 和政府移轉支付 (TR)。
政府總支出 = G + TR = $180 +$30 = $210。

政府的財政狀況可以用政府儲蓄 (Government Saving, GS) 來衡量，其定義為：
GS = T - G - TR
GS = $120 -$180 - $30 = -

這題考驗對總體經濟學核心概念的理解，包含菲利浦曲線、自動穩定器、經濟擴張的驅動因素、失業率的定義，以及貨幣乘數的計算。需要辨別各敘述的正確性，並能連結相關理論。

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題目 4 詳解

本題要求判斷五個關於總體經濟學的敘述中，哪些是錯誤的。我們將逐一分析每個敘述。

(1) In the short run, unemployment and inflation are negatively related. The tradeoff between unemployment and inflation depends on expected inflation. The curve is higher when expected inflation is higher.

此敘述描述了短期菲利浦曲線 (Short-run Phillips Curve,SRPC) 的特性。

• 短期失業率與通貨膨膨脹的負相關關係： 這是菲利浦曲線的核心觀點，認為在短期內，政府若試圖降低失業率（例如透過擴張性貨幣或財政政策），通常會導致通貨膨脹上升；反之，試圖抑制通貨膨脹則可能導致失業率上升。
• 權衡取捨 (Tradeoff) 取決於預期通貨膨脹： 在預期不變的情況下，短期菲利浦曲線描述了這項權衡。然而，如果人們的預期通貨膨脹發生改變，這條曲線就會移動。
• 預期通貨膨脹越高，曲線越高： 當人們預期未來通貨膨脹會更高時，他們會要求更高的名目工資，這會增加企業的生產成本，進而使得企業在任何給定的失業率下，都必須設定更高的價格，導致通貨膨脹率上升。因此，預期通貨膨脹的提高會將短期菲利浦曲線向上移動。

此敘述正確地描述了短期菲利浦曲線的觀念，包括其負斜率、預期通貨膨脹的影響以及預期通貨膨脹提高時的移動方向。

(2) Automatic stabilizers consist of government taxing and spending programs that automatically increase aggregate demand during inflationary times and decrease demand during recessions.

此敘述定義了自動穩定器 (Automatic Stabilizers)。自動穩定器是經濟體系中內建的機制，無需政府採取額外行動，就能自動發揮穩定總體經濟的功能。

• 功能： 在經濟擴張（或通貨膨脹時期），自動穩定器應抑制總體需求；在經濟衰退（或失業時期），自動穩定器應刺激總體需求。
• 稅收： 在通貨膨脹時期，隨著所得增加，個人和企業的所得稅和營所稅會自動增加，這會減少可支配所得，進而抑制消費和投資，使總體需求下降。反之，在經濟衰退時期，所得下降，稅收自動減少，可支配所得增加，有助於刺激消費和投資，增加總體需求。
• 支出： 失業救濟金、社會福利等移轉性支付，在經濟衰退時期，失業人口增加，政府支付的失業救濟金等會自動增加，這會增加家庭的所得，刺激總體需求。在經濟擴張時期，失業率下降，這些支出則會減少。

此敘述的描述與自動穩定器的實際功能是相反的。自動穩定器應該是在通貨膨脹時期 降低 總體需求（透過稅收自動增加或某些支出自動減少），並在衰退時期 增加 總體需求（透過稅收自動減少或某些支出自動增加）。因此，此敘述是 錯誤 的。

(3) If an expansion is driven by technical innovation, one would expect prices to fall, unemployment to fall, and GDP to rise.

此敘述探討技術創新對總體經濟變數的影響。技術創新通常意味著生產效率的提高。

• 生產效率提高： 當技術進步發生時，企業能夠以更低的成本生產更多的商品和服務。這會使得總供給曲線 (Aggregate Supply, AS) 向右移動。
• 對價格的影響： 總供給增加，在總需求不變的情況下，會導致商品和服務的平均價格下降 (Price Level Fall)。
• 對失業率的影響： 生產活動擴張，企業需要更多的勞動力，因此失業率會下降 (Unemployment Fall)。
• 對 GDP 的影響： 生產效率提高且產量增加，實質 GDP 會上升 (GDP Rise)。

因此，若擴張由技術創新驅動，預期會出現價格下降、失業率下降以及 GDP 上升。此敘述是 正確 的。

核心觀念

本題測驗個體經濟學中消費者理論的基數效用分析（Cardinal Utility Analysis）與離散型商品最適消費決策。

1. 每元邊際效用（Marginal Utility per Dollar Spent）：
   消費者花費在該商品最後一塊錢所能獲得的滿足程度，定義為：

   $$\frac{MU_X}{P_X}$$

   其中 $MU_X$ 為商品 $X$ 的邊際效用，$P_X$ 為商品 $X$ 的價格。

2. 效用極大化原則（等邊際效用法則，Equi-Marginal Principle）：
   在所得預算約束限制下，消費者達到總效用極大的充分與必要條件為：

   • 各商品最後一單位的每元邊際效用相等： $$\frac{MU_C}{P_C} = \frac{MU_A}{P_A}$$
   • 所得完全耗盡於商品消費（預算限制式）： $$P_C \cdot Q_C + P_A \cdot Q_A = I$$

3. 未達最適狀態之調整方向：
   若消費組合滿足預算限制，但 $\frac{MU_C}{P_C} < \frac{MU_A}{P_A}$，代表花在蘋果的最後一元帶來的效用高於蛋糕。在邊際效用遞減法則下，消費者應「減少購買蛋糕、增加購買蘋果」，使總效用增加，直到兩者每元邊際效用相等為止。

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解題方法與推導

已知蛋糕價格 $P_C =$$2，蘋果價格 $P_A =$$3。

為求解最適消費組合，首先建構兩種商品的「每元邊際效用（$\frac{MU}{P}$）」對照表：

數量 ($Q$)	蛋糕 $MU_C$	蛋糕 $\frac{MU_C}{P_C}$ ($P_C=2$)	蘋果 $MU_A$	蘋果 $\frac{MU_A}{P_A}$ ($P_A=3$)
1	20	10	30	10
2	18	9	27	9
3	14	7	24	8
4	12	6	21	7
5	10	5	17	5.67
6	8	4	12	4
7	6	3	6	2

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(1) 計算第 2 單位蘋果的每元邊際效用

根據上表：

• 蘋果第 2 單位的邊際效用 $MU_A(2) = 27$
• 蘋果單價 $P_A =$$3

每元邊際效用為：

$$\frac{MU_A(2)}{P_A} = \frac{27}{3} = 9$$

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(2) 所得分別為 $18 與 $30 時的最適購買量

消費者的決策法則是按照每元邊際效用由大到小的順序依序購買，直到所得用盡；且均衡時須滿足 $\frac{MU_C}{P_C} = \frac{MU_A}{P_A}$ 與預算線。

1. 所得 $I =$$18 時：

   • 尋找滿足 $\frac{MU_C}{P_C} = \frac{MU_A}{P_A}$ 的組合：
     • 若 $\frac{MU}{P} = 9$：$Q_C = 2$，$Q_A = 2$
       總支出 $= 2 \times 2 + 3 \times 2 = 4 + 6 =$$$10 <$$18（預算未用完）。
     • 若 $\frac{MU}{P} = 7$：$Q_C = 3$，$Q_A = 4$
       總支出 $= 2 \times 3 + 3 \times 4 = 6 + 12 =$$18。
   • 此時 $P_C \cdot Q_C + P_A \cdot Q_A = 2(3) + 3(4) =$$18，恰好耗盡預算，且兩者的每元邊際效用皆為 $7$。
   • 因此，最適購買量為 3 個蛋糕與 4 個蘋果。

2. 所得 $I =$$30 時：

   • 尋找滿足 $\frac{MU_C}{P_C} = \frac{MU_A}{P_A}$ 的組合：
     • 若 $\frac{MU}{P} = 4$：$Q_C = 6$，$Q_A = 6$
       總支出 $= 2 \times 6 + 3 \times 6 = 12 + 18 =$$30。
   • 此時 $P_C \cdot Q_C + P_A \cdot Q_A = 2(6) + 3(6) =$$30，恰好耗盡預算，且兩者的每元邊際效用皆為 $4$。
   • 因此，最適購買量為 6 個蛋糕與 6 個蘋果。

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(3) 所得為 $23 且消費 4 個蛋糕、5 個蘋果之檢驗與調整

題目敘述 "four prices of cake" 實為筆誤，指購買 4 個蛋糕（$Q_C = 4$）與 5 個蘋果（$Q_A = 5

核心觀念

本題探討資訊不對稱下的勞動市場定價與史賓斯信號發射模型（Spence Signaling / Screening Model），核心觀念如下：

1. 競爭性勞動市場之工資決定：
   在完全競爭市場中，廠商追求利潤極大化且自由進出，均衡工資等於勞動邊際產值（Value of Marginal Product of Labor, $VMP_L$）：
   $VMP_L = P \times MP_L$
2. 完備資訊 vs. 資訊不對稱（混同 vs. 分離）：
   • 完備資訊（Separating）：廠商能明確辨識勞工能力，個別支付等於其邊際產值的工資（$w_i = VMP_i$）。
   • 資訊不對稱（Pooling）：廠商無法辨識勞工能力時，僅能依市場平均（期望）邊際產值支付單一混同工資（$w = E[VMP]$）。
3. 教育篩選機制與誘因相容條件（Incentive Compatibility, IC）：
   • 廠商設定教育年數門檻 $X^*$：達到門檻者視為高生產力並給予高薪 $w_H$；未達門檻者給予低薪 $w_L$。
   • 分離均衡（Separating Equilibrium）條件：
     • 低生產力勞工誘因相容：不冒充高生產力（不值得接受教育），即 $20 \times w_L - C_L(0) \ge 20 \times w_H - C_L(X^*)$。
     • 高生產力勞工誘因相容：願意接受教育以獲取高薪，即 $20 \times w_H - C_H(X^*) \ge 20 \times w_L - C_H(0)$。
   • 單一交叉條件（Single-Crossing Property）：高生產力者的邊際教育成本必須嚴格小於低生產力者（$MC_H < MC_L$），教育才能作為有效的信號/篩選工具。

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解題方法

基本參數整理

• 產品價格：$P = $$100 / 件。
• 工作年限：$T = 20$ 年。
• 市場中高、低生產力勞工人數相等，各佔一半，即機率 $q_H = 0.5$、$q_L = 0.5$。
• 低生產力勞工（Low Productivity, $L$）：
  $MP_L = 10 \text{ 件/年} \implies VMP_L = P \times MP_L = 100 \times 10 = 1000 \text{（元/年）}$
• 高生產力勞工（High Productivity, $H$）：
  $MP_H = 2 \times MP_L = 20 \text{ 件/年} \implies VMP_H = P \times MP_H = 100 \times 20 = 2000 \text{（元/年）}$

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(1) 無法辨識勞工型態時的年薪（混同工資）

當廠商在招聘時無法辨別勞工型態，在完全競爭的零利潤條件下，廠商只能提供反映市場平均生產力的工資（期望邊際產值）：
$w = E[VMP] = q_H \cdot VMP_H + q_L \cdot VMP_L$
$w = (0.5 \times 2000) + (0.5 \times 1000) = 1000 + 500 = 1500$

因此，廠商提供給每位勞工的年薪為 $$1,500。

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(2) 可依教育年數辨識勞工型態時的年薪（分離工資）

當廠商能完全辨識勞工型態時，市場達到完全資訊均衡，依個別勞工的邊際產值支薪：

• 高生產力勞工年薪：
  $w_H = VMP_H = 100 \times 20 = 2000 \text{（元/年）}$
• 低生產力勞工年薪：
  $w_L = VMP_L = 100 \times 10 = 1000 \text{（元/年）}$

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(3) 廠商如何透過教育年數 $X$ 辨識兩類勞工

設廠商訂定分離門檻為 $X^*$ 年：凡 $X \ge X^*$ 者給予高薪 w_H = \$$2,000/年；凡 X < X^*$ 者給予低薪

核心觀念

本題評量寡占市場（Duopoly）之定價策略、同質與異質產品之市場結構差異，以及廣告（產品差異化）帶來的經濟效益：

1. 同質產品的價格競爭（Bertrand 模型）：

   • 當兩家廠商生產的產品為「完全替代品」（Perfect Substitutes）時，消費者具有高度的價格敏感度（交叉價格彈性為無窮大），市場需求將完全流向價格較低的一方。
   • 若某廠商單方面提高價格（$P_i > P_j$），其面對的需求量將瞬間歸零（$Q_i = 0$）。

2. 利潤與成本結構：

   • 總收益：$TR = P \times Q$
   • 總成本：$TC = FC + VC = FC + (MC \times Q)$（本題邊際成本 $MC = 0$，故 $TC = FC =$$80,000）
   • 經濟利潤：$\pi = TR - TC = P \times Q - FC$

3. 產品差異化（Product Differentiation）與定價能力：

   • 廣告能創造品牌忠誠度與產品差異化，使廠商面對一條「負斜率的需求曲線」（具備市場力量 / Market Power），即使提高價格也不會使所有顧客流失。
   • 利潤極大化條件為邊際收益等於邊際成本（$MR = MC$）。

4. 廣告的最大願付金額（Maximum Willingness to Pay, WTP）：

   • 廠商願意支付給廣告的最高金額，等於廣告實施後透過最適定價所獲得之「最大營運利潤」與「未做廣告前之利潤」兩者之間的差額（即廣告所創造的增量利潤）： $$\text{Max WTP} = \pi^*_{\text{with advertising}} - \pi_{\text{without advertising}}$$

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解題方法

第 (1) 小題：計算漢堡王目前（未廣告前）的利潤

• 已知條件：
  • 單價 $P =$$60
  • 每日銷售量 $Q = 18\text{ 千個} = 18,000\text{ 個}$
  • 固定成本 $FC =$$80,000，邊際成本 $MC = 0$
• 步驟推導：
  1. 計算總收益（$TR$）： $$TR = P \times Q = 60 \times 18,000 = \$1,080,000$$
  2. 計算總成本（$TC$）： $$TC = FC + MC \times Q = 80,000 + 0 \times 18,000 = \$80,000$$
  3. 計算利潤（$\pi$）： $$\pi = TR - TC = 1,080,000 - 80,000 = \$1,000,000$$
• 小結：漢堡王的每日利潤為 $1,000,000（或稱 100 萬美元 / $1,000 thousand）。

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第 (2) 小題：若漢堡王單方面漲價至 $80，其利潤之變化

• 邏輯分析：
  • 題目指出消費者視麥當勞與漢堡王為「完全替代品」（Perfect Substitutes）。
  • 若漢堡王將售價調高至 $P_{\text{BK}} =$$80，而麥當勞維持 $P_{\text{M}} =$$60，所有理性消費者皆會轉向購買價格較低的麥當勞。
• 步驟推導：
  1. 漢堡王面臨的需求量驟降至 $Q_{\text{BK}} = 0$。
  2. 漢堡王的總收益變為 $TR = 80 \times 0 =$$0。
  3. 漢堡王仍須負擔固定成本 $FC =$$80,000，故其利潤變為： $$\pi = TR - TC = 0 - 80,000 = -\$80,000$$
  4. 利潤變化量為： $$\Delta \pi = -80,000 - 1,000,000 = -\$1,080,000$$
• 小結：漢堡王的利潤將減少 $1,080,000，並轉為**虧損

好的，這是一題關於公共財的經典考題，主要在檢驗你對公共財的特性、市場失靈的成因以及政府干預的機制是否理解。

(1) 均衡價格與數量

這題考的是公共財的市場均衡。由於公共財具有非敵對性（non-rivalry）和非排他性（non-excludability）的特性，其供給與需求行為與私有財不同。在市場上，我們無法像私有財一樣，透過市場價格來決定供給量，因為每個人都可以同時享用，且無法排除他人使用。因此，公共財的有效供給量應由所有消費者的邊際效益加總（即社會邊際效益）等於邊際成本來決定。

首先，我們需要找出個別消費者 X 和 Y 對於公共財的需求曲線。題目給定的需求函數是個別消費者對該財貨的「支付意願」，也就是他們願意為每一單位財貨支付的價格。對於公共財而言，我們需要將所有消費者的支付意願（即邊際效益）垂直加總，以得到社會的總邊際效益曲線。

X 的需求函數為 $Q_A = 100 - P_X$，這表示 X 願意支付的價格 $P_X$ 為 $P_X = 100 - Q$。
Y 的需求函數為 $Q_B = 200 - 2P_Y$，這表示 Y 願意支付的價格 $P_Y$ 為 $P_Y = \frac{200 - Q}{2} = 100 - \frac{1}{2}Q$。

由於這是公共財，兩個人同時消費相同數量的產品，因此 $Q_A = Q_B = Q$。社會的總邊際效益 (SMB, Social Marginal Benefit) 是將個別消費者的邊際效益（即他們願意支付的價格）垂直加總。

SMB = $P_X + P_Y = (100 - Q) + (100 - \frac{1}{2}Q)$
SMB = $200 - \frac{3}{2}Q$

公共財的有效供給量是由社會邊際效益等於邊際成本 (MC) 來決定的。題目給定的邊際成本為 $MC = 80$。

令 SMB = MC
$200 - \frac{3}{2}Q = 80$
$\frac{3}{2}Q = 200 - 80$
$\frac{3}{2}Q = 120$
$Q = 120 \times \frac{2}{3}$
$Q = 80$

因此，社會的有效供給量為 80 單位。

接下來，我們需要找出此時的「均衡價格」。對於公共財而言，不存在單一的市場價格。然而，如果我們假設政府提供此公共財，並向每位消費者收取稅金以反映其邊際效益，那麼我們需要計算在 $Q=80$ 時，X 和 Y 各自的支付意願，這也代表了他們願意為此公共財支付的價格。

對於 X：
$P_X = 100 - Q = 100 - 80 = 20$

對於 Y：
$P_Y = 100 - \frac{1}{2}Q = 100 - \frac{1}{2}(80) = 100 - 40 = 60$

在公共財的理論中，我們通常會討論社會邊際效益等於邊際成本所決定的數量。而價格的決定則與稅收的分配有關。如果我們將此視為一個由政府提供並由私人付費的公共財，那麼「均衡價格」可以理解為在該有效供給量下，社會邊際效益的總和。然而，題目問的是「均衡價格與數量」，這通常是指在沒有政府干預下，市場機能會導向的結果。但公共財的市場機能是失靈的，無法自行達到有效率的供給。

另一種解釋是，題目可能是在問，如果我們將公共財的供給視為一個由單一廠商提供的問題，而該廠商的供給曲線就是其邊際成本曲線，那麼社會邊際效益曲線與邊際成本曲線的交點決定了有效率的數量。而價格則可以理解為在該數量下，社會邊際效益的總和，或者更精確地說，是為了達到該數量所需要的總支付。

然而，在公共財的討論中，通常會將社會邊際效益曲線與邊際成本曲線的交點所決定的數量視為有效率的數量。而價格的決定則與如何分攤成本有關。如果題目要求一個單一的「均衡價格」，這在公共財的標準模型中較為少見。

但若我們將題目中的 P 解讀為「單位價格」，並且將 X 和 Y 的需求曲線垂直加總來尋找社會總需求，那麼我們就得到了上面的 SMB 曲線。SMB 與 MC 的交點決定了有效率的數量 Q=80。

在公共財的設定下，我們通常不會得到一個單一的市場均衡價格。但如果題目硬要一個價格，我們可以考慮以下幾種可能性：

核心觀念

本題使用 Cobb-Douglas 生產函數：

$$Y=K^{0.2}L^{0.8}$$

其中資本的產出彈性為 $\alpha=0.2$，因此資本邊際產量為：

$$MPK=\frac{\partial Y}{\partial K} =0.2K^{-0.8}L^{0.8} =0.2\frac{Y}{K}$$

資本累積方程式為：

$$\dot K=sY-\delta K$$

在穩態成長狀態下，資本與產出的成長率相同，因此：

$$\frac{\dot K}{K}=\frac{\dot Y}{Y}=g$$

故有：

$$sY=(g+\delta)K$$

整理得穩態儲蓄率：

$$s=(g+\delta)\frac{K}{Y}$$

Golden Rule 的條件是使每位有效勞工消費最大，因此資本邊際產量必須等於資本的有效折舊率：

$$MPK=g+\delta$$

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解題方法

題目給定：

$$g=5\%=0.05,\qquad \delta=2\%=0.02,\qquad \frac{K}{Y}=2$$

其中 $g$ 為產出成長率，$\delta$ 為折舊率。

（1）法國的資本邊際產量

由生產函數可得：

$$MPK=0.2\frac{Y}{K}$$

又因為：

$$\frac{K}{Y}=2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{Y}{K}=\frac{1}{2}$$

因此：

$$MPK=0.2\times \frac{1}{2}=0.1$$

所以：

$$\boxed{MPK=10\%}$$

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（2）經濟處於穩態時的儲蓄率

穩態成長時，資本成長率必須等於產出成長率 $g=5\%$。因此，投資除了補充折舊資本之外，還必須提供使資本成長 $5\%$ 所需的資金：

$$sY=(g+\delta)K$$

兩邊除以 $Y$：

$$s=(g+\delta)\frac{K}{Y}$$

代入數值：

$$s=(0.05+0.02)\times 2$$ $$s=0.07\times 2=0.14$$

因此：

$$\boxed{s=14\%}$$

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這題核心在考「勞動市場失衡」與「最低工資（或實質工資僵固）高於均衡水準」時的失業效應，特別是當勞動供給增加時，在工資無法向下調整的情況下，失業人數會如何變動。關鍵觀念包含：勞動市場均衡、實質工資僵固（rigid real wage）、超額勞動供給即為失業、以及供給曲線右移對失業缺口的影響。

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解題過程詳解

1. 建立初始勞動市場模型

首先，我們假設勞動市場的需求曲線為 $D_L$，供給曲線為 $S_{L1}$。在完全競爭且工資可靈活調整的情況下，市場會在需求等於供給處達成均衡，此時實質工資為 $w^*$，就業人數為 $L^*$。

然而，題目設定「實質工資被固定在高於均衡的水準」，設此固定工資為 $\bar{w}$，且 $\bar{w} > w^*$。
在此工資水準 $\bar{w}$ 下：

• 廠商願意雇用的勞動數量由需求曲線決定，記為 $L_D$。
• 勞工願意提供的勞動數量由供給曲線 $S_{L1}$ 決定，記為 $L_{S1}$。
• 由於 $\bar{w} > w^*$，根據需求法則與供給法則，必然有 $L_{S1} > L_D$。
• 此时的失業人數（Unemployment, $U_1$）等於勞動供給量減去勞動需求量：
  $U_1 = L_{S1} - L_D$
  這部分的差額即為「非自願失業」，因為工資無法下降來出清市場。

2. 分析勞動供給增加的衝擊

題目接著問：「當勞動供給增加時（an increase in the supply of labor），失業人數會如何變化？」

• 勞動供給增加意味著供給曲線向右移動，從 $S_{L1}$ 移至 $S_{L2}$。
• 關鍵點：由於實質工資 $\bar{w}$ 是被「固定」（held above equilibrium）的，它不會因為供給增加而下降。
• 在新的供給曲線 $S_{L2}$ 與固定工資 $\bar{w}$ 的交點上：
  • 廠商的需求量 $L_D$ 保持不變，因為工資 $\bar{w}$ 沒變，且需求曲線 $D_L$ 也未移動。
  • 勞工的供給量從 $L_{S1}$ 增加到 $L_{S2}$（因為供給曲線右移，在同一工資下更多人願意工作）。
• 新的失業人數 $U_2$ 為：

好的，這是一題關於小型開放經濟體系中儲蓄、投資與國際貿易關係的經典題目。我們將從國民所得恆等式出發，推導出國民儲蓄與淨出口的關係，並探討財政擴張對貿易平衡的影響。

(1) 國民儲蓄與淨出口的關係

核心觀念： 國民所得恆等式是分析總體經濟體系的重要工具，透過對其進行代數轉換，可以揭示不同經濟變數之間的內在關聯。在小型開放經濟體系中，國內的儲蓄必須等於國內的投資加上淨外貸（即淨出口）。

解題過程：

1. 國民所得恆等式：
   題目給定的國民所得恆等式為：
   $Y = C + I + G + NX$
   其中，$Y$ 代表總產出（所得），$C$ 代表消費，$I$ 代表投資，$G$ 代表政府購買，$NX$ 代表淨出口。

2. 重新整理恆等式以分離儲蓄：
   我們知道，國民所得 $Y$ 可以分配給消費 $C$、儲蓄 $S$ 和支付稅收 $T$。因此，可將 $Y$ 表示為 $Y = C + S + T$。
   將此代入國民所得恆等式：
   $C + S + T = C + I + G + NX$

3. 消去消費項並分離儲蓄：
   等號兩邊同時減去 $C$：
   $S + T = I + G + NX$
   將 $T$ 移到等號右邊：
   $S = I + G - T + NX$

4. 定義國民儲蓄：
   在總體經濟學中，國民儲蓄（National Saving）定義為個人儲蓄與政府儲蓄的總和。個人儲蓄是可支配所得中未消費的部分，即 $S_{private} = Y - T - C$。政府儲蓄是政府稅收減去政府購買和政府移轉支付的差額，即 $S_{government} = T - G$ (在此模型中，移轉支付未明確列出，故簡化為 $T-G$)。
   因此，國民儲蓄 $S$ 可以表示為：
   $S = S_{private} + S_{government}$
   $S = (Y - T - C) + (T - G)$
   $S = Y - C - G$

5. 推導國民儲蓄與淨出口的關係：
   回到步驟 3 的恆等式 $S + T = I + G + NX$，我們將 $G-T$ 移到等號左邊：
   $S + T - G = I + NX$
   $S - (G - T) = I + NX$
   由於國民儲蓄 $S = Y - C - G$，且可支配所得 $Y_d = Y - T$，消費 $C = C(Y_d)$。
   我們可以將步驟 1 的恆等式改寫為：
   $Y = C(Y-T) + I(r) + G + NX$
   將 $Y$ 移到等號右邊，並重新組合：
   $0 = C(Y-T) - Y + I(r) + G + NX$
   $Y - C(Y-T) - G = I(r) + NX$
   左邊即為國民儲蓄 $S$：
   $S = I(r) + NX$
   此即為國民儲蓄與淨出口的關係。

6. 經濟直覺解釋：
   這個恆等式 $S = I + NX$ 表明，一個經濟體的國民儲蓄（國內的總儲蓄）必須等於國內的投資加上淨出口。

   • 國內投資 (I)： 這是國內生產要素用於增加資本存量的支出。
   • 淨出口 (NX)： 這代表了該國對外國的淨貸出。如果 $NX > 0$，表示該國出口大於進口，淨貸出為正，意味著該國將其部分儲蓄貸予外國。如果 $NX < 0$，表示該國進口大於出口，淨貸出為負，意味著該國從外國借入資金。

   因此，國民儲蓄 $S$ 可以用於兩種用途：

   • 國內投資 (I)： 資金用於購買國內生產的資本財。
   • 淨外貸 (NX)： 資金用於購買外國商品（進口）或貸予外國（淨貸出）。當 $NX > 0$ 時，表示國內儲蓄流出國外，用於購買外國資產或商品，這部分資金也必須由國內的總儲蓄來支應。

   這個恆等式實際上是從「資金來源」的角度來看：國內生產的總所得 $Y$ 被用於消費 $C$、政府購買 $G$ 和投資 $I$，以及淨出口 $NX$。而國內的總儲蓄 $S$ 則是所得中未被消費和政府購買的部分。因此，總儲蓄 $S$ 必須等於國內投資 $I$ 與淨外貸 $NX$ 的總和。

   數學式推導：
   從 $Y = C + I + G + NX$ 開始
   將 $C$ 和 $G$ 移到左邊：$Y - C - G = I + NX$
   由於國民儲蓄 $S = Y - C - G$
   所以，$S = I + NX$

   經濟直覺：
   國民儲蓄 $S$ 是國內所有部門（家庭、企業、政府）的總儲蓄。這筆儲蓄有兩個去處：

   1. 國內投資 (I)： 用於購買國內生產的資本財。
   2. 淨外貸 (NX)： 如果 $NX > 0$，表示該國將儲蓄貸給外國，購買外國商品或資產；如果 $NX < 0$，表示該國從外國借款，購買外國商品或資產。

   因此，國民儲蓄必須等於國內投資加上淨外貸。

【答案】
$S = I + NX$
這個恆等式表明，一個經濟體的國民儲蓄必須等於國內的投資加上淨出口。經濟直覺是，國內的總儲蓄（國民儲蓄 $S$）可以有兩種用途：一是用於國內的資本形成（投資 $I$），二是透過淨出口 $NX$ 流向國外（淨外貸）。

(2) 財政擴張對貿易平衡的影響

核心觀念： 在小型開放經濟體系中，實質利率由國際市場決定 ($r = r^*$)。財政政策（如政府購買增加）會影響國內的總需求和儲蓄，進而影響國際資金流動和貿易平衡。

解題過程：

1. 初始狀態：
   經濟體處於充分就業產出水平，且貿易平衡（Balanced Trade），即 $NX = 0$。
   根據 (1) 的結論，此時國民儲蓄等於國內投資：$S = I$。

2. 政府擴大國內支出：
   政府增加政府購買 $G$。由於 $Y=C+I+G+NX$，且經濟體處於充分就業，總產出 $Y$ 在短期內是固定的（或只能小幅變動）。
   當 $G$ 增加時，為了維持恆等式，其他組成部分必須進行調整。

好的，這是一題關於凱因斯模型中乘數效應的經典題目。它主要考驗你對政府支出乘數和平衡預算乘數的理解，以及稅率和邊際進口傾向如何影響這些乘數。

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8. 凱因斯模型中的乘數效應

本題主要探討在凱因斯模型中，政府支出乘數和平衡預算乘數的計算，以及稅率和邊際進口傾向對這些乘數的影響。

(1) 政府支出乘數及其受稅率影響之分析

解題過程：

首先，我們需要從總體經濟的基本恆等式出發，並將各項組成部分代入，以建立一個包含自主性支出和誘導性支出的模型。

凱因斯模型的基本恆等式為：
$Y = C + I + G + X - M$

其中：

• $Y$ 為總產出（所得）
• $C$ 為消費支出
• $I$ 為投資支出
• $G$ 為政府支出
• $X$ 為出口
• $M$ 為進口

根據題目給定的消費函數、稅收函數和進口函數：

• 消費函數：$C = C_o + b(Y-T)$
  • $C_o$ 為自主性消費
  • $b$ 為邊際消費傾向 (MPC)，且 $0 < b < 1$
  • $Y-T$ 為可支配所得
• 稅收函數：$T = T_o + tY$
  • $T_o$ 為自主性稅收
  • $t$ 為稅率，且 $0 \le t < 1$
• 進口函數：$M = M_o + mY$
  • $M_o$ 為自主性進口
  • $m$ 為邊際進口傾向 (MPM)，且 $0 < m < 1$

將這些函數代入總體經濟恆等式：
$Y = [C_o + b(Y - (T_o + tY))] + I + G + X - [M_o + mY]$

為了求出政府支出乘數，我們需要將所有包含 $Y$ 的項合併，然後解出 $Y$ 相對於 $G$ 的變化量。

$Y = C_o + bY - bT_o - btY + I + G + X - M_o - mY$

將所有 $Y$ 項移到等式左邊：
$Y - bY + btY + mY = C_o - bT_o + I + G + X - M_o$

提出 $Y$：
$Y(1 - b + bt + m) = C_o - bT_o + I + G + X - M_o$

解出 $Y$：
$Y = \frac{1}{1 - b + bt + m}(C_o - bT_o + I + G + X - M_o)$

政府支出乘數定義為總產出 $Y$ 相對於政府支出 $G$ 的變化量，即 $\frac{\Delta Y}{\Delta G}$。由於模型是線性的，我們可以透過對上式對 $G$ 求偏微分來得到乘數。在此模型中，除了 $G$ 之外，其他變數（$C_o, T_o, I, X, M_o$）被視為外生變數。

$\frac{\Delta Y}{\Delta G} = \frac{1}{1 - b + bt + m}$

這個公式就是政府支出乘數。

稅率對政府支出乘數的影響：

從政府支出乘數的公式 $\frac{1}{1 - b + bt + m}$ 中，我們可以觀察到稅率 $t$ 的存在。

• 分母是 $1 - b + bt + m$。
• 當稅率 $t$ 增加時，分母中的 $bt$ 項會增加。
• 由於 $b$ 和 $t$ 都是正數（或非負），增加 $t$ 會使分母 $1 - b + bt + m$ 變大。
• 當分母變大時，整個乘數 $\frac{1}{1 - b + bt + m}$ 的值會變小。

經濟直覺解釋：

稅率 $t$ 的存在意味著政府會從所得中抽取一部分作為稅收。當政府增加支出時，這筆支出會透過消費、進口等管道在經濟體系中循環，產生乘數效應。然而，由於一部分的所得會以稅收的形式被政府拿走（$tY$），這就減少了用於消費的金額，從而削弱了乘數效應的規模。因此，較高的稅率會導致較小的政府支出乘數。

總結：

政府支出乘數為 $\frac{1}{1 - b + bt + m}$。稅率 $t$ 的存在會使政府支出乘數變小。稅率越高，乘數效應越弱。

【答案】
政府支出乘數為 $\frac{1}{1 - b + bt + m}$。稅率 $t$ 的存在會使政府支出乘數變小。這是因為稅收會從所得中扣除，減少了可供消費的金額，進而削弱了總體經濟中支出的連鎖反應。

(2) 平衡預算乘數及其受邊際進口傾向影響之分析

解題過程：