111 年 國立中央大學企業管理學系碩士班甲組《經濟學》

本題主要在測試考生對於生產可能曲線（Production Possibilities Frontier, PPF）基本概念的理解。PPF 描繪一個經濟體在資源固定且技術不變下，能夠生產的兩種財貨的組合上限。

(1) 正確。生產可能曲線（PPF）定義了一個經濟體在現有資源與技術下，所能達到的「可實現」（attainable）與「不可實現」（unattainable）的組合之間的邊界。曲線上的點代表資源充分利用且效率最高的組合，曲線內的點代表資源未充分利用或效率不高，曲線外的點則代表無法達到的組合。

(2) 正確。在生產可能曲線（PPF）上移動，代表經濟體將資源從生產一種財貨轉移到另一種財貨。由於資源是有限的，增加一種財貨的生產通常意味著必須減少另一種財貨的生產，這體現了機會成本的概念。

(3) 錯誤。生產可能曲線（PPF）的移動（向外或向內）代表經濟體總生產能力的改變，通常是由於資源（如勞動力、資本、自然資源）的增減或技術的進步。若美國經濟減少失業率，代表更多勞動力被投入生產，這會使經濟體從 PPF 內部移動到 PPF 上，但不會使 PPF 本身向外移動。PPF 向外移動通常是因為總生產能力的增加，例如技術進步或資源增加。

(4) 錯誤。根據表格，選項 C 的組合是生產 400 輛坦克和 650 架飛機，這在 PPF 上。而題目中提到「400 輛坦克和 700 架飛機」這個組合。由於 700 架飛機的產量高於選項 C 的 650 架，且坦克的產量相同，因此這個組合 (400 tanks, 700 airplanes) 應該是超出 PPF 的，是不可達成的。

核心觀念

本題考查四個觀念：

1. 互補品與需求變動。
2. 需求價格彈性的計算。
3. 銷售稅的租稅歸宿。
4. 負外部成本與無謂損失。
5. 私人邊際利益與社會邊際利益。

---

解題方法

逐項判斷敘述是否符合經濟學定義：

• 互補品：一種商品價格上升，另一種商品的需求下降。
• 需求價格彈性：

$$E_d=\frac{\%\Delta Q_d}{\%\Delta P}$$

通常以絕對值表示。

• 銷售稅歸宿：比較課稅前後買方支付價格與賣方實收價格的變化。
• 負外部性：私人邊際成本低於社會邊際成本，市場產量會高於社會最適產量。
• 社會邊際利益：

$$SMB=PMB+外部邊際利益$$

---

選項分析

（1）正確

披薩與可樂屬於互補品。消費者通常會搭配食用披薩與可樂。

當披薩價格上升時，披薩的需求量下降，連帶使可樂的需求下降。因此，可樂的需求曲線向左移動。

所以本敘述正確。

---

（2）正確

價格上升 $5\%$，需求量下降 $30\%$，需求價格彈性之絕對值為：

$$|E_d|=\left|\frac{-30\%}{5\%}\right|=6$$

若採用帶有方向的定義，彈性為 $-6$；但經濟學中談論需求價格彈性時，通常以絕對值表示，因此稱為 $6$。

所以本敘述正確。

---

（3）錯誤

銷售稅為每單位 $50$。若課稅後均衡價格上升 $50$，表示買方支付的價格增加 $50$。

設：

• 課稅前價格為 $P$
• 課稅後買方支付價格為 $P_b=P+50$
• 賣方實際收到的價格為 $P_s$

因為銷售稅為 $50$：

$$P_b-P_s=50$$

代入 $P_b=P+50$：

$$(P+50)-P_s=50$$

因此：

$$P_s=P$$

賣方實收價格沒有下降，買方承擔全部 $50$ 的稅負。故稅負是由買方完全承擔，而不是由賣方完全承擔。

所以本敘述錯誤。

---

（4）錯誤

生產活動具有負外部成本時，生產者只考慮私人邊際成本，未將污染、噪音或環境損害等外部成本納入決策。

因此：

核心觀念

本題綜合考查完全競爭與獨占市場中的：

• 停業條件：$P$ 與最低平均變動成本 $\min AVC$ 的比較。
• 經濟利潤計算：$\pi=(P-ATC)Q$。
• 利潤極大化條件：$MR=MC$。
• 獨占相較於完全競爭的價格與產量。
• 雙占廠商偏離聯合利潤極大產量時，各廠商與產業總利潤的變化。

---

解題方法

逐一判斷各敘述是否符合相關定義與利潤極大化條件：

1. 比較價格與最低$AVC$，判斷廠商是否應停業。
2. 利用完全競爭下$P=MR$，再計算$ATC$與經濟利潤。
3. 比較$MR$與$MC$，判斷增加產量是否能提高利潤。
4. 比較完全競爭與單一價格獨占的均衡價格。
5. 判斷偏離獨占產量後，聯合總利潤是否增加、減少或不變。

---

選項分析

（1）錯誤

題目給定：

• 最低平均變動成本為$6$；
• 對應產量為$30$；
• 市場價格為$5$。

完全競爭廠商的短期停業條件為：

$$P<\min AVC$$

由於：

$$5<6$$

廠商生產任何正產量時，收入都不足以彌補變動成本，因此應選擇停業，產量為：

$$Q=0$$

而不是把產量減少至$30$以下。$30$是使平均變動成本最低的產量，並非價格低於最低$AVC$時仍應生產的目標產量。

因此本選項錯誤。

---

（2）錯誤

完全競爭市場中：

$$P=MR=55$$

生產$500$台時：

$$AVC=30$$

固定成本為：

$$TFC=10{,}000$$

因此平均固定成本為：

$$AFC=\frac{TFC}{Q} =\frac{10{,}000}{500} =20$$

平均總成本為：

$$ATC=AVC+AFC=30+20=50$$

經濟利潤為：

$$\pi=(P-ATC)Q$$

代入數值：

$$\pi=(55-50)\times500 =5\times500 =2{,}500$$

因此經濟利潤是$2,500$，不是題目所說的$2,000$。

本選項錯誤。

---

（3）正確

單一價格獨占廠商的利潤極大化條件為：

$$MR=MC$$

題目給定：

$$MR=18,\qquad MC=16$$

因此：

$$MR>MC$$

核心觀念

本題綜合考查：

• 勞動市場統計：勞動力、失業人口與失業率。
• 消費者物價指數（CPI）與品質調整。
• GDP 的計算範圍：市場交易與非市場生產。
• 總需求曲線向下傾斜的三種效果：實質財富效果、利率效果與匯率效果。

失業率公式為：

$$\text{失業率} = \frac{\text{失業人口}}{\text{勞動力}} \times 100\%$$

---

選項分析

（1）正確

總人口為 $120$ 百萬人，其中：

• $8$ 百萬人未滿 16 歲；
• $7$ 百萬人被收容或機構化，不屬於平民非機構人口；
• 平民勞動力為 $100$ 百萬人。

已就業人口為 $80$ 百萬人，因此失業人口為：

$$\text{失業人口} = 100-80 = 20\text{ 百萬人}$$

失業率為：

$$\text{失業率} = \frac{20}{100}\times 100\% = 20\%$$

因此題目敘述的失業率正確。

補充而言，未滿 16 歲人口與機構化人口不列入平民非機構人口，但本選項已直接給出平民勞動力，因此計算失業率時只需使用勞動力與就業人口。

---

（2）正確

汽車馬力增加而價格維持不變，代表消費者以相同的貨幣價格取得品質更高的汽車，購買力因此提高。

然而，傳統 CPI 是根據固定消費籃計算商品價格變動：

$$\text{CPI} = \frac{\text{當期固定籃商品成本}} {\text{基期固定籃商品成本}} \times 100$$

若汽車的標價沒有改變，CPI 所觀察到的價格並未上升或下降，因此 CPI 維持不變。

本選項同時指出：

• 汽車品質提高、相同價格可買到更高品質，購買力提高；
• 名目價格不變，因此 CPI 不變。

故本選項正確。

---

（3）錯誤

GDP 衡量的是一定期間內，市場上生產的最終商品與勞務之市場價值。家庭成員自行在家進行修繕，並未發生市場交易，因此通常不列入 GDP。

核心觀念

本題為總體經濟學的綜合觀念題，涵蓋五個核心單元：

1. 古典學派之潛在產出（充分就業產出）的決定因素：生產函數由勞動投入量與資本／自然資源存量決定，要素稟賦的增加均會使潛在 GDP 提高。
2. 貨幣創造乘數理論：貨幣乘數公式 $m = \frac{1+c}{r_d+c}$。法定存款準備率與通貨淨額比率對貨幣乘數及貨幣供給的影響方向。
3. 費雪交易方程式（Quantity Equation of Exchange）：$M \cdot V_T = P_T \cdot T$，貨幣量、流通速度、交易量與平均物價的等式關係。
4. 總合需求與總合供給（AD-AS）模型：工資上漲造成負向供給衝擊（AS 左移），引發停滯性通膨（Stagflation，產出下降、物價上漲）。
5. 古典勞動市場均衡與總合產出計算：在完全競爭市場中，廠商利潤極大化之實質工資等於勞動邊際產能（$W/P = MP_L$），並與勞動供給曲線聯立求解均衡勞動量與總產出。

---

解題方法與計算推導

針對五個陳述進行嚴謹的經濟學邏輯檢驗與數值推導：

• 陳述 (1)：潛在 GDP（$Y^*$）取決於生產要素總量。生產函數為 $Y = F(K, L, N)$，其中移民湧入使勞動供給 $L$ 增加，新礦藏發現使自然資源 $N$ 增加。兩者皆推升生產可能邊界，使潛在 GDP 增加。
• 陳述 (2)：貨幣供給量 $M = m \times B$，其中貨幣乘數 $m = \frac{1+c}{r_d+c}$（$c$ 為通貨—存款比率 $C/D$，$r_d$ 為法定準備率）。分別對 $r_d$ 與 $c$ 偏微分： $$\frac{\partial m}{\partial r_d} = -\frac{1+c}{(r_d+c)^2} < 0$$ $$\frac{\partial m}{\partial c} = \frac{(r_d+c) - (1+c)}{(r_d+c)^2} = \frac{r_d-1}{(r_d+c)^2} < 0 \quad (\text{因 } r_d < 1)$$ 因此，$r_d$ 下降與 $c$ 下降皆會使貨幣乘數 $m$ 放大。在強力貨幣（準備貨幣）$B$ 不變下，貨幣供給量必增加。
• 陳述 (3)：交易型貨幣數量方程式為 $M \cdot V_T = P_T \cdot T$。其中 $M$ 為貨幣量、$V_T$ 為交易流通速度、$P_T$ 為每筆交易的平均物價、$T$ 為交易次數。若 $V_T$ 固定而 $M$ 增為 2 倍，則右式的 $P_T \cdot T$（每筆平均交易價格 $\times$ 交易總數）必然增為 2 倍。
• 陳述 (4)：名目工資倍增造成生產成本暴增，導致短期總合供給曲線（SRAS）向上／向左移動。在 AD 不變的情況下，新均衡將呈現實質 GDP 減少、物價水準 $P$ 上升（停滯性通膨），而非下降。
• 陳述 (5)：
  1. 生產函數：$Y = 1{,}000 L^{1/2}$。
  2. 勞動邊際產出（$MP_L$）： $$MP_L = \frac{dY}{dL} = 1{,}000 \times \frac{1}{2} L^{-1/2} = 500 L^{-1/2}$$
  3. 廠商利潤極大化的勞動需求條件為實質工資等於邊際產能： $$\frac{W}{P} = MP_L = 500 L^{-1/2} \implies L^{-1/2} = \frac{W/P}{500} \implies L^{1/2} = \frac{500}{W/P}$$ 勞動需求函數為： $$L^D = \frac{250{,}000}{(W/P)^2}$$
  4. 給定勞動供給函數： $$L^S = 31{,}250 \left(\frac{W}{P}\right)$$
  5. 勞動市場均衡（$L^D = L^S$）：

核心觀念

本題考查三個觀念：

1. 貨幣需求與持有貨幣的機會成本。
2. Solow 成長模型中儲蓄率對穩態產出水準與長期成長率的影響。
3. 中央銀行獨立性的定義。

題目問「不正確」的敘述，因此必須逐一判斷。

解題方法

先判斷貨幣需求的決定因素，再利用 Solow 模型的穩態條件分析儲蓄率，最後檢查中央銀行獨立性的定義。

選項分析

選項（1）錯誤

支票存款（checking accounts）具有高度流動性，可視為貨幣的一部分。若政府允許銀行對支票存款支付利息，持有支票存款的報酬提高，持有貨幣的機會成本下降。

貨幣需求可表示為：

$$M^d=L(Y,i)$$

其中 $Y$ 為所得，$i$ 為利率。一般而言：

$$\frac{\partial L}{\partial i}<0$$

支票存款利息提高，等同於持有貨幣的收益增加，使民眾更願意把資產配置在支票存款，而非債券等其他資產。因此，貨幣需求會增加，而不是減少。

所以選項（1）不正確。

選項（2）正確

Solow 模型的生產函數可寫為：

$$Y=F(K,AL)$$

穩態時，每單位有效勞動的資本不再變動，滿足：

$$s f(k^*)=(n+g+\delta)k^*$$

其中：

核心觀念

本題考查 IS–LM 模型下，貨幣政策規則對產出的穩定效果。

• IS 曲線表示商品市場均衡：

  $Y=8{,}000-2{,}000r$

• LM 曲線表示貨幣市場均衡：

  $Y=2{,}000r-2{,}000+2\frac{M}{P}+u$

由於價格水準固定為 $P=1$，因此：

$2\frac{M}{P}=2M$

自然產出為 $4{,}000$，政府的目標是使實際產出 $Y$ 儘量接近 $4{,}000$。

本題比較兩種政策：

1. 固定貨幣供給 $M=1{,}000$。
2. 每日調整貨幣供給，使利率固定為 $2\%$。

題目中的利率以方程式所使用的數值表示，因此「$2\%$」代入模型時使用 $r=2$。

---

解題方法

在每一種政策規則下，分別將政策條件代入 IS、LM 曲線，求出均衡產出 $Y$，再與自然產出 $4{,}000$ 比較。

---

規則 a：固定貨幣供給 $M=1{,}000$

將 $M=1{,}000$、$P=1$ 代入 LM 曲線：

$$Y=2{,}000r-2{,}000+2(1{,}000)+u$$

整理得：

$$Y=2{,}000r+u$$

IS 曲線為：

$$Y=8{,}000-2{,}000r$$

令 IS 與 LM 相等：

$$8{,}000-2{,}000r=2{,}000r+u$$ $$4{,}000r=8{,}000-u$$ $$r=2-\frac{u}{4{,}000}$$

將利率代回 IS 曲線：

$$Y=8{,}000-2{,}000\left(2-\frac{u}{4{,}000}\right)$$ $$Y=8{,}000-4{,}000+\frac{u}{2}$$

因此：

$$Y=4{,}000+\frac{u}{2}$$

當 $u=+200$

$$Y=4{,}000+\frac{200}{2}=4{,}100$$

當 $u=-200$

$$Y=4{,}000+\frac{-200}{2}=3{,}900$$

所以在規則 a 下，正向衝擊使產出上升 $100$，負向衝擊使產出下降 $100$。

---

規則 b：固定利率為 $r=2$

將 $r=2$ 代入 IS 曲線：

$$Y=8{,}000-2{,}000(2)$$ $$Y=4{,}000$$

由於 IS 曲線不含衝擊項 $u$，只要利率固定為 $2$，不論 $u$ 為何，產出均為：

$$Y=4{,}000$$

政府可以透過調整貨幣供給，使 LM 曲線配合固定的利率與產出。

由 LM 曲線：

$$Y=2{,}000r-2{,}000+2M+u$$

代入 $Y=4{,}000$、$r=2$：

$$4{,}000=2{,}000(2)-2{,}000+2M+u$$ $$4{,}000=2{,}000+2M+u$$

核心觀念

本題評量消費者理論中的支出最小化問題（Expenditure Minimization Problem, EMP）與希克斯補償（Hicksian Compensation）／**補償變量（Compensating Variation, $CV$）**之應用：

1. Cobb-Douglas 效用函數：
   形式為 $U(X_1, X_2) = X_1^{\alpha}X_2^{\beta}$，所得份額具固定比例特質。當 $\alpha = \beta = 0.5$ 時，消費者將所得均分於兩種商品。
2. 希克斯補償概念：
   當價格變動時，為使消費者維持原有效用水準（$U_0$）不變，調整其所得至剛好能達到該效用水準的最低支出 $E(P_1', P_2, U_0)$。
3. 所得可減少量（補償變量 $CV$）：
   $\Delta I = I - E(P_1', P_2, U_0)$

---

解題方法

步驟一：求初始均衡點與初始效用水準

在初始價格 $P_1 = 4, P_2 = 2$ 及所得 $I = 16$ 下，消費者進行效用極大化：
$\max_{X_1, X_2} U = X_1^{1/2}X_2^{1/2} \quad \text{s.t.} \quad 4X_1 + 2X_2 = 16$

利用 Cobb-Douglas 需求函數性質（所得平均分配於兩商品）：
$X_1^* = \frac{\frac{1}{2}I}{P_1} = \frac{0.5 \times 16}{4} = 2$
$X_2^* = \frac{\frac{1}{2}I}{P_2} = \frac{0.5 \times 16}{2} = 4$

將最適消費量代入效用函數，得初始效用水準 $U_0$：
$U_0 = (2)^{1/2}(4)^{1/2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

---

步驟二：求價格變動後維持原效用所需的最低支出（新所得）

當商品 1 價格下降至 $P_1' = 2$，商品 2 價格維持 $P_2 = 2$。
為維持效用 $U_0 = 2\sqrt{2}$，消費者進行支出最小化：
$\min_{X_1, X_2} E = 2X_1 + 2X_2 \quad \text{s.t.} \quad X_1^{1/2}X_2^{1/2} = 2\sqrt{2}$

核心觀念

本題的核心考點為不確定性下的抉擇理論（Choice under Uncertainty），主要涉及以下經濟學定理與公理：

1. 馮紐曼－摩根斯坦期望效用理論（von Neumann-Morgenstern Expected Utility Theory, EUT）：決策者的偏好可由期望效用函數表示，其目標為極大化期望效用值。
2. 獨立性公理（Independence Axiom）：若彩券 $L_1 \succ L_2$，則對任意彩券 $L_3$ 及機率 $\alpha \in (0, 1]$，混合彩券必滿足：
   $\alpha L_1 + (1-\alpha) L_3 \succ \alpha L_2 + (1-\alpha) L_3$
3. 阿萊悖論（Allais Paradox）與共同結果效應（Common Consequence Effect）：此題為經典阿萊悖論的數值變形。在標準規範性（Normative）期望效用理論架構下，理性決策者的偏好排序具備一致性。

---

解題方法與推導

設決策者 David 對各報酬金額的馮紐曼－摩根斯坦效用函數為 $u(w)$。
由於期望效用函數在**正線性轉換（Positive Affine Transformation）**下性質不變，為簡化計算，可將最低報酬的效用標準化設定為：
$u(100) = 0$
且滿足嚴格遞增性質：$u(800) > u(300) > u(100) = 0$。

步驟一：分析情境一（Scenario 1）

計算彩券 A 與彩券 B 的期望效用：

• 彩券 A 的期望效用：
  $EU(A) = 1.00 \cdot u(300) = u(300)$
• 彩券 B 的期望效用：
  $EU(B) = 0.20 \cdot u(800) + 0.75 \cdot u(300) + 0.05 \cdot u(100) = 0.20 u(800) + 0.75 u(300)$

題目給定 David 在情境一中選擇彩券 A（即 $A \succ B$），故滿足：
$EU(A) > EU(B)$
$u(300) > 0.20 u(800) + 0.75 u(300)$

不等式兩邊同減 $0.75 u(300)$，可得關鍵條件式：
$0.25 u(300) > 0.20 u(800) \quad \cdots\cdots (1)$

步驟二：推導情境二（Scenario 2）

計算彩券 C 與彩券 D 的期望效用：

• 彩券 C 的期望效用：

本題主要測試考生對非法商品市場、租稅與禁令（prohibition）對市場均衡的影響。

(1) 禁令（Prohibition）對非法藥物的市場影響：
當政府對非法藥物的銷售或購買施加處罰（penalty）時，這會增加交易的成本和風險。

• 供給 (Supply): 處罰會增加賣方的風險和成本（例如被逮捕、罰款、監禁），這會導致供給曲線向左移動（供給減少）。
• 需求 (Demand): 對買方的處罰會增加買方的風險和成本，這會導致需求曲線向左移動（需求減少）。
• 價格 (Price): 由於供給和需求的雙重減少，市場價格通常會上漲，因為風險溢價增加，且市場變得更加稀缺。
• 數量 (Quantity): 由於供給和需求的減少，交易的數量（consumed quantity）會下降。

總之，施加處罰會導致供給減少，需求減少，價格上漲，交易數量下降。

(2) 合法化與課稅對藥物數量的影響：
即使藥物被合法化，政府也可以通過課稅（taxation）來減少藥物的消費量。

• 合法化： 藥物合法化後，市場交易變得合法，賣方和買方的風險將會降低。這通常會導致供給曲線向右移動（供給增加），因為進入市場的門檻降低，風險溢價消失。
• 課稅： 政府可以對合法化的藥物徵收重稅。這會增加藥物的生產成本和銷售價格。
  • 對於供給者而言，稅收會增加其邊際成本，導致供給曲線向左移動。
  • 對於消費者而言，稅收會提高藥物的市場價格，導致需求曲線上的點向左移動（需求量減少）。
  • 如果稅收足夠高，足以抵消合法化帶來的供給增加，甚至導致總體價格上漲，那麼最終的消費數量可能會減少。
  • 換句話說，通過將非法市場轉變為受監管的合法市場，並施加足夠高的稅負，可以有效抑制消費量，這與單純的禁令不同，禁令會導致黑市價格高企且數量不確定。課稅則可以在一定程度上控制和減少消費量，同時為政府帶來稅收。

(3) 禁令 vs. 課稅的有效性比較：
這兩種政策的有效性取決於多種因素，沒有絕對的答案，但可以從以下幾個方面比較：

• 禁令 (Prohibition):
  • 優點： 如果執行得當，可以嚴厲打擊非法藥物的生產和消費，可能導致數量大幅下降。

本題主要測試考生對跨期選擇（intertemporal choice）、跨期預算約束、利率變動的影響（所得效果與替代效果）以及借款約束的理解。

(1) 跨期預算約束與利率變動對消費的影響：

消費者在不同時期（例如現在與未來）之間進行消費和儲蓄的決策。
假設有兩個時期：第一期（現在）和第二期（未來）。
設 $C_1$ 為第一期消費，$C_2$ 為第二期消費。
設 $Y_1$ 為第一期所得，$Y_2$ 為第二期所得。
設 $r$ 為實質利率。

跨期預算約束式 (Intertemporal Budget Constraint):
消費者可以在兩個時期之間借貸，其總消費的現值必須等於總所得的現值。
或者，可以將第一期的消費和第二期的消費折算到同一時期進行比較。
例如，將第二期消費折算到第一期：
第一期總消費的現值 = $C_1 + \frac{C_2}{1+r}$
第一期總所得的現值 = $Y_1 + \frac{Y_2}{1+r}$
所以，跨期預算約束為：$C_1 + \frac{C_2}{1+r} = Y_1 + \frac{Y_2}{1+r}$

或者，將第一期消費折算到第二期：
第二期總消費的終值 = $(1+r)C_1 + C_2$
第二期總所得的終值 = $(1+r)Y_1 + Y_2$
所以，跨期預算約束為：$(1+r)C_1 + C_2 = (1+r)Y_1 + Y_2$

這兩個形式是等價的。我們可以將其改寫成關於 $C_2$ 的函數：
$\frac{C_2}{1+r} = Y_1 - C_1 + \frac{Y_2}{1+r}$
$C_2 = (1+r)(Y_1 - C_1) + Y_2$
$C_2 = (1+r)Y_1 - (1+r)C_1 + Y_2$

這條直線代表了消費者在兩個時期所有可能的消費組合。

• 縱軸截距（當 $C_1=0$ 時）：$C_2 = (1+r)Y_1 + Y_2$。這是如果消費者將第一期所有所得都用於儲蓄，第二期能獲得的最大消費。
• 斜率：$-(1+r)$。斜率的絕對值代表了兩個時期消費的交換比率，即第一期消費一單位的代價是將第二期消費 $(1+r)$ 單位的機會。

利率變動的影響：
實質利率 $r$ 的變動會改變跨期預算約束線的斜率和位置。

• 斜率改變： 利率 $r$ 變動，使得斜率 $-(1+r)$ 的絕對值發生變化。
  • 如果 $r$ 上升，則 $-(1+r)$ 的絕對值變大，預算線變得更陡峭。這意味著第一期消費的機會成本（即放棄的未來消費）增加了。
  • 如果 $r$ 下跌，則 $-(1+r)$ 的絕對值變小，預算線變得更平緩。這意味著第一期消費的機會成本降低了。
• 位置改變： 利率變動對預算線的截距沒有直接影響（除非將所得本身視為利率函數，但通常所得是給定的）。預算線是繞著某個點（例如，將所有所得都用於第一期消費，或所有所得都用於第二期消費的點）旋轉。

對消費選擇的影響：
消費者追求在預算約束線上的某一點，使得無差異曲線（indifference curve）與預算約束線相切，從而最大化效用。

• 利率上升： 預算線變得更陡峭。
  • 替代效果 (Substitution Effect): 第一期消費變得相對更貴（機會成本上升），消費者會傾向於減少第一期消費，增加第二期消費。
  • 所得效果 (Income Effect):
    • 如果消費者是淨借款者（第一期消費 > 第一期所得），利率上升意味著借款成本增加，實質上使消費者變得更窮，可能減少所有時期的消費（正常品）。
    • 如果消費者是淨儲蓄者（第一期消費 < 第一期所得），利率上升意味著儲蓄的回報增加，實質上使消費者變得更富裕，可能增加所有時期的消費（正常品）。
  • 總效果： 利率上升對第一期消費（當前消費）的總效果是不確定的。替代效果使其減少，而所得效果可能使其增加（淨儲蓄者）或減少（淨借款者）。
• 利率下跌： 預算線變得更平緩。
  • 替代效果： 第一期消費變得相對更便宜，消費者會傾向於增加第一期消費，減少第二期消費。
  • 所得效果：
    • 淨借款者：借款成本下降，變得更富裕，可能增加消費。
    • 淨儲蓄者：儲蓄回報下降，變得更窮，可能減少消費。
  • 總效果： 利率下跌對第一期消費的總效果也是不確定的。

(2) 利率變動的所得效果與替代效果分解：

我們以利率上升為例，分解其對消費的影響。
假設消費者是淨儲蓄者，即 $Y_1 > C_1$。
利率從 $r$ 上升到 $r'$ ($r' > r$)。
預算線從 $C_2 = (1+r)Y_1 - (1+r)C_1 + Y_2$ 旋轉到 $C_2 = (1+r')Y_1 - (1+r')C_1 + Y_2$。
旋轉點通常是將所有所得都用於當期消費或儲蓄的點。

替代效果 (Substitution Effect):

• 利率上升，第一期消費的機會成本增加。
• 消費者會被引導去減少相對昂貴的第一期消費，增加相對便宜的第二期消費。

核心觀念

本題考查浮動匯率下的 Mundell–Fleming 模型，以及「風險溢酬上升」如何透過利率、資本流動與匯率影響所得。

模型為：

$$IS:\quad Y=C(Y-T)+I(r)+G+NX(e)$$ $$LM:\quad \frac{M}{P}=L(r,Y)$$

小型開放經濟體無法影響世界利率，國內利率由下式決定：

$$r=r^*+\theta$$

其中 $\theta$ 為風險溢酬。政治動盪使投資人認為該國資產風險提高，因此 $\theta$ 上升，導致國內利率 $r$ 上升。

以下採用匯率 $e$ 表示「每一單位外幣可兌換的本國貨幣數量」，因此 $e$ 上升代表本國貨幣貶值。

---

（1）風險溢酬上升對所得與匯率的影響

第一步：風險溢酬上升使國內利率上升

$$\Delta \theta>0 \quad\Longrightarrow\quad \Delta r=\Delta\theta>0$$

利率上升會使投資 $I(r)$ 減少，因此在其他條件不變下，總合需求下降。

---

第二步：LM 關係決定所得

LM 式為：

$$\frac{M}{P}=L(r,Y)$$

貨幣需求具有下列性質：

$$\frac{\partial L}{\partial r}<0,\qquad \frac{\partial L}{\partial Y}>0$$

當 $r$ 上升時，貨幣需求因利率效果而下降。由於實質貨幣供給 $\frac{M}{P}$ 固定，必須透過所得上升，使交易性貨幣需求增加，才能重新達成貨幣市場均衡。

因此：

$$\Delta r>0 \quad\Longrightarrow\quad \Delta Y>0$$

在 $Y-e$ 圖中，LM 曲線是垂直線，因為在給定的 $r$ 下，LM 式直接決定均衡所得 $Y$，而與匯率 $e$ 無關。

風險溢酬上升使 $r$ 上升，LM 曲線向右移動。

---

第三步：匯率透過淨出口調整

本國利率上升會使國內資產相對具有吸引力，形成資本流入壓力；但在本題的風險溢酬設定下，政治動盪提高的是投資人要求的風險補償，會造成資本外流與本國貨幣貶值。

在浮動匯率制度下，資本外流使本國貨幣貶值，因此：

$$e\uparrow$$

本國貨幣貶值會使本國商品相對便宜、進口品相對昂貴，故淨出口增加：

$$NX(e)\uparrow$$

淨出口增加會提高總合需求，配合 LM 所帶來的所得上升，使商品市場重新達成均衡。

由 IS 式可知：

$$Y=C(Y-T)+I(r)+G+NX(e)$$

由於 $r$ 上升使 $I(r)$ 減少，必須由 $NX(e)$ 增加來抵銷投資下降的效果。因此需要本國貨幣貶值，使 $e$ 上升。

---

圖形說明

在縱軸為匯率 $e$、橫軸為所得 $Y$ 的圖中：

• IS 曲線向右上方傾斜：所得增加會提高進口、降低淨出口；要維持商品市場均衡，必須有較高的 $e$，即本國貨幣較大幅貶值以增加淨出口。
• LM 曲線為垂直線：貨幣市場均衡所得由 $r$ 與 $\frac{M}{P}$ 決定，與 $e$ 無直接關係。

本題主要測試考生對財政政策（加稅）在不同貨幣政策應對下的 IS-LM 模型分析。

首先，我們分析加稅對 IS-LM 模型各曲線的影響。
財政政策：Congress raises taxes (T 增加)。
IS 曲線：$Y = C(Y-T) + I(r) + G + NX$
LM 曲線：$M/P = L(r, Y)$

加稅 (T 增加) 的直接影響：

• 可支配所得 $(Y-T)$ 下降。
• 消費 $C(Y-T)$ 下降。
• IS 曲線向左移動。
• LM 曲線不受直接影響。

現在，我們分析在三種不同的貨幣政策應對下的情況：

(1) Fed holds the money supply constant (M 不變)。

• IS 曲線： 向左移動（因 T 增加）。
• LM 曲線： 不移動（因 M 不變，P 假定不變）。
• 均衡點： IS 曲線左移，LM 曲線不變。新的均衡點出現在 LM 曲線的左側。
• 結果：
  • 產出 (Y) 下降。
  • 利率 (r) 下降（因為 LM 曲線是向上傾斜的，IS 左移會與 LM 交於更低的 $r$ 值）。

(2) Fed wants to hold the interest rate constant by reducing the money supply (M 下降)。

• IS 曲線： 向左移動（因 T 增加）。
• LM 曲線： M 下降，P 不變，貨幣供給 $M/P$ 下降。LM 曲線向左上方移動。
• 目標： 維持利率 $r$ 不變。
• 分析：
  • 加稅使 IS 左移，傾向於降低 $Y$ 和 $r$。
  • LM 左移，傾向於提高 $r$ 和降低 $Y$。
  • Fed 減少貨幣供給，目的是使 LM 左移，從而推高利率。
  • 但是，我們需要找到一個組合，使得加稅後的 IS 曲線左移，以及 LM 左移後，兩者的交點恰好在原來的利率水平上。
  • 初始均衡：$(Y_0, r_0)$。
  • 加稅後 IS 變為 IS' (左移)。
  • LM 左移變為 LM'。

本題主要測試考生對增長模型中，生產函數、人均生產函數、勞動生產力、穩態資本-勞動比以及穩態消費的計算。

生產函數：$Y = K^{1/2}L^{1/2}$

(1) 人均生產函數 $y=f(k)$：

人均產出 $y = Y/L$。
人均資本 $k = K/L$。

將生產函數除以 $L$：
$Y/L = (K^{1/2}L^{1/2}) / L$
$y = K^{1/2}L^{1/2} / L^{1}$
$y = K^{1/2} L^{-1/2}$
$y = (K/L)^{1/2}$
$y = k^{1/2}$

所以，人均生產函數為 $y = k^{1/2}$。

(2) 初始狀態下的總產出 Y 和勞動生產力：

給定：資本 $K = 900$ units，勞動 $L = 100$ units。
總產出 $Y = K^{1/2}L^{1/2}$
$Y = (900)^{1/2} (100)^{1/2}$
$Y = 30 \times 10 = 300$。

勞動生產力 (Labor Productivity) 通常指人均產出 $y = Y/L$。
$y = Y/L = 300 / 100 = 3$。

也可以從人均生產函數計算：
首先計算人均資本 $k = K/L = 900 / 100 = 9$。
然後代入人均生產函數 $y = k^{1/2}$：
$y = (9)^{1/2} = 3$。
結果一致。

(3) 穩態資本-勞動比下的總儲蓄率：

折舊率 $d = 20\% = 0.20$。
穩態的條件是人均資本的變化為零，即 $\Delta k = 0$。
$\Delta k = sf(k) - (n+d)k = 0$。
其中：

• $s$ 是總儲蓄率（gross saving rate）。
• $f(k)$ 是人均生產函數，這裡 $f(k) = k^{1/2}$。
• $n$ 是人口（勞動）增長率。
• $d$ 是折舊率。
• $k$ 是人均資本。

本題主要在測試考生對於生產可能曲線（Production Possibilities Frontier, PPF）基本概念的理解。PPF 描繪一個經濟體在資源固定且技術不變下，能夠生產的兩種財貨的組合上限。

(1) 正確。 生產可能曲線（PPF）定義了一個經濟體在現有資源與技術下，所能達到的「可實現」（attainable）與「不可實現」（unattainable）的組合之間的邊界。曲線上的點代表資源充分利用且效率最高的組合，曲線內的點代表資源未充分利用或效率不高，曲線外的點則代表無法達到的組合。

(2) 正確。 在生產可能曲線（PPF）上移動，代表經濟體將資源從生產一種財貨轉移到另一種財貨。由於資源是有限的，增加一種財貨的生產通常意味著必須減少另一種財貨的生產，這體現了機會成本的概念。

(3) 錯誤。 生產可能曲線（PPF）的移動（向外或向內）代表經濟體總生產能力的改變，通常是由於資源（如勞動力、資本、自然資源）的增減或技術的進步。若美國經濟減少失業率，代表更多勞動力被投入生產，這會使經濟體從 PPF 內部移動到 PPF 上，但不會使 PPF 本身向外移動。PPF 向外移動通常是因為總生產能力的增加，例如技術進步或資源增加。

核心觀念

本題考查四個觀念：

1. 互補品與需求變動。
2. 需求價格彈性的計算。
3. 銷售稅的租稅歸宿。
4. 負外部成本與無謂損失。
5. 私人邊際利益與社會邊際利益。

---

解題方法

逐項判斷敘述是否符合經濟學定義：

• 互補品：一種商品價格上升，另一種商品的需求下降。
• 需求價格彈性：

$$E_d=\frac{\%\Delta Q_d}{\%\Delta P}$$

通常以絕對值表示。

• 銷售稅歸宿：比較課稅前後買方支付價格與賣方實收價格的變化。
• 負外部性：私人邊際成本低於社會邊際成本，市場產量會高於社會最適產量。
• 社會邊際利益：

$$SMB=PMB+外部邊際利益$$

---

選項分析

（1）正確

披薩與可樂屬於互補品。消費者通常會搭配食用披薩與可樂。

當披薩價格上升時，披薩的需求量下降，連帶使可樂的需求下降。因此，可樂的需求曲線向左移動。

所以本敘述正確。

---

（2）正確

價格上升 $5\%$，需求量下降 $30\%$，需求價格彈性之絕對值為：

$$|E_d|=\left|\frac{-30\%}{5\%}\right|=6$$

若採用帶有方向的定義，彈性為 $-6$；但經濟學中談論需求價格彈性時，通常以絕對值表示，因此稱為 $6$。

所以本敘述正確。

---

（3）錯誤

銷售稅為每單位 $50$。若課稅後均衡價格上升 $50$，表示買方支付的價格增加 $50$。

設：

• 課稅前價格為 $P$
• 課稅後買方支付價格為 $P_b=P+50$
• 賣方實際收到的價格為 $P_s$

因為銷售稅為 $50$：

$$P_b-P_s=50$$

代入 $P_b=P+50$：

$$(P+50)-P_s=50$$

因此：

$$P_s=P$$

賣方實收價格沒有下降，買方承擔全部 $50$ 的稅負。故稅負是由買方完全承擔，而不是由賣方完全承擔。

所以本敘述錯誤。

---

（4）錯誤

生產活動具有負外部成本時，生產者只考慮私人邊際成本，未將污染、噪音或環境損害等外部成本納入決策。

因此：

核心觀念

本題綜合考查完全競爭與獨占市場中的：

• 停業條件：$P$ 與最低平均變動成本 $\min AVC$ 的比較。
• 經濟利潤計算：$\pi=(P-ATC)Q$。
• 利潤極大化條件：$MR=MC$。
• 獨占相較於完全競爭的價格與產量。
• 雙占廠商偏離聯合利潤極大產量時，各廠商與產業總利潤的變化。

---

解題方法

逐一判斷各敘述是否符合相關定義與利潤極大化條件：

1. 比較價格與最低$AVC$，判斷廠商是否應停業。
2. 利用完全競爭下$P=MR$，再計算$ATC$與經濟利潤。
3. 比較$MR$與$MC$，判斷增加產量是否能提高利潤。
4. 比較完全競爭與單一價格獨占的均衡價格。
5. 判斷偏離獨占產量後，聯合總利潤是否增加、減少或不變。

---

選項分析

（1）錯誤

題目給定：

• 最低平均變動成本為$6$；
• 對應產量為$30$；
• 市場價格為$5$。

完全競爭廠商的短期停業條件為：

$$P<\min AVC$$

由於：

$$5<6$$

廠商生產任何正產量時，收入都不足以彌補變動成本，因此應選擇停業，產量為：

$$Q=0$$

而不是把產量減少至$30$以下。$30$是使平均變動成本最低的產量，並非價格低於最低$AVC$時仍應生產的目標產量。

因此本選項錯誤。

---

（2）錯誤

完全競爭市場中：

$$P=MR=55$$

生產$500$台時：

$$AVC=30$$

固定成本為：

$$TFC=10{,}000$$

因此平均固定成本為：

$$AFC=\frac{TFC}{Q} =\frac{10{,}000}{500} =20$$

平均總成本為：

$$ATC=AVC+AFC=30+20=50$$

經濟利潤為：

$$\pi=(P-ATC)Q$$

代入數值：

$$\pi=(55-50)\times500 =5\times500 =2{,}500$$

因此經濟利潤是$2,500$，不是題目所說的$2,000$。

本選項錯誤。

---

（3）正確

單一價格獨占廠商的利潤極大化條件為：

$$MR=MC$$

題目給定：

$$MR=18,\qquad MC=16$$

因此：

$$MR>MC$$

核心觀念

本題綜合考查：

• 勞動市場統計：勞動力、失業人口與失業率。
• 消費者物價指數（CPI）與品質調整。
• GDP 的計算範圍：市場交易與非市場生產。
• 總需求曲線向下傾斜的三種效果：實質財富效果、利率效果與匯率效果。

失業率公式為：

$$\text{失業率} = \frac{\text{失業人口}}{\text{勞動力}} \times 100\%$$

---

選項分析

（1）正確

總人口為 $120$ 百萬人，其中：

• $8$ 百萬人未滿 16 歲；
• $7$ 百萬人被收容或機構化，不屬於平民非機構人口；
• 平民勞動力為 $100$ 百萬人。

已就業人口為 $80$ 百萬人，因此失業人口為：

$$\text{失業人口} = 100-80 = 20\text{ 百萬人}$$

失業率為：

$$\text{失業率} = \frac{20}{100}\times 100\% = 20\%$$

因此題目敘述的失業率正確。

補充而言，未滿 16 歲人口與機構化人口不列入平民非機構人口，但本選項已直接給出平民勞動力，因此計算失業率時只需使用勞動力與就業人口。

---

（2）正確

汽車馬力增加而價格維持不變，代表消費者以相同的貨幣價格取得品質更高的汽車，購買力因此提高。

然而，傳統 CPI 是根據固定消費籃計算商品價格變動：

$$\text{CPI} = \frac{\text{當期固定籃商品成本}} {\text{基期固定籃商品成本}} \times 100$$

若汽車的標價沒有改變，CPI 所觀察到的價格並未上升或下降，因此 CPI 維持不變。

本選項同時指出：

• 汽車品質提高、相同價格可買到更高品質，購買力提高；
• 名目價格不變，因此 CPI 不變。

故本選項正確。

---

（3）錯誤

GDP 衡量的是一定期間內，市場上生產的最終商品與勞務之市場價值。家庭成員自行在家進行修繕，並未發生市場交易，因此通常不列入 GDP。

核心觀念

本題為總體經濟學的綜合觀念題，涵蓋五個核心單元：

1. 古典學派之潛在產出（充分就業產出）的決定因素：生產函數由勞動投入量與資本／自然資源存量決定，要素稟賦的增加均會使潛在 GDP 提高。
2. 貨幣創造乘數理論：貨幣乘數公式 $m = \frac{1+c}{r_d+c}$。法定存款準備率與通貨淨額比率對貨幣乘數及貨幣供給的影響方向。
3. 費雪交易方程式（Quantity Equation of Exchange）：$M \cdot V_T = P_T \cdot T$，貨幣量、流通速度、交易量與平均物價的等式關係。
4. 總合需求與總合供給（AD-AS）模型：工資上漲造成負向供給衝擊（AS 左移），引發停滯性通膨（Stagflation，產出下降、物價上漲）。
5. 古典勞動市場均衡與總合產出計算：在完全競爭市場中，廠商利潤極大化之實質工資等於勞動邊際產能（$W/P = MP_L$），並與勞動供給曲線聯立求解均衡勞動量與總產出。

---

解題方法與計算推導

針對五個陳述進行嚴謹的經濟學邏輯檢驗與數值推導：

• 陳述 (1)：潛在 GDP（$Y^*$）取決於生產要素總量。生產函數為 $Y = F(K, L, N)$，其中移民湧入使勞動供給 $L$ 增加，新礦藏發現使自然資源 $N$ 增加。兩者皆推升生產可能邊界，使潛在 GDP 增加。
• 陳述 (2)：貨幣供給量 $M = m \times B$，其中貨幣乘數 $m = \frac{1+c}{r_d+c}$（$c$ 為通貨—存款比率 $C/D$，$r_d$ 為法定準備率）。分別對 $r_d$ 與 $c$ 偏微分： $$\frac{\partial m}{\partial r_d} = -\frac{1+c}{(r_d+c)^2} < 0$$ $$\frac{\partial m}{\partial c} = \frac{(r_d+c) - (1+c)}{(r_d+c)^2} = \frac{r_d-1}{(r_d+c)^2} < 0 \quad (\text{因 } r_d < 1)$$ 因此，$r_d$ 下降與 $c$ 下降皆會使貨幣乘數 $m$ 放大。在強力貨幣（準備貨幣）$B$ 不變下，貨幣供給量必增加。
• 陳述 (3)：交易型貨幣數量方程式為 $M \cdot V_T = P_T \cdot T$。其中 $M$ 為貨幣量、$V_T$ 為交易流通速度、$P_T$ 為每筆交易的平均物價、$T$ 為交易次數。若 $V_T$ 固定而 $M$ 增為 2 倍，則右式的 $P_T \cdot T$（每筆平均交易價格 $\times$ 交易總數）必然增為 2 倍。
• 陳述 (4)：名目工資倍增造成生產成本暴增，導致短期總合供給曲線（SRAS）向上／向左移動。在 AD 不變的情況下，新均衡將呈現實質 GDP 減少、物價水準 $P$ 上升（停滯性通膨），而非下降。
• 陳述 (5)：
  1. 生產函數：$Y = 1{,}000 L^{1/2}$。
  2. 勞動邊際產出（$MP_L$）： $$MP_L = \frac{dY}{dL} = 1{,}000 \times \frac{1}{2} L^{-1/2} = 500 L^{-1/2}$$
  3. 廠商利潤極大化的勞動需求條件為實質工資等於邊際產能： $$\frac{W}{P} = MP_L = 500 L^{-1/2} \implies L^{-1/2} = \frac{W/P}{500} \implies L^{1/2} = \frac{500}{W/P}$$ 勞動需求函數為： $$L^D = \frac{250{,}000}{(W/P)^2}$$
  4. 給定勞動供給函數： $$L^S = 31{,}250 \left(\frac{W}{P}\right)$$
  5. 勞動市場均衡（$L^D = L^S$）：

核心觀念

本題考查三個觀念：

1. 貨幣需求與持有貨幣的機會成本。
2. Solow 成長模型中儲蓄率對穩態產出水準與長期成長率的影響。
3. 中央銀行獨立性的定義。

題目問「不正確」的敘述，因此必須逐一判斷。

解題方法

先判斷貨幣需求的決定因素，再利用 Solow 模型的穩態條件分析儲蓄率，最後檢查中央銀行獨立性的定義。

選項分析

選項（1）錯誤

支票存款（checking accounts）具有高度流動性，可視為貨幣的一部分。若政府允許銀行對支票存款支付利息，持有支票存款的報酬提高，持有貨幣的機會成本下降。

貨幣需求可表示為：

$$M^d=L(Y,i)$$

其中 $Y$ 為所得，$i$ 為利率。一般而言：

$$\frac{\partial L}{\partial i}<0$$

支票存款利息提高，等同於持有貨幣的收益增加，使民眾更願意把資產配置在支票存款，而非債券等其他資產。因此，貨幣需求會增加，而不是減少。

所以選項（1）不正確。

選項（2）正確

Solow 模型的生產函數可寫為：

$$Y=F(K,AL)$$

穩態時，每單位有效勞動的資本不再變動，滿足：

$$s f(k^*)=(n+g+\delta)k^*$$

其中：

核心觀念

本題考查 IS–LM 模型下，貨幣政策規則對產出的穩定效果。

• IS 曲線表示商品市場均衡：

  $Y=8{,}000-2{,}000r$

• LM 曲線表示貨幣市場均衡：

  $Y=2{,}000r-2{,}000+2\frac{M}{P}+u$

由於價格水準固定為 $P=1$，因此：

$2\frac{M}{P}=2M$

自然產出為 $4{,}000$，政府的目標是使實際產出 $Y$ 儘量接近 $4{,}000$。

本題比較兩種政策：

1. 固定貨幣供給 $M=1{,}000$。
2. 每日調整貨幣供給，使利率固定為 $2\%$。

題目中的利率以方程式所使用的數值表示，因此「$2\%$」代入模型時使用 $r=2$。

---

解題方法

在每一種政策規則下，分別將政策條件代入 IS、LM 曲線，求出均衡產出 $Y$，再與自然產出 $4{,}000$ 比較。

---

規則 a：固定貨幣供給 $M=1{,}000$

將 $M=1{,}000$、$P=1$ 代入 LM 曲線：

$$Y=2{,}000r-2{,}000+2(1{,}000)+u$$

整理得：

$$Y=2{,}000r+u$$

IS 曲線為：

$$Y=8{,}000-2{,}000r$$

令 IS 與 LM 相等：

$$8{,}000-2{,}000r=2{,}000r+u$$ $$4{,}000r=8{,}000-u$$ $$r=2-\frac{u}{4{,}000}$$

將利率代回 IS 曲線：

$$Y=8{,}000-2{,}000\left(2-\frac{u}{4{,}000}\right)$$ $$Y=8{,}000-4{,}000+\frac{u}{2}$$

因此：

$$Y=4{,}000+\frac{u}{2}$$

當 $u=+200$

$$Y=4{,}000+\frac{200}{2}=4{,}100$$

當 $u=-200$

$$Y=4{,}000+\frac{-200}{2}=3{,}900$$

所以在規則 a 下，正向衝擊使產出上升 $100$，負向衝擊使產出下降 $100$。

---

規則 b：固定利率為 $r=2$

將 $r=2$ 代入 IS 曲線：

$$Y=8{,}000-2{,}000(2)$$ $$Y=4{,}000$$

由於 IS 曲線不含衝擊項 $u$，只要利率固定為 $2$，不論 $u$ 為何，產出均為：

$$Y=4{,}000$$

政府可以透過調整貨幣供給，使 LM 曲線配合固定的利率與產出。

由 LM 曲線：

$$Y=2{,}000r-2{,}000+2M+u$$

代入 $Y=4{,}000$、$r=2$：

$$4{,}000=2{,}000(2)-2{,}000+2M+u$$ $$4{,}000=2{,}000+2M+u$$