111 年 國立中央大學企業管理學系碩士班丙組《統計學》

此題主要在測試對於 t 分配的理解，特別是自由度（degrees of freedom, df）對 t 分配曲線的影響。

核心觀念：
t 分配的曲線形狀受自由度影響。自由度越高，t 分配曲線越接近標準常態分配（z 分配），且曲線越集中於平均值。反之，自由度越低，t 分配曲線的尾部越厚（fat tails），表示極端值的機率較高。

解題過程：
觀察圖中三條曲線：

• 最中間、最尖銳的曲線通常代表標準常態分配（z 分配），其自由度可視為無限大。
• 其餘兩條曲線是 t 分配。t 分配的特性是當自由度趨近無限大時，會趨近於標準常態分配。
• 在給定的圖中，曲線 (i) 和曲線 (ii) 都是 t 分配。曲線 (iii) 則可能是標準常態分配或自由度非常高的 t 分配。
• 我們需要判斷哪一條 t 分配曲線有較高的自由度。

這題考驗對連續機率分佈中，單一點機率為零的理解。

核心觀念：
對於任何連續機率分佈（例如常態分配、t 分配、指數分配等），任何單一特定點的機率值恆為零。這是因為連續機率分佈的機率是透過積分（計算曲線下面積）來獲得，而單一點的積分（面積）是零。

解題過程：
題目提到樣本是從一個「常態分佈」（normally distributed population）的母體中抽取。母體的平均數 $\mu = 50$，標準差 $\sigma = 10$。樣本大小 $n = 30$。
我們要計算「樣本平均數 $\bar{X}$ 等於 50」的機率，即 $P(\bar{X} = 50)$。

根據中央極限定理（Central Limit Theorem, CLT），當母體是常態分佈時，不論母體的標準差為何，樣本平均數 $\bar{X}$ 的分佈也會是常態分佈。

• $\bar{X}$ 的平均數為 $\mu_{\bar{X}} = \mu = 50$。

這題考驗信賴區間與假說檢定的關係，以及如何根據信賴區間判斷是否拒絕虛無假說。

核心觀念：
對於一個雙尾檢定，若虛無假說為 $H_0: \mu = \mu_0$，則該檢定與 $1-\alpha$ 的信賴區間檢定是等價的。

• 如果母體平均數 $\mu_0$ 落於 $(1-\alpha)$ 的信賴區間內，則我們無法拒絕 $H_0$（在顯著水準 $\alpha$ 下）。
• 如果母體平均數 $\mu_0$ 不落在 $(1-\alpha)$ 的信賴區間內，則我們拒絕 $H_0$（在顯著水準 $\alpha$ 下）。

解題過程：
題目給定的資訊：

1. 90% 的信賴區間 (Confidence Interval, CI) 為 $54,816 ± 314$。

   • 信賴區間的下限為 $54,816 - 314 = 54,502$。
   • 信賴區間的上限為 $54,816 + 314 = 55,130$。
   • 所以，90% CI 為 $(54,502, 55,130)$。
   • 此信賴區間對應的顯著水準為 $\alpha = 1 - 0.90 = 0.10$。

2. 虛無假說為 $H_0: \mu = 55,000$。

   • 待檢驗的母體平均數 $\mu_0 = 55,000$。

現在我們將 $\mu_0 = 55,000$ 與 90% CI 進行比較：

• 信賴區間是 $(54,502, 55,130)$。
• 檢驗值 $\mu_0 = 55,000$ 落在這個區間內，因為 $54,502 < 55,000 < 55,130$。

根據核心觀念，如果 $\mu_0$ 落在 $(1-\alpha)$ 的信賴區間內，我們就「無法拒絕」虛無假說 $H_0$。
此處的信賴水準是 90%，對應的 $\alpha = 0.10$。
因此，在顯著水準 $\alpha = 0.10$ 下，我們無法拒絕 $H_0: \mu = 55,000$。

現在來檢視選項：
a. Reject $H_0$ using $\alpha = 0.05$;
* 這意味著 95% CI。我們需要知道 95% CI 是什麼。題目沒有直接給 95% CI，但 90% CI 的上限是 55,130。通常 95% CI 會比 90% CI 更寬。如果 55,000 落在 90% CI，很可能也落在 95% CI。即使不落在 95% CI，我們也無法確定。

這題是關於配對樣本的假說檢定，目的是比較兩組配對觀察值的差異。

核心觀念：
當我們比較兩個相關樣本（例如同一受試者在不同時間點的測量值，或配對的樣本）時，我們通常會計算差值（difference），然後對這些差值進行檢定。

• 設 $X_1$ 為第一次測量值（例如期中考分數），$X_2$ 為第二次測量值（例如期末考分數）。
• 我們感興趣的是兩次測量值的差異，定義差值 $d = X_1 - X_2$ 或 $d = X_2 - X_1$。
• 虛無假說（$H_0$）通常設定為差異為零或無差異，即 $H_0: \mu_d = 0$。
• 對稱的檢定是雙尾檢定 $H_a: \mu_d \neq 0$。
• 若要檢定其中一個測量值是否「顯著優於」或「大於」另一個，則需要單尾檢定。

解題過程：
題目希望檢定「期末考成績是否優於期中考成績」。

• 我們可以定義：
  • 期末考分數為 $X_f$。
  • 期中考分數為 $X_m$。
• 我們感興趣的是期末考成績是否「優於」期中考成績。這意味著我們希望檢定 $X_f$ 是否大於 $X_m$。
• 我們可以定義差異 $d = X_f - X_m$。
• 如果期末考成績優於期中考成績，則 $X_f > X_m$，這表示 $d = X_f - X_m > 0$。
• 因此，我們要檢定的對立假說（Alternative Hypothesis, $H_a$）應該是 $H_a: \mu_d > 0$。
• 虛無假說（Null Hypothesis, $H_0$）則是與對立假說相反，表示期末考成績不優於期中考成績。最保守的虛無假說設定是 $\mu_d \le 0$。

所以，適當的假說設定是：
$H_0: \mu_d \le 0$ (期末考平均成績不優於期中考平均成績)
$H_a: \mu_d > 0$ (期末考平均成績優於期中考平均成績)

其中 $\mu_d$ 是期末考分數與期中考分數差值的母體平均數。

現在檢查選項：
a. $H_0: \mu_d = 0, H_a: \mu_d \neq 0$;
這是一個雙尾檢定，檢定兩者是否有差異，而不是檢定期末考是否「優於」期中考。

b. $H_0: \mu_d \le 0, H_a: \mu_d > 0$;
這符合我們推導出的單尾檢定，檢定期末考是否優於期中考。

c. $H_0: \mu_1 - \mu_2 \ge 0, H_a: \mu_1 - \mu_2 < 0$;
這裡假設 $\mu_1$ 是期中考，$\mu_2$ 是期末考，則 $d = \mu_1 - \mu_2$。此檢定是檢定期中考是否優於期末考。題目要求的是期末考是否優於期中考。

d. $H_0: \mu_1 - \mu_2 \le 0, H_a: \mu_1 - \mu_2 > 0$.
這裡假設 $\mu_1$ 是期中考，$\mu_2$ 是期末考，則 $d = \mu_1 - \mu_2$。此檢定是檢定期末考是否優於期中考。
但是，如果我們將 $\mu_1$ 定義為期末考，$\mu_2$ 定義為期中考，那麼 $d = \mu_1 - \mu_2$。
此時，期末考優於期中考表示 $\mu_1 > \mu_2$，即 $\mu_1 - \mu_2 > 0$。
所以，虛無假說應為 $H_0: \mu_1 - \mu_2 \le 0$，對立假說為 $H_a: \mu_1 - \mu_2 > 0$。
這與選項 (b) 的形式相同，只是符號的定義不同。
如果我們嚴格按照選項的符號來看：
選項 (b) 使用 $\mu_d$ 且 $d = X_f - X_m$ (假設 $f$ 代表 final, $m$ 代表 midterm)。
選項 (d) 使用 $\mu_1$ 和 $\mu_2$。通常 $\mu_1$ 對應第一個樣本，$\mu_2$ 對應第二個樣本。如果第一個樣本是 Midterm ($X_m$)，第二個樣本是 Final ($X_f$)，那麼 $d = \mu_1 - \mu_2$ 實際上是 $\mu_m - \mu_f$。
這樣的話，選項 (d) $H_a: \mu_1 - \mu_2 > 0$ 實際上是 $H_a: \mu_m - \mu_f > 0$，即期中考優於期末考。
反之，如果 $\mu_1$ 是 Final ($X_f$)，$\mu_2$ 是 Midterm ($X_m$)，那麼 $d = \mu_1 - \mu_2$ 實際上是 $\mu_f - \mu_m$。
這樣的話，選項 (d) $H_a: \mu_1 - \mu_2 > 0$ 實際上是 $H_a: \mu_f - \mu_m > 0$，即期末考優於期中考。

這題考驗對第一類錯誤（Type I Error）和第二類錯誤（Type II Error）的理解，以及在假說檢定中做決策的正確性。

核心觀念：
在假說檢定中，我們有兩種可能的錯誤：

• 第一類錯誤（Type I Error）： 當虛無假說 ($H_0$) 為真時，我們卻拒絕了 $H_0$。發生的機率通常用 $\alpha$ 表示。
• 第二類錯誤（Type II Error）： 當對立假說 ($H_a$) 為真時（也就是 $H_0$ 為偽），我們卻未能拒絕 $H_0$。發生的機率通常用 $\beta$ 表示。

解題過程：
題目給定的資訊：

1. 母體平均數 $\mu = 88$。
2. 樣本大小 $n = 50$。
3. 樣本平均數 $\bar{X} = 85$。
4. 我們做出的決策是「拒絕虛無假說 $H_0: \mu \ge 90$」。

我們需要分析在這些條件下，我們犯了哪種錯誤（如果有的話）。

首先，我們需要確定真實情況（母體平均數 $\mu$ 的真實值）和我們做出的決策。

• 真實情況： 題目一開始就說「It is known that the mean of a population is 88」。這意味著母體平均數的真實值是 $\mu = 88$。
• 虛無假說 ($H_0$)： $H_0: \mu \ge 90$。
• 對立假說 ($H_a$)： $H_a: \mu < 90$。（這是 $H_0$ 的否定）
• 我們的決策： 我們「拒絕了 $H_0$」。

核心觀念

雙尾檢定的 $p$ 值，是在虛無假設成立時，取得「與觀察到的檢定統計量同樣極端或更極端」結果的機率。若檢定統計量服從標準常態分配，觀察值為 $z=-2$，雙尾 $p$ 值為：

$$p=2P(Z\leq -|z|)=2P(Z\geq |z|)$$

標準常態分配以 0 為中心對稱，因此左右兩尾的機率相等。

解題方法

本題為雙尾檢定，須同時計算檢定統計量落在左尾或右尾、且離 0 至少有 2 個標準差的機率。由 $z=-2$ 得 $|z|=2$，因此：

$$p=P(Z\leq -2)+P(Z\geq 2)=2P(Z>2)$$

所以正確表達式是選項 a。數值約為 $2(0.0228)=0.0456$。

選項分析

核心觀念

本題評量假設檢定（Hypothesis Testing）之拒絕域（Rejection Region）與對立假設（Alternative Hypothesis）方向的關係。

1. 虛無假設與對立假設的互補性：
   在單尾檢定（One-tailed test）中，虛無假設（Null Hypothesis, $H_0$）與對立假設（Alternative Hypothesis, $H_1$）互為補集。
   若題目給定：

   $$H_0: \mu \ge 15$$

   則其對應之對立假設必為左尾檢定：

   $$H_1: \mu < 15$$

2. 拒絕虛無假設的準則：
   檢定統計量（如 $Z$ 或 $t$）係衡量樣本平均數 $\bar{X}$ 與假定母體平均數 $\mu_0$ 的偏離程度。只有當樣本結果強烈支持對立假設 $H_1$（即樣本平均數顯著偏向 $H_1$ 所指的方向）時，才會有足夠證據「拒絕 $H_0$」。因此，此題的拒絕域（Critical Region）位於抽樣分配的左尾（即 $\bar{X}$ 顯著小於 15）。

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解題方法

1. 建立假說架構：

   $$\begin{aligned} H_0 &: \mu \ge 15 \\ H_1 &: \mu < 15 \end{aligned}$$

2. 決定檢定方向與拒絕域：

   • 由於 $H_1$ 的不等號方向向左（$<$），此檢定為左尾檢定（Left-tailed test）。
   • 拒絕 $H_0$ 的決策準則為：當樣本平均數 $\bar{X}$ 遠低於 15（落入左側拒絕域，即檢定統計量 $Z_{\text{calc}} < -Z_\alpha$ 或 $t_{\text{calc}} < -t_{\alpha, \nu}$）時，拒絕 $H_0$。

這題考驗 p-value 與顯著水準 $\alpha$ 的關係，以及如何根據此關係做出拒絕或不拒絕虛無假說的決策。

核心觀念：
在假說檢定中，p-value 是用來衡量樣本數據與虛無假說 ($H_0$) 相符程度的指標。

• p-value < $\alpha$： 樣本數據與 $H_0$ 之間存在統計上顯著的差異。我們拒絕 $H_0$。
• p-value $\ge \alpha$： 樣本數據與 $H_0$ 之間沒有足夠證據顯示有顯著差異。我們不拒絕 $H_0$。

解題過程：
題目給定：

• p-value = 0.046。

我們需要判斷在不同的顯著水準 $\alpha$ 下，是否可以拒絕虛無假說。

a. 如果 $\alpha = 0.005$:
比較 p-value 和 $\alpha$：$0.046 \ge 0.005$。
因為 p-value $\ge \alpha$，所以我們「不拒絕」虛無假說。

這題考驗判斷何時拒絕虛無假說，特別是針對雙尾檢定。

核心觀念：
在假說檢定中，拒絕虛無假說 ($H_0$) 的條件是 p-value 小於或等於顯著水準 $\alpha$。

• p-value < $\alpha$: 拒絕 $H_0$。
• p-value $\ge \alpha$: 不拒絕 $H_0$。

這個規則適用於單尾和雙尾檢定。題目特別提到了「two-tailed test」，但拒絕的條件本身與檢定的類型（單尾或雙尾）無關，只與 p-value 和 $\alpha$ 的比較有關。

解題過程：
題目問在什麼情況下可以「拒絕虛無假說」。
根據假說檢定的基本規則，當 p-value 小於顯著水準 $\alpha$ 時，我們拒絕虛無假說。

這題考驗對「顯著水準」（level of significance）概念的理解，要求找出關於顯著水準的錯誤敘述。

核心觀念：

• 顯著水準 (Level of Significance, $\alpha$)： 在假說檢定中，預先設定的一個機率值，代表我們願意接受的、在虛無假說 ($H_0$) 為真時，卻錯誤地拒絕 $H_0$ 的最大風險。也就是第一類錯誤（Type I Error）的最大容忍機率。
• p-value： 是指在 $H_0$ 為真的前提下，觀測到樣本結果或比樣本結果更極端的結果的機率。
• 決策規則： 若 p-value < $\alpha$，則拒絕 $H_0$。

解題過程：
我們逐一分析每個選項：

a. The larger the level of significance, the more likely you are to reject the null hypothesis;
* 當 $\alpha$ 變大時（例如從 0.05 變到 0.10），拒絕 $H_0$ 的條件 (p-value < $\alpha$) 就更容易滿足。因此，我們拒絕 $H_0$ 的機率也隨之增加。

核心觀念

本題考查「母體比例的假設檢定」。樣本中有 $100$ 人，其中 $55$ 人支持候選人 A，因此樣本比例為

$$\hat p=\frac{55}{100}=0.55$$

題目問在 $95\%$ 信賴水準下，是否能判定母體支持比例顯著高於 $50\%$。因此應檢定：

$$H_0:p=0.50,\qquad H_1:p>0.50$$

這是右尾單一母體比例檢定。

在虛無假設成立時，檢定統計量為

$$Z=\frac{\hat p-p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}$$

其中 $p_0=0.50$、$n=100$。

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解題方法

由樣本資料：

$$\hat p=0.55,\qquad p_0=0.50,\qquad n=100$$

計算標準誤：

$$\sqrt{\frac{0.5(1-0.5)}{100}} =\sqrt{\frac{0.25}{100}} =0.05$$

因此檢定統計量為

$$Z=\frac{0.55-0.50}{0.05}=1.00$$

本題為右尾檢定，顯著水準為

$$\alpha=1-0.95=0.05$$

右尾檢定的臨界值為

$$z_{0.05}=1.645$$

拒絕域為

$$Z>1.645$$

但實際計算所得

$$Z=1.00<1.645$$

所以不拒絕虛無假設。樣本雖然顯示支持率為 $55\%$，但證據不足以在 $5\%$ 顯著水準下判定母體支持比例顯著高於 $50\%$。

亦可由 $p$ 值判斷：

$$p\text{-value}=P(Z>1.00)\approx 0.1587>0.05$$

因此同樣得到「不拒絕 $H_0$」的結論。

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選項分析

a. is significantly smaller than 55%

錯誤。題目中的 $55\%$ 是樣本比例 $\hat p$，不是已知的母體比例。樣本比例本身不能直接作為母體比例的確定值；若要檢定母體比例是否小於 $55\%$，應設定

這題考驗 z 檢定統計量與 p-value 的計算，以及如何根據 p-value 和顯著水準 $\alpha$ 做出決策。

核心觀念：

• 雙尾檢定的 p-value 計算： 如果 z 統計量為 $z_{obs}$，則雙尾檢定的 p-value 為 $P(|Z| \ge |z_{obs}|)$，其中 $Z \sim N(0, 1)$。這通常等於 $2 \times P(Z \ge |z_{obs}|)$。
• 決策規則： 如果 p-value < $\alpha$，則拒絕虛無假說 ($H_0$)，認為有統計上顯著的差異。

解題過程：
題目給定的資訊：

• 檢定：$H_0: \mu_1 = \mu_2$ vs $H_a: \mu_1 \neq \mu_2$ (雙尾檢定)。
• z-test statistic $z_{obs} = 1.35$。

首先，我們需要計算這個 z 統計量對應的 p-value。
p-value $= P(|Z| \ge |1.35|) = P(|Z| \ge 1.35)$。
這可以寫成 $2 \times P(Z \ge 1.35)$。
查標準常態分配表，P(Z $\le$ 1.35) $\approx$ 0.9115。
所以，P(Z $\ge$ 1.35) $= 1 - P(Z \le 1.35) = 1 - 0.9115 = 0.0885$。
因此，p-value $= 2 \times 0.0885 = 0.1770$。

現在我們有 p-value = 0.177。
接下來，我們需要將這個 p-value 與選項中提到的顯著水準 $\alpha$ 進行比較。

a. at $\alpha=10\%$ (0.1), since the p-value = 0.0885 < 0.1;
* 這裡的 p-value 是 0.0885，這與我們計算出的 0.177 不同。
* 即使我們假設 p-value 是 0.0885， $0.0885 < 0.1$ 是正確的。但這意味著要拒絕 $H_0$。
* 然而，這裡的 p-value 可能有誤，或者選項的 p-value 是指單尾機率。

b. at $\alpha=10\%$ (0.1), because the p-value = 0.177 > 0.1;
* 這裡的 p-value 是 0.177，這與我們計算出的 p-value 相符。
* 比較 p-value 和 $\alpha$: $0.177 > 0.1$。
* 因為 p-value > $\alpha$，我們「不拒絕」虛無假說 $H_0$。
* 所以，我們不能得出「有顯著差異」的結論。

核心觀念

本題考察「兩個獨立母體平均數差異的檢定」所使用的抽樣分配。

當兩個母體的標準差未知，且由兩個獨立簡單隨機樣本估計變異程度時，不能直接使用標準常態分配，通常使用 $t$ 分配。

若採用兩獨立樣本的合併變異數 $t$ 檢定，假設兩母體變異數相等，則自由度為

$$df=n_1+n_2-2$$

其中：

• $n_1=14$
• $n_2=18$

解題方法

兩母體平均數差異的合併變異數 $t$ 統計量為

$$t= \frac{(\bar X_1-\bar X_2)-(\mu_1-\mu_2)} {s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}$$

其中合併樣本變異數為

$$s_p^2= \frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2} {n_1+n_2-2}$$

由於兩個樣本各自估計一個母體變異數，因此會消耗兩個自由度：

$$df=(n_1-1)+(n_2-1)$$

代入樣本數：

$$df=(14-1)+(18-1)$$ $$df=13+17=30$$

因此應使用自由度為 $30$ 的 $t$ 分配。

選項分析

a. Normal distribution

錯誤。

標準常態分配通常適用於母體標準差已知，或樣本數足夠大而可使用常態近似的情況。本題明確指出兩個母體的標準差未知，應以樣本標準差估計，因此使用 $t$ 分配。

核心觀念

本題考查母體比例 $p$ 的估計，以及在指定信心水準與誤差上限下的最低樣本數。

母體比例的信賴區間，其誤差範圍為

$$E=z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}},$$

其中：

• $E$：允許的最大誤差；
• $z_{\alpha/2}$：信心水準所對應的標準常態臨界值；
• $p$：母體比例；
• $n$：樣本數。

當母體比例 $p$ 未知時，為了確保樣本數足以滿足誤差要求，採用使 $p(1-p)$ 最大的 $p=0.5$，因為

$$p(1-p)\leq 0.25.$$

因此，樣本數公式為

$$n=\frac{z_{\alpha/2}^2p(1-p)}{E^2} =\frac{z_{\alpha/2}^2(0.5)(0.5)}{E^2}.$$

解題方法

題目給定：

• 信心水準為 $98\%$；
• 最大誤差為 $0.05$；
• 母體比例未知，取 $p=0.5$。

$98\%$ 信心水準表示

$$\alpha=1-0.98=0.02,$$

故

$$\frac{\alpha}{2}=0.01.$$

標準常態臨界值為

$$z_{0.01}\approx 2.33.$$

代入樣本數公式：

$$n=\frac{(2.33)^2(0.5)(0.5)}{(0.05)^2}.$$

計算得

$$n=\frac{5.4289\times 0.25}{0.0025} =\frac{1.357225}{0.0025} =542.89.$$

這題考驗關於樣本平均數 ($\bar{X}$) 的性質，特別是樣本大小 ($n$) 變化時，其期望值、標準差、信賴區間以及機率值的變化。

核心觀念：
假設母體為常態分佈 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$。
從母體中抽取樣本大小為 $n$ 的隨機樣本。
樣本平均數 $\bar{X}$ 的分佈為：

• 期望值 (Expected Value): $E[\bar{X}] = \mu$
• 標準差 (Standard Deviation, 即標準誤 Standard Error): $\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
• 變異數 (Variance): $\text{Var}(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$

解題過程：
我們逐一分析每個選項：

a. As the sample size increases, the standard deviation of $\bar{X}$ increases;
* $\bar{X}$ 的標準差是 $\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。
* 當樣本大小 $n$ 增加時，$\sqrt{n}$ 增加，因此 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ 會減少。
* 所以，$\bar{X}$ 的標準差會減少，而不是增加。這個敘述是 錯誤 的。

b. As the sample size increases, the expected value of the sample mean remains the same;
* $\bar{X}$ 的期望值是 $E[\bar{X}] = \mu$。
* 這個值僅取決於母體平均數 $\mu$，與樣本大小 $n$ 無關。

這題包含兩個小題，(a) 要求計算 90% 信賴區間，(b) 要求進行假說檢定。

小題 (a): 90% 信賴區間估計

核心觀念：
當母體為常態分佈且母體標準差 $\sigma$ 未知時，使用樣本標準差 $s$ 來建構信賴區間。
信賴區間的公式為：$\bar{X} \pm t_{\alpha/2, df} \times \frac{s}{\sqrt{n}}$
其中：

• $\bar{X}$ 是樣本平均數。
• $s$ 是樣本標準差。
• $n$ 是樣本大小。
• $t_{\alpha/2, df}$ 是 t 分配在自由度 $df = n-1$ 下，對應於 $\alpha/2$ 的臨界值。

計算步驟：

1. 計算樣本大小 $n$：
   觀測值有 5 個，所以 $n=5$。

2. 計算樣本平均數 $\bar{X}$：
   $\bar{X} = \frac{213 + 202 + 183 + 185 + 197}{5} = \frac{980}{5} = 196$。

3. 計算樣本標準差 $s$：
   首先計算樣本變異數 $s^2$：
   $s^2 = \frac{\sum(X_i - \bar{X})^2}{n-1}$
   $X_i - \bar{X}$:
   $213 - 196 = 17$
   $202 - 196 = 6$
   $183 - 196 = -13$
   $185 - 196 = -11$
   $197 - 196 = 1$
   $(X_i - \bar{X})^2$:
   $17^2 = 289$
   $6^2 = 36$
   $(-13)^2 = 169$
   $(-11)^2 = 121$
   $1^2 = 1$
   $\sum(X_i - \bar{X})^2 = 289 + 36 + 169 + 121 + 1 = 616$。
   $s^2 = \frac{616}{5-1} = \frac{616}{4} = 154$。
   樣本標準差 $s = \sqrt{154} \approx 12.41$。

4. 確定自由度 $df$：
   $df = n - 1 = 5 - 1 = 4$。

5. 確定 $t_{\alpha/2, df}$：
   信賴水準為 90%，所以 $\alpha = 1 - 0.90 = 0.10$。
   $\alpha/2 = 0.10 / 2 = 0.05$。
   我們需要在自由度 $df=4$ 下，查 t 分配表中對應 $t_{0.05, 4}$ 的值。
   查表可知，$t_{0.05, 4} \approx 2.132$。

6. 計算標準誤 (Standard Error, SE)：
   $SE = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{154}}{\sqrt{5}} = \frac{12.41}{\sqrt{5}} \approx \frac{12.41}{2.236} \approx 5.550$。

7. 計算邊際誤差 (Margin of Error, ME)：
   $ME = t_{\alpha/2, df} \times SE = 2.132 \times 5.550 \approx 11.8326$。

8. 建立 90% 信賴區間：
   CI $= \bar{X} \pm ME = 196 \pm 11.8326$。
   下限 $= 196 - 11.8326 \approx 184.1674$。
   上限 $= 196 + 11.8326 \approx 207.8326$。

結論 (a)：
90% 信賴區間為 $(184.17, 207.83)$。

小題 (b): 假說檢定

這是一道包含多個小題的綜合題，涉及兩獨立樣本 t 檢定、單因子變異數分析 (ANOVA)、雙因子變異數分析 (Two-way ANOVA) 以及事後比較 (Post hoc tests)。

資料整理：
首先，我們需要整理出各組數據的平均數和變異數/標準差，以便後續計算。

• $X_1$: Woman under 50 (Female, <50)
• $X_2$: Man under 50 (Male, <50)
• $X_3$: Woman 50 or older (Female, $\ge$50)
• $X_4$: Man 50 or older (Male, $\ge$50)

樣本大小 $n_1 = n_2 = n_3 = n_4 = 5$。總樣本數 $N = 4 \times 5 = 20$。

計算各組的樣本平均數 $\bar{X}_i$ 和樣本變異數 $s_i^2$：

$X_1$ (Woman, <50): 213, 202, 183, 185, 197
$\bar{X}_1 = \frac{213+202+183+185+197}{5} = \frac{980}{5} = 196$
$\sum(X_i - \bar{X}_1)^2 = (213-196)^2 + (202-196)^2 + (183-196)^2 + (185-196)^2 + (197-196)^2$
$= 17^2 + 6^2 + (-13)^2 + (-11)^2 + 1^2 = 289 + 36 + 169 + 121 + 1 = 616$
$s_1^2 = \frac{616}{5-1} = \frac{616}{4} = 154$

$X_2$ (Man, <50): 192, 189, 209, 227, 236
$\bar{X}_2 = \frac{192+189+209+227+236}{5} = \frac{1053}{5} = 210.6$
$\sum(X_i - \bar{X}_2)^2 = (192-210.6)^2 + (189-210.6)^2 + (209-210.6)^2 + (227-210.6)^2 + (236-210.6)^2$
$= (-18.6)^2 + (-21.6)^2 + (-1.6)^2 + (16.4)^2 + (25.4)^2$
$= 345.96 + 466.56 + 2.56 + 268.96 + 645.16 = 1729.2$
$s_2^2 = \frac{1729.2}{5-1} = \frac{1729.2}{4} = 432.3$

$X_3$ (Woman, $\ge$50): 193, 224, 201, 161, 178
$\bar{X}_3 = \frac{193+224+201+161+178}{5} = \frac{957}{5} = 191.4$
$\sum(X_i - \bar{X}_3)^2 = (193-191.4)^2 + (224-191.4)^2 + (201-191.4)^2 + (161-191.4)^2 + (178-191.4)^2$
$= (1.6)^2 + (32.6)^2 + (9.6)^2 + (-30.4)^2 + (-13.4)^2$
$= 2.56 + 1062.76 + 92.16 + 924.16 + 179.56 = 2261.2$
$s_3^2 = \frac{2261.2}{5-1} = \frac{2261.2}{4} = 565.3$

$X_4$ (Man, $\ge$50): 253, 248, 278, 232, 267
$\bar{X}_4 = \frac{253+248+278+232+267}{5} = \frac{1278}{5} = 255.6$
$\sum(X_i - \bar{X}_4)^2 = (253-255.6)^2 + (248-255.6)^2 + (278-255.6)^2 + (232-255.6)^2 + (267-255.6)^2$
$= (-2.6)^2 + (-7.6)^2 + (22.4)^2 + (-23.6)^2 + (11.4)^2$
$= 6.76 + 57.76 + 501.76 + 556.96 + 129.96 = 1253.2$
$s_4^2 = \frac{1253.2}{5-1} = \frac{1253.2}{4} = 313.3$

總結統計量：
$\bar{X}_1 = 196$, $s_1^2 = 154$
$\bar{X}_2 = 210.6$, $s_2^2 = 432.3$
$\bar{X}_3 = 191.4$, $s_3^2 = 565.3$
$\bar{X}_4 = 255.6$, $s_4^2 = 313.3$
$n_i = 5$ for $i=1,2,3,4$.
Total $N=20$.

小題 (a): t-test for $H_0: \mu_f = \mu_m$

核心觀念：
檢定兩組獨立樣本平均數是否相等的 t 檢定。
由於樣本大小小 ($n=5$)，且母體標準差未知，我們使用 t 檢定。
此處 $\mu_f$ 是所有女性的平均膽固醇，$\mu_m$ 是所有男性的平均膽固醇。
女性資料來自 $X_1$ 和 $X_3$。男性資料來自 $X_2$ 和 $X_4$。

計算女性 (Female) 和男性 (Male) 的平均數和變異數：

• 女性 (Female): $X_1$ 和 $X_3$
  總樣本數 $n_f = n_1 + n_3 = 5 + 5 = 10$。
  平均數 $\bar{X}_f = \frac{\bar{X}_1 \times n_1 + \bar{X}_3 \times n_3}{n_1 + n_3} = \frac{196 \times 5 + 191.4 \times 5}{10} = \frac{980 + 957}{10} = \frac{1937}{10} = 193.7$。
  合併變異數 $s_p^2$ (假設母體變異數相等)：
  $s_p^2 = \frac{\sum(X_{i,f} - \bar{X}_f)^2}{n_f - 1}$
  $\sum(X_{i,f} - \bar{X}_f)^2 = \sum(X_i - \bar{X}_1)^2 + \sum(X_i - \bar{X}_3)^2 = 616 + 2261.2 = 2877.2$。
  $s_p^2 = \frac{2877.2}{10-1} = \frac{2877.2}{9} \approx 319.689$。

• 男性 (Male): $X_2$ 和 $X_4$
  總樣本數 $n_m = n_2 + n_4 = 5 + 5 = 10$。
  平均數 $\bar{X}_m = \frac{\bar{X}_2 \times n_2 + \bar{X}_4 \times n_4}{n_2 + n_4} = \frac{210.6 \times 5 + 255.6 \times 5}{10} = \frac{1053 + 1278}{10} = \frac{2331}{10} = 233.1$。
  合併變異數 $s_p^2$ (假設母體變異數相等)：
  $\sum(X_{i,m} - \bar{X}_m)^2 = \sum(X_i - \bar{X}_2)^2 + \sum(X_i - \bar{X}_4)^2 = 1729.2 + 1253.2 = 2982.4$。
  $s_p^2 = \frac{2982.4}{10-1} = \frac{2982.4}{9} \approx 331.378$。

  注意： 這裡我們需要決定是否假設變異數相等。題目沒有給定。通常在 ANOVA 的情況下（小題 c），會假設變異數相等。如果這裡也假設相等，則合併變異數是：
  $s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_3-1)s_3^2 + (n_2-1)s_2^2 + (n_4-1)s_4^2}{n_1+n_3+n_2+n_4-4} = \frac{4 \times 154 + 4 \times 565.3 + 4 \times 432.3 + 4 \times 313.3}{20-4}$
  $s_p^2 = \frac{616 + 2261.2 + 1729.2 + 1253.2}{16} = \frac{5859.6}{16} = 366.225$。
  這個值是所有樣本變異數的加權平均。

  我們需要使用兩個獨立樣本的 t 檢定。
  這裡有兩種方法：

  1. 假設變異數相等：自由度 $df = n_f + n_m - 2 = 10 + 10 - 2 = 18$。
     $s_p^2 = \frac{(n_f-1)s_{f,pooled}^2 + (n_m-1)s_{m,pooled}^2}{n_f+n_m-2}$ (這個計算有點複雜，通常是直接用所有數據的 Pooled Variance)
     Let's use the overall pooled variance $s_p^2 = 366.225$.
     $t = \frac{\bar{X}_f - \bar{X}_m}{s_p \sqrt{\frac{1}{n_f} + \frac{1}{n_m}}} = \frac{193.7 - 233.1}{\sqrt{366.225} \sqrt{\frac{1}{10} + \frac{1}{10}}} = \frac{-39.4}{\sqrt{366.225} \sqrt{0.2}}$
     $t = \frac{-39.4}{19.137 \times 0.4472} \approx \frac{-39.4}{8.557} \approx -4.604$。
     自由度 $df = 18$。
     $\alpha = 0.05$。這是雙尾檢定 $H_a: \mu_f \neq \mu_m$。
     臨界值 $t_{0.025, 18} \approx 2.101$。
     因為 $|t_{calc}| = |-4.604| > 2.101$，我們拒絕 $H_0$。

  2. 不假設變異數相等 (Welch's t-test)：自由度計算較複雜。
     $s_f^2 = 319.689$ (女性合併變異數)
     $s_m^2 = 331.378$ (男性合併變異數)
     $df \approx \frac{(\frac{s_f^2}{n_f} + \frac{s_m^2}{n_m})^2}{\frac{(s_f^2/n_f)^2}{n_f-1} + \frac{(s_m^2/n_m)^2}{n_m-1}}$
     $df \approx \frac{(\frac{319.689}{10} + \frac{331.378}{10})^2}{\frac{(319.689/10)^2}{9} + \frac{(331.378/10)^2}{9}} = \frac{(31.9689 + 33.1378)^2}{\frac{(31.9689)^2}{9} + \frac{(33.1378)^2}{9}}$
     $df \approx \frac{(65.1067)^2}{\frac{1022.01}{9} + \frac{1098.08}{9}} = \frac{4238.88}{\frac{2120.09}{9}} = \frac{4238.88}{235.56} \approx 18.0$。
     自由度約為 18。這個結果與假設變異數相等時的自由度相同，這可能是巧合，或者是因為樣本量相同。
     若自由度為 18，則 $t_{0.025, 18} \approx 2.101$。
     $t = \frac{\bar{X}_f - \bar{X}_m}{\sqrt{\frac{s_f^2}{n_f} + \frac{s_m^2}{n_m}}} = \frac{193.7 - 233.1}{\sqrt{\frac{319.689}{10} + \frac{331.378}{10}}} = \frac{-39.4}{\sqrt{31.9689 + 33.1378}} = \frac{-39.4}{\sqrt{65.1067}} = \frac{-39.4}{8.0688} \approx -4.883$。
     $|-4.883| > 2.101$，所以拒絕 $H_0$。

結論 (a)：
無論是假設變異數相等還是不等，我們都拒絕 $H_0: \mu_f = \mu_m$。
在 $\alpha = 0.05$ 下，我們有足夠證據顯示女性和男性的平均膽固醇水平有顯著差異。
（具體計算過程可能需要更精確的數值，但結論應該是拒絕 $H_0$）。

小題 (b): F-test for $H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3 = \mu_4$

核心觀念：
單因子變異數分析 (One-way ANOVA) 用於檢定三個或更多組的母體平均數是否相等。
虛無假說 $H_0$ 是所有組的母體平均數都相等。
對立假說 $H_a$ 是至少有一個組的母體平均數與其他組不同。
檢定統計量是 F 統計量，其計算基於組間變異數 (Between-group variance, MSB) 和組內變異數 (Within-group variance, MSW)。
$F = \frac{MSB}{MSW}$。
$MSB = \frac{SSB}{k-1}$，其中 $k$ 是組數 (在此為 4)。
$MSW = \frac{SSW}{N-k}$，其中 $N$ 是總樣本數。
自由度為 $(k-1, N-k)$。

計算步驟：

1. 計算組間平方和 (SSB) 和組內平方和 (SSW)：
   $SSB = \sum_{i=1}^{k} n_i (\bar{X}_i - \bar{X}_{grand})^2$
   $SSW = \sum_{i=1}^{k} (n_i - 1) s_i^2$ (或 $\sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n_i} (X_{ij} - \bar{X}_i)^2$)
   $N=20$, $k=4$。
   首先計算總平均數 $\bar{X}_{grand}$：
   $\bar{X}_{grand} = \frac{\sum \bar{X}_i n_i}{N} = \frac{196 \times 5 + 210.6 \times 5 + 191.4 \times 5 + 255.6 \times 5}{20}$
   $\bar{X}_{grand} = \frac{980 + 1053 + 957 + 1278}{20} = \frac{4268}{20} = 213.4$。

   $SSB = 5(196-213.4)^2 + 5(210.6-213.4)^2 + 5(191.4-213.4)^2 + 5(255.6-213.4)^2$
   $SSB = 5(-17.4)^2 + 5(-2.8)^2 + 5(-22)^2 + 5(42.2)^2$
   $SSB = 5(302.76) + 5(7.84) + 5(484) + 5(1780.84)$
   $SSB = 1513.8 + 39.2 + 2420 + 8904.2 = 12877.2$。

   $SSW = \sum (n_i - 1) s_i^2 = (5-1)s_1^2 + (5-1)s_2^2 + (5-1)s_3^2 + (5-1)s_4^2$
   $SSW = 4 s_1^2 + 4 s_2^2 + 4 s_3^2 + 4 s_4^2$
   $SSW = 4(154) + 4(432.3) + 4(565.3) + 4(313.3)$
   $SSW = 616 + 1729.2 + 2261.2 + 1253.2 = 5859.6$。
   (這個 SSW 就是我們之前計算的 $\sum(X_{ij} - \bar{X}_i)^2$ 的總和。)

2. 計算組間均方 (MSB) 和組內均方 (MSW)：
   $MSB = \frac{SSB}{k-1} = \frac{12877.2}{4-1} = \frac{12877.2}{3} \approx 4292.4$。
   $MSW = \frac{SSW}{N-k} = \frac{5859.6}{20-4} = \frac{5859.6}{16} = 366.225$。
   (注意：MSW 是所有樣本變異數的平均值，因為樣本大小相同)。

3. 計算 F 統計量：
   $F = \frac{MSB}{MSW} = \frac{4292.4}{366.225} \approx 11.72$。

4. 做出決策：
   自由度為 $(k-1, N-k) = (3, 16)$。
   $\alpha = 0.05$。
   查 F 分配表，臨界值 $F_{\alpha, df1, df2} = F_{0.05, 3, 16}$。
   查表可知 $F_{0.05, 3, 16} \approx 3.24$。
   因為 $F_{calc} = 11.72 > F_{crit} = 3.24$，我們拒絕虛無假說 $H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3 = \mu_4$。