115 年 國立中央大學企業管理學系碩士班甲組《統計學》

這題主要考查散佈圖的判讀、迴歸分析的假設檢定以及離群值對迴歸結果的影響。

a. 散佈圖判讀

從圖中散佈圖的趨勢來看，GDP per capita 與 CO2 emissions per capita 之間呈現正相關關係。隨著 GDP per capita 的增加，CO2 emissions per capita 也傾向於增加。然而，這種關係並非完美的線性關係，存在較大的離散程度，特別是在較高的 GDP per capita 區間。這表示雖然經濟發展通常伴隨較高的碳排放，但不同國家在相同經濟水平下，碳排放量可能存在差異。

b. 迴歸分析假設檢定

核心觀念：迴歸分析中的迴歸係數顯著性檢定，以及如何根據檢定結果判斷關係是否存在。

假設檢定步驟：

1. 建立假設：

   • 虛無假設 ($H_0$)：GDP per capita 與 CO2 emissions per capita 之間沒有線性關係，即迴歸模型的斜率係數 $\beta_1$ 等於 0。
   • 對立假設 ($H_1$)：GDP per capita 與 CO2 emissions per capita 之間存在線性關係，即迴歸模型的斜率係數 $\beta_1$ 不等於 0。

2. 選擇檢定統計量：
   在此我們進行斜率係數的 t 檢定。檢定統計量為：
   $t = \frac{\hat{\beta}_1 - \beta_{1,0}}{\text{SE}(\hat{\beta}_1)}$
   其中 $\hat{\beta}_1$ 是估計的斜率係數，$\beta_{1,0}$ 是虛無假設下的斜率係數值（在此為 0），SE$(\hat{\beta}_1)$ 是斜率係數的標準誤。

3. 計算檢定統計量：
   根據 Model A 的結果：
   $\hat{\beta}_1 = 0.000062$
   SE$(\hat{\beta}_1) = 0.000009$
   $\beta_{1,0} = 0$
   $t = \frac{0.000062 - 0}{0.000009} \approx 6.889$

4. 決定檢定區域：
   顯著水準 $\alpha = 0.01$ (1%)。由於是雙尾檢定（$H_1: \beta_1 \neq 0$），我們需要找到 t 分配在自由度 $df = n - k - 1$ 下的臨界值。
   樣本數 $n = 192$，解釋變數數量 $k = 1$ (GDP per capita)。
   自由度 $df = 192 - 1 - 1 = 190$。
   查詢 t 分配表或使用統計軟體，在 $df=190$ 和 $\alpha=0.01$ 雙尾檢定下，臨界值約為 $\pm 2.601$ (近似值，因為 190 不一定在標準表中，但遠大於 30，趨近常態分配，或查表時取最接近的值)。

5. 做出決策：
   計算出的 t 值 $|6.889|$ 大於臨界值 $2.601$。
   因此，我們拒絕虛無假設 $H_0$。

6. 結論：
   在 1% 的顯著水準下，我們有足夠的證據支持 GDP per capita 與 CO2 emissions per capita 之間存在顯著的線性關係。

這題主要考查迴歸模型中 dummy variable 的應用，特別是如何用來檢定結構性改變。

a. 檢定自主性消費的改變

核心觀念：在迴歸模型中，常數項（intercept）代表了自變數為零時的應變數值，即自主性消費。若引入一個 dummy variable $D_t$ 與常數項互動，可以檢定自主性消費是否發生改變。

解釋：
模型為：$c_t = \beta_1 + \beta_2 \text{inc}_t + \alpha D_t + \epsilon_t$

• COVID-19 疫情前 ( $D_t = 0$ )：
  模型為 $c_t = \beta_1 + \beta_2 \text{inc}_t + \epsilon_t$
  此時的自主性消費（當 $\text{inc}_t = 0$ 時的 $c_t$）為 $\beta_1$。

• COVID-19 疫情期間 ( $D_t = 1$ )：
  模型為 $c_t = \beta_1 + \beta_2 \text{inc}_t + \alpha(1) + \epsilon_t = (\beta_1 + \alpha) + \beta_2 \text{inc}_t + \epsilon_t$
  此時的自主性消費（當 $\text{inc}_t = 0$ 時的 $c_t$）為 $\beta_1 + \alpha$。

因此，要檢定 COVID-19 疫情期間自主性消費是否發生改變，我們需要檢定參數 $\alpha$ 是否顯著。

檢定步驟：

1. 建立假設：

   • 虛無假設 ($H_0$)：疫情期間自主性消費沒有改變，即 $\alpha = 0$。
   • 對立假設 ($H_1$)：疫情期間自主性消費發生改變，即 $\alpha \neq 0$。

2. 進行統計檢定：
   使用迴歸分析的結果，對係數 $\alpha$ 進行 t 檢定。如果 $\alpha$ 的 t 檢定結果在預設的顯著水準下（例如 5%）是顯著的（即 p-value 小於顯著水準），則拒絕 $H_0$，表明自主性消費在疫情期間發生了顯著改變。

b. 修改模型以檢定結構性改變（自主性消費與邊際消費傾向）

核心觀念：檢定結構性改變（structural break）通常涉及引入 dummy variable 的互動項（interaction terms），以允許迴歸模型的常數項和斜率項在不同時期有所不同。

解釋：
原模型 $c_t = \beta_1 + \beta_2 \text{inc}_t + \alpha D_t + \epsilon_t$ 僅允許常數項（自主性消費）因 $D_t$ 而改變。要同時檢定自主性消費 ($\beta_1$) 和邊際消費傾向 ($\beta_2$) 是否發生結構性改變，我們需要引入 $D_t$ 與 $\text{inc}_t$ 的互動項。

修改後的模型：

這題考查如何進行迴歸模型的聯合假設檢定（joint hypothesis testing），特別是當檢定式涉及多個迴歸係數的線性組合時。

核心觀念： 聯合假設檢定，通常使用 F 檢定來檢驗多個迴歸係數的線性組合是否滿足特定條件。

解釋與步驟：

我們需要檢定虛無假設 $H_0: \beta_3 + \beta_4 = 1$。這個假設涉及兩個迴歸係數的線性組合。

方法一：重新參數化（Restricted Regression）

1. 重寫虛無假設：
   我們可以將虛無假設改寫為 $\beta_4 = 1 - \beta_3$。

2. 建立受限模型 (Restricted Model)：
   將這個關係代入原來的迴歸模型中：
   $y_i = \beta_0 + \beta_1 x_{1i} + \beta_2 x_{2i} + \beta_3 x_{3i} + (1 - \beta_3) x_{4i} + \epsilon_i$
   重新整理後，這個受限模型可以寫成：
   $y_i = \beta_0 + \beta_1 x_{1i} + \beta_2 x_{2i} + \beta_3 (x_{3i} - x_{4i}) + x_{4i} + \epsilon_i$
   令 $y_i' = y_i - x_{4i}$，則模型變為：
   $y_i' = \beta_0 + \beta_1 x_{1i} + \beta_2 x_{2i} + \beta_3 (x_{3i} - x_{4i}) + \epsilon_i$
   這個新的模型有四個參數：$\beta_0, \beta_1, \beta_2, \beta_3$。我們可以在這個受限模型下，對 $y_i' = y_i - x_{4i}$ 進行迴歸，得到參數的估計值，並計算出其殘差平方和，記為 $SSR_{restricted}$。

3. 建立非受限模型 (Unrestricted Model)：
   非受限模型就是原始的模型：
   $y_i = \beta_0 + \beta_1 x_{1i} + \beta_2 x_{2i} + \beta_3 x_{3i} + \beta_4 x_{4i} + \epsilon_i$
   在這個模型下進行迴歸，得到參數的估計值，並計算出其殘差平方和，記為 $SSR_{unrestricted}$。

4. 計算 F 統計量：
   F 統計量的計算公式為：
   $F = \frac{\frac{SSR_{restricted} - SSR_{unrestricted}}{q}}{\frac{SSR_{unrestricted}}{n - k - 1}}$
   其中：

   • $n$ 是樣本大小。
   • $k$ 是原模型中解釋變數的個數（在此為 4）。
   • $q$ 是虛無假設中約束的數量（在此為 1，因為我們約束了 $\beta_3 + \beta_4 = 1$）。
   • $n - k - 1$ 是非受限模型的自由度。

5. 做出決策：
   將計算出的 F 統計量與在顯著水準 $\alpha$ 下，自由度為 $(q, n-k-1)$ 的 F 分配的臨界值 $F_{\alpha, q, n-k-1}$ 進行比較。

   • 如果 $F > F_{\alpha, q, n-k-1}$，則拒絕虛無假設 $H_0$。
   • 否則，不拒絕虛無假設 $H_0$。

這題考查抽樣調查方法中可能遇到的潛在問題，特別是針對問卷設計和樣本平均值的解釋。

核心觀念： 抽樣調查的代表性、問卷偏差、量測誤差、樣本平均數作為總體平均數估計值的局限性。

潛在問題分析：

1. 抽樣偏差 (Sampling Bias)：

   • 地點偏差： 訪問地點（販售罐裝咖啡的商店）本身可能就帶有偏差。例如，某些商店的顧客群可能與其他商店不同（例如，便利商店 vs. 大賣場，高檔超市 vs. 傳統市場）。
   • 時間偏差： 訪問的時間點（例如，平日白天、週末、特定促銷期間）可能影響受訪者的購買行為。
   • 問卷執行者偏差： 訪問員的提問方式、態度、甚至外觀，都可能無意中影響受訪者的回答。
   • 受訪者選擇偏差： 誰會願意接受訪問？可能比較外向、有空、或對罐裝咖啡特別有意見的人更容易被訪問到，導致樣本無法代表所有罐裝咖啡的購買者。

2. 測量誤差 (Measurement Error) / 回答偏差 (Response Bias)：

   • 記憶偏差 (Recall Bias)： 受訪者可能無法準確回憶起過去一週購買了多少罐咖啡。他們可能會高估或低估。
   • 社會期許偏差 (Social Desirability Bias)： 受訪者可能傾向於給出他們認為「社會期望」的答案，例如，如果他們覺得自己買太多咖啡「不健康」或「花費過多」，可能會少報購買量。
   • 理解偏差： 受訪者可能對「一週」的定義（是過去七天？還是上一個完整的日曆週？）或「罐裝咖啡」的定義（是否包含即溶包？是否包含咖啡飲料？）有不同的理解。
   • 問題的引導性： 問題「How many cans of coffee do you buy each week?」相對直接，但如果問卷設計不當（例如，前一個問題在討論咖啡的健康益處），可能會影響回答。

這題考查 Poisson 分布的定義、動差生成函數（Moment Generating Function, MGF）的推導及其應用，以求得期望值和變異數。

a. Poisson 分布的機率質量函數 (PMF)

核心觀念：Poisson 分布用於描述在固定時間間隔內或固定空間區域內，某事件獨立發生的次數。

解釋：
若隨機變數 $X$ 服從參數為 $\lambda$ 的 Poisson 分布，記為 $X \sim \text{Poisson}(\lambda)$，其中 $\lambda > 0$ 是平均發生次數。則其機率質量函數 (PMF) 為：
$P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots$
其中 $e$ 是自然對數的底數（約為 2.71828），$k!$ 是 $k$ 的階乘。

b. Poisson 分布的動差生成函數 (MGF)

核心觀念：動差生成函數 (MGF) 的定義，以及如何利用級數展開和數學期望的性質來推導。

解釋：
動差生成函數 $M_X(t)$ 的定義為 $M_X(t) = E[e^{tX}]$。
對於 Poisson 分布 $X \sim \text{Poisson}(\lambda)$，我們有：
$M_X(t) = E[e^{tX}] = \sum_{k=0}^{\infty} e^{tk} P(X=k)$
將 PMF 代入：
$M_X(t) = \sum_{k=0}^{\infty} e^{tk} \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$
將常數項 $e^{-\lambda}$ 提出級數外：
$M_X(t) = e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{\infty} e^{tk} \frac{\lambda^k}{k!}$
將 $e^{tk}$ 寫成 $(\lambda e^t)^k$：
$M_X(t) = e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(\lambda e^t)^k}{k!}$
我們知道指數函數的 Maclaurin 級數展開為 $e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$。
令 $x = \lambda e^t$，則級數部分變為：
$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(\lambda e^t)^k}{k!} = e^{\lambda e^t}$
因此，Poisson 分布的動差生成函數為：
$M_X(t) = e^{-\lambda} e^{\lambda e^t} = e^{\lambda e^t - \lambda} = e^{\lambda(e^t - 1)}$
此 MGF 在 $t$ 使得 $\lambda e^t$ 收斂的範圍內成立。

c. 利用 MGF 推導期望值

核心觀念：動差生成函數的第 k 階導數在 t=0 時等於隨機變數的 k 階動差 $E[X^k]$。期望值是第一階動差 $E[X]$。

解釋：
期望值 $E[X]$ 是 $M_X(t)$ 在 $t=0$ 的一階導數。
首先，我們對 $M_X(t)$ 進行一階導數：
$M_X'(t) = \frac{d}{dt} e^{\lambda(e^t - 1)}$
使用鏈式法則（chain rule）：
$M_X'(t) = e^{\lambda(e^t - 1)} \cdot \frac{d}{dt} [\lambda(e^t - 1)]$
$M_X'(t) = e^{\lambda(e^t - 1)} \cdot (\lambda e^t)$
現在，將 $t=0$ 代入：

核心觀念

設本月發生故障的機器台數為 $X$。由於三台機器彼此獨立，且每台機器故障機率均為 $p=0.01$，因此：

題目要求「最多只有一台機器故障」，即：

解題方法

分別計算三台機器皆正常，以及恰有一台故障的機率。

三台機器皆正常：

恰有一台機器故障：

因此：

四捨五入至小數點後四位：

選項分析

這題考查隨機變數和與差的變異數計算，以及相關係數的應用。

核心觀念： 兩個隨機變數和或差的變異數公式，以及變異數和協方差的關係。

解釋：
設隨機變數為 $A$ 和 $B$（題目中出現了 $X$ 和 $Y$，但根據題意應為 $A$ 和 $B$）。
已知：
$E[A] = 8$
$Var(A) = 25$
$E[B] = 4$
$Var(B) = 4$
$\rho_{AB} = \text{Corr}(A, B) = 0.3$

我們需要計算 $Var(A-B)$。
變異數公式為：
$Var(A-B) = Var(A) + Var(B) - 2 Cov(A, B)$

我們已知 $Var(A)$ 和 $Var(B)$，但需要計算協方差 $Cov(A, B)$。
協方差與相關係數的關係是：

這題考查貝氏定理 (Bayes' Theorem) 的應用，用來計算條件機率。

核心觀念： 貝氏定理，聯合機率，條件機率。

解釋：
首先，我們定義一些事件：

• $P$: 小黃同學考試及格 (Pass)。
• $S$: 小黃同學有讀書 (Study)。
• $S^c$: 小黃同學沒有讀書 (Not Study)。

根據題目給的資訊，我們可以列出以下機率：

• 如果讀書，及格的機率：$P(P|S) = 0.90$
• 如果不讀書，及格的機率：$P(P|S^c) = 0.60$
• 班級中有 70% 的同學不讀書，所以小黃同學不讀書的機率：$P(S^c) = 0.70$
• 從 $P(S^c) = 0.70$ 可知，小黃同學讀書的機率：$P(S) = 1 - P(S^c) = 1 - 0.70 = 0.30$

我們要求的是「小黃同學考試及格，則小黃沒讀書的機率」，也就是條件機率 $P(S^c|P)$。

這題考查機率密度函數 (Probability Density Function, PDF) 的性質，特別是如何利用 PDF 在整個定義域上的積分等於 1 來求解未知常數。

核心觀念： 機率密度函數的性質，積分計算。

解釋：
一個有效的機率密度函數 $f(x)$ 必須滿足兩個條件：

1. $f(x) \ge 0$ 對所有 $x$。
2. $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$。

對於題目給定的 PDF：

我們假設 $a > 0$ 以滿足 $f(x) \ge 0$ 在 $0 \le x \le 1$ 的區間。

這題是接續上一題，要求計算機率密度函數為 $f(x) = 3x^2$ (當 $0 \le x \le 1$) 的隨機變數 $x$ 的期望值。

核心觀念： 隨機變數期望值的計算，利用機率密度函數。

解釋：
根據上一題的結果，我們知道隨機變數 $x$ 的機率密度函數 (PDF) 為：

隨機變數 $x$ 的期望值 $E[x]$ 可以透過以下公式計算：
$E[x] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$
由於 $f(x)$ 在 $0 \le x \le 1$ 之外為 0，積分範圍縮小到 $[0, 1]$：
$E[x] = \int_{0}^{1} x (3x^2) dx$

這題是接續前兩題，要求計算機率密度函數為 $f(x) = 3x^2$ (當 $0 \le x \le 1$) 的隨機變數 $x$ 的中位數。

核心觀念： 中位數 (Median) 的定義，以及如何利用累積分布函數 (Cumulative Distribution Function, CDF) 來求解。

解釋：
隨機變數 $x$ 的機率密度函數 (PDF) 為：

中位數 $m$ 的定義是使得累積機率等於 0.5 的值，即 $P(X \le m) = 0.5$。
累積分布函數 (CDF) $F(x)$ 定義為 $F(x) = P(X \le x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt$。
所以，我們要找一個值 $m$ 使得 $F(m) = 0.5$。

這題考查獨立性檢定，特別是比較兩組比例差異的檢定，通常使用卡方檢定 (Chi-squared test) 或 Z 檢定。由於題目提到「齊一式檢定」，通常是指標準的統計檢定方法。這裡我們將使用卡方檢定來檢驗本系學生與外系學生在依賴生成式 AI 寫作業的比例上是否存在顯著差異。

核心觀念： 獨立性檢定，卡方檢定 (Chi-squared test for independence)，顯著水準。

解釋：

首先，我們整理數據並建立一個 2x2 的列聯表 (Contingency Table)：

我們要檢定「系別」與「是否倚賴 AI」這兩個變數是否獨立。
虛無假設 ($H_0$)：系別與是否倚賴 AI 是獨立的（即兩組學生使用 AI 的比例沒有差異）。
對立假設 ($H_1$)：系別與是否倚賴 AI 不是獨立的（即兩組學生使用 AI 的比例有差異）。

計算預期次數 (Expected Frequencies)：
在虛無假設下，預期次數的計算公式為：
$E_{ij} = \frac{(\text{Row i Total}) \times (\text{Column j Total})}{\text{Grand Total}}$

• 預期本系學生倚賴 AI：$E_{11} = \frac{50 \times 48}{60} = \frac{2400}{60} = 40$
• 預期本系學生不倚賴 AI：$E_{12} = \frac{50 \times 12}{60} = \frac{600}{60} = 10$
• 預期外系學生倚賴 AI：$E_{21} = \frac{10 \times 48}{60} = \frac{480}{60} = 8$
• 預期外系學生不倚賴 AI：$E_{22} = \frac{10 \times 12}{60} = \frac{120}{60} = 2$

計算卡方統計量 ($\chi^2$)：
卡方統計量公式為：$\chi^2 = \sum \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}$，其中 $O_{ij}$ 是觀察次數。

• 對於本系倚賴 AI：$\frac{(42 - 40)^2}{40} = \frac{2^2}{40} = \frac{4}{40} = 0.1$
• 對於本系不倚賴 AI：$\frac{(8 - 10)^2}{10} = \frac{(-2)^2}{10} = \frac{4}{10} = 0.4$
• 對於外系倚賴 AI：$\frac{(6 - 8)^2}{8} = \frac{(-2)^2}{8} = \frac{4}{8} = 0.5$
• 對於外系不倚賴 AI：$\frac{(4 - 2)^2}{2} = \frac{2^2}{2} = \frac{4}{2} = 2.0$

將這些值加總：
$\chi^2 = 0.1 + 0.4 + 0.5 + 2.0 = 3.0$

這題考查 t 分配和 F 分配之間的關係，特別是 t 分配的平方與 F 分配的關係。

核心觀念： t 分配與 F 分配的關係。

解釋：
設 $X$ 是一個服從自由度為 $\nu$ 的 t 分配的隨機變數 ($X \sim t_\nu$)。
則 $X^2$ 服從自由度為 (1, $\nu$) 的 F 分配 ($X^2 \sim F_{1, \nu}$)。

題目要求計算 ($t_{0.025,5}$)$^2$ 的值。
這裡，$t_{0.025,5}$ 是指自由度為 5 的 t 分配，其右尾機率為 0.025 的值。
也就是說，$P(T > t_{0.025,5}) = 0.025$，其中 $T \sim t_5$。
由於 t 分配是對稱的，這也意味著 $P(T \le -t_{0.025,5}) = 0.025$。
因此，$P(-t_{0.025,5} \le T \le t_{0.025,5}) = 1 - 0.025 - 0.025 = 0.95$。

根據 t 分配與 F 分配的關係，若 $T \sim t_5$，則 $T^2 \sim F_{1, 5}$。
我們要計算 ($t_{0.025,5}$)$^2$ 的值。
這個值是 F 分配 $F_{1, 5}$ 的第 97.5 百分位數。
為什麼是 97.5 百分位數？
因為 $t_{0.025,5}$ 是 t 分配的右尾機率為 0.025 的值。
當我們將其平方時，我們關心的是 $T^2$ 的值。
$P(T^2 > (t_{0.025,5})^2) = P(T > t_{0.025,5}) + P(T < -t_{0.025,5})$